Содержание:
Непрерывность функций и точки разрыва
Непрерывность функции
Определение: Функция 
- – она определена в этой точке и ее некоторой
-окрестности; - – существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.
– предел функции в точке 
равен значению функции в исследуемой точке, т.е. 
Пример:
Найти область непрерывности функции 
Решение:
Данная функция непрерывна 
так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.
Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.
Точки разрыва
Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.
Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.
Пример:
Доказать, что функция 
в точке 
имеет разрыв первого рода.
Решение:
Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): 
Рис. 64. График функции 
Область определения функции: 
т.е. точка 
является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: 
Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.
Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).
Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.
Пример:
Доказать, что функция
имеет в точке 
устранимый разрыв.
Решение:
В точке 
функция имеет неопределенность 
поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы 
убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.
Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.
Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы
один из односторонних пределов равен 
т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
Найдем область определения этой функции: 
т.е. точка
является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: 
Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
Найдем область определения этой функции: 
т.е. точка 
является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: 
Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.
Операции над непрерывными функциями
Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.
Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций 
которые определены в некоторой 
-окрестности точки 
в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции 
непрерывны в некоторой -окрестности точки 
то выполняются равенства: 
В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что 
Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.
Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.
Теорема: Частное двух непрерывных функций 
при условии, что во всех точках общей области определения функция 
, есть непрерывная функция.
Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.
- Заказать решение задач по высшей математике
Схема исследования функции на непрерывность
Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:
Рис. 65. Поведение графика функции 
в малой окрестности точки разрыва второго рода 
Из рисунка видно, что график функции 
—неограниченно приближается к вертикальной прямой 
нигде не пересекая эту прямую.
Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)
Свойства непрерывных функций на отрезке 
.
Определение: Замкнутый интервал 
будем называть сегментом.
Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте 
.
Теорема: Если функция 
непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего (
) и наибольшего (
) значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.
Пример:
Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).
Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.
Решение:
На графике а) функция достигает своего наименьшего 
и наибольшего 
значений на концах сегмента 
На графике б) функция достигает своего наименьшего 
и наибольшего значения 
во внутренних точках сегмента 
На графике в) функция достигает своего наименьшего значения 
на левом конце сегмента 
а наибольшего значения 
во внутренней точке сегмента 
Тб. Если функция 
непрерывна на сегменте 
и достигает своего наименьшего (
) и наибольшего (
) значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству 
, найдется хотя бы одна точка 
такая, что 
.
Пример:
Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67). 
Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.
Теорема: Если функция 
непрерывна на сегменте 
и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка 
такая, что
.
Пример:
Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).
Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.
На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.
- Точки разрыва и их классификация
- Дифференциальное исчисление
- Исследование функций с помощью производных
- Формула Тейлора и ее применение
- Векторное и смешанное произведения векторов
- Преобразования декартовой системы координат
- Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- Замечательные пределы
Непрерывность функции и точки разрыва
- Приращение аргумента и приращение функции
- Непрерывность функции в точке
- Непрерывность функции на промежутке
- Односторонние пределы
- Классификация точек разрыва
- Точки разрыва первого рода
- Точки разрыва второго рода
- Алгоритм исследования функции на непрерывность
- Примеры
п.1. Приращение аргумента и приращение функции
Приращением аргумента называют разность $$ triangle x= x-x_0 $$ где x – произвольное число, которое мало отличается от начальной точки (x_0). Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.
Приращением функции называют соответствующую разность $$ triangle y=f(x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.
Например:
 |
Пусть (y=3x-1) (x_0=1, x=1,1 ) Тогда begin{gather*} triangle x=x-x_0=0,1\ triangle y=(3x-1)-(3x_0-1)=\ =3(x-x_0 )=3triangle x=0,3 end{gather*} В данном случае приращение функции всегда в 3 три раза больше приращения аргумента. |
п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке
Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если в этой точке малому приращению аргумента (triangle x=x-x_0) соответствует малое приращение функции (triangle y=f(x)-f(x_0)): $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y=lim_{xrightarrow x_0}triangle y=0 $$
На «языке ε-δ» определение непрерывности будет следующим:
Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если для любого (varepsilongt 0) существует такое (delta(varepsilon)gt 0), что для любого (x, |x-x_0|ltdelta) выполняется (|f(x)-f(x_0)|ltvarepsilon:) $$ forall varepsilongt 0 existsdelta=delta(varepsilon)gt 0: forall x, |x-x_0|ltdeltaRightarrow |f(x)-a|ltvarepsilon $$
ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль (|x-x_0|) может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка (x_0) входит в δ-окрестность.
Проанализируем предел приращения функции: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y= lim_{triangle xrightarrow 0}left(f(x)-f(x_0)right)= lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-lim_{triangle xrightarrow 0}f(x_0)=\ =lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-f(x_0) end{gather*} т.к. (f(x_0)) – величина постоянная и от (triangle x) не зависит.
Для непрерывной функции: $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y =0 Leftrightarrow lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-f(x_0)=0Leftrightarrow lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)=f(x_0) $$ Учитывая, что (triangle xrightarrow 0Leftrightarrow x-x_0rightarrow 0Leftrightarrow xrightarrow x_0)
получаем (lim{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0).)
Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке: $$ lim{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$
Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.
п.3. Непрерывность функции на промежутке
Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).
Функция (y=f(x)) непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
График непрерывной функции – это непрерывная линия.
Кроме непрерывности, эта линия еще и «плавная», без «заломов».
При наличии заломов функция называется кусочно-непрерывной.
п.4. Односторонние пределы
Односторонний предел – это предел числовой функции при приближении к предельной точке с определенной стороны (слева или справа).
Обозначение односторонних пределов: begin{gather*} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=a – text{левый предел}\ lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=b – text{правый предел} end{gather*}
Рассмотрим гиперболу (y=frac{1}{x-2}).
 |
У этой гиперболы две асимптоты (y=0) и (x=2). Точка (x_0=2) не входит в область определения. Если мы будем приближаться к (x_0=2) слева, начав, например с 1,5, мы будем постепенно опускаться по ветке гиперболы на минус бесконечность. Т.е., левый предел: $$ lim_{xrightarrow 2-0}frac{1}{x-2}=-infty $$ |
Если же мы будем приближаться к (x_0=2) справа, начав, например с 2,5, мы будем постепенно подниматься по ветке гиперболы на плюс бесконечность. Т.е., правый предел: $$ lim_{xrightarrow 2+0}frac{1}{x-2}=+infty $$ Левый и правый пределы в точке (x_0=2) для данной гиперболы не равны: $$ lim_{xrightarrow 2-0}frac{1}{x-2} ne lim_{xrightarrow 2+0}frac{1}{x-2} $$
Теперь рассмотрим параболу (y=x^2-2)
Областью определения параболы является вся числовая прямая (xinmathbb{R})
 |
В этом случае, если приближаться к (x_0=2) слева, мы получаем: $$ lim_{xrightarrow 2-0}(x^2-2)=2 $$ И если приближаться (x_0=2) справа, мы тоже получаем: $$ lim_{xrightarrow 2+0}(x^2-2)=2 $$ Левый и правый пределы равны: $$ lim_{xrightarrow 2-0}(x^2-2) =lim_{xrightarrow 2+0}(x^2-2) $$ |
Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если одновременно выполняются следующие три условия:
1) точка (x_0) принадлежит области определения функции (xin D);
2) левый и правый пределы в точке (x_0) равны и конечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) =lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0}f(x)=aneinfty $$ 3) предел функции в точке (x_0) равен значению функции в этой точке: $$ lim_{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$
Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.
п.5. Классификация точек разрыва
Точка (x_0) будет точкой разрыва для функции (y=f(x)), если выполняется хотя бы одно из условий:
1) точка (x_0) не принадлежит области определения функции (xnotin D);
2) левый и правый пределы в точке (x_0) не равны или бесконечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) nelim_{xrightarrow x_0 +0}f(x) text{или} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) =lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=pminfty $$ 3) предел функции в точке (x_0) не совпадает со значением функции в этой точке: $$ lim_{xrightarrow x_0}f(x)ne f(x_0) $$
| Точки разрыва | 1-го рода Односторонние пределы существуют и конечны |
Устранимые Односторонние пределы равны между собой, но не равны (f(x_0)) |
| Неустранимые (скачок) Односторонние пределы не равны между собой |
||
| 2-го рода Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует |
п.6. Точки разрыва первого рода
Устранимые точки разрыва 1-го рода
Левый и правый пределы в точке (x_0) равны и конечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0}f(x)=aneinfty $$ НО:
либо точка (x_0) НЕ принадлежит области определения функции (xnotin D);
либо предел НЕ равен значению функции в точке (x_0): (lim_{xrightarrow x_0}f(x)ne f(x_0))
Например:
 |
(y=frac{x^2-4}{x-2}, x_0=2) Эта функция эквивалентна системе $$ y=frac{x^2-4}{x-2} Leftrightarrow begin{cases} y=x+2\ xne 2 end{cases} $$ При этом (lim_{xrightarrow 2-0}(x+2)=lim_{xrightarrow 2+0}(x+2)=4) В точке (x_0=2notin D) функция имеет устранимый разрыв. |
Разрыв можно устранить (функцию можно «склеить»), отдельно задав «гладкое» значение в особой точке: $$ y= begin{cases} frac{x^2-4}{x-2}, xne 2\ 4, x=2 end{cases} $$ В таком случае система станет эквивалентна всей прямой, т.е. станет непрерывной функцией: $$ y= begin{cases} frac{x^2-4}{x-2}, xne 2\ 4, x=2 end{cases} Leftrightarrow y=x+2 $$
Неустранимые точки разрыва 2-го рода (скачок)
Левый и правый пределы в точке (x_0) конечны, но не равны: $$ begin{cases} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=aneinfty\ lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=bneinfty\ ane b end{cases} $$ Такой разрыв также называют скачком.
Величина скачка рассчитывается по формуле: $$ triangle y=lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)- lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=b-a $$
Например:
 |
(y= begin{cases} x+1, xlt 2\ 3-x^2, xgeq 2 end{cases} , x_0=2) Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}f(x)= lim_{xrightarrow 2-0}(x+1)=3\ lim_{xrightarrow 2+0}f(x)= lim_{xrightarrow 2+0}(3-x^2)=-1 end{gather*} Пределы не равны, но конечны. Функция в точке (x_0=2) делает скачок вниз. Величина скачка: $$ triangle y=-1-3=-4 $$ |
п.7. Точки разрыва второго рода
В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.
Например:
 |
(y=e^frac1x, x_0=0)
(x_0=0ne D) – точка не входит в ОДЗ Точка (x_0=0) – точка разрыва второго рода. |
На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».
п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность
На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.
п.9. Примеры
Пример 1. Исследуйте функцию на непрерывность:
a) ( y=frac{x+3}{x-1} )
ОДЗ: (x-1ne 0Rightarrow xne 1)
(x_0=1notin D) – точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 1-0}frac{x+3}{x-1}=frac{1-0+3}{1-0-1}=frac{4}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 1+0}frac{x+3}{x-1}=frac{1+0+3}{1+0-1}=frac{4}{+0}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=1) – точка разрыва 2-го рода.
б) ( y=frac{x}{sqrt{x+2}-2} )
ОДЗ: ( begin{cases} x+2geq 0\ sqrt{x+2}-2ne 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} xgeq -2\ sqrt{x+2}ne 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} xgeq -2\ xne 2 end{cases} )
(x_0=-2) – левая граница ОДЗ
(x_1=2notin D)- точка не входит в ОДЗ
Точки (x_0) и (x_1) – подозрительные на разрыв
Исследуем (x_0=-2). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}frac{x}{sqrt{x+2}-2} – text{предел не существует}\ lim_{xrightarrow 2+0}frac{x}{sqrt{x+2}-2}=frac{-2+0}{sqrt{-2+0+2}-2}=frac{-2}{-2}=1 end{gather*} Один из односторонних пределов не существует.
Точка (x_0=-2) – точка разрыва 2-го рода.
Исследуем (x_1=2). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}frac{x}{sqrt{x+2}-2} =frac{2-0}{sqrt{2-0+2}-2}=frac{2}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 2+0}frac{x}{sqrt{x+2}-2}=frac{2+0}{sqrt{2+0+2}-2}=frac{2}{+0}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=2) – точка разрыва 2-го рода.
в) ( y=frac{tgx}{3x} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}frac{tgx}{3x}=frac13lim_{xrightarrow -0}frac{tgx}{x}=frac13cdot 1=frac13\ lim_{xrightarrow +0}frac{tgx}{3x}=frac13lim_{xrightarrow +0}frac{tgx}{x}=frac13cdot 1=frac13 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) – точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
г) ( y= begin{cases} x+1, xlt 3\ x^2+3, xgeq 3 end{cases} )
ОДЗ: (xinmathbb{R})
(x_0=3)- точка сшивания, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 3-0}y=lim_{xrightarrow 3-0}(x+1)=3+1=4\ lim_{xrightarrow 3+0}y=lim_{xrightarrow 3+0}(x^2+3)=3^2+3=12 end{gather*} Односторонние пределы конечны, но неравны.
Точка (x_0=3) – точка разрыва 1-го рода, неустранимый разрыв (скачок).
Величина скачка: (lim_{xrightarrow 3+0}y-lim_{xrightarrow 3-0}y=12-4=8)
Пример 2. Доопределите функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке:
a) ( y=frac{2x^3-x^2}{7x} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: (frac{2x^3-x^2}{7x}=frac{x^2(2x-1)}{7x}=frac{x(2x-1)}{7}) $$ y=frac{2x^3-x^2}{7x}Leftrightarrow y= begin{cases} frac{x(2x-1)}{7}\ xne 0 end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}frac{x(2x-1)}{7}=0, lim_{xrightarrow +0}frac{x(2x-1)}{7}=0 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) – точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: (y(0)=0).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= begin{cases} frac{2x^3-x^2}{7x}, xne 0\ 0, x=0 end{cases} $$ б) ( y=frac{1-cos4x}{x^2} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: (frac{1-cos4x}{x^2}=frac{2sin^2 2x}{x^2}=frac{2sin^2 2x}{frac{(2x)^2}{4}}=8left(frac{sin2x}{2x}right)^2) $$ y=frac{1-cos4x}{x^2}Leftrightarrow y= begin{cases} 8left(frac{sin2x}{2x}right)^2\ xne 0 end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}8left(frac{sin2x}{2x}right)^2=8cdot 1=8, lim_{xrightarrow +0}8left(frac{sin2x}{2x}right)^2=8cdot 1=8 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) – точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: (y(0)=8).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= begin{cases} frac{1-cos4x}{x^2}, xne 0\ 8, x=0 end{cases} $$
Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.
Непрерывность функции в точке
Функция f(x) является непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x0, т.е.: limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)=f(x0)
Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.
Дана функция f(x)=16(x-8)2-8. Необходимо доказать ее непрерывность в точке х0= 2.
Решение
В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0 =2·(хn<2). Например, такой последовательностью может быть:
-2, 0, 1, 112, 134, 178, 11516,…, 110231024,…→2
Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:
f(-2); f(0); f(1); f112; f134; f178; f11516;…; f110231024;…==8.667; 2.667; 0.167; -0.958; -1.489; -1.747; -1.874;…;-1.998;…→-2
на чертеже они обозначены зеленым цветом.
Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к -2, значит limx→2-016(x-8)2-8=-2.
Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0= 2 (хn>2). Например, такой последовательностью может быть:
6, 4, 3, 212, 214, 218, 2116,…, 211024,…→2
Соответствующая последовательность функций:
f(6); f(4); f(3); f212; f214; f218; f2116;…; f211024;…==-7.333; -5.333; -3.833; -2.958; -2.489; -2.247; -2.247; -2.124;…; -2.001;…→-2
на рисунке обозначена синим цветом.
И эта последовательность сводится к -2, тогда limx→2+016(x-8)2-8=-2.
Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f(x)=16x-82-8 в точке х0= 2, при этом limx→216(x-8)2-8=-2.
После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:
limx→2-0f(x)=limx→2+0f(x)=f(2)=16(2-8)2-8=-2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.
Покажем графически:
Ответ: Непрерывность функции f(x)=16(x-8)2-8 в заданной части доказано.
Устранимый разрыв первого рода
Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:
limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)≠f(x0)
Задана функция f(x)=x2-25x-5. Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.
Решение
Сначала обозначим область определения функции: D(f(x))⇔Dx2-25x-5⇔x-5≠0⇔x∈(-∞; 5)∪(5; +∞)
В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х0= 5. Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.
Выражение x2-25x-5 упростим: x2-25x-5=(x-5)(x+5)x-5=x+5.
Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g(x)=x+5 является непрерывной при любом действительном x, тогда:
limx→5-0(x+5)=5+5=10limx→5+0(x+5)=5+5=10
Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х0= 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.
Неустранимый разрыв первого рода
Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.
Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: limx→x0-0f(x)≠limx→x0+0f(x). Точка х0 здесь – точка скачка функции.
Задана кусочно-непрерывная функция f(x)=x+4, x<-1,x2+2, -1≤x<12x, x≥1. Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.
Решение
Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х0=-1 или в точке х0=1.
Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:
- слева от точки х0=-1 заданная функция есть f(x)=x+4, тогда в силу непрерывности линейной функции: limx→-1-0f(x)=limx→-1-0(x+4)=-1+4=3;
- непосредственно в точке х0=-1 функция принимает вид: f(x)=x2+2, тогда: f(-1)=(-1)2+2=3;
- на промежутке (-1; 1) заданная функция есть: f(x)=x2+2. Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: limx→-1+0f(x)=limx→-1+0(x2+2)=(-1)2+2=3limx→1-0f(x)=limx→1-0(x2+2)=(1)2+2=3
- в точке х0=-1 функция имеет вид: f(x)=2x и f(1)=2·1=2.
- справа от точки х0 заданная функция есть f(x)=2x. В силу непрерывности линейной функции: limx→1+0f(x)=limx→1+0(2x)=2·1=2
Ответ: в конечном счете мы получили:
- limx→-1-0f(x)=limx→-1+0f(x)=f(-1)=3 – это означает, что в точке х0=-1 заданная кусочная функция непрерывна;
- limx→-1-0f(x)=3, limx→1+0f(x)=2 – таким образом, в точке х0=1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).
Нам остается только подготовить чертеж данного задания.
Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)
Функция имеет разрыв второго рода в точке х0, когда какой-либо из пределов слева limx→x0-0f(x) или справа limx→x0+0f(x) не существует или бесконечен.
Задана функция f(x)=1x. Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.
Решение
Запишем область определения функции: x∈(-∞; 0)∪(0; +∞).
Найдем пределы справа и слева от точки х0= 0.
Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х0 слева. К примеру:
-8; -4; -2; -1; -12; -14;…; -11024;…
Ей соответствует последовательность значений функции:
f(-8); f(-4); f(-2); f(-1); f-12; f-14;…; f-11024;…==-18;-14; -12; -1; -2; -4;…; -1024;…
Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда limx→0-0f(x)=limx→0-01x=-∞.
Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х0 справа. К примеру: 8; 4; 2; 1; 12; 14;…; 11024;…, и ей соответствует последовательность значений функции:
f(8); f(4); f(2); f(1); f12; f14;…; f11024;…==18; 14; 12; 1; 2; 4;…; 1024;…
Эта последовательность – бесконечно большая положительная, а значит limx→0+0f(x)=limx→0+01x=+∞.
Ответ: точка х0= 0 – точка разрыва функции второго рода.
Проиллюстрируем:
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.
Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.
Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.
Определение точки разрыва
Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:
Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:
- первый род;
- второй род.
Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.
К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.
Классификация точек разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:
- Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.
-
Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.
- Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.
Как найти точки разрыва функции
Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.
Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² – 25)/(y – 5):
- Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
- Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
- Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.
Видео
Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x) называется непре-
рывной в точке x0 , если:
1)эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;
2)существует предел lim f (x) ;
→x0
|
3) этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е. lim f (x) = f (x0 ) . |
||
|
x→x0 |
||
|
Последнее условие равносильно условию lim |
y = 0 , где x = x − x0 – при- |
|
|
x→0 |
||
|
ращение аргумента, y = f (x0 + |
x) − f (x0 ) – приращение функции, соответст- |
|
|
вующее приращению аргумента |
x , т.е. функция |
f (x) непрерывна в точке x0 |
тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя непрерывность. Функция y = f (x) называется непрерыв-
ной слева в точке x0 , если она определена на некотором полуинтервале (a; x0 ]
и lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 −0
Функция y = f (x) называется непрерывной справа в точке x0 , если она оп-
ределена на некотором полуинтервале [x0 ;a) и lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 +0
|
Функция y = f (x) |
непрерывна в точке x0 |
тогда и только тогда, когда она |
||||||
|
непрерывна |
слева |
и |
справа |
в |
этой |
точке. |
При |
этом |
|
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) . |
||||||||
|
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
x→x0 |
Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x) называется
непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точке x этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функция y = f (x) называется не-
прерывной на отрезке [a;b], если она
237
1)непрерывна в каждой точке интервала (a;b);
2)непрерывна справа в точке a ;
3)непрерывна слева в точке b .
Точки разрыва функции. Точка x0 , принадлежащая области определения функции y = f (x) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется
точкой разрыва данной функции, если f (x) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:
1) Если существуют конечные пределы lim f (x) = f (x0 −0) и
x→x0 −0
|
lim |
f (x) = f (x0 + 0) , причем не все три числа f (x0 −0) , f (x0 + 0) , |
f (x0 ) равны |
|
x→x0 +0 |
||
|
между собой, то x0 |
называется точкой разрыва I рода. |
|
|
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x0 |
равны меж- |
|
|
ду |
собой, но |
не равны значению функции в этой точке: |
f (x0 −0) = f (x0 + 0) = A ≠ f (x0 ) , то x0 называется точкой устранимого разрыва.
В этом случае, положив f (x0 ) = A, можно видоизменить функцию в точке x0
так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности). Разность f (x0 + 0) − f (x0 −0) называется скачком функции в точке x0 .
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.
2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов f (x0 −0) и f (x0 + 0) .
Свойства функций, непрерывных в точке.
|
1) Если |
функции |
f (x) |
и g(x) непрерывны в точке x0 , то функции |
|
f (x) ± g(x) , |
f (x)g(x) и |
f (x) |
(где g(x) ≠ 0 ) также непрерывны в точке x . |
|
g(x) |
0 |
||
2)Если функция u(x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u) непрерывна
вточке u0 = u(x0 ) , то сложная функция f (u(x)) непрерывна в точке x0 .
238
3) Все основные элементарные функции (c , xa , ax , loga x , sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x , cosec x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x ) непрерывны в каж-
дой точке своих областей определения.
Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f (x) определе-
на и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда для любого числа C , заключенного
между числами f (a) и f (b) , ( f (a) < C < f (b) ) найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) =C .
2) (теорема Больцано – Коши) Пусть функция f (x) определена и непре-
рывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения различных знаков.
Тогда найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) = 0 .
3) (1-я теорема Вейерштрасса) Пусть функция f (x) определена и непре-
рывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
4) (2-я теорема Вейерштрасса) Пусть функция f (x) определена и непре-
|
рывна на отрезке |
[a;b]. Тогда эта функция достигает на отрезке [a;b] |
своего |
||||
|
наибольшего |
и |
наименьшего |
значений, т.е. |
существуют |
такие |
точки |
|
x1, x2 [a;b], |
что |
для любой |
точки x [a;b] |
справедливы |
неравенства |
f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) .
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функция y = 3x2 + 2x −5 непрерывна в произвольной точке x0 числовой оси.
Решение: 1 способ: Пусть x0 – произвольная точка числовой оси. Вы-
числим сначала предел функции f (x) при x → x0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:
239
|
lim f (x) = lim(3x2 + 2x −5) = 3(lim x)2 + 2 lim x −5 = 3x 2 |
+ 2x |
−5. |
|||||
|
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
0 |
0 |
||
|
Затем вычисляем значение функции в точке x : f (x ) = 3x 2 |
+ 2x |
−5 . |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
Сравнивая полученные результаты, видим, |
что |
lim f (x) = f (x0 ) , что согласно |
|||||
|
x→x0 |
определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x0 .
|
2 способ: Пусть |
x – приращение аргумента в точке x0 . Найдем соот- |
|||
|
ветствующее |
приращение |
функции: |
y = f (x0 + x) − f (x0 ) = |
|
|
3(x + x)2 + 2(x + x) −5 −(3x 2 + 2x −5) |
||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
= 6x x + ( x)2 |
+ 2 x = (6x + 2) x + ( x)2 . |
|||
|
0 |
0 |
|||
|
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу- |
||||
|
мента |
стремится |
к |
нулю: |
|
lim |
y = lim (6x + 2) |
x + ( x)2 = (6x + 2) lim |
x + ( lim x)2 = 0 . |
||
|
x→0 |
x→0 |
0 |
0 |
x→0 |
x→0 |
Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность
x→0
функции для любого x0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В
случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
1)f (x) = 1 − x2 при x <3 ;
5x при x ≥ 3
2)f (x) = x2 + 4x +3 ;
x+1
|
5 |
|||||
|
3) |
f (x) = |
; |
|||
|
x4 (x − 2) |
|||||
|
4) |
f (x) = arctg |
1 |
. |
||
|
(x −5) |
Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-
вая ось (−∞;+∞). На интервалах (−∞;3), (3;+∞) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точке x = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
240
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:
f (3 −0) = lim (1 − x2 ) =1 −9 =8;
x→3−0
f (3 + 0) = lim 5x =15.
x→3+0
|
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3 |
– точка |
||||
|
разрыва I |
рода |
функции |
f (x) . Скачок функции в |
точке |
разрыва |
|
f (3 + 0) − f (3 −0) =15 −8 = 7 . |
|||||
|
Заметим, |
что |
f (3) = 5 3 =15 = f (3 + 0) , поэтому в точке |
x = 3 |
функция |
f(x) непрерывна справа.
2)Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = −1, в которой она не определена. Преобразуем выражение для f (x) , разложив числитель
|
дроби на множители: |
f (x) = |
x2 |
+ 4x +3 |
= |
(x +1)(x +3) |
= x +3 при x ≠ −1. |
|
|
x +1 |
x +1 |
||||||
|
Найдем односторонние пределы функции в точке x = −1: |
|||||||
|
lim |
f (x) = lim |
f (x) = lim(x +3) = 2 . |
|||||
|
x→−1−0 |
x→−1+0 |
x→−1 |
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = −1 – точка устранимо-
|
го разрыва функции f (x) = |
x2 |
+ 4x +3 |
. График функции представляет собой |
|
x +1 |
|||
прямую y = x +3 с «выколотой» точкой M (−1;2) . Чтобы функция стала непре-
рывной, следует положить f (−1) = f (−1 −0) = f (−1+ 0) = 2 .
Таким образом, доопределив f (x) по непрерывности в точке x = −1, мы получили функцию f * (x) = x +3 с областью определения (−∞;+∞).
3)Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек
x= 0 , x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0 :
241
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-
|
ко отрицательные значения, то f (−0) = lim |
5 |
= −∞ = f (+0) |
, т.е. точка |
||
|
x4 |
(x − 2) |
||||
|
x→−0 |
|||||
|
x = 0 является точкой разрыва II рода функции |
f (x) . |
Рассмотрим теперь точку x = 2 :
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-
|
ваемой точки и положительные – справа, поэтому |
f (2 −0) = |
lim |
5 |
= −∞, |
|||
|
x4 (x − 2) |
|||||||
|
x→2−0 |
|||||||
|
f (2 + 0) = lim |
5 |
= +∞. Как и в предыдущем случае, в точке x = 2 |
функ- |
||||
|
x4 |
(x − 2) |
||||||
|
x→2+0 |
ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.
|
4) Данная |
функция |
терпит |
разрыв |
в |
точке |
x = 5 . |
При |
этом |
||||||||||
|
f (5 −0) = lim arctg |
1 |
= − |
π , f (5 + 0) = lim arctg |
1 |
= |
π |
, т.е |
x = 5 |
– точ- |
|||||||||
|
(x −5) |
(x −5) |
2 |
||||||||||||||||
|
x→5−0 |
2 |
x→5+0 |
||||||||||||||||
|
ка разрыва |
I |
рода. |
Скачок |
функции |
в |
данной |
точке |
равен |
||||||||||
|
f (5 + 0) − f (5 −0) = |
π −(− |
π ) =π (см. рис. 5.2). |
||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
у |
||||||||||||||||||
|
π |
||||||||||||||||||
|
2 • |
||||||||||||||||||
|
0 |
•1 |
• |
||||||||||||||||
|
х |
||||||||||||||||||
|
π |
5 |
|||||||||||||||||
|
− |
• |
|||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||
|
Рис.5.2. |
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функции f (x) в
каждой точке x0 R :
242
|
а) f (x) = c = const ; |
б) f (x) = x ; |
||
|
в) f (x) = x3 ; |
г) f (x) = 5x2 − 4x +1; |
||
|
д) f (x) = sin x . |
|||
|
5.175. Доказать, что функция |
f (x) = x2 |
+1 при x ≥ 0, |
является непрерывной на |
|
1 при x < 0 |
|||
|
всей числовой оси. Построить график этой функции. |
|||
|
5.176. Доказать, что функция |
f (x) = x2 |
+1 при x ≥ 0, |
не является непрерывной |
|
0 при x < 0 |
в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции f (x) .
|
−x2 + x +1 при x ≤ |
1 |
, |
||
|
5.177. Доказать, что функция f (x) = |
1 |
2 |
не является непре- |
|
|
2x + 2 при x > |
||||
|
2 |
|
рывной в точке x = |
1 |
, но непрерывна слева в этой точке. Построить график |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
функции f (x) . |
||||||||||||||
|
5.178. Построить графики функций |
||||||||||||||
|
а) y = |
x +1 |
; |
б) y = x + |
x +1 |
. |
|||||||||
|
x +1 |
x +1 |
|||||||||||||
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?
5.179. Указать точку разрыва функции
|
sin x |
, при x ≠ 0 |
||
|
x |
. |
||
|
y = |
|||
|
2, |
при x = 0 |
||
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?
243
1
5.180. Указать точку разрыва функции y = 2x и определить ее род. Найти lim y
x→±∞
и построить эскиз графика функции. Какие условия непрерывности в точке разрыва не выполнены?
Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. Построить гра-
фик данной функции.
|
5.181. f (x) = − |
6 . |
5.182. f (x) = tg x . |
||||||||||||
|
x |
||||||||||||||
|
5.183. f (x) = |
4 |
. |
5.184. f (x) = |
1 |
. |
|||||||||
|
4 |
− x2 |
1 |
||||||||||||
|
1 + 2x |
||||||||||||||
|
5.185. f (x) = arctg |
a |
. |
5.186. f (x) = |
x3 |
− x2 |
. |
||||||||
|
x |
− a |
2 |
x − |
1 |
||||||||||
|
Найти точки разрыва функции |
f (x) и определить их род. В случае разрыва |
первого рода найти скачок функции в точках разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию « по непрерывности».
|
5.187. f (x) = |
1 |
. |
5.188. f (x) = |
1 |
|
|
x3 |
− x2 |
1 |
|||
|
21−x +1 |
|||||
1
|
3 |
−1 |
|||||||||||||||
|
5.189. f (x) = |
x−2 |
. |
||||||||||||||
|
3 |
1 |
+1 |
||||||||||||||
|
x−2 |
||||||||||||||||
|
2x +5 при x < −1, |
||||||||||||||||
|
5.191. f (x) = |
1 |
при x > −1 |
. |
|||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||
|
π |
≤ x |
≤ |
π |
, |
||||||||||||
|
cos x при − |
2 |
4 |
||||||||||||||
|
5.193. f (x) = |
. |
|||||||||||||||
|
π |
2 |
π |
||||||||||||||
|
2 |
− |
при |
≤ x ≤π |
|||||||||||||
|
x |
16 |
4 |
||||||||||||||
|
5.195. f (x) = |
1 |
. |
||||||||||||||
|
1 |
1−x |
|||||||||||||||
|
−e |
5.190. f (x)
5.192. f (x)
5.194. f (x)
5.196. f (x)
x + 2
= arctg(x + 2) .
=1 − xsin 1x .
= (1 + x)n −1 , n N . x
tg xarctg 1
= x −3 . x(x −5)
244
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
