Результаты, представленные ниже, получены мной, когда я ещё учился в школе, в 11-м классе (1998-1999 гг.). Мне тогда показалось странным, что в учебниках математики (по крайней мере, в тех, которые мне доводилось видеть) такая функция как модуль у(x)=|x| не совсем заслужено обделена вниманием в том смысле, что для неё не указаны её производная и первообразная, а потому мной и была предпринята попытка исправить ситуацию.
Производная модуля
Пусть у(x)=|x|. Покажем двумя способами, что при x≠0 (в точке x=0 функция модуля недифференцируема)
Первый способ:
Рассмотрим функцию у=|x| (x≠0). Дадим аргументу x приращение Δx и согласно определению производной найдём предел отношения приращения функции |x+Δx| – |x| к приращению аргумента Δx при Δx→0, воспользовавшись известным тождеством
Итак:
Второй способ:
Для вычисления производной модуля воспользуемся тождеством
Функцию модуля в этом случае можно рассматривать как сложную функцию f(g(x)). Исходя из правила вычисления производной сложной функции можно записать:
Интеграл модуля
Для вычисления первообразной функции у=|x| докажем сначала справедливость следующего равенства при x≠0:
Доказательство:
q.е.d.
Далее, согласно формуле для интегрирования по частям (u=u(x), v=v(x)):
Пусть u=|x|, v=x, тогда:
Первообразная функции (модуля) оказалась выраженной через свою же первообразную. Так как две первообразные функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную C, то последнее полученное равенство следует записать в таком виде:
откуда (C – произвольная постоянная):
В качестве варианта практического применения формулы вычислим через интеграл площадь S заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке:
Нетрудно видеть, что из геометрических соображений она должна составлять S = 2,5. Согласно же полученной формуле для интеграла модуля:
p.s.: Примечательно, что результат получился верным, при этом внутри интервала интегрирования есть точка x=0, в которой функция модуля не имеет производной. Хотелось бы в комментариях увидеть мнение математиков по поводу изложенного в данной заметке.
Источник (URL): http://shurichimik.narod.ru/consideration/04module/module.htm
Перечень публикаций на канале
Нет. И не так тоже. |f(x)|=f(x)*sign f(x). Нужно разбить отрезок [a;b] на участки знакопостоянства (там, где sign f(x) = const). На каждом таком участке, если f(x)<0, то берем интеграл от -f(x) и, соответственно, получим первообразную -F(x), если f(x) > 0, то F(x). Ну и нуль нам не интересен. Итого получим, F(x) * sign f(x). Что, заметьте, отличается от |F(x)| = F(x) * sign F(x). В качестве примера можно взять x3 на участке от -1 до 1. Получим |x4/4| на [-1;1] (и ответ 0) и мой результат: -x4/4, если x на [-1;0) и x4/4 на [0;4). И ответ 1/2. В правильности моего ответа можно легко убедиться, нарисовав соответствующий рисунок.
Добавлено через 3 минуты
Сообщение от Qazan
Ответом будет F(|a|)+F(|b|) верно
Если не ошибаюсь (не проверял), то контр примером к этому должна служить синусоида на достаточно большом интервале, скажем, от 0 до 4 пи.
Добавлено через 1 минуту
Сообщение от cmath
Если не ошибаюсь
Не ошибаюсь. Так и есть.
Добавлено через 6 минут
Конечный ответ получим в виде суммы:
(xk-1;xk) – интервалы знакопостоянства f(x), x0=a, xn=b
|
|
Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
|
15/12/16 |
Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье и при вычислении
|
|
|
|
 |
09.02.2017, 10:00 
столкнулся с интегралом от модуля, с которыми раньше не работал. После вдумчивого раскуривания учебника от Ильина и Садовничего родил такое решение, но не знаю, верное ли оно:
|
Mikhail_K |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
||
26/01/14 |
Объясните, как именно совершён переход от интеграла по Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок — 09.02.2017, 10:10 — родил такое решение, но не знаю, верное ли оно Решение, про которое Вы не знаете, верное ли оно, просто по определению не может быть верным.
|
||
|
|
|||
|
![$[-pi,pi]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/0/73064caa415c5b3b6750a636bdb7978182.png "$[-pi,pi]$")
к сумме (или разности) интегралов по ![$[-pi,0]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/5/8257581b0afee0fc5996fb05404d9fda82.png "$[-pi,0]$")
и ![$[0,pi]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/8/2385bc03c71e0b4fd8db3bac2e36c7f282.png "$[0,pi]$")
.
, а не какой-нибудь другой точкой? Что в этой точке такого особенного?|
Doctor |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
|
15/12/16 |
И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок Потому что эта точка делит его на две равные части? Объясните, как именно совершён переход от интеграла по Исключительно по аналогии, да и тут на форуме видел такой способ. Не совсем понял – решение ошибочное?
|
|
|
|
|
|
Mikhail_K |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
||
26/01/14 |
Потому что эта точка делит его на две равные части? Исключительно по аналогии Ну, мне понятно, что “вдумчивого раскуривания” учебника в Вашем случае не было. и поэтому не может вызывать сомнений. Давайте решать с начала. Последуйте вот этому совету: Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по
|
||
|
|
|||
|
|
Doctor |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
|
15/12/16 |
Mikhail_K , пожалуй, впредь воздержусь от чтения Ваших комментариев. Не нужно рассказывать мне, что я понимаю или не понимаю, я сразу написал, что с такими интегралами не сталкивался, так что оправдываться не буду. Единственный вопрос, который я задал – верное ли решение ? Да или нет , если нет – иду разбираться сам дальше. Меня интересует мнение о правильности решения, а не о моих способностях или о том, что считать правильным.
|
|
|
|
|
|
ewert |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
||
11/05/08 |
|||
|
|
|||
|
|
Xaositect |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
||
06/10/08 |
Неверно, первая ошибка в раскрытии модуля в отрицательной области.
|
||
|
|
|||
|
|
Doctor |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
|
15/12/16 |
ewert , Xaositect , что можно сказать о таком варианте? Сильно не пинайте
|
|
|
|
|
![$int_{-pi}^{pi}2+left | x right |dx = int_{-pi}^{pi}2dx+int_{-pi}^{pi}left | x right |dx = left.begin{matrix}
pi\
-pi
end{matrix}right|2x+left.begin{matrix}
pi\
-pi
end{matrix}right|frac{xleft | x right |}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/6/ad625795af75acd018e1e93a396d19f882.png "$int_{-pi}^{pi}2+left | x right |dx = int_{-pi}^{pi}2dx+int_{-pi}^{pi}left | x right |dx = left.begin{matrix}
pi\
-pi
end{matrix}right|2x+left.begin{matrix}
pi\
-pi
end{matrix}right|frac{xleft | x right |}{2}$")
|
Mikhail_K |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
||
26/01/14 |
что можно сказать о таком варианте? Ну бессмысленны такие гадания. — 09.02.2017, 11:13 — Если же рассматривать Ваш второй вариант, то можете ли Вы объяснить, почему неопределённый интеграл от — 09.02.2017, 11:16 — Но даже во втором варианте решения я бы лучше заметил, что второй из интегралов – это интеграл от чётной функции по симметричному относительно нуля промежутку. Вместо того чтобы явно выписывать первообразную. Это какой-то корявый подход.
|
||
|
|
|||
|
на первом из этих отрезков и чему на втором?
?|
SomePupil |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
|
07/01/15 |
Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье Эх, до каких вершин Вы дошли
И подумайте над вопросом И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок
|
|
|
|
|
до сАмого Жана Батиста. Жозефа! А маленький, коварный минус все так и норовит Вам мешать заниматься высшими материями. Поглядите сюда внимательнее:
|
Doctor |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
|
15/12/16 |
Поглядите сюда внимательнее: Мысли есть, да боюсь высказывать – опять будете тыкать пальцами: “Опять угадайка, ай, дурачок!”. И подумайте над вопросом Думал. Предположения высказал, больше их нет. Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл.
|
|
|
|
|
|
Mikhail_K |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
||
26/01/14 |
Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл. Здесь не нужно знать раздел высшей математики. И да, Вы конечно можете игнорировать сообщения всех, кто хочет Вам помочь, но на данном форуме принят именно такой вид помощи. В данной теме Вам даны необходимые подсказки даже в большем количестве, чем требуется. — 09.02.2017, 12:01 — Мысли есть, да боюсь высказывать – опять будете тыкать пальцами: “Опять угадайка, ай, дурачок!”. Есть разница между угадайкой и обоснованными мыслями.
|
||
|
|
|||
|
|
bot |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
||
21/12/05 |
Mikhail_K, пожалуй, впредь воздержусь от чтения Ваших комментариев. Не нужно рассказывать мне, что я понимаю или не понимаю Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл Хм, с названием раздела ВМ затрудняюсь, боюсь что это проходят задолго до ВМ, … некоторые мимо. А Гугл можно трясти вопросом: что такое модуль? Там и содержится ответ на вопрос, который задал Mikhail_K и который так задел Ваше достоинство. ewert в сообщении #1191014 писал(а): Ошибка цитирования. Это писал ТС, а ewert писал, что это неверно.
|
||
|
|
|||
|
|
Doctor |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
|
15/12/16 |
А если у Вас есть обоснованные мысли, не бойтесь их высказывать. Скажем, такие:
|
|
|
|
|
и диапазон интегрирования симметричен относительно нуля, то можно считать, что мы ищем удвоенный определённый интеграл от 
. Или, всё же, их сумму с первоначальными диапазонами.|
Mikhail_K |
Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
|
||
26/01/14 |
|||
|
|
|||
|
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
