Абсцисса как найти 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 79

Декартова система координат на плоскости

Перечень рассматриваемых вопросов:

• прямоугольная система координат;
• координатная плоскость;
• координатная ось, координата точки;
• изображение точек с действительными координатами на плоскости.

Тезаурус

Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.

Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Положительное направление на осях указывается стрелкой.

Точку пересечения осей называют началом координат.

Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.

Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.

Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A₁, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A₂. Координату точки A₁ на оси x называют абсциссой точки A. Координату точки A₂ на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.

Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).

Важно!

х – первая координата

у – вторая координата

Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.

Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:

– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;

– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.

То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

Алгоритм построения точки на координатной плоскости

Построим точку А(3; 6).

Введём прямоугольную систему координат.

На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).

Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.

Точка их пересечения – искомая точка.

В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.

С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.

D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.

F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.

H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.

O(0; 0) – начальная точка системы координат.

В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.

В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.

В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).

Найти:

1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;

2) координаты середины отрезка AB.

Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.

Шаг 2. Проводим прямую АВ.

Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:

М (1; 0), N (0; – 1).

Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).

Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).

Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки

(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).

Математика 5-6 класс

10 баллов

как найти абсциссу и ординату точки на координатной плоскости?

Влад Тихонов

15.07.2019 15:46:22

Чтобы найти абсциссу, нужно по оси x выбрать то число, которое указано в координатах на первом месте. Чтобы найти ординату, нужно по оси y выбрать то число, которое указано в координатах на втором месте.

Все предметы

Рейтинг пользователей

• Калькуляторы
• Справочник
• Словарь

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Как найти координаты точки

Поддержать сайт

Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат

О чем эта статья:

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
• Ось ординат Oy — вертикальная ось.
• Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
• Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• верхний правый угол — первая четверть I;
• верхний левый угол — вторая четверть II;
• нижний левый угол — третья четверть III;
• нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

• Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
• Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
• Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число x_M равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу x_M. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число x_M — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки M_x на Ох, а M_y на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения M_x и M_y.Тогда у точки M_x на оси Оx есть соответствующее число x_M, а M_y на Оу — y_M. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (x_M, y_M), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это x_M, ордината М — это y_M.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (x_M, y_M) имеет соответствующую точку на плоскости.

Как найти абсциссу точки окружности

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
• Ось ординат Oy — вертикальная ось.
• Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
• Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• верхний правый угол — первая четверть I;
• верхний левый угол — вторая четверть II;
• нижний левый угол — третья четверть III;
• нижний правый угол — четвертая четверть IV;

• Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
• Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
• Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
   точка С (0, 2).
2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
   точка F (3, 0).
3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
   перед 4 стоит знак минус.
2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA₁ и AA₂ на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A₁ на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A₂ на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 .

(1)

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.

9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Решение задач

Вы­яс­ни­те, какие из дан­ных урав­не­ний яв­ля­ют­ся урав­не­ни­я­ми окруж­но­сти.

Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты цен­тра и ра­ди­ус каж­дой окруж­но­сти.

а)

б)

в)

г) ;

д)

Рас­смот­рим каж­дое урав­не­ние в от­дель­но­сти.

а) – окруж­ность,

б) – окруж­ность,

в)
Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

урав­не­ние не яв­ля­ет­ся урав­не­ни­ем окруж­но­сти.

г) .
Вы­де­лим пол­ный квад­рат:
– окруж­ность,

д)
Вы­де­лим пол­ный квад­рат:
– окруж­ность,

На окруж­но­сти, за­дан­ной урав­не­ни­ем , най­ди­те точки

а) с абс­цис­сой –4; б) с ор­ди­на­той 3.

Ре­ше­ние: по­стро­им окруж­ность с цен­тром (0;0) ра­ди­у­са 5 (рис. 1).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а) Ко­ор­ди­на­ты точек окруж­но­сти с абс­цис­сой –4 яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы:

По­лу­ча­ем точку и точку

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

б) Ко­ор­ди­на­ты точек окруж­но­сти с ор­ди­на­той 3 яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы:

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

По­лу­ча­ем точку и ту же самую точку

Ответ: .

За­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти ра­ди­у­са r с цен­тром в точке А, если

а)

б)

в)

г)

а) Окруж­ность
Ответ:

б) Окруж­ность .
Ответ:

в) Окруж­ность
Ответ:

г) Окруж­ность
Ответ:

На­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, про­хо­дя­щей через точку

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Най­дем ра­ди­ус, как рас­сто­я­ние ОВ:

За­пи­шем урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром О(0;0):

Для кон­тро­ля про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ют ли по­лу­чен­но­му урав­не­нию ко­ор­ди­на­ты точки В:

зна­чит, точка В лежит на окруж­но­сти.

Ответ:

На­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точку А(1;3), если из­вест­но, что центр окруж­но­сти лежит на оси абс­цисс, а ра­ди­ус равен 5.

Сколь­ко су­ще­ству­ет таких окруж­но­стей?

Дано: А(1;3) – точка окруж­но­сти,

Найти: урав­не­ние окруж­но­сти (С; r=5).

Ре­ше­ние: центр ис­ко­мой окруж­но­сти уда­лен от точки А(1;3) на рас­сто­я­ние 5, зна­чит, он лежит на окруж­но­сти с цен­тром в точке А(1;3) ра­ди­у­са 5, но он еще лежит и на оси Ох. По­стро­им окруж­ность (А(1;3); r=5) (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Точек, удо­вле­тво­ря­ю­щих нашим усло­ви­ям, на оси Ох две:

Для опре­де­ле­ния ко­ор­ди­нат этих точек со­ста­вим си­сте­му:

За­пи­шем урав­не­ния ис­ко­мых окруж­но­стей:

окруж­ность (

окруж­ность ( и по­стро­им эти окруж­но­сти (рис. 6):

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: две окруж­но­сти.

На­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через две за­дан­ные точки и В(0;9), если из­вест­но, что центр окруж­но­сти лежит на оси ор­ди­нат.

Дано: окруж­но­сти ;

oкруж­но­сти .

за­пи­сать урав­не­ние окруж­но­сти.

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

За­пи­шем урав­не­ние окруж­но­сти так как окруж­ность про­хо­дит через точки А и В, то их ко­ор­ди­на­ты удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию окруж­но­сти:

Под­ста­вим най­ден­ные зна­че­ния в урав­не­ние.

Ответ:

На­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке А(6;0), про­хо­дя­щей через точку В(-3;2).

Дано: А(6;0) – центр,

окруж­но­сти.

Найти: урав­не­ние окруж­но­сти.

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На­хо­дим ра­ди­ус как рас­сто­я­ние АВ:

За­пи­шем урав­не­ние окруж­но­сти:

Ответ:

Заключение

Итак, мы рас­смот­ре­ли серию задач по теме «Окруж­ность» и в каж­дой за­да­че ис­поль­зо­ва­ли урав­не­ние окруж­но­сти.

На сле­ду­ю­щем уроке мы вы­ве­дем урав­не­ние пря­мой.

Как найти абсциссу и ординату точки на числовой окружности

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0). Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный – оси y. Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Любая точка числовой окружности с координатами (x; y) не может быть меньше -1, но не может быть больше 1:  ; 

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности. Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2П) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат. Начальная точка – это 2П (крайняя правая точка на оси х, равная 1). Как вы знаете, 2П – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1П или П. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется П. Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это П, то половина полуокружности – это П/2. Одновременно П/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у, равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3П/2.

Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соs t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.
Если М(t) = М(х;у), то х = cost, у = sint.

Определение. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t.

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-abstsissu-tochki-okruzhnosti

http://matematika-ru.1gb.ru/9.html

[/spoiler]

Пояснительная записка.

Данные уроки являются первым этапом, на котором учащиеся знакомятся с
системой координат. На изучение данной темы программой отводится 6 часов
(представляю разработку двух уроков), в результате дети должны получить
первоначальное представление о “прямоугольной системе координат”, познакомиться
с такими понятиями, как “абсцисса” и “ордината”, “координаты точки”, научиться
записывать координаты точки, отмеченной в системе координат, и, наоборот,
отмечать в системе координат точку, координаты которой указаны. Назначение этой
темы в 6 классе – облегчить переход к изучению алгебры.

Цель: создать условия для формирования первоначального представления о
“прямоугольной системе координат” и умений ориентироваться на координатной
плоскости через организацию работы со слайдами, с последующим использованием
знаний в проверочной работе и для успешного перехода к изучению алгебры.

Задачи:

1. Способствовать формированию навыков работы на координатной плоскости.
2. Способствовать овладению основными понятиями по данной теме.
3. Способствовать формированию нравственных качеств личности, уважительного
   отношения к мнению одноклассников, умения оказывать помощь друг другу в ходе
   работы.
4. Способствовать развитию творческих способностей, математической речи,
   внимания, логического мышления, познавательного интереса.
5. Способствовать воспитанию интереса к предмету, прилежания,
   ответственности.

Методическое оснащение урока:

Материально-техническая база:

• компьютер;
• экран;
• проектор.

Дидактическое обеспечение:

• рабочая тетрадь;
• слайды.

Методы обучения:

• словесный (объяснение, беседа, рассказ);
• иллюстративный (компьютер, презентация);
• практический (решение задач).

Предполагаемый результат:

• знать понятия “прямоугольная система координат”, “абсцисса”, “ордината”,
  “координаты точки”;
• уметь записывать координаты точки, отмеченной в системе координат, и,
  наоборот, отмечать в системе координат точку, координаты которой указаны.

Урок 1.

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Мотивация	Приветствие учащихся. Укажите из своей жизненной практики, где положение объекта задается при помощи чисел. А как вы узнаете свое место в классе? Определите ряд и парту. Не только в классе нужно знать два числа, чтобы попасть на свое место, но и на координатной плоскости надо знать числа, чтобы найти определенную точку. Прочитайте тему урока. (Презентация. Слайд 1)	Ответы учащихся на поставленный вопрос. Читают тему. Записывают в тетрадях число, тему урока.
Целеполагание	Что бы вы хотели узнать по данной теме? Сегодня мы должны узнать все о прямоугольной системе координат, выяснить как работать в данной системе, изучить термины, решать задачи по данной теме.	Ответы учащихся на поставленный вопрос. Принятие цели.
Планирование	– А теперь давайте подумаем, как мы построим свою работу на уроке?	Ответы учащихся на поставленный вопрос.
Реализация планов	1. На экране изображен радар, в котором один из секторов отмечен голубым цветом. – Какие суда сейчас находятся в зоне особого внимания? – А как точно определить их место нахождение, т.е. координаты? На этот вопрос мы ответим в конце урока. 2. Исторические сведения. Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: долготу и широту – и обозначить их числами. Во 2 веке н. эры древнегреческий астроном Клавдий Птолемей уже пользовался долготой и широтой в качестве географических координат. (Слайд 3) В XVII веке французские математики Рене Декарт и Пьер Ферма впервые открыли значение использования координат в математике. Описание применения координат дал в книге “геометрия” в 1637 году Р.Декарт, и поэтому прямоугольную систему координат часто называют декартовой. Слова “абсцисса”, “ордината”, “координаты” первым начал использовать в конце XVII века Готфрид Вильгельм Лейбниц. (Слайд 4) 3. Парой чисел называются два числа, о которых известно, какое из них первое, а какое – второе. Пару чисел, в которой первым числом является х, вторым – у, записывают так: (х;у). Правило на стр.134. (Слайд 5) 4. Разберем пример 2 стр.134-136 (Сайд 6) 5. Определение прямоугольной системы координат. (Слайд 7) 6. Построение координатной плоскости, обозначение. (Слайд 8) 7. Определения осей координат. (Слайд 9). Определение стр. 137. 8. Обозначение на координатной плоскости. (Слайд 10) 9. Определение абсциссы, ординаты точки, координат точки. (Слайд 11), правило стр.137. 10. Происхождение терминов. (Слайд 12) 11. Как определить координаты точки? Работа по слайду 13. 12. Как правильно записать координаты точки? (слайд 14) 13. Повторим все о координатной плоскости. (слайд 15) Вопросы: – Как называется горизонтальная ось? Вертикальная ось? – В какой точке пересекаются оси? – Как называется эта точка? – Две перпендикулярные числовые прямые с общим началом О, образуют …………… – На координатной плоскости отмечена точка М. Определите абсциссу точки М, ординату точки М. – Как называется пара чисел, которой характеризуется точка плоскости? 14. Откройте рабочие тетради на странице 62, № 26.1 (слайд 16). Прочитайте задание, самостоятельно заполните пропуски. 15. Проверим выполненное вами задание. Учащиеся 1го ряда по цепочке зачитывают восстановленный текст задания. – Кто справился с заданием без ошибок? – Кому следует еще раз внимательно прочитать текст учебника? 16. Разберем пример 3 страница 137 по учебнику.(слайд 17).	Зрительное восприятие слайда Суда А и Д. Зрительное восприятие слайда Зрительное восприятие слайда Зрительное восприятие слайда Чтение правила по учебнику стр.134. Анализ правила. Чтение и разбор примера 2. Зрительное восприятие слайда Зрительное восприятие слайда, выполняют построение в тетрадях. Зрительное восприятие слайда. Чтение определения. Часть 1, стр.137 Зрительное восприятие слайда Зрительное восприятие слайда, чтение правила 2 часть, стр.137 Зрительное восприятие слайда Зрительное восприятие слайда, делают вывод. Зрительное восприятие слайда, чтение правила стр. 137 Зрительное восприятие слайда, ответы учащихся на поставленные вопросы. Зрительное восприятие слайда, работа в тетради карандашом самостоятельно. Проверка задания с карандашом и резинкой. Слушают, исправляют допущенные ошибки. Учащихся поднимают руку. Чтение с комментированием, обзор рисунка. Вывод.
Рефлексия	Вернемся к заданию, с которого мы начинали наш урок. Давайте определим координаты судов по радару и запишем эти координаты себе в тетрадь. Каждый это выполняет сам. (слайд 18). – Кто уверен, что он правильно определил и записал координаты судов, поднимите руки? – А кто сомневается? – А кто не смог сам записать координаты точек? – Назовите мне координаты точек, которые вы записали в тетрадь? – Кто допустил ошибку при записи? – Над чем нам еще нужно поработать, чтобы не допускать ошибок в дальнейшей работе?	Зрительное восприятие слайда, запись в тетрадях координат точек самостоятельно. Учащихся сигнализируют. Ответы учащихся на поставленные вопросы.
Домашнее задание	§ 26. прочитать, выучить термины, правила, № 26.1, 26.2. (слайд19)	Зрительное восприятие слайда, запись в дневниках задания.
Итог	Выставление оценок, поощрение. (слайд20)

Урок 2.

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Мотивация	Приветствие учащихся.(Презентация. Слайд 1) Как вы в домашнем задании отметили на оси абсцисс число – 3, а на оси ординат – число 2,5? (слайд 2) Как расположились точки А, В, С с абсциссой 5? (слайд 2) Все ли удалось при выполнении домашнего задания?	Ответы учащихся на поставленные вопросы.
Целеполагание	Какие цели мы поставим на этот урок? Что еще вы хотите узнать по данной теме? Сегодня мы продолжим знакомство с прямоугольной системе координат, будем учиться отмечать точки на координатной плоскости и определять координаты заданных точек.	Ответы учащихся на поставленный вопрос. Принятие цели.
Планирование	– А теперь давайте подумаем, как мы построим свою работу на уроке?	Ответы учащихся на поставленный вопрос.
Реализация планов	1.Давайте подумаем, как правильно отметить точку на координатной плоскости. Знакомство с правилом страница 137 (слайд 3). 2. Разобрать пример 4 страница 138 (слайд 4). 3. Задание: построить точки С и N по заданным координатам С (-6; 2) и N (5; -6) (слайд 5). Проверьте, правильно ли вы расставили точки? Кто ошибся в ходе выполнения задания? Какую ошибку вы допустили? Что нужно учесть в дальнейшей работе? 4. Координатная плоскость делится на четыре части. Каждая из частей называется четвертью. Номера четвертей рассмотрим на слайде(слайд 4). 5. Задание: Найдите координаты точек Е, В, D (слайд 6). 6. Проверьте, правильно ли вы определили координаты точек? Кто ошибся в ходе выполнения задания? Какую ошибку вы допустили? Что нужно учесть в дальнейшей работе? 7. Задание: постройте точки С, D, Е по заданным координатам. С (3; -2); D (-3; 0); Е (0;5) (слайды 7,8,9). 8. Проверьте, правильно ли вы отметили точки на координатной плоскости? Кто ошибся в ходе выполнения задания? Какую ошибку вы допустили? Что нужно учесть в дальнейшей работе? 9. Рассмотрите внимательно следующий слайд, на котором отмечено 12 точек. Работая в парах, определите координаты каждой точки и распределите их соответственно четверти (слайд 10). 10. Проверим, как вы справились с работой. Назовите, точки которые находятся в первой четверти, назовите их координаты. (во второй, в третьей, четвертой). 11. Работа по учебнику (слайд 11). № 26.4; 26.5; 26.9. № 26.4, 26.5 (самостоятельно) № 26.9 с объяснением у доски.	Чтение правила по учебнику стр.137. Анализируют пример 4. Работа выполняется в парах. Проверка работы по слайду. Ответы учащихся на поставленный вопрос. Зрительное восприятие слайда, запись в тетрадях координатных четвертей. Зрительное восприятие слайда, запись в тетрадях координат точек (самостоятельно) Проверка работы по слайду. Ответы учащихся на поставленные вопросы. Зрительное восприятие слайда, построение в тетрадях точек по координатам (самостоятельно). Проверка работы по слайду. Ответы учащихся на поставленные вопросы. Зрительное восприятие слайда. Работа в парах. Проверка работы по вопросам учителя. Группы отчитываются по очереди.
Рефлексия	Задание: 1) У вас на столах лежат листочки, на которых построена координатная плоскость. Подпишите свой лист и карандашом отметьте произвольно 10 точек, обозначив их буквами латинского алфавита. 2) Обменяйтесь листочками с соседом по парте. 3) Запишите радом с фамилией соседа свою фамилию, а внизу запишите координаты тех точек, которые отметил ваш товарищ. 4) Обменяйтесь листочками и проверьте, правильно ли ваш товарищ определил координаты отмеченных вами точек. 5) Если вы согласны со всеми ответами – оценка 5. Допущена 1 – 2 ошибки – оценка 4. Допущено 3 – 4 ошибки – оценка 3. Если допущено более 4 ошибок, значит, с работой не справился. Следует повторить материал. – Что вызвало затруднения в ходе работы? – Над чем еще надо поработать на следующем уроке?	Построение точек на листах. Работа в парах. Запись координат точек. Взаимопроверка. Оценивание работы товарища. Листы с выполненной работой сдают на проверку учителю. Ответы учащихся на поставленные вопросы.
Домашнее задание	§ 26, № 26.21	Записывают задание в дневниках.
Итог	Выставление оценок, поощрение. (слайд20)