Абсолютная погрешность как найти примеры

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

1. Шкала измерительного прибора
2. Цена деления
3. Виды измерений
4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
5. Абсолютная погрешность серии измерений
6. Представление результатов эксперимента
7. Задачи

п.1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

п.3. Виды измерений

Вид измерений

Определение

Пример

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Составляющие погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$

Если величина (a_0) – это истинное значение, а (triangle a) – погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

• определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
• определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то

• абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$

• абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$

Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:

• относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$

• относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$

Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:

• относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности

$$ delta_{a^2}=2delta_a $$

• относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности

$$ delta_{a^3}=3delta_a $$

• относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна

$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	(triangle=frac{b-a}{n+1}), мл
1	20	40	4	(frac{40-20}{4+1}=4)
2	100	200	4	(frac{200-100}{4+1}=20)
3	15	30	4	(frac{30-15}{4+1}=3)
4	200	400	4	(frac{400-200}{4+1}=40)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем (V_0), мл	Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл	Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%})
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями  0,5 см  и линейка с
делениями  1 мм. В обоих случаях получен результат  3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины  3,5
см  от истинной, не
должно по модулю превышать  0,5 см, во втором случае 
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае  ∆l = 0,5  и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1  и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата  А4  равна  (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно  (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной  погрешности не
превышает  1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает  0,1 см на  29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 
1 км 
на  650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата  А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах. 

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь  14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины 
b 
стекла и длины  l  книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до  0,1,

l ≈ 100 с
точностью до  0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит  0,1. Однако  0,1  составляет
существенную часть числа  0,4  и
ничтожную часть числа  100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что  b ≈ 0,4  с точностью до  0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит  0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит  25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до  25%,
а во втором – с относительной точностью до  0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в  1
см,  при измерении длины отрезков  10
см  и  10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны  10%  и  0,1%. Для
отрезка длиной в  10 см  погрешность
в  1
см  очень велика, это ошибка в  10%. А для десятиметрового отрезка  1 см  не имеет значения, эта ошибка всего в   0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало  3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает  50
г. Относительная погрешность не превосходит 

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять  50 г, а за предельную относительную погрешность  1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность 
100 г, 150 г  и вообще всякое
число, большее чем  50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число  4,78  без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет  0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой  δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой  а, 

Понятия приближенных значений известны науке с древнейших времен. После открытия пифагорейцами иррациональных чисел приближенными вычислениями стали заниматься более серьезно. Но понятие само погрешности появилось лишь в XV веке.

Как определить

Приближенное значение определяется следующим образом:

Число а называется приближенным значением некоторого числа А, если его значение несколько отклоняется от значения А. При этом:

• если а < А, то а – это приближение по недостатку;
• если а > А, то а – это приближение по избытку.

Разность между числом А и его приближенным значением а называют ошибкой или погрешностью. Ошибку приближенной величины а обозначают как Δа:

Δа = А — а

Модуль разности между величиной и ее приближенным значением называется абсолютной погрешностью. Ее часто обозначают греческой буквой Δ:

Δ = |А — а|

Запись приближенного результата при этом имеет вид:

а ± Δ

В простейших случаях, когда значение величины А известно точно, абсолютная погрешность вычисляется просто. Рассмотрим такой пример:

Пусть точное значение А = 2/625 = 0,0032, а его приближенное значение а = 0,003.

В этом случае абсолютная погрешность будет:

Δ = |0,0032 — 0,003| = 0,0002

Но на практике такие простые задачи встречаются редко. Гораздо чаще точное значение А вообще неизвестно. В этих случаях абсолютная погрешность определяется при помощи разных способов, в зависимости от условий конкретной задачи.

Если речь идет об измерениях, то под абсолютной погрешностью понимают разность между показаниями измерительного прибора и истинным значением величины.

Связь абсолютной и предельной абсолютной погрешностей

Как уже говорилось, в большинстве случаев точное значение величины А нам неизвестно. Это означает, что точное значение абсолютной погрешности найти просто невозможно, и приходится лишь оценивать ее каким-то числом, которое называют предельной абсолютной погрешностью Δа. При этом справедливо неравенство:

Δа > Δ = |А — а|

Предельная абсолютная погрешность может иметь бесконечное количество значений. Ведь если нам удалось оценить какое-то значение Δа, то все числа, которые больше него, тоже будут удовлетворять определению предельной абсолютной погрешности. Для решения практических задач нужно стараться найти минимальное значение Δа.

Относительная погрешность

Если внимательно проанализировать определения, то становится очевидно, что ни абсолютная погрешность, ни предельная абсолютная погрешность не могут хорошо характеризовать точность, с которой выполнены измерения или вычисления. Например, если мы вычисляем или измеряем расстояние от Земли до Солнца, то абсолютная погрешность в 1 метр – это ничтожно мало. Но если мы измеряем рост человека, то точно такая же абсолютная погрешность в 1 м – это недопустимо много.

Оценить насколько «хороша» полученная абсолютная погрешность позволяет величина, называемая относительной погрешностью δ. Она равна отношению абсолютной погрешности к модулю самой величины:

δ = Δ / |А|

Аналогично определяется предельная относительная погрешность:

δа = Δа / |А|

Относительные погрешности часто вычисляются в процентах, то есть:

δ = Δ / |А| * 100%

Простейшие примеры вычисления погрешностей

Рассмотрим несколько наглядных примеров определения погрешностей.

Пример 1

Дано значение числа А = 0,2656. Округлить его до трех значащих цифр, вычислить абсолютную и относительную погрешности.

Решение:

А = 0,2655.

Приближенное значение: а = 0,266.

Абсолютная погрешность: Δ = |А — а| = |0,2655 – 0,266| = 0,0005.

Относительная погрешность: δ = Δ / |А| * 100% = 0,0005/0,2655*100 = 0,188%.

Ответ: Δ = 0,0005; δ = 0,188%.

Пример 2

Даны значение числа А = 5,8650 и его относительная погрешность δ = 2%. Найти абсолютную погрешность.

Решение:

δ = Δ / |А| * 100%, следовательно

Δ = А * δ / 100 = 5,8650 * 2 / 100 = 0,1173.

Ответ: Δ = 0,1173.

Пример 3

Расстояние А = 12,5 км было измерено с точностью до 5 м, а расстояние В = 10 м было измерено с точностью до 1 см. Какое из этих измерение является более качественным?

Дано:

А = 12,5 км = 12500 м;

ΔА = 5 м;

В = 10 м = 1000 см;

ΔВ = 1 см.

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, нам нужно сравнить относительные погрешности измерений. Имеем:

δА = ΔА / |А| * 100% = 5 / 12500 * 100 = 0,04%.

δВ = ΔВ / |А| * 100% = 1 / 1000 * 100 = 0,1%.

Так как δВ > δА, то качество измерения расстояния В ниже, чем качество измерения расстояния А.

Ответ: Измерение расстояния А является более качественным.

Об абсолютной и относительной погрешности в видео:

О том как найти процент от числа читайте на нашем сайте по ссылке.

Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях

1. Абсолютная погрешность

Оценить отклонение
каждого из результатов измерения от
истинной величины можно лишь при наличии
данных большого числа измерений с
использованием теории вероятности.
Однако на практике, в лабораторных
условиях проводят 3-5 измерений. В этом
случае абсолютная погрешность отдельного
i-го
измерения будет следующей:

|DА_i|
= |А_СР
– А_i|,

где
А_СР
– средняя величина размера А. Средняя
арифметическая величина всех ½DА_i½
значений

называется
абсолютной погрешностью опыта.
Окончательный результат изме­рения
может быть записан в виде

А = А_СР
±
DА_СР,

где
А – искомая величина, которая лежит
внутри интервала

А_СР
±
DА_СР.

Н

14

апример, если сделаем несколько
измерений длины заготовки в столярной
мастерской и получим среднее значение
l_СР
= 75.5 см, а среднее
арифметическое абсолютной погрешности
l_СР
= 0.3 см, то результат
запишется в виде

l
= (75.5 ± 0.3) см.

Это
означает, что истинное значение длины
заготовки лежит в интервале от 75.2 см до
75.8 см. При этом не имеет смысла вычислять
среднее значение с большим числом знаков
после запятой, так как от этого точность
не увеличивается.

2. Относительная погрешность

Абсолютная
погрешность измерения не характеризует
точности проведенных измерений. Поэтому
для того, чтобы сравнить точность
различных измерений и величин разной
размерности, находят среднюю относительную
погрешность результата (Е_А).
Относительная погрешность определяется
отношением абсолютной погрешности к
среднему арифметическому значению
измеряемой величины, которая определяется
в процентах:

Е_А=100%.

Относительная
погрешность показывает, какая часть
абсолютной погрешности приходится на
каждую единицу измеренной величины.
Это дает возможность оценить точность
проведенных измерений, качество работы.

Так,
например, пусть при измерении бруска
длиной l
= 1.51 см была допущена абсолютная
погрешность 0.03 мм, а при измерении
расстояния от Земли до Луны L
= 3.64^.10⁵
км абсолютная погрешность составила
100 км. Может показаться, что первое
измерение выполнено намного точнее
второго. Однако о точности измерения
можно судить по относительной погрешности,
а она показывает, что второе измерение
было выполнено в семь раз точнее первого:

E_l
=

100% = 0.2%

и
Е_L
=
100%
= 0.03%.

Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях

В
большинстве случаев при выполнении
физических экспериментов исследуемая
величина не может быть измерена
непосредственно, а является функцией
одной или нескольких переменных,
измеренных непосредственно. При косвенных
измерениях абсолютная и относительная
погрешности результатов измерений
находятся вычислением через абсолютные
и относительные погрешности непосредственно
измеренных величин.

Использование формул дифференцирования

Для
определения абсолютных и относительных
погрешностей искомой величины при
косвенных измерениях можно воспользоваться
формулами дифференцирования, потому
что абсолютная ошибка функции равна
абсолютной ошибке аргумента, умноженной
на производную этой функции, то есть
полному дифференциалу функции.

Рассмотрим
это более подробно. До­пустим, что
физическая величина А является функцией
многих переменных:

A
= f
(x,
y,
z
…).

Правило
I. Вначале
находят абсолютную погрешность величины
А, а затем относительную погрешность.
Для этого необходимо:

1) Найти полный
дифференциал функции

.

2

16

) Заменить бесконечно малые dx, dу,
dz, … соответствующими абсолютными
ошибками аргументовDx,
Dy,
Dz,
… (при этом знаки “минус” в абсо­лютных
ошибках аргументов заменяют знаками
“плюс”, так чтобы величина ошибки
была максимальной):

.

Применяя
это правило к частным случаям, получим:

–
абсолютная погрешность суммы равна
сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Если X
= a
+ b,
то DX
= Da
+ Db;

–
абсолютная погрешность разности равна
сумме абсолютных погрешностей
уменьшаемого и вычитаемого. Если X
= a
– b,
то DX
= Da
+ Db;

–
абсолютная погрешность произведения
двух сомножителей равна сумме произведений
среднего значения первого множителя
(a_CP)
на абсолютную погрешность второго и
среднего значения второго множителя
(b_CP)
на абсолютную погрешность первого. Если
X
= а 
b,
то DX
= a_CP

Db
+ b_CP

Dа.
Если X
= a ⁿ
, то DX
= n 
а_CP^n-1

Dа;

–
абсолютная погрешность дроби равна
сумме произведения знаменателя на
абсолютную погрешность числителя и
числителя на абсолютную погрешность
знаменателя, деленной на квадрат
знаменателя. Если X
=,
то DX=.

3) По определению
найдем относительную погрешность

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  12.02.2015183.3 Кб27Пример работы по теме ПЕРЕСКАЗ.doc

• #