Адь окружности как найти

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

D = 2r

Формулы длины окружности

Формулы площади круга

1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:

r² = x² + y²

2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

r² = (x – a)² + (y – b)²

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

{	x = a + r cos t
y = b + r sin t

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.

Основные свойства секущих

Длина хорды

Основные свойства хорд

Основные свойства углов

Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = πr180°∙ α

Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)

S = πr²360°∙ α

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одного из основных геометрических объектов – окружности. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти ее радиус, диаметр и длину.

Определение окружности

Окружность – это замкнутая кривая на плоскости, состоящая из точек, равноудаленных от определенной точки. Данная точка называется центром окружности.

Радиус окружности (R) – это отрезок, соединяющий любую точку, лежащую на окружности, с ее центром.

Диаметр  окружности (d) – это линия (хорда), проходящая через центр окружности и соединяющая две противоположные точки, лежащие на ней.

Примечание: Не стоит путать окружность с кругом, т.к. круг – это множество точек плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности).

Свойства окружности

Свойство 1

Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.

Свойство 2

Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.

Свойство 3

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область с самой большой площадью.

Формулы

1. Диаметр окружности (d):

2. Длина окружности (С):

3. Радиус окружности (R):

Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом  расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.

Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство ( Длина отрезка равна радиусу окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности ().

Длина окружности:

Площадь круга:

Дуга окружности:

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда  стягивает две дуги: и . Равные хорды стягивают равные дуги.

Угол между двумя радиусами называется центральным углом:

Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:

а) угол дан в градусах:

Отсюда

б) угол дан в радианах:

Отсюда

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:

Если  хорды и окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой равны между собой:

Касательная к окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к  точке касания.

Если из данной точки  проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных  равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:

Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной  равен произведению  всего отрезка секущей на его внешнюю часть:

Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть:

Углы в окружности.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:

∠ ⌣

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом.  Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

∠∠

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

∠∠∠

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

∠∠∠

Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна

∠∠

∠∠∠

Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:

Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.

∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )

Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.

∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )

 Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле

,

здесь — полупериметр многоугольника, — радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

∠+∠=∠+∠

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:

Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:

Где — длины сторон треугольника, — его площадь.

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

Радикальная ось — прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей.
Линия центров окружностей — прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Теорема 1.

Доказательство:

1) Рассмотрим (triangle BMN) и (triangle AMN): они равны по трем сторонам ((BM=AM=R_1, BN=AN=R_2) — радиусы первой и второй окружностей соответственно). Таким образом, (angle BNM=angle ANM), следовательно, (MN) — биссектриса в равнобедренном (triangle ANB), следовательно, (MNperp AB).

2) Отметим произвольную точку (O) на радикальной оси и проведем касательные (OK_1, OK_3) к первой окружности и (OK_2, OK_4) ко второй окружности. Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то (OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OBcdot OA).

Теорема 2.

Доказательство:

1) Т.к. (BA) и (BK_1) — две касательные, проведенные к первой окружности из одной точки, то отрезки касательных равны: (BA=BK_1). Аналогично, (BA=BK_2). Таким образом, (BA=BK_1=BK_2).

2) Значит, (BA) — медиана в (triangle K_1AK_2), равная половине стороны, к которой она проведена. Значит, (angle A=90^circ).

Теорема 3.

Доказательство:

1) Проведем через точку (A) общую касательную этих окружностей (OQ). (angle OAC_2=angle QAC_1=alpha) как вертикальные. Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle
OAC_2=frac12buildrelsmileover{AC_2}), (angle
QAC_1=frac12buildrelsmileover{AC_1}). Следовательно, (buildrelsmileover{AC_1}=buildrelsmileover{AC_2}=2alpha). Таким образом, (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2=alpha). Значит, по двум углам (triangle AB_1C_1sim triangle AB_2C_2).

2) Т.к. (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2), то прямые (B_1C_1parallel
B_2C_2) по накрест лежащим углам при секущей (B_1B_2).

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: [ACcdot BD=ABcdot CD+BCcdot AD]

Доказательство

Т.к. (angle ACB=angle ADB) (опираются на одну и ту же дугу), то по двум углам (triangle OBCsim triangle ABD). Значит: [dfrac{OC}{AD}=dfrac{BC}{BD} Rightarrow ADcdot BC=OCcdot BDphantom{00000000000} (1)]

Т.к. (angle BAC=angle BDC) (опираются на одну и ту же дугу), (angle ABO=angle CBD) (состоят из равных по построению (оранжевых) углов и общего угла (angle DBO)), то по двум углам (triangle
ABOsim triangle BDC). Значит: [dfrac{AO}{DC}=dfrac{AB}{BD} Rightarrow ABcdot CD=AOcdot BD phantom{00000000000} (2)]

Сложим равенства ((1)) и ((2)): (ADcdot BC+ABcdot CD=OCcdot
BD+AOcdot BD=ACcdot BD), чтд.

Формула Эйлера:

Пусть (R) — радиус описанной около треугольника (ABC) окружности, (r) — радиус вписанной окружности. Тогда расстояние (d) между центрами этих окружностей вычисляется по формуле: [{large{d^2=R^2-2Rr}}]

Доказательство:

а) Предположим, что (dne 0). Пусть (O, Q) — центры описанной и вписанной окружности соответственно. Проведем диаметр описанной окружности (PS) через точку (Q). Проведем также биссектрисы углов (angle A, angle B) — (AA_1, BB_1) соответственно (заметим, что они пересекутся в точке (Q), т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис). Хорды (PS) и (BB_1) пересекаются, следовательно, отрезки этих хорд равны: (PQcdot QS=BQcdot QB_1).

Т.к. (OP=OS=R, OQ=d), то последнее равенство можно переписать в виде ((R-d)(R+d)=BQcdot QB_1 (*)).

Заметим, что т.к. (AA_1, BB_1) — биссектрисы, то (buildrelsmileover{AB_1}=buildrelsmileover{B_1C}=x,
buildrelsmileover{CA_1}=buildrelsmileover{A_1B}=y). Т.к. угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними, то:
(angle AQB_1=frac12(x+y)).

С другой стороны, (angle
B_1AA_1=frac12big(buildrelsmileover{B_1C}+buildrelsmileover{CA_1}big)=frac12(x+y))

Таким образом, (angle AQB_1=angle B_1AA_1). Следовательно, (triangle QB_1A) — равнобедренный и (B_1Q=B_1A). Значит, равенство ((*)) можно переписать как:
(R^2-d^2=BQcdot AB_1 (**)).

Проведем еще один диаметр описанной окружности (B_1B_2). Тогда (triangle B_1AB_2) — прямоугольный ((angle A) опирается на диаметр). Пусть также вписанная окружность касается стороны (AB) в точке (K). Тогда (triangle BKQ) — прямоугольный.
Заметим также, что (angle KBQ=angle AB_2B_1) (т.к. они опираются на одну и ту же дугу).
Значит, (triangle B_1AB_2sim triangle BKQ) по двум углам, следовательно:

(dfrac{KQ}{AB_1}=dfrac{BQ}{B_1B_2} Rightarrow
dfrac{r}{AB_1}=dfrac{BQ}{2R} Rightarrow BQcdot AB_1=2Rr).

Подставим это в ((**)) и получим:

(R^2-d^2=2Rr Rightarrow d^2=R^2-2Rr).

б) Если (d=0), т.е. центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то (AK=BK=sqrt{R^2-r^2} Rightarrow AB=2sqrt{R^2-r^2}). Аналогично (AC=BC=AB=sqrt{R^2-r^2}), т.е. треугольник равносторонний. Следовательно, (angle A=60^circ Rightarrow angle
KAO=30^circ Rightarrow r=frac12R Rightarrow R=2r) или (0=R^2-2Rr) (т.е. в этом случае формула также верна).

Теорема о бабочке:

Доказательство:

Проведем перпендикуляры (XX_1, YY_2perp
MN, XX_2, YY_1perp KP).
Следующие углы равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу: (angle
PMO=angle NKO, angle MPO=angle KNO).
Следующие углы равны, т.к. вертикальные: (angle XOX_1=angle YOY_2,
angle XOX_2=angle YOY_1).

Следующие прямоугольные треугольники подобны:

1) (triangle XX_1Osim triangle YY_2O Rightarrow
dfrac{XO}{YO}=dfrac{XX_1}{YY_2})

2) (triangle XX_2Osim triangle YY_1O Rightarrow
dfrac{XO}{YO}=dfrac{XX_2}{YY_1})

3) (triangle MXX_1sim triangle KYY_1 Rightarrow
dfrac{XX_1}{YY_1}=dfrac{MX}{KY})

4) (triangle PXX_2sim triangle NYY_2 Rightarrow
dfrac{XX_2}{YY_2}=dfrac{PX}{NY})

Из 1) и 2) следует, что

(dfrac{XO^2}{YO^2}=dfrac{XX_1cdot XX_2}{YY_1cdot YY_2})

Из 3) и 4) следует, что

(dfrac{XX_1cdot XX_2}{YY_1cdot YY_2}=dfrac{MXcdot PX}{KYcdot
NY})

Совместив последние два равенства, получим:

(dfrac{XO^2}{YO^2}=dfrac{MXcdot PX}{KYcdot NY})

Заметим, что для пересекающихся хорд (AB) и (MP): (AXcdot
XB=MXcdot PX). Аналогично (AYcdot YB=KYcdot NY). Значит:

(dfrac{XO^2}{YO^2}==dfrac{AXcdot XB}{AYcdot YB})

Обозначим (OX=x, OY=y, OA=OB=t Rightarrow)

(dfrac{x^2}{y^2}=dfrac{(t-x)(t+x)}{(t+y)(t-y)}=dfrac{t^2-x^2}{t^2-y^2}
Rightarrow x^2t^2-x^2y^2=y^2t^2-x^2y^2 Rightarrow x^2=y^2
Rightarrow x=y).

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

1. Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Решение:

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно,

АВ = 62°.

Ответ:

АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Ответ: ∠BDA = 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Ответ: ∠NМК = 65°.

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

AB² = AD × AC

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА ² = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА² = МВ × МС = 16 х 4 = 64

МА = √
64= 8 (см)

Ответ: MA = 8 см.

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА² = МВ × МС.

Значит:

(у + R)² : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

(у + R) : 4 = (у — R)

у = 5R : 3

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

∠АВС = ½

АВ

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½

АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Ответ:

АВ = 64°.

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠КОМ =

КМ = 168°

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Ответ: ∠ОМК = 6°.