Амплитуда смещения частиц среды как найти – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Задача 4.1.

В среде на расстоянии d друг от друга находятся одинаковые излучатели плоских акустических монохроматических волн (S₁ и S₂, рис.16). Оба излучателя колеблются по закону x=Acos(wt), где x – смещение излучателя из положения равновесия при колебаниях, A – амплитуда, w – круговая частота при колебаниях излучателя.

[image]

Рисунок 1

Исходные данные для каждого варианта задания представлены в таблице.

№ вар.	Частота n, кГц	Амплитуда А, мм	d, м	l, м	Среда	Скорость волны в среде с, м/с
2	2	0,6	0,68	20	воздух	340

Необходимо:

вывести уравнение колебаний частиц среды в т. М, находящейся на расстоянии l от второго излучателя. Считать, что направления колебаний частиц среды в т. М совпадают;
определить отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны l;
вывести уравнение колебаний скорости частиц среды. Найти амплитуду скорости частиц среды и её отношение к скорости распространения волны;
вывести уравнение колебаний деформаций частиц среды. Найти связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости частиц среды.

Решение:

Найдём уравнения двух волн, источниками которых являются и . Круговая частота равняется:

(1)

Длина волны:

(2)

Волновое число:

(3)

Выберем начало координат в точке нахождения первого источника . Тогда координата второго источника равняется . Оба источника колеблются по одинаковому закону . Поэтому уравнения двух волн источников и , распространяющихся в направлении оси ox, имеют вид:

(4)

(5)

Результирующая волна , образующаяся при наложении двух волн и , имеет вид:

(6)

Преобразуем уравнение (6) к виду:

(7)

Учитывая выражения (1) и(3), получим:

(8)

Точка M имеет координату . Поэтому уравнение колебаний в точке M имеет вид:

Таким образом, уравнение колебаний в точке M:

(9)

Подставляя числовые значения, получим:

Согласно выражению (8) амплитуда смещений частиц среды равняется:

(10)

Длина волны определяется выражением (2), поэтому отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны равняется:

(11)

Подставляя числовые значения, получим:

Найдём уравнение скорости колебаний частиц среды. Так как , тогда получим:

Таким образом, уравнение скорости колебаний частиц среды имеет вид:

(12)

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда скорости частиц среды:

(13)

Числовое значение амплитуды скорости частиц среды . Отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны в среде равняется:

(14)

Числовое значение:

Выведем уравнение деформаций частиц среды. Деформация , поэтому:

Таким образом, уравнение деформаций имеет вид:

(15)

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда деформаций равняется:

(16)

Числовое значение . Разделим выражение (13) на выражение (16) и получим:

(17)

Откуда следует, что амплитуда скорости частиц среды и амплитуда деформаций связаны следующим соотношением:

(18)

Ответ:

Уравнение колебаний частиц среды в точке M:

Отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны:

Уравнение скорости колебаний частиц среды:

Амплитуда скорости колебаний частиц среды:

Отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны в среде:

Уравнение деформаций:

Связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости колебаний частиц среды:

Сайт управляется системой uCoz

Источник

2018-05-31

Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид $chi = 60 cos (1800t – 5,3x)$, где $chi$ в микрометрах, $t$ в секундах, $x$ в метрах. Найти:

а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;

б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;

в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды.

Решение:

По условию

$xi = 60 cos (1800 t 5 cdot 3 x)$

имеет вид

$xi = a cos ( omega t – kx)$, где $a = 60 cdot 10^{-6} м$

$omega = 1800 $ в секунду и $k = 5,3$ на метр

Так как $k = frac{2 pi}{ lambda}$, $lambda = frac{2 pi}{k}$

и $k = frac{ omega}{v}$, поэтому $v = frac{ omega}{k} = 340 м/с$

(a) Искомое отношение $= frac{a}{ lambda} = 5,1 cdot 10^{-5}$

(б) Поскольку $xi = a cos ( omega t – kx)$

$frac{ partial xi}{ partial x} = – 1 omega sin ( omega t – kx)$

Таким образом, амплитуда колебаний скорости

$left ( frac{ partial xi}{ partial t} right )_{m} $ или $v_{m} = a omega = 0,11 м / с$ (1)

и искомое отношение амплитуды колебаний скорости к скорости распространения волны

$= frac{v_{m} }{v} = frac{0,11}{340} = 3,2 cdot cdot 10^{-4}$

(в) Относительная деформация $= frac{ partial xi}{ partial x} = ak sin ( omega t – kx) $

Таким образом, относительная амплитуда деформации

$= left ( frac{ partial xi }{ partial x} right )_{m} = ak = (60 cdot 10^{-6} cdot 5,3) м = 3,2 cdot 10^{-4} м$ (2)

Из уравнений (1) и (2)

$ frac{ partial xi }{ partial x}_{m} = ak = frac{a omega}{v} = frac{1}{v} frac{ partial xi }{ partial t}_{m}$

Таким образом, $frac{ partial xi }{ partial x}_{m} = frac{1}{v} frac{ partial xi }{ partial t}_{m}$, где $v = 340 м / с$ – скорость волны,

Источник

google.com/+ВикторЦекунов
Репетитор по математике, физике (Минск): Виктор Иванович.

Высшая математика и физика для студентов.
Профессиональный репетитор окажет помощь в решении задач, подготовит к экзаменам. Занятия в Серебрянке, индивидуально. (90 мин)
= 20 $.
Тел: +375(29) 127 61 86.

___________________________________________________________________________________

Оказываю
платные услуги: решение задач по физике. Оплата WebMoney.
Заказы направляйте сюда: Платные услуги

___________________________________________________________________________________

4.1.
Механические колебания.

            4.1.1. Гармонические колебания.
            4.1.2. Свободные затухающие колебания.
            4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4.2. Электрические колебания.

4.3. Упругие волны. Акустика.

4.4. Электромагнитные волны. Излучение.
_______________________________________________________________________________________________

4.1. Механические колебания. 4.1.1. Гармонические колебания.

4.1.1-1.
Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т = 12 с.
Найти время t₁ , за
которое смещение частицы изменяется от 0 до А/2.

Решение:
Т = 12 с
х(0) = 0
х(t₁) =
А/2                                           (1)
t₁ – ?
Так как начальное положение частицы х(0) = 0, то частица колеблется по закону
синуса с начальной фазой ϕ₀ = 0:
x = Asin(ωt + ϕ₀) или

x = Asinωt,                                          (2)
где ω = 2π/T –
круговая частота.
С учётом условия (1), запишем (2) в виде:
х(t₁) = Asin(ωt₁);
А/2 = Asin( (2π/T)t₁ );
1/2 = sin(2πt₁/T);    2πt₁/T = π/6. Отсюда
t₁ = T/12.
t₁
= 12/12 = 1 с.
Ответ: t₁ = T/12 = 1 c.

4.1.1-2.
Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40
см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

Решение:
R = 0,4
м
T − ?
В данном случае диск − это физический маятник, период колебаний которого
определим по формуле:

, (1)

где −

I
момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса
А (см. рис.); x = AO = R −
расстояние от точки подвеса до центра тяжести О диска; m −
масса диска; g = 9,8
м/с² − ускорение свободного падения.
Момент инерции I₀ диска относительно оси симметрии диска:
I₀ = mR²/2.
По
теореме Штейнера:
I = I₀ + mR². Имеем
I = mR²/2 + mR² = 3mR²/2. Тогда по (1)

4.1.1-3.
Материальная точка движется согласно уравнению r(t) = A(icosωt + jsinωt), где
A = 0,5
м, ω = 5
с⁻¹. Изобразите на рисунке траекторию движения. Определите модуль скорости и
модуль нормального ускорения.

Решение:
r(t) = A(icosωt + jsinωt)                                   (1)
A = 0,5
м
ω = 5
с⁻¹
v − ?
a_n − ?
Представим (1) в виде:
r(t) = iAcosωt + jAsinωt    (1*)
Радиус вектор r(t)
точки: r(t) = ix + jy, где x, y −
проекции радиус вектора соответственно на оси OX и OY; i, j −
единичные векторы (орты), направленные соответственно по оси OX и OY.
Тогда (1*) примет вид
ix + jy = iAcosωt + jAsinωt,
отсюда получим два уравнения
x = Acosωt, (*)
y = Asinωt.                                                       (**)

Возведём их в квадрат
x² = A²cos²ωt,
y² = A²sin²ωt.
Сложим эти уравнения
x² + y² = A²cos²ωt + A²sin²ωt или x² + y² = A²(cos²ωt + sin²ωt).
Отсюда, т.к. cos²ωt + sin²ωt = 1,
получим уравнение траектории движения точки
x² + y² = A².    (2)

Уравнение (2) − это уравнение окружности радиусом R = A = 0,5
м с центром в начале координат (см. рис.).
Найдём проекции скорости v_x и v_y. Для этого продифференцируем x и y из
(*) и (**) по времени t:
v_x = x_tʹ = (Acosωt)_tʹ = – Aωsinωt;
v_y = y_tʹ = (Asinωt)_{_t}ʹ = Aωcosωt.
Тогда квадрат скорости
v² = v_x² + v_y² или v² = (-
Aωsinωt)² + (Aωcosωt)² или
v² = A²ω²(sin²ωt + cos²ωt) или v² = A²ω².
Отсюда модуль скорости v:
v = Aω.                                                               (3)
v =
0,5·5 = 2,5 м/с².
Модуль нормального ускорения a_n:   a_n = v²/R или, с учётом (3) и R = A, получим a_n = A²ω²/A или
a_n = Aω².
a_n =
0,5·5² = 12,5 м/с².
Ответ: траектория − окружность радиусом R = A = 0,5
м с центром в начале координат, v = Aω = 2,5 м/с², a_n = Aω² = 12,5 м/с².

_______________________________________________________________________________________________

            4.1.2. Свободные затухающие колебания.

4.1.2-1.
Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в n = 100
за 15 с. Чему равен коэффициент затухания β?

Решение:
t = 15 c
n = 100

A = A₀/n       (*)
β – ?
Зависимость амплитуды А затухающих колебаний от времени t:
A = A₀e^–^β^t,                                        (1)
где A₀ –
начальная амплитуда; β – коэффициент затухания.
Имеем из (1) и (*):
A₀/n = A₀e^–^β^t;   1/n = e^–^β^t; e^β^t = n; βt = ln(n)
отсюда
β = ln(n)/t.
β =
ln(100)/15 = 0,307 1/c.
Ответ: β = ln(n)/t = 0,307 1/c.

4.1.2-2. Найти
логарифмический декремент затухания тонкого стержня, подвешенного за один из
его концов, если за промежуток времени t = 5
мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4·10² раз. Длина
стержня L = 50 см.Решение:
t = 5 мин = 300 с
n = 400
L = 0,5
м
λ − ?
В данном случае стержень − это физический маятник.
Логарифмический декремент затухания λ
λ = βT, (1)
где β –
коэффициент затухания, T− период колебаний стержня.

1. Найдём коэффициент затухания

β.
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² – β². (2)
ω –
частота затухающих колебаний; ω₀ – собственная частота колебаний.
Зависимость от времени t полной механической энергии Е физического маятника:
Е = E₀e^-2^βt,
где E₀ – начальная (при t = 0) полная механическая энергия.
Отсюда имеем
n = Е₀/Е = Е₀/(E₀e^-2^βt) = 1/(e^-2^βt) =
e²^βt.
Получили n = e²^βt.
Прологарифмируем это равенство Ln(n) = 2βt. Отсюда
β = Ln(n)/(2t). (3)

2. Найдём период Т затухающих колебаний.
Оценим коэффициент

β² по (3).
β = Ln(400)/(2·300)
= 0,009986, отсюда
β² = (0,009986)² ≈ 0,0000997.
Собственная частота колебаний физического маятника:

, (4)

где J = mL²/3 –
момент инерции стержня относительно оси вращения, m –
масса стержня, g – ускорение свободного падения, d = L/2 –
расстояние от точки подвеса до центра тяжести стержня.
Подставим всё в (4) и, после упрощения, получим

. (4*)

По (4*) оценим ω₀²:
ω₀² = 3·9,8/(2·0,5) = 29,9.
Так как β² << ω₀²,
то, пренебрегая β², из (2) следует ω ≈ ω₀ , поэтому период затухающих колебаний T
T = 2π/ω = 2π/ω₀ или

. (4**)
Подставим в (1) найденные β из (3) и Т из (4**) и, после упрощения, получим

= 0,01157.

4.1.2-3. Логарифмический
декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0,02.
Определите: время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20
раз; число колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.Решение:
ν = 50 Гц
λ =
0,02
n = 20
t − ?
N − ?
1. Пусть β –
коэффициент затухания; T = 1/ν – период, ν – частота колебаний. Логарифмический декремент
затухания λ:
λ = βT или λ = β/ν,
отсюда
β = λν. (1)
Амплитуда А затухающих колебаний
A = A₀·e^–βt,
где A₀ −
начальная амплитуда (при t = 0).
Подставим сюда из условия задачи A = A₀/n:
A₀/n = A₀·e^–βt,
отсюда e^βt = n и,
после логарифмирования, βt = Ln(n), отсюда
t = ( Ln(n) )/β и, с
учётом (1),
t = ( Ln(n) )/(λν).                                                  (2)

2. Число колебаний N за время t:
N = t/T = tν = (
и, с учётом (2), ) = ν( Ln(n) )/(λν) или
N = ( Ln(n) )/λ.                                                     (3)

3. Вычисления по формулам (2) и (3):
t = ( Ln(20)
)/(0,02·50) ≈ 3 с.
N = ( Ln(20)
)/0,02 ≈ 150.
Ответ: t = ( Ln(n) )/(λν) ≈ 3
с;    N =( Ln(n) )/λ ≈
150.

4.1.2-4. Составьте
дифференциальное уравнение гармонических свободных затухающих крутильных
колебаний механической системы.Решение:
Пусть
система (например, тонкий однородный диск, подвешенный в горизонтальном
положении к упругой нити) совершает крутильные колебания относительно
закреплённой оси Z (ось нити). Пусть на диск действует упругая сила,
проекция момента которой на ось Z равна
Mz = – kϕ,                                                                   (1)

где k −
постоянная, ϕ −
угол поворота из положения равновесия. Знак “минус” указывает на то, что при
отклонении системы на угол ϕ, момент упругой силы возвращает систему к положению
равновесия. Поместим диск в вязкую среду ( например, жидкость ). Момент силы
сопротивления Mc,
действующий на диск, пропорционален угловой скорости ϕʹ:
Mc = – ηϕʹ,
(2)
где η −
постоянная.
Уравнение динамики вращательного движения диска имеет вид
Iϕʹʹ = Mz + Mc,
(3)
где I –
момент инерции диска относительно оси вращения.
С учётом (1) и (2), уравнение (3) примет вид Iϕʹʹ = –
kϕ – ηϕʹ,
отсюда
ϕʹʹ + (η/I)ϕʹ + (k/I)ϕ = 0.
Применив обозначения 2β = η/I, ω₀² = k/I, перепишем последнее уравнение:
ϕʹʹ + 2βϕʹ + ω₀²ϕ = 0.
Это дифференциальное уравнение описывает затухающие крутильные колебания
механической системы.
Ответ: ϕʹʹ + 2βϕʹ + ω₀²ϕ = 0.

4.1.2-5.
Найти добротность Q осциллятора, у которого отношение резонансной частоты ω_рез
к частоте затухающих колебаний ω равно η.

Решение:
ω_рез/ω = η (*)
Q − ?
Пусть β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, T = 2π/ω −
период затухающих колебаний, λ = βT = 2πβ/ω − логарифмический декремент
затухания. Тогда добротность Q:
Q = π/λ = π/(2πβ/ω), или
Q = ω/(2β). (1)
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² – β².                               (2)
Формула для резонансной частоты ω_рез:
ω_рез² = ω₀² – 2β².                         (3)
Из (2) вычтем (3)
ω² – ω_рез² = (ω₀² – β²) – (ω₀² – 2β²), или
ω² – ω_рез² = ω₀² – β² – ω₀² + 2β², или
ω² – ω_рез² = β².                            (**)
С учётом условия (*) имеем ω_рез = ωη. Тогда (**) примет вид
ω² – ω²η² = β², или
ω²(1 – η²) = β², отсюда

Подставляя полученное выражение ω в (1), окончательно получим:

___________________________________________________________________________________

4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4.1.3-1.
Осциллятор массы m движется по закону x = Asinωt под действием вынуждающей силы
Fₓ = F₀cosωt. Найти коэффициент затухания β осциллятора.

Решение:
m,
x = Asinωt,
Fₓ = F₀cosωt,
β − ?
Установившееся смещение х(t) осциллятора при вынужденных колебаниях:
x = Acos(ωt – ϕ), (1)

где амплитуда А колебаний

(2)

(3)

ω₀ − собственная частота колебаний осциллятора,
f₀ = F₀/m. (*)
Так как по условию смещение х(t) осциллятора x = Asinωt, то из (1) следует: ϕ =
π/2
(т. к. cos(ωt – π/2) = sinωt). Тогда из (3) имеем:

или отсюда ω₀² – ω² = 0 и из (2), с учётом (*), имеем:

отсюда

4.1.3-2.
При неизменной амплитуде вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний при
частотах ω₁ = 100 с⁻¹ и ω₂ = 300 с⁻¹ оказывается одинаковой. Найти резонансную
частоту ω_рез.

Решение:
F₀ = const (амплитуда
вынуждающей
силы)
ω₁ = 100 с⁻¹
ω₂ = 300 с⁻¹
А₁ = А₂
ω_рез − ?
Амплитуда А вынужденных колебаний:

(*)

где f₀ =

F₀/m, m − масса
осциллятора, β − коэффициент затухания, ω₀ −
собственная частота колебаний, ω − частота вынужденных колебаний.
При постоянной
амплитуде вынуждающей силы F₀ (и,
следовательно, постоянной f₀) из (*) при двух разных частотах ω₁
и ω₂ получаем две амплитуды А₁ и А₂ вынужденных колебаний:

С учётом условия А₁ = А₂ , получим

Отсюда, приравнивая знаменатели и, возводя полученное равенство в квадрат,
получим
(ω₀² – ω₁²)² + 4β²ω₁² = (ω₀² – ω₂²)² + 4β²ω₂² или
ω₀⁴ – 2ω₀²ω₁²+ ω₁⁴ + 4β²ω₁² = ω₀⁴ – 2ω₀²ω₂² + ω₂⁴ + 4β²ω₂² или
– 2ω₀²ω₁²+ ω₁⁴ + 4β²ω₁² = – 2ω₀²ω₂² + ω₂⁴ + 4β²ω₂² или
2ω₀²(ω₂² – ω₁²) + (ω₁⁴ – ω₂⁴) + 4β²(ω₁² – ω₂²) = 0 или
– 2ω₀²(ω₁² – ω₂²) + (ω₁² – ω₂²)(ω₁² + ω₂²) + 4β²(ω₁² – ω₂²) = 0 и, после
деления на (ω₁² – ω₂²) ≠ 0:
– 2ω₀² + ω₁² + ω₂² + 4β² = 0. (1)
Формула для резонансной частоты ω_рез:

отсюда ω₀² = ω_рез² + 2β² и подставим в (1)
– 2(ω_рез² + 2β²) + ω₁² + ω₂² + 4β² = 0 или
– 2ω_рез² + ω₁² + ω₂² = 0, отсюда

_______________________________________________________________________________________________ 4.2. Электрические колебания.4.2-1.
Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси,
перпендикулярной направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции
этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5
раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний
пренебрежимо мало.

Решение:
T₁/T₂ = η = 5
B₂/B₁ − ?
Момент сил М, действующий на стрелку со стороны магнитного
поля
М = [B·Pm],
где Pm −
вектор магнитного момента стрелки.
Модуль момента сил
М = B·Pm·sinϕ, где ϕ –
угол между векторами B и Pm.
При малых колебаниях угол ϕ очень мал и sinϕ ≈ ϕ. Тогда
М = B·Pm·ϕ.
При повороте стрелки на угол ϕ возникает момент сил М, стремящийся вернуть стрелку в
положение равновесия, т.е. М = – B·Pm·ϕ. Если J – момент инерции стрелки относительно оси вращения,
то основное уравнение динамики вращательного движения примет вид
Jϕ’’ = M или Jϕ’’ = –
B·Pm·ϕ отсюда
ϕ’’ + (B·Pm/J)·ϕ = 0. (1)
Если ω – циклическая
частота колебаний, то сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний
ϕ’’ + ω²ϕ = 0,
получим
ω² = B·Pm/J,
отсюда
ω = √(B·Pm/J).
Тогда период T
колебаний
T = 2π/ω или
T = 2π√( J/(B·Pm) ). (2)
На основе (2) для разных B₁ и B₂ получим соответствующие T₁ и T₂
T₁ = 2π√( J/(B₁·Pm) )
T₂ = 2π√( J/(B₂·Pm) ).
Отсюда
T₁/T₂ = √(B₂/B₁) и
отсюда
B₂/B₁ = (T₁/T₂)² = η² =
25. Итак
B₂/B₁ = η² =
25.
Ответ: индукция магнитного поля увеличится в η² = 25
раз.

4.2-2. Индуктивность
катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы ток в ней имеет вид:
i = 0,4cos(1000t), где
все величины выражены в системе СИ. Определить амплитуду напряжения на катушке.

Решение:
L = 0,125 Гн
i = 0,4cos(1000t). (1)
U_m − ?
Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:
i = I_mcos(ωt). (2)
Из (1) и (2) имеем
I_m = 0,4
А − амплитуда силы тока в катушке; ω = 1000 с⁻¹− частота.
Индуктивное сопротивление катушки: XL = ωL .
По закону Ома
I_m = U_m/XL,
отсюда
U_m= XL·I_m или
U_m = ωL·I_m.
U_m
= 1000·0,125·0,4 = 50 В.
Ответ: U_m = 50 В.4.2-3. Электрический
колебательный контур состоял из последовательно соединенных катушки с
индуктивностью L = 0,8
Гн и конденсатора емкостью С. Сопротивление катушки и соединительных проводов
было равно R =
2000 Ом. После того, как часть витков в катушке замкнулась накоротко,
индуктивность ее уменьшилась в n = 7 раз, частота собственных колебаний в контуре
возросла в k = 3
раза, а коэффициент затухания этих колебаний не изменился. Определить емкость
конденсатора.Решение:
L = 0,8 Гн
R =
2000 Ом
L₂ = L/n
n = 7
ω₂ = kω
k = 3
β = const
C − ?
Коэффициент затуханий β = R/(2L).
ω и ω₂ −
начальная и конечная частоты собственных колебаний в контуре, где
ω = √(
1/(LC) – β² ) =
√( 1/(LC) – R²/(4L²) );
ω₂ = √(
1/(L₂C) – β² ) =
√( n/(LC) – R²/(4L²) ).
Возведём в квадрат равенство ω₂ = kω, получим ω₂² = k²ω² или
n/(LC) – R²/(4L²) = k²( 1/(LC) – R²/(4L²) ),
отсюда
C = 4L(k² – n)/( R²(k² – 1)
).
C =
4·0,8·(3² – 7)/( 2000²·(3² – 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.
Ответ: C = 4L(k² – n)/( R²(k² – 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.

4.2-4.
Ток в колебательном контуре зависит от времени как I = I_msinω₀t, где I_m = 9,0
мА, ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹. Ёмкость конденсатора С = 0,50 мкФ. Найти индуктивность
контура и напряжение на конденсаторе в момент t = 0.

Решение:
I = I_msinω₀t (*)
I_m = 9·10⁻³ А
ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹
С = 0,5·10⁻⁶ Ф
L − ?
U(0) − ?
1). Собственная частота ω₀ колебательного контура

, отсюда

          1
L = ––––– .                                            (1)

ω₀²C
2). Закон сохранения энергии в колебательном контуре:
LI²/2 + CU²/2 = LI_m²/2
или, с учётом (*),
L(I_msinω₀t)²/2 + CU²/2 = LI_m²/2.
Отсюда при t = 0 (т.к. sinω₀0 = 0) получим напряжение U(0) = U_m на конденсаторе
в момент времени t = 0 (

U_m − максимальное напряжение):
CU²(0) = LI_m²
и, подставляя сюда L из (1), получим

I_m²
CU²(0) = ––––– или

ω₀²C

I_m
U(0) = U_m = –––– .                                  (2)

ω₀C
Вычисления по формулам (1) и (2 ):

1
L = –––––––––––––––– = 0,001 Гн = 1 мГн.

(4,5·10⁴)²·0,5·10⁻⁶

9·10⁻³
U(0) = Um = –––––––––––––– = 0,4 В.

4,5·10⁴·0,5·10⁻⁶

_______________________________________________________________________________________________

4.3. Упругие волны. Акустика.

4.3-1.
По шнуру слева направо бежит со скоростью v
незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки О шнура
изменяется по закону y = Acos(ωt). Как зависит от времени смещение точки шнура,
находящейся правее точки О на расстоянии x от
нее?

Решение:
y = Acos( ω(t – x/v) ).
Ответ: y = Acos( ω(t – x/v) ).

4.3-2.
Уравнение плоской звуковой волны имеет вид ξ = 60cos(1800t – 5,3x). где ξ – в мкм, t – в секундах, х – в метрах.
Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду
колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения
волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и её связь с амплитудой колебаний скорости частиц среды.

Решение:
ξ = 60·10⁻⁶cos(1800t – 5,3x)
(1)
a) A/λ – ?
б) V_m – ? V_m/v – ?

в) (∂ξ/∂x)_m– ? (∂ξ/∂x)_m= f(V_m) – ?

а) Уравнение плоской синусоидальной волны
ξ = Acos(ωt – kx).
(2)
Из (1) и (2) следует
A = 60·10⁻⁶ м – амплитуда колебаний частиц среды,
ω = 1800 1/с – циклическая частота,
k = 5,3 1/м – волновое число.
k = 2π/λ, отсюда λ = 2π/k. Тогда
A/λ = A/(2π/k) или
A/λ = Ak/(2π).
A/λ =
60·10⁻⁶·5,3/(2·3,14) = 5,1·10⁻⁵.

б)

Амплитуда
колебаний скорости частиц среды
V_m = Aω. (*)
V_m =
60·10⁻⁶·1800 = 0,11 м/с. = 11 см/с.
Скорость
распространения волны
v = ω/k. (3)
Тогда ( см. (*) )
V_m/v = Aω/(ω/k) = Ak.
V_m/v = Ak.
V_m/v = 60·10⁻⁶·5,3 = 3,2·10⁻⁴.в) Относительную деформацию среды найдём дифференцируя (2) по х:
∂ξ/∂x = ( Acos(ωt – kx) )_xʹ = – Aksin(ωt – kx).

Отсюда амплитуда колебаний относительной деформации среды:
(∂ξ/∂x)_m= Ak. (**)
(∂ξ/∂x)_m= 60·10⁻⁶·5,3 = 3,2·10⁻⁴.
Связь между амплитудой колебаний относительной деформации среды (dξ/dx)_mи амплитудой колебаний скорости частиц среды V_m найдем по (*) и (**). Имеем
(dξ/dx)_m= Ak = (V_m/ω)k = V_mk/ω = ( с учётом (3) ) = V_m/v. Получили
(dξ/dx)_m= V_m/v или
V_m = v·(dξ/dx)_m,

где v = ω/k = 1800/5,3 = 340 м/с – скорость волны.

Ответ: a) A/λ = 5,1·10⁻⁵;
б) V_m = 0,11 м/с, V_m/v = 3,2·10⁻⁴;
в) (∂ξ/∂x)_m= 3,2·10⁻⁴, V_m = v·(dξ/dx)_m, где v = 340 м/с – скорость волны.

4.3-3.
Что такое амплитуда колебаний скорости частиц среды?

Решение:
Объясню
на простом примере. В озере на воде поплавок. Бросьте в воду камешек,
от него во все стороны пойдут волны. Поплавок колеблется на волнах.
Скорость колебаний поплавка − это скорость колебаний частиц среды (воды). Максимальная скорость колебаний поплавка − это амплитуда колебаний скорости частиц среды.
Амплитуда
колебаний скорости частиц среды
V_m = Aω (A –
амплитуда, ω –
циклическая частота).
Скорость распространения волны
v = ω/k (k –
волновое число).
A, ω, k
определяют из общего вида уравнения бегущей плоской синусоидальной волны
ξ = Acos(ωt – kx).

4.3-4.
Точечный изотропный источник испускает звуковые колебания с частотой ν = 1,45
кГц. На расстоянии r₁ = 5 м от источника амплитуда смещения частиц среды А₁ =
50 мкм, а в точке А, находящейся на расстоянии r₂ = 10 м от источника,
амплитуда смещения в η = 3 раза меньше А₁. Найти:
а) коэффициент затухания волны γ;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке А.

Решение:
ν = 1450 Гц
r₁ = 5 м
А₁ = 50·10⁻⁶ м
r₂ = 10 м
А₂ = А₁/η (η = 3) (*)
а) γ − ?
б) V_m − ? (в точке А)
От данного точечного источника распространяются сферические волны. Для
однородной поглощающей среды уравнение сферической волны:

(1)
где ξ − смещение частиц среды; ω = 2πν − циклическая частота; k − волновое
число.

а). Из (1) выпишем амплитуду A смещения частиц среды (множитель перед
косинусом):

A =
(A₀/r)·e⁻ᵞʳ.

Отсюда для r = r₁ и r = r₂ получаем амплитуды смещения частиц среды A₁ и A₂
соответственно
A₁ = (A₀/r₁)·e⁻ᵞ^r₁ , (**)
A₂ = (A₀/r₂)·e⁻ᵞ^r₂ . (***)
Делим (**) на (***) и, с учётом (*), получаем:

·η = (r₂/r₁)·eᵞ⁽^r₂⁻^r₁⁾ отсюда ηr₁/r₂ = eᵞ⁽^r₂⁻^r₁⁾ , отсюда, по определению логарифма, имеем

ln(ηr₁/r₂) = γ(r₂ – r₁), отсюда

γ = ln(3·5/10)/(10 – 5) ≈
0,08 м⁻¹.

б). Для нахождения скорости смещения частиц среды V найдём частную производную
по времени t от (1):

V = ∂ξ/∂t = (A₀/r)·e⁻ᵞʳ·( – ωsin(ωt–kr) ).
С учётом ω = 2πν, имеем
V =
– (2πνA₀/r)·e⁻ᵞʳ·sin(ωt-kr).
Отсюда амплитуда колебаний скорости частиц среды V_m (множитель перед синусом):

Отсюда в точке А (r = r₂) амплитуда колебаний скорости частиц среды
V_m = (2πνA₀/r₂)·e⁻ᵞ^r₂
и, с учётом (***), получим V_m = 2πνA₂. Тогда, учтя (*), окончательно получим:
V_m = 2πνA₁/η.
V_m = 2·3,14·1450·50·10⁻⁶/3 ≈ 0,15 м.

4.3-5. Плоская
звуковая волна, частота которой 100 Гц и амплитуда 5 мкм, распространяется со
скоростью 300 мс в воздухе, плотность которого равна 1,2 кгм³.
Определить интенсивность волны.Решение:
ν = 100 Гц
а = 5·10⁻⁶ м
V = 300
мс
ρ = 1,2
кгм³
I − ?
Интенсивность I
звуковой волны
I = ρа²ω²V/2 и
т.к. ω = 2πν, то
I = ρа²(2πν)²V/2.
I =
1,2·(5·10⁻⁶)²·(2·3,14·100)²·300/2 = 1,77·10⁻³ Вт/м².
Ответ: I = 1,77·10⁻³ Вт/м².

4.3-6.
Стальная струна длины l = 100 см и диаметра d = 0,50 мм даёт основной тон
частоты ν = 256 Гц. Найти силу её натяжения.

Решение:
l = 1 м
d = 0,5·10⁻³ м
ν = 256 Гц
ρ = 7800 кг/м³ (плотность стали)
F − ?
В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных
колебаний устанавливаются стоячие волны. Основной тон частоты ν колебаний
струны:
ν = V/2l, отсюда
V = 2lν, (1)
где

− фазовая скорость поперечных волн в струне.
Отсюда

F = V²ρ₁ , (2)
где ρ₁ = m/l − линейная плотность струны, m = ρV₀ − масса струны, V₀ = (πd²/4)l
= πd²l/4 − объём струны.
Имеем: ρ₁ = ρV₀/l = ρ(πd²l/4)/l = ρπd²/4. Получили
ρ₁ = ρπd²/4. (3)
Подставляя в (2) V из (1) и ρ₁ из (3), получим силу натяжения F струны
F = (2lν)²ρπd²/4, или
F = πρ(lνd)².
F = 3,14·7800· (1·256·0,5·10⁻³)² ≈ 401,3 Н.
Ответ: F = πρ(lνd)² ≈ 401,3 Н.

_______________________________________________________________________________________________

4.4. Электромагнитные волны. Излучение.

4.4-1.
Электромагнитная волна с частотой 6·10¹⁴ Гц распространяется в
стекле, показатель преломления которого 1,5. Какова скорость волны в стекле и
значение волнового числа?

Решение:
ν = 6·10¹⁴
Гц
n = 1,5
c = 3·10⁸
м/с (скорость света в вакууме)
V – ? k – ?
Скорость V волны
в стекле:
V = c/n .    (1)
Длина волны в стекле:
λ = V/ν = c/(nν).    (*)
Волновое число k:
k = 2π/λ или с
учётом (*)
k = 2πnν/с.
(2)
Вычисления по (1), (2)
V = 3·10⁸/1,5
= 2·10⁸ м/с.
k = 2·3,14·1,5·6·10¹⁴/(3·10⁸) =
1,88·10⁷ (1/м).
Ответ: V = 2·10⁸
м/с;    k =
1,88·10⁷ (1/м).

4.4-2. Определить
показатель преломления призмы из парафина , если его диэлектрическая
проницаемость Ԑ = 2 и магнитная проницаемость μ = 1.

Решение:

Ԑ = 2
μ = 1
n – ?
Показатель преломления среды
n = C/V. (1)
С – скорость света в вакууме.
Скорость света в среде
V = C/√(Ԑμ). (2)

Из (1) и (2) имеем
n = √(Ԑμ).
n =
√(2·1) = 1,41.
Ответ: n = 1,41.
___________________________________________________________________________________

Источник

Звуковая волна описывается уравнением найти амплитуду колебаний скорости частиц среды

2018-05-31
Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид $chi = 60 cos (1800t – 5,3x)$, где $chi$ в микрометрах, $t$ в секундах, $x$ в метрах. Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды.

$xi = 60 cos (1800 t 5 cdot 3 x)$

$xi = a cos ( omega t – kx)$, где $a = 60 cdot 10^ <-6>м$
$omega = 1800 $ в секунду и $k = 5,3$ на метр

и $k = frac< omega>$, поэтому $v = frac< omega> = 340 м/с$

Таким образом, амплитуда колебаний скорости

$left ( frac< partial xi> < partial t>right )_ $ или $v_ = a omega = 0,11 м / с$ (1)

и искомое отношение амплитуды колебаний скорости к скорости распространения волны

(в) Относительная деформация $= frac< partial xi> < partial x>= ak sin ( omega t – kx) $

Таким образом, относительная амплитуда деформации

$= left ( frac< partial xi > < partial x>right )_ = ak = (60 cdot 10^ <-6>cdot 5,3) м = 3,2 cdot 10^ <-4>м$ (2)

Звуковая волна описывается уравнением найти амплитуду колебаний скорости частиц среды

В среде на расстоянии d друг от друга находятся одинаковые излучатели плоских акустических монохроматических волн (S₁ и S₂, рис.16). Оба излучателя колеблются по закону x = Acos( w t ), где x – смещение излучателя из положения равновесия при колебаниях, A – амплитуда, w – круговая частота при колебаниях излучателя.

Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 1

Исходные данные для каждого варианта задания представлены в таблице.

Амплитуда А , мм

Скорость волны в среде с, м/ с

1) вывести уравнение колебаний частиц среды в т. М, находящейся на расстоянии l от второго излучателя. Считать, что направления колебаний частиц среды в т. М совпадают;

2) определить отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны l ;

3) вывести уравнение колебаний скорости частиц среды. Найти амплитуду скорости частиц среды и её отношение к скорости распространения волны;

4) вывести уравнение колебаний деформаций частиц среды. Найти связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости частиц среды.

Найдём уравнения двух волн, источниками которых являются и . Круговая частота равняется:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Результирующая волна , образующаяся при наложении двух волн и , имеет вид:

(6)

Преобразуем уравнение (6) к виду:

(7)

Учитывая выражения (1) и(3), получим:

(8)

Точка M имеет координату . Поэтому уравнение колебаний в точке M имеет вид:

Таким образом, уравнение колебаний в точке M :

(9)

Подставляя числовые значения, получим:

Согласно выражению (8) амплитуда смещений частиц среды равняется:

(10)

(11)

Подставляя числовые значения, получим:

Найдём уравнение скорости колебаний частиц среды. Так как , тогда получим:

Таким образом, уравнение скорости колебаний частиц среды имеет вид:

(12)

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда скорости частиц среды:

(13)

(14)

Выведем уравнение деформаций частиц среды. Деформация , поэтому:

Таким образом, уравнение деформаций имеет вид:

(15)

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда деформаций равняется:

(16)

Числовое значение . Разделим выражение (13) на выражение (16) и получим:

(17)

Откуда следует, что амплитуда скорости частиц среды и амплитуда деформаций связаны следующим соотношением:

(18)

Уравнение колебаний частиц среды в точке M :

Отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны:

Уравнение скорости колебаний частиц среды:

Амплитуда скорости колебаний частиц среды:

Отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны в среде:

Связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости колебаний частиц среды:

Звуковая волна описывается уравнением найти амплитуду колебаний скорости частиц среды

4.1. Механические колебания.

4.2. Электрические колебания.
4.3. Упругие волны. Акустика.
4.4. Электромагнитные волны. Излучение.
_______________________________________________________________________________________________

4.1. Механические колебания.

4.1.1. Гармонические колебания.

4.1. 1 -1. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т = 12 с. Найти время t ₁ , за которое смещение частицы изменяется от 0 до А/2.

Решение:
Т = 12 с
х(0) = 0
х( t ₁) = А/2 (1)
t ₁ – ?
Так как начальное положение частицы х(0) = 0, то частица колеблется по закону синуса с начальной фазой ϕ ₀ = 0:
x = Asin ( ωt + ϕ ₀) или
x = Asinωt , (2)
где ω = 2 π / T – круговая частота.
С учётом условия (1), запишем (2) в виде:
х( t ₁) = Asin ( ωt ₁); А/2 = Asin ( (2 π / T ) t ₁ ); 1/2 = sin (2 πt ₁/ T ); 2 πt ₁/ T = π /6. Отсюда
t ₁ = T /12.
t₁ = 12/12 = 1 с.
Ответ: t₁ = T/12 = 1 c.

4.1.1-2. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

где − I момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса А (см. рис.); x = AO = R − расстояние от точки подвеса до центра тяжести О диска; m − масса диска; g = 9,8 м/с² − ускорение свободного падения.
Момент инерции I ₀ диска относительно оси симметрии диска:
I ₀ = mR ²/2.
По теореме Штейнера:
I = I₀ + mR². Имеем
I = mR²/2 + mR² = 3mR²/2. Тогда по (1)

Решение:
r ( t ) = A ( icosωt + jsinωt ) (1)
A = 0,5 м
ω = 5 с⁻¹
v − ?
a_n − ?
Представим (1) в виде:
r ( t ) = iAcosωt + jAsinωt (1*)
Радиус вектор r ( t ) точки: r ( t ) = ix + jy , где x , y − проекции радиус вектора соответственно на оси OX и OY ; i , j − единичные векторы (орты), направленные соответственно по оси OX и OY . Тогда (1*) примет вид
ix + jy = iAcosωt + jAsinωt ,
отсюда получим два уравнения
x = Acosωt , (*)
y = Asinωt . (**)
Возведём их в квадрат
x ² = A ² cos ² ωt ,
y ² = A ² sin ² ωt .
Сложим эти уравнения
x ² + y ² = A ² cos ² ωt + A ² sin ² ωt или x ² + y ² = A ²( cos ² ωt + sin ² ωt ). Отсюда, т.к. cos ² ωt + sin ² ωt = 1, получим уравнение траектории движения точки
x ² + y ² = A ². (2)
Уравнение (2) − это уравнение окружности радиусом R = A = 0,5 м с центром в начале координат (см. рис.).
Найдём проекции скорости v _x и v_y . Для этого продифференцируем x и y из (*) и (**) по времени t :
v_x = x_t ʹ = ( Acosωt ) _t ʹ = – Aωsinωt ;
v_y = y_t ʹ = ( Asinωt ) _{_t} ʹ = Aωcosωt .
Тогда квадрат скорости
v ² = v_x ² + v_y ² или v ² = (- Aωsinωt )² + ( Aωcosωt )² или v ² = A ² ω ²( sin ² ωt + cos ² ωt ) или v ² = A ² ω ². Отсюда модуль скорости v :
v = Aω . (3)
v = 0,5·5 = 2,5 м/с².
Модуль нормального ускорения a_n : a_n = v ²/ R или, с учётом (3) и R = A , получим a_n = A ² ω ²/ A или
a_n = Aω ².
a_n = 0,5·5² = 12,5 м/с².
Ответ: траектория − окружность радиусом R = A = 0,5 м с центром в начале координат, v = Aω = 2,5 м/с², a_n = Aω ² = 12,5 м/с².

_______________________________________________________________________________________________

4.1.2. Свободные затухающие колебания.

4.1.2-1. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в n = 100 за 15 с. Чему равен коэффициент затухания β ?

Решение:
t = 15 c
n = 100
A = A ₀/ n (*)
β – ?
Зависимость амплитуды А затухающих колебаний от времени t :
A = A ₀ e – β t , (1)
где A ₀ – начальная амплитуда; β – коэффициент затухания.
Имеем из (1) и (*):
A ₀/ n = A ₀ e – β t ; 1/ n = e – β t ; e β t = n ; βt = ln ( n ) отсюда
β = ln ( n )/ t .
β = ln(100)/15 = 0,307 1/c.
Ответ: β = ln(n)/t = 0,307 1/c.

4.1.2-2. Найти логарифмический декремент затухания тонкого стержня, подвешенного за один из его концов, если за промежуток времени t = 5 мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4 · 10 ² раз. Длина стержня L = 50 см.

Решение:
t = 5 мин = 300 с
n = 400
L = 0,5 м
λ − ?
В данном случае стержень − это физический маятник.
Логарифмический декремент затухания λ
λ = βT , (1)
где β – коэффициент затухания, T − период колебаний стержня.

1. Найдём коэффициент затухания β .
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² – β². (2)
ω – частота затухающих колебаний; ω ₀ – собственная частота колебаний.
Зависимость от времени t полной механической энергии Е физического маятника:
Е = E ₀ e -2 βt ,
где E ₀ – начальная (при t = 0) полная механическая энергия.
Отсюда имеем
n = Е ₀/ Е = Е ₀/( E ₀ e -2 βt ) = 1 /( e -2 βt ) = e 2 βt .
Получили n = e 2 βt . Прологарифмируем это равенство Ln ( n ) = 2 βt . Отсюда
β = Ln ( n )/(2 t ). (3)

2. Найдём период Т затухающих колебаний.
Оценим коэффициент β 2 по (3).
β = Ln (400)/(2 · 300) = 0,009986, отсюда
β ² = (0,009986)² ≈ 0,0000997.
Собственная частота колебаний физического маятника:

Подставим в (1) найденные β из (3) и Т из (4**) и, после упрощения, получим

4.1.2-3. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0,02. Определите: время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; число колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.

Решение:
ν = 50 Гц
λ = 0,02
n = 20
t − ?
N − ?
1. Пусть β – коэффициент затухания; T = 1/ ν – период, ν – частота колебаний. Логарифмический декремент затухания λ :
λ = βT или λ = β / ν , отсюда
β = λν . (1)
Амплитуда А затухающих колебаний
A = A ₀· e – βt ,
где A ₀ − начальная амплитуда (при t = 0).
Подставим сюда из условия задачи A = A ₀/ n :
A ₀/ n = A ₀· e – βt ,
отсюда e βt = n и, после логарифмирования, βt = Ln ( n ), отсюда
t = ( Ln ( n ) )/ β и, с учётом (1),
t = ( Ln ( n ) )/( λν ). (2)

2. Число колебаний N за время t :
N = t / T = tν = ( и, с учётом (2), ) = ν ( Ln ( n ) )/( λν ) или
N = ( Ln ( n ) )/ λ . (3)

3. Вычисления по формулам (2) и (3):
t = ( Ln (20) )/(0,02·50) ≈ 3 с.
N = ( Ln (20) )/0,02 ≈ 150.
Ответ: t = ( Ln ( n ) )/( λν ) ≈ 3 с; N = ( Ln ( n ) )/ λ ≈ 150.

4.1.2-4. Составьте дифференциальное уравнение гармонических свободных затухающих крутильных колебаний механической системы.

Решение:
Пусть система (например, тонкий однородный диск, подвешенный в горизонтальном положении к упругой нити) совершает крутильные колебания относительно закреплённой оси Z (ось нити). Пусть на диск действует упругая сила, проекция момента которой на ось Z равна
Mz = – kϕ , (1)
где k − постоянная, ϕ − угол поворота из положения равновесия. Знак “минус” указывает на то, что при отклонении системы на угол ϕ , момент упругой силы возвращает систему к положению равновесия. Поместим диск в вязкую среду ( например, жидкость ). Момент силы сопротивления Mc , действующий на диск, пропорционален угловой скорости ϕ ʹ:
M c = – ηϕ ʹ, (2)
где η − постоянная.
Уравнение динамики вращательного движения диска имеет вид
Iϕ ʹʹ = Mz + M c , (3)
где I – момент инерции диска относительно оси вращения.
С учётом (1) и (2), уравнение (3) примет вид Iϕ ʹʹ = – kϕ – ηϕ ʹ, отсюда
ϕ ʹʹ + ( η / I ) ϕ ʹ + ( k / I ) ϕ = 0.
Применив обозначения 2 β = η / I , ω ₀² = k / I , перепишем последнее уравнение:
ϕ ʹʹ + 2 βϕ ʹ + ω ₀² ϕ = 0.
Это дифференциальное уравнение описывает затухающие крутильные колебания механической системы.
Ответ: ϕ ʹʹ + 2 βϕ ʹ + ω ₀² ϕ = 0.

4.1.2-5. Найти добротность Q осциллятора, у которого отношение резонансной частоты ω_рез к частоте затухающих колебаний ω равно η.

Решение:
ω_рез/ω = η (*)
Q − ?
Пусть β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, T = 2π/ω − период затухающих колебаний, λ = βT = 2πβ/ω − логарифмический декремент затухания. Тогда добротность Q:
Q = π/λ = π/(2πβ/ω), или
Q = ω/(2β). (1)
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² – β². (2)
Формула для резонансной частоты ω_рез:
ω_рез² = ω₀² – 2β². (3)
Из (2) вычтем (3)
ω² – ω_рез² = (ω₀² – β²) – (ω₀² – 2β²), или
ω² – ω_рез² = ω₀² – β² – ω₀² + 2β², или
ω² – ω_рез² = β². (**)
С учётом условия (*) имеем ω_рез = ωη. Тогда (**) примет вид
ω² – ω²η² = β², или
ω²(1 – η²) = β², отсюда

___________________________________________________________________________________

4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4.1.3-1. Осциллятор массы m движется по закону x = Asinωt под действием вынуждающей силы Fₓ = F₀cosωt. Найти коэффициент затухания β осциллятора.

Решение:
m,
x = Asinωt,
Fₓ = F₀cosωt,
β − ?
Установившееся смещение х(t) осциллятора при вынужденных колебаниях:
x = Acos(ωt – ϕ), (1)

ω₀ − собственная частота колебаний осциллятора,
f₀ = F₀/m. (*)
Так как по условию смещение х(t) осциллятора x = Asinωt, то из (1) следует: ϕ = π/2
(т. к. cos(ωt – π/2) = sinωt). Тогда из (3) имеем:

где f₀ = F ₀/ m , m − масса осциллятора , β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, ω − частота вынужденных колебаний.
При постоянной амплитуде вынуждающей силы F ₀ (и, следовательно, постоянной f ₀) из (*) при двух разных частотах ω₁ и ω₂ получаем две амплитуды А₁ и А₂ вынужденных колебаний:

4.2. Электрические колебания.

4.2-1. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5 раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.

Решение:
T ₁/ T ₂ = η = 5
B ₂/ B ₁ − ?
Момент сил М, действующий на стрелку со стороны магнитного поля
М = [ B · P m ], где P m − вектор магнитного момента стрелки.
Модуль момента сил
М = B · P m · sinϕ , где ϕ – угол между векторами B и P m .
При малых колебаниях угол ϕ очень мал и sinϕ ≈ ϕ . Тогда
М = B · P m · ϕ .
При повороте стрелки на угол ϕ возникает момент сил М , стремящийся вернуть стрелку в положение равновесия, т.е. М = – B · P m · ϕ . Если J – момент инерции стрелки относительно оси вращения, то основное уравнение динамики вращательного движения примет вид
Jϕ ’’ = M или Jϕ ’’ = – B · P m · ϕ отсюда
ϕ ’’ + ( B · P m / J ) · ϕ = 0. (1)
Если ω – циклическая частота колебаний, то сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний
ϕ ’’ + ω ² ϕ = 0, получим
ω ² = B · P m / J , отсюда
ω = √( B · P m / J ).
Тогда период T колебаний
T = 2 π / ω или
T = 2 π √( J /( B · P m ) ). (2)
На основе (2) для разных B ₁ и B ₂ получим соответствующие T ₁ и T ₂
T ₁ = 2 π √( J /( B ₁ · P m ) )
T ₂ = 2 π √( J /( B ₂ · P m ) ).
Отсюда
T ₁/ T ₂ = √( B ₂/ B ₁) и отсюда
B ₂/ B ₁ = ( T ₁/ T ₂)² = η ² = 25. Итак
B ₂/ B ₁ = η ² = 25.
Ответ: индукция магнитного поля увеличится в η ² = 25 раз.

4.2-2. Индуктивность катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы ток в ней имеет вид:
i = 0,4 cos (1000 t ), где все величины выражены в системе СИ. Определить амплитуду напряжения на катушке.

Решение:
L = 0,125 Гн
i = 0,4 cos (1000 t ). (1)
U_m − ?
Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:
i = I_mcos ( ωt ). (2)
Из (1) и (2) имеем
I_m = 0,4 А − амплитуда силы тока в катушке; ω = 1000 с⁻¹− частота.
Индуктивное сопротивление катушки: X L = ωL .
По закону Ома
I_m = U_m / X L , отсюда
U_m = X L · I_m или
U_m = ωL · I_m .
U_m = 1000·0,125·0,4 = 50 В.
Ответ: U_m = 50 В.

4.2-3. Электрический колебательный контур состоял из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L = 0,8 Гн и конденсатора емкостью С. Сопротивление катушки и соединительных проводов было равно R = 2000 Ом. После того, как часть витков в катушке замкнулась накоротко, индуктивность ее уменьшилась в n = 7 раз, частота собственных колебаний в контуре возросла в k = 3 раза, а коэффициент затухания этих колебаний не изменился. Определить емкость конденсатора .

Решение:
L = 0,8 Гн
R = 2000 Ом
L ₂ = L / n
n = 7
ω ₂ = kω
k = 3
β = const
C − ?
Коэффициент затуханий β = R /(2 L ).
ω и ω ₂ − начальная и конечная частоты собственных колебаний в контуре, где
ω = √( 1/( LC ) – β ² ) = √( 1/( LC ) – R ²/(4 L ²) );
ω ₂ = √( 1/( L ₂ C ) – β ² ) = √( n /( LC ) – R ²/(4 L ²) ).
Возведём в квадрат равенство ω ₂ = kω , получим ω ₂² = k ² ω ² или
n /( LC ) – R ²/(4 L ²) = k ²( 1/( LC ) – R ²/(4 L ²) ), отсюда
C = 4 L ( k ² – n )/( R ²( k ² – 1) ).
C = 4·0,8·(3² – 7)/( 2000²·(3² – 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.
Ответ: C = 4L(k² – n)/( R²(k² – 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.

4.2-4. Ток в колебательном контуре зависит от времени как I = I_msinω₀t, где I_m = 9,0 мА, ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹. Ёмкость конденсатора С = 0,50 мкФ. Найти индуктивность контура и напряжение на конденсаторе в момент t = 0.

Решение:
I = I_msinω₀t (*)
I_m = 9·10⁻³ А
ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹
С = 0,5·10⁻⁶ Ф
L − ?
U(0) − ?
1). Собственная частота ω₀ колебательного контура

1
L = ––––– . (1)
ω₀²C
2). Закон сохранения энергии в колебательном контуре:
LI²/2 + CU²/2 = LI_m²/2
или, с учётом (*),
L(I_msinω₀t)²/2 + CU²/2 = LI_m²/2.
Отсюда при t = 0 (т.к. sinω₀0 = 0) получим напряжение U(0) = U_m на конденсаторе в момент времени t = 0 ( U_m − максимальное напряжение ):
CU²(0) = LI_m²
и, подставляя сюда L из (1), получим
I_m²
CU²(0) = ––––– или
ω₀²C
I_m
U(0) = U_m = –––– . (2)
ω₀C
Вычисления по формулам (1) и (2 ):
1
L = –––––––––––––––– = 0,001 Гн = 1 мГн.
(4,5·10⁴)²·0,5·10⁻⁶
9·10⁻³
U(0) = Um = –––––––––––––– = 0,4 В.
4,5·10⁴·0,5·10⁻⁶

4.3. Упругие волны. Акустика.

4.3-1. По шнуру слева направо бежит со скоростью v незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки О шнура изменяется по закону y = Acos ( ωt ). Как зависит от времени смещение точки шнура, находящейся правее точки О на расстоянии x от нее?

Решение:
y = Acos ( ω ( t – x / v ) ).
Ответ: y = Acos ( ω ( t – x / v ) ).

4.3-2. Уравнение плоской звуковой волны имеет вид ξ = 60 cos (1800 t – 5,3 x ). где ξ – в мкм, t – в секундах, х – в метрах .
Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и её связь с амплитудой колебаний скорости частиц среды.

а) Уравнение плоской синусоидальной волны
ξ = Acos(ωt – kx). (2)
Из (1) и (2) следует
A = 60 ·10 ⁻ ⁶ м – амплитуда колебаний частиц среды,
ω = 1800 1/с – циклическая частота,
k = 5,3 1/м – волновое число.
k = 2π/λ, отсюда λ = 2π/k. Тогда
A/λ = A/(2π/k) или
A/λ = Ak/(2π).
A / λ = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 5,3/(2 · 3,14) = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ .

б) Амплитуда колебаний скорости частиц среды
V _m = Aω . (*)
V_m = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 1800 = 0,11 м/с. = 11 см/с.
Скорость распространения волны
v = ω / k . (3)
Тогда ( см. (*) )
V_m/v = Aω / ( ω / k ) = A k .
V_m/v = A k .
V_m/v = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 5,3 = 3,2 ·10 ⁻ ⁴ .

в) Относительную деформацию среды найдём дифференцируя (2) по х:
∂ ξ/ ∂ x = ( Acos(ωt – kx) )_x ʹ = – Aksin (ωt – kx).

Ответ: a) A/λ = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ ;
б) V_m = 0,11 м/с, V_m/v = 3,2 ·10 ⁻ ⁴;
в) ( ∂ ξ/ ∂ x)_m = 3,2 ·10 ⁻ ⁴, V _m = v · (d ξ/dx)_m , где v = 340 м/с – скорость волны .

4.3-3. Что такое амплитуда колебаний скорости частиц среды?

Решение:
Объясню на простом примере. В озере на воде поплавок. Бросьте в воду камешек, от него во все стороны пойдут волны. Поплавок колеблется на волнах. Скорость колебаний поплавка − это скорость колебаний частиц среды (воды). Максимальная скорость колебаний поплавка − это амплитуда колебаний скорости частиц среды.
Амплитуда колебаний скорости частиц среды
V_m = Aω ( A – амплитуда, ω – циклическая частота).
Скорость распространения волны
v = ω / k ( k – волновое число).
A , ω , k определяют из общего вида уравнения бегущей плоской синусоидальной волны
ξ = Acos ( ωt – kx ).

4.3-4. Точечный изотропный источник испускает звуковые колебания с частотой ν = 1,45 кГц. На расстоянии r₁ = 5 м от источника амплитуда смещения частиц среды А₁ = 50 мкм, а в точке А, находящейся на расстоянии r₂ = 10 м от источника, амплитуда смещения в η = 3 раза меньше А₁. Найти:
а) коэффициент затухания волны γ;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке А.

Решение:
ν = 1450 Гц
r₁ = 5 м
А₁ = 50·10⁻⁶ м
r₂ = 10 м
А₂ = А₁/η (η = 3) (*)
а) γ − ?
б) V_m − ? (в точке А)
От данного точечного источника распространяются сферические волны. Для однородной поглощающей среды уравнение сферической волны:

(1)
где ξ − смещение частиц среды; ω = 2πν − циклическая частота; k − волновое число.

а). Из (1) выпишем амплитуду A смещения частиц среды (множитель перед косинусом):
A = (A₀/r)·e⁻ᵞʳ.
Отсюда для r = r₁ и r = r₂ получаем амплитуды смещения частиц среды A₁ и A₂ соответственно
A ₁ = ( A ₀ / r ₁ ) · e ⁻ ᵞ r₁ , (**)
A ₂ = ( A ₀ / r ₂ ) · e ⁻ ᵞ r ₂ . (***)
Делим (**) на (***) и, с учётом (*), получаем:

η = ( r ₂ / r ₁ ) · e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ отсюда η r ₁ / r ₂ = e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ , отсюда, по определению логарифма, имеем

ln ( η r ₁ / r ₂ ) = γ( r ₂ – r ₁ ), отсюда

γ = ln(3 · 5 /10 )/(10 – 5 ) ≈ 0,08 м ⁻ ¹ .

б). Для нахождения скорости смещения частиц среды V найдём частную производную по времени t от (1):
V = ∂ ξ / ∂ t = ( A ₀ / r ) · e ⁻ ᵞ ʳ ·( – ω sin ( ω t – kr ) ).
С учётом ω = 2πν, имеем
V = – ( 2 π ν A ₀ /r ) ·e ⁻ ᵞ ʳ ·sin ( ω t-kr ) .
Отсюда амплитуда колебаний скорости частиц среды V_m (множитель перед синусом):

4.3-5. Плоская звуковая волна, частота которой 100 Гц и амплитуда 5 мкм, распространяется со скоростью 300 мс в воздухе, плотность которого равна 1 , 2 кгм ³ . Определить интенсивность волны.

Решение:
ν = 100 Гц
а = 5·10⁻⁶ м
V = 300 мс
ρ = 1,2 кгм³
I − ?
Интенсивность I звуковой волны
I = ρ а² ω ² V /2 и т.к. ω = 2 πν , то
I = ρ а²(2 πν )² V /2.
I = 1,2·(5·10⁻⁶)²·(2·3,14·100)²·300/2 = 1,77·10⁻³ Вт/м².
Ответ: I = 1,77·10⁻³ Вт/м².

4.3-6. Стальная струна длины l = 100 см и диаметра d = 0,50 мм даёт основной тон частоты ν = 256 Гц. Найти силу её натяжения.

Решение:
l = 1 м
d = 0,5·10⁻³ м
ν = 256 Гц
ρ = 7800 кг/м³ (плотность стали)
F − ?
В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны. Основной тон частоты ν колебаний струны:
ν = V/2l, отсюда
V = 2lν, (1)
где

− фазовая скорость поперечных волн в струне. Отсюда

F = V²ρ₁ , (2)
где ρ₁ = m/l − линейная плотность струны, m = ρV₀ − масса струны, V₀ = (πd²/4)l = πd²l/4 − объём струны.
Имеем: ρ₁ = ρV₀/l = ρ(πd²l/4)/l = ρπd²/4. Получили
ρ₁ = ρπd²/4. (3)
Подставляя в (2) V из (1) и ρ₁ из (3), получим силу натяжения F струны
F = (2lν)²ρπd²/4, или
F = πρ(lνd)².
F = 3,14·7800· (1·256·0,5·10⁻³)² ≈ 401,3 Н.
Ответ: F = πρ(lνd)² ≈ 401,3 Н.

_______________________________________________________________________________________________

4.4. Электромагнитные волны. Излучение.

4.4-1. Электромагнитная волна с частотой 6 · 10 ¹⁴ Гц распространяется в стекле, показатель преломления которого 1,5. Какова скорость волны в стекле и значение волнового числа?

Решение:
ν = 6 · 10¹⁴ Гц
n = 1,5
c = 3 · 10⁸ м/с (скорость света в вакууме)
V – ? k – ?
Скорость V волны в стекле:
V = c / n . (1)
Длина волны в стекле:
λ = V / ν = c /( nν ). (*)
Волновое число k:
k = 2 π / λ или с учётом (*)
k = 2 πnν /с. (2)
Вычисления по (1), (2)
V = 3 · 10⁸/1,5 = 2 · 10⁸ м/с.
k = 2 · 3,14 · 1,5 · 6 · 10¹⁴/(3 · 10⁸) = 1,88 · 10⁷ (1/м).
Ответ: V = 2 · 10⁸ м/с; k = 1,88 · 10⁷ (1/м).

4.4-2. Определить показатель преломления призмы из парафина , если его диэлектрическая проницаемость Ԑ = 2 и магнитная проницаемость μ = 1.

Решение:
Ԑ = 2
μ = 1
n – ?
Показатель преломления среды
n = C / V . (1)
С – скорость света в вакууме.
Скорость света в среде
V = C /√( Ԑμ ). (2)
Из (1) и (2) имеем
n = √( Ԑμ ).
n = √(2·1) = 1,41.
Ответ: n = 1,41.
___________________________________________________________________________________

[spoiler title=”источники:”]

http://sanish1.ru/mechanics/z41.htm

http://www.sites.google.com/site/viktortsekunov/services/fizika/4-kolebania-i-volny

[/spoiler]

Источник

Решение.
1) Определить отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны.

s(х,t) = 60∙10^-6∙cos(6280∙t-18,5∙x)

Х_m = 60∙10^-6 м. Х_m – амплитуда смещения частицы.
k – волновое число, k = 18,5.ω = 6280 рад/с.

[ begin{align}
& k=frac{omega }{upsilon } (1), omega =frac{2cdot pi }{T} (2), upsilon =frac{lambda }{T} (3), k=frac{2cdot pi cdot T}{Tcdot lambda }=frac{2cdot pi }{lambda }, lambda =frac{2cdot pi }{k} (4). \
& frac{{{X}_{m}}}{lambda }=frac{60cdot {{10}^{-6}}cdot 18,5}{2cdot 3,14}=1,77cdot {{10}^{-4}}. \
end{align} ]

2) Отношение амплитуды скорости частиц к скорости распространения волны.

υ = s´ = (60∙10^-6∙cos(6280∙t-18,5∙x)´ = -60∙10^-6∙6280∙sin(6280∙t-18,5∙x).

υ_m = 60∙10^-6∙6280 м/с.

[ begin{align}
& k=frac{omega }{upsilon } (5), upsilon =frac{omega }{k} (6), \
& frac{{{upsilon }_{m}}}{upsilon }=frac{60cdot {{10}^{-6}}cdot 6280cdot 18,5}{6280}=1,11cdot {{10}^{-3}}. \
end{align} ]

Источник

Звуковая волна описывается уравнением найти амплитуду колебаний скорости частиц среды

Звуковая волна описывается уравнением найти амплитуду колебаний скорости частиц среды

Звуковая волна описывается уравнением найти амплитуду колебаний скорости частиц среды

Вам также может понравиться

Как составить анализ рациона

Error 1064 42000 mysql как исправить

Как относится к убийству князя летописец найдите

Добавить комментарий Отменить ответ