Амплитуда вынуждающей силы как найти

Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.

Потери
механической энергии в любой колебательной
системе из-за 
наличия сил трения неизбежны, поэтому
без «подкачки» энергии извне колебания
будут затухающими. Существует несколько
принципиально различных способов
создания колебательных систем незатухающих
колебаний. Остановимся более подробно
на рассмотрении незатухающих
колебаний под действием внешней
периодической силы.
Такие колебания называются
вынужденными.
Продолжим изучение
движения гармонического маятника (рис.
6.9 ). 

рис.
6.9

Помимо
рассмотренных ранее сил упругости и
вязкого трения, на шарик действует
внешняя 
вынуждающая
периодическая сила, изменяющаяся по
гармоническому закону

частота,
которой может отличаться от собственной
частоты колебаний маятника ω_o.
Природа
этой сил в данном случае нам не существенна.
Создать такую силу можно различными
способами, например, сообщить шарику
электрический заряд и поместить его во
внешнее переменное электрическое
поле.
Уравнение движения шарика в
рассматриваемом случае имеет вид

Разделим
его на массу шарика и используем прежние
обозначения параметров системы. В
результате получим 
уравнение
вынужденных колебаний:

где
f_o
= F_o/m
− отношение амплитудного значения
внешней вынуждающей силы к массе
шарика.
Общее решение уравнения (3)
достаточно громоздко и, конечно, зависит
от 
начальных условий. Характер движения
шарика, описываемого уравнением (3),
понятен: под действием вынуждающей силы
возникнуть колебания, амплитуда которых
будет возрастать. Этот переходный режим
достаточно сложен и зависит от начальных
условий. По прошествии некоторого
промежутка времени колебательный режим
установится, их амплитуда перестанет
изменяться. Именно установившийся
режим колебаний,
во многих случаях представляет основной
интерес. Мы не будем рассматривать
переход системы к установившемуся
режиму, а сконцентрируем внимание на
описании и изучении характеристик этого
режима.
При такой постановке задачи
нет необходимости задавать начальные 
условия, так как интересующий нас
установившийся режим не зависит от
начальных условий, его характеристики
полностью определяются самим уравнением.
С
аналогичной ситуацией мы сталкивались
при изучении движения тела под действием
постоянной внешней силы и силы вязкого
трения 

По
прошествии некоторого времени тело
движется с постоянной установившейся
скоростью 
v
= F_o/β,
которая не зависит от начальных условий,
и полностью определяется уравнением
движения. Начальные условия определяют
режим, переходный к установившемуся
движению.
На основании здравого смысла
разумно предположить, что в установившемся 
режиме колебаний шарик будет колебаться
с частотой внешней вынуждающей силы.
Поэтому решение уравнения (3) следует
искать в гармонической функции с частотой
вынуждающей силы.
Для начала решим
уравнение (3), пренебрегая силой
сопротивления

 Попробуем
найти его решение в виде гармонической
функции

Для
этого вычислим зависимости скорости и
ускорения тела от времени, как производные
от закона движения 

и
подставим их значения в уравнение (4)

Теперь
можно сократить на 
cosωt.
Следовательно, это выражение обращается
в верное тождество в любой момент
времени, при выполнении условия

Таким
образом, наше предположение о решении
уравнения (4) в виде (5) 
оправдалось: установившийся режим
колебаний описывается функцией

Отметим,
что коэффициент A
согласно полученному выражению (6) может
быть, как положительным (при ω
< ω_o),
так и отрицательным (при ω
> ω_o).
Изменение знака соответствует изменению
фазы колебаний на π
(причина такого изменение будет выяснена
чуть позже), поэтому амплитудой колебаний
является модуль этого коэффициента
|A|.
Амплитуда
установившихся колебаний, как и следовало
ожидать,
пропорциональна
величине вынуждающей силы. Кроме того,
эта амплитуда сложным образом зависит
от частоты вынуждающей силы. Схематический
график этой зависимости показан на рис.
6.10

Рис.
6.10 Резонансная кривая

Как
следует из формулы (6) и хорошо видно на
графике, при приближении 
частоты вынуждающей силы к собственной
частоте системы амплитуда резко
возрастает. Причина такого возрастания
амплитуды понятна: вынуждающая сила
«во время» подталкивает шарик, при
полном совпадении частот установившейся
режим отсутствует − амплитуда возрастает
до бесконечности. Конечно, на практике
такого бесконечного возрастания
наблюдать невозможно: во-первых,
это может привести к разрушению самой
колебательной системы, во-вторых,
при больших амплитудах колебаний нельзя
пренебрегать силами сопротивления
среды.
 Резкое
возрастание амплитуды вынужденных
колебаний при приближении частоты
вынуждающей силы к собственной частоте
колебаний системы называется явлением
резонанса.
Приступим
теперь к поиску решения уравнения
вынужденных колебаний с учетом силы
сопротивления 

Естественно,
что и в этом случае решение следует
искать в виде 
гармонической функции с частотой
вынуждающей силы. Легко заметить, что
поиск решения в форме (5) в данном случае
не приведет к успеху. Действительно,
уравнение (8), в отличие от уравнения
(4), содержит скорость частицы, которая
описывается функцией синуса. Поэтому,
временная часть в уравнении (8) не
сократится. Следовательно, решение
уравнения (8) следует представить в общей
форме гармонической функции

в
которой два параметра A_o
и φ
необходимо найти с помощью уравнения
(8). Параметр A_o
является амплитудой вынужденных
колебаний, φ
− сдвиг фаз между изменяющейся координатой
и переменной вынуждающей силой. Используя
тригонометрическую формулу для косинуса
суммы, функцию (9) можно представить в
эквивалентной форме

которая
также содержит два параметра B
= A_ocosφ
и C
= −A_osinφ,
подлежащих определению. Используя
функцию (10), запишем явные выражения для
зависимостей скорости и ускорения
частицы от времени

и
подставим в уравнение (8):

Перепишем
это выражение в виде 

Для
того чтобы равенство (13) выполнялось в
любой момент времени 
необходимо, чтобы коэффициенты при
косинусе и синусе были равны нулю. На
основании этого условия получаем два
линейных уравнения для определения
параметров функции (10):

Решение
этой системы уравнений имеет вид 

На
основании формулы (10) определяем
характеристики вынужденных колебаний:
амплитуду 

сдвиг
фаз

При
малом затухании эта зависимость имеет
резкий максимум при приближении частоты
вынуждающей силы ω
к собственной частоте системы ω_o.
Таким образом, и в этом случае возможно
возникновения резонанса, поэтому
построенные зависимости часто называют
резонансной кривой. Учет слабого
затухания показывает, что амплитуда не
возрастает до бесконечности, ее
максимальное значение зависит от
коэффициента затухания − с возрастанием
последнего максимальная амплитуда
быстро убывает.
Полученная зависимость
амплитуды колебаний от частоты вынуждающей
силы (16) содержит слишком много независимых
параметров ( f_o,
ω_o,
γ)
для того, чтобы построить полное семейство
резонансных кривых. Как и во многих
случаях, эту зависимость можно существенно
упростить, перейдя к «безразмерным»
переменным. Преобразуем формулу (16) к
следующему виду

и
обозначим

− относительная
частота (отношение частоты вынуждающей
силы к собственной частоте колебаний
системы);

− относительная
амплитуда (отношение амплитуды колебаний
к величине отклонения A_o
= f/ω_o²
при нулевой частоте);

−
безразмерный параметр,
определяющий величину затухания.
Используя эти обозначения, функция (16)
существенно упрощается

так
как содержит всего один параметр −
δ.
Однопараметрическое
семейство резонансных кривых, описываемых
функцией 
(16 б) может быть построено, особенно
легко с помощью компьютера. Результат
такого построения показан на рис. 629.

рис.
6.11

Отметим,
что переход к «обычным» единицам
измерения может быть проведен элементарным
изменением масштаба осей координат. 
Следует
отметить, что частота вынуждающей силы,
при которой амплитуда 
вынужденных колебаний максимальна,
также зависит от коэффициента затухания,
слегка убывая с ростом последнего.
Наконец, подчеркнем, что увеличение
коэффициента затухания приводит к
существенному увеличению ширины
резонансной кривой.
Возникающий сдвиг
фаз между колебаниями точки и вынуждающей
силой также 
зависит от частоты колебаний и коэффициента
их затухания. Более подробно с ролью
этого сдвига фаз мы познакомимся при
рассмотрении преобразования энергии
в процессе вынужденных колебаний.

частота
свободных незатухающих колебаний
совпадает с собственной частотой,
частота затухающих колебаний немного
меньше собственной, а частота вынужденных
колебаний совпадает с частотой вынуждающей
силы, а не собственной частотой.

Вынужденные
электромагнитные колебания

Вынужденными
называются
такие колебания, которые происходят в
колебательной системе под влиянием
внешнего периодического воздействия.

Рис.6.12.
Контур с вынужденными электрическими
колебаниями

Рассмотрим
процессы, протекающие в электрическом
колебательном контуре (рис.6.12),
присоединенном к внешнему источнику,
ЭДС которого изменяется по гармоническому
закону

,

где_m
– амплитуда внешней ЭДС,

 – циклическая
частота ЭДС.

Обозначим
через U_C
напряжение на конденсаторе, а через i
–
силу тока в контуре. В этом контуре кроме
переменной ЭДС (t)
действует еще ЭДС самоиндукции _L
в катушке индуктивности.

ЭДС
самоиндукции прямо пропорциональна
скорости изменения силы тока в контуре

.

Для
вывода дифференциального
уравнения вынужденных колебаний
возникающих
в таком контуре используем второе
правило Кирхгофа

.

Напряжение
на активном сопротивлении R
найдем по закону Ома

.

Cила
электрического тока равна заряду
протекающему за единицу времени через
поперечное сечение проводника

.

Следовательно

.

Напряжение
U_C
на конденсаторе прямо пропорционально
заряду на обкладках конденсатора

.

ЭДС
самоиндукции можно представить через
вторую производную от заряда по времени

.

Подставляя
напряжения и ЭДС во второе правило
Кирхгофа

.

Разделив
обе части этого выражения на L
и распределив слагаемые по степени
убывания порядка производной, получим
дифференциальное уравнение второго
порядка

.

Введем
следующие обозначения и получим

–коэффициент
затухания,

–циклическая
частота собственных колебаний контура.

.
(1)

Уравнение
(1) является неоднородным
линейным дифференциальным уравнением
второго порядка. Такого типа уравнения
описывают поведение широкого класса
колебательных систем (электрических,
механических) под влиянием внешнего
периодического воздействия (внешней
ЭДС или внешней силы).

Общее
решение уравнения (1) складывается из
общего решения q₁
однородного
дифференциального уравнения (2)

(2)

и
любого частного решения q₂
неоднородного
уравнения (1)

.

Вид
общего решения однородного
уравнения
(2) зависит от величины коэффициента
затухания .
Нас будет интересовать случай слабого
затухания 
<< ₀.
При этом общее решение уравнения (2)
имеет вид

,
(3)

где
B
и ₀
– постоянные, задаваемые начальными
условиями.

Решение
(3) описывает затухающие колебания в
контуре. Входящие в (3) величины:

–циклическая
частота затухающих колебаний;

–амплитуда
затухающих колебаний;

–фаза
затухающих колебаний.

Частное
решение уравнения (1) ищем в виде
гармонического колебания, происходящего
с частотой, равной частоте 
внешнего периодического воздействия
– ЭДС, и отстающего по фазе на 
от него

,
(4)

где
– амплитуда вынужденных колебаний,
зависящая от частоты.

Подставим
(4) в (1) и получим тождество

Чтобы
сравнить фазы колебаний, используем
тригонометрические формулы приведения

,

.

Тогда
наше уравнение перепишется в виде

Представим
колебания в левой части полученного
тождества в виде векторной
диаграммы
(рис.6.13)..

Третье
слагаемое, соответствующее колебаниям
на емкости С,
имеющее фазу (t
– )
и амплитуду
,
изобразим горизонтальным вектором,
направленным вправо.

Рис.6.13.
Векторная диаграмма

Первое
слагаемое левой части, соответствующие
колебаниям на индуктивности L,
изобразится на векторной диаграмме
вектором, направленным горизонтально
влево (его амплитуда
).

Второе
слагаемое, соответствующие колебаниям
на сопротивлении R,
изобразим вектором, направленным
вертикально вверх (его амплитуда
),
т. к. его фаза на/2
отстает от фазы первого слагаемого.

Так
как сумма трех колебаний слева от знака
равно дает гармоническое колебание
,
то векторная сумма на диаграмме (диагональ
прямоугольника) изображает колебание
с амплитудойи фазойt,
которая на 
опережает фазу колебаний третьего
слагаемого.

Из
прямоугольного треугольника по теореме
Пифагора можно найти амплитуду A()

(5)

и
tg

как отношение противолежащего катета
к прилежащему катету.

.
(6)

Следовательно,
решение (4) с учетом (5) и (6) примет вид

.
(7)

Общее
решение дифференциального уравнения
(1) является суммой q₁
и q₂

.
(8)

Формула
(8) показывает, что при воздействии на
контур периодической внешней ЭДС в нем
возникают колебания двух частот, т.е.
незатухающие колебания с частотой
внешней ЭДС 
и затухающие колебания с частотой
.
Амплитуда затухающих колебанийсо временем становится пренебрежимо
малой, и в контуре остаются только
вынужденные колебания, амплитуда которых
не зависит от времени. Следовательно,
установившиеся вынужденные колебания
описываются функцией (4). То есть в контуре
возникают вынужденные гармонические
колебания, с частотой, равной частоте
внешнего воздействия, и амплитудой,
зависящей от этой частоты (рис.3а)
по закону (5). При этом по фазе вынужденное
колебание отстает на 
от вынуждающего воздействия.

Продифференцировав
выражение (4) по времени, найдем силу
тока в контуре

_,

где
– амплитуда силы тока.

Запишем
это выражение для силы тока в виде

,
(9)

где
–сдвиг
по фазе между током и внешней ЭДС.

В
соответствии с (6) и рис.2

.
(10)

Из
этой формулы следует, что сдвиг по фазе
между током и внешней ЭДС зависит, при
постоянном сопротивлении R,
от соотношения между частотой вынуждающей
ЭДС 
и собственной частотой контура ₀.

Если

< ₀,
то сдвиг по фазе между током и внешней
ЭДС 
< 0. Колебания силы тока опережают
колебания ЭДС по фазе на угол .

Если

> ₀,
тогда 
> 0. Колебания силы тока отстают от
колебаний ЭДС по фазе на угол .

Если

= ₀
(резонансная
частота),
то 
= 0, т. е. сила тока и ЭДС колеблются в
одинаковой фазе.

Резонанс
– это
явление резкого возрастания амплитуды
колебаний при совпадении частоты
внешней, вынуждающей силы с собственной
частотой колебательной системы.

При
резонансе 
= ₀
и период колебаний

.

Учитывая,
что коэффициент затухания

,

получим
выражения для добротности при резонансе
Т
= Т₀

,

с
другой стороны

.

Амплитуды
напряжений на индуктивности и емкости
при резонансе можно выразить через
добротность контура

,
(15)

.
(16)

Из
(15) и (16) видно, что при 
= ₀,
амплитуда напряжения на конденсаторе
и индуктивности в Q
раз больше амплитуды внешней ЭДС. Это
свойство последовательного RLC
контура используется для выделения
радиосигнала определенной частоты
из спектра радиочастот при перестройке
радиоприемника.

На
практике RLC
контура связаны с другими контурами,
измерительными приборами или усилительными
устройствами, вносящими дополнительное
затухание в RLC
контур. Поэтому реальная величина
добротности нагруженного RLC
контура оказывается ниже величины
добротности, оцениваемой по формуле

.

Реальная
величина добротности может быть оценена
как

Рис.6.14.
Определение добротности по резонансной
кривой

,

где
f
– ширина полосы частот, в которых
амплитуда составляет 0,7 от максимального
значения (рис.4).

Напряжения
на конденсаторе U_C,
на активном сопротивлении U_R
и на катушке индуктивности U_L
достигают максимума при различных
частотах, соответственно

,
,.

Если
затухание мало ₀
>> ,
то все эти частоты практически совпадают
и можно считать что

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Для школьников.

Продолжаем рассматривать механические колебания.

Ранее говорилось, если колебательная система выведена из положения равновесия и если сопротивлением среды колебаниям можно пренебречь, то колебательная система (математический маятник, пружинный маятник и т. д.) будет совершать свободные незатухающие колебания.

Их называют ещё собственными, синусоидальными, гармоническими. Графически такие колебания изображаются синусоидой.

Если силы сопротивления среды велики (например, колебания происходят в воде, масле и т. д.), то со временем амплитуда колебаний уменьшается. Такие колебания называются затухающими.

Сейчас рассмотрим случай, когда на колебательную систему, кроме силы сопротивления среды, действует внешняя сила, меняющаяся по гармоническому закону:

Возникшие при этом колебания называются вынужденными.

Здесь

есть амплитуда внешней (вынуждающей) силы, а

есть круговая частота колебаний вынуждающей силы.

Вынужденные колебания можно получить, например, с помощью показанной ниже установки.

Пружинный маятник через нить подвешен в точке небольшого изгиба стержня, который с помощью ручки может вращаться в подшипниках. Длина нити много больше изгиба стержня.

При равномерном вращении ручки (с постоянной круговой частотой) на пружинный маятник будет действовать гармоническая сила той же частоты:

Зададимся вопросом: как при этом будет двигаться груз на пружине?

Прежде надо сказать, что груз с пружиной (пружинный маятник), как и любая колебательная система, имеет собственную частоту колебаний

которая зависит только от свойств самой колебательной системы (массы, упругих свойств, размеров и т. д.).

(Почти у любого тела и любой конструкции есть её собственные колебания, часто они очень сложны. У сложного механического тела может быть много собственных колебаний, а значит и собственных частот).

Вернёмся к нашему пружинному маятнику.

Вынуждающая гармоническая сила, действующая на маятник при вращении стержня, будет навязывать маятнику свою частоту. заставляя пружинный маятник совершать вынужденные колебания.

Сначала груз совершает сложные движения, но через несколько оборотов ручки груз начинает совершать правильные (установившиеся) периодические колебания:

Переход к установившимся колебаниям объясняется тем, что в начале действия внешней силы F груз одновременно участвует и в свободных колебаниях с собственной частотой, и в вынужденных колебаниях.

Свободные колебания затухают, так как сила F поддерживает только вынужденные колебания.

Когда свободные колебания груза затухнут, устанавливаются вынужденные колебания. Время установления вынужденных колебаний равно времени затухания свободных колебаний груза.

Уравнение установившихся вынужденных колебаний имеет вид:

Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденных колебаний А прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания

и круговых частот собственного и вынужденного колебаний:

m – масса груза.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний (при данной частоте вынуждающей силы) даже в присутствии сопротивления среды не изменяется.

Объясняется это тем, что энергия, затраченная на преодоление сопротивления среды, непрерывно восполняется за счёт работы вынуждающей силы.

Опыт показывает, что амплитуда установившихся колебаний существенно зависит от частоты вынуждающей силы (частоты вращения стержня).

Когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте пружинного маятника

амплитуда колебаний резко возрастает, достигая максимума при равенстве этих частот.

Это явление называется резонансом.

Почему при равенстве частот вынуждающей силы и собственной частоты колебательной системы амплитуда колебаний резко возрастает?

Объясняется это тем, что при этом условии сила упругости колебательной системы и вынуждающая сила действуют в одном направлении (их действия усиливаются). Тогда даже при малой величине вынуждающей силы амплитуда колебаний растёт.

Амплитуда при резонансе достигает особенно большой величины и резко выражена (острый резонанс), если сопротивление среды мало (если в нашем примере маятник колеблется в воздухе).

Если затухание среды большое (маятник колеблется в воде или масле), то резонансные явления получаются слабыми (амплитуды при резонансе не очень сильно отличаются от амплитуд при других частотах вынуждающей силы). Такой резонанс называется тупым резонансом.

На рисунке ниже показаны так называемые резонансные кривые – кривые зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

Верхняя резонансная кривая соответствует малому сопротивлению среды (колебания происходят в воздухе).

Нижняя кривая соответствует большому сопротивлению среды (колебания происходят в воде или масле).

Показанные на рисунке резонансные кривые говорят о том. что при всякой частоте силы, амплитуды вынужденных колебаний тем больше, чем меньше затухание.

Из рисунка также видно, что максимум нижней кривой несколько сдвинут влево от максимума верхней кривой, то есть соответствует немного меньшей частоте вынуждающей силы. Это связано с увеличением периода свободных колебаний при возрастании затухания.

Резонанс играет очень большую роль в разных явлениях – в одних случаях вредную, в других – полезную.

Наглядный пример на резонанс.

Представим, что человек переходит ров по доске. Доска с человеком имеет собственную частоту колебаний. Шагая по доске с такой же частотой, человек попадает в резонанс – доска начинает сильно колебаться (изгибаться вверх – вниз).

По этой же причине нельзя поездам переезжать мосты на скорости, когда период ударов колёс о стыки рельсов может совпасть с периодом свободных колебаний моста. Поэтому поезда переезжают мосты медленно или, наоборот, на максимальной скорости.

Были случаи, когда рушился мост, по которому в ногу шла большая группа солдат. Отталкиваясь от моста с частотой его собственных колебаний, они раскачивали его, и мост разрушался.

Ещё пример. Если двигатель недостаточно отцентрирован или его вал содержит прогиб, то при работе такого двигателя возникает периодическая сила. Если частота этой силы совпадает с собственной частотой фундамента, то фундамент может разрушиться.

Резонанс полезен, например, когда с помощью малой силы можно сильно увеличить амплитуду вынужденных колебаний.

Так, можно раскачать язык большого колокола малой силой, если натягивать верёвку с периодом свободных колебаний языка колокола.

Другой пример полезного использования явления резонанса. На явлении резонанса основана работа частотомера – прибора предназначенного для измерения частоты переменного тока.

Принцип работы прибора заключается в следующем.

Прибор состоит из набора упругих пластинок с грузиками на концах (язычков). Массы грузиков и упругость пластинок подобраны так, чтобы собственные частоты соседних язычков отличались, например, на 0,5 Гц.

Электромагнит прибора состоит из обмоток, намотанных на магнитопровод, составленный из листов ферромагнитного материала, и якоря. Якорь представляет собой подвижную часть магнитопровода, отделённого от его неподвижной части воздушным промежутком.

При пропускании через обмотки переменного тока возникающее физическое усилие через колебания якоря передаются планке, укреплённой на гибких пластинках.

На каждый из язычков, связанных с планкой, действует гармоническая сила, частота которой равна частоте тока. Язычок, попавший в резонанс с этой силой, колеблется с большей амплитудой и показывает на шкале прибора частоту тока.

Возвращаемся к теории.

Мы говорили о гармонической силе, действующей на колебательную систему, но резонанс может наступить и при действии на колебательную систему периодической силы (не являющейся гармонической).

Например, можно периодически толкать качели, когда период толчков равен периоду собственных колебаний качели.

Но резонанс наступает и в том случае, если толкать качели, пропуская её одно качание, два качания и т. д., то есть раскачать качели можно не только толчками с периодом, равным периоду качели, но вдвое реже, втрое реже и т. д.

Это говорит о том, что негармоническое периодическое воздействие с периодом Т на качели равносильно одновременному действию гармонических сил с разными частотами, кратными наиболее низкой (основной) частоте (см. статью ” Сложение гармонических колебаний” и увидите аналогию).

В этом суть теоремы Фурье, позволяющей любую физическую величину (смещение, силу и т. д.) представлять в виде суммы этих величин, меняющихся по синусоидальному (гармоническому) закону.

Качели будут раскачиваться, когда в резонанс с собственными колебаниями качелей действует первый обертон силы, второй обертон силы и т. д.

Таким образом, периодическая негармоническая сила сильно раскачивает качели тогда, когда в резонанс с собственной частотой качелей (колебательной системы) попадает какое-либо из гармонических колебаний, входящих в состав силы.

Итак, добиться резонанса (резкого возрастания амплитуды колебаний колебательной системы) можно не только действуя на неё гармонической силой, но и действуя на неё периодической негармонической силой.

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Предыдущая запись: Затухающие колебания.

Следующая запись: Звуковые колебания. Тембр звука. Акустический резонанс.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.

Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70 .

4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний

4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс

До сих пор мы изучали процессы в механических системах под действием сил, развивающихся в самих системах. Каково будет поведение колебательных систем, к которым тем или иным способом приложена внешняя сила? Для электромагнитного контура аналогичная ситуация возникнет, если в цепь контура включить внешний источник ЭДС.

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила или внешняя ЭДС изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы или ЭДС источника. Такие колебания называются вынужденными.

Рассматривая свободные колебания в механической и электромагнитной системах, мы убедились в полной аналогии законов колебаний. Такое же сходство наблюдали для механических и электромагнитных затухающих колебаний. Следует ожидать аналогии законов в механической и электромагнитной системах и при вынужденных колебаниях.

4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом: .

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

.

Обозначим (β – коэффициент затухания), (ω₀ – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

.

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

.

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

, где .

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 22), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Решение – это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

,

где А_ампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ₀ –сдвиг фаз, т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда А_ампл., и сдвиг фаз φ₀ зависят от параметров системы (β, ω₀) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен . График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – График вынужденных колебаний.

2. Электромагнитные вынужденные колебания.

Электромагнитная система, в которой развиваются вынужденные колебания, – это LCR – контур с включенным в него внешним источником. Рассмотрим случай, когда ЭДС источника изменяется по гармоническому закону:

.

Конденсатор, как рассматривалось ранее, заряжен и при его разрядке в контуре будет идти изменяющийся по времени электрический ток, что вызовет появление в катушке индуктивности ЭДС индукции (). Согласно второму закону Кирхгофа имеем:

,

где U_C, U_R – соответственно падение напряжения на конденсаторе и активном сопротивлении.

Учитывая, что , где I – сила тока в контуре, , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора, – ЭДС индукции, запишем закон Кирхгофа в виде:

.

Записывая соотношения и , и преобразуя уравнение для закона Кирхгофа, мы получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в виде:

Окончательно дифференциальное уравнений (при использовании обозначений , ) примет вид:

.

Вид дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний такой же, как и вид дифференциального уравнения для вынужденных колебаний в механической системе. Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, поэтому все, что говорилось относительно его решений для механических колебаний верно и для электромагнитной системы. Сначала в системе возникнут и затухающие, и вынужденные колебания, но спустя некоторый промежуток времени, переходный процесс закончится и в системе установятся вынужденные колебаний с той же частотой, что и частота изменения ЭДС источника:

.

φ₀ – сдвиг фаз между изменением заряда конденсатора и действием внешней ЭДС источника.

4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

, .

Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.

,

,

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

Рисунок 4.1

,

.

Учитывая значение , ,, получим формулы для φ₀ и А_ампл. механической системы:

,

.

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график . Результаты исследования отражены в Рисунке 4.2, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

Кривые на Рисунке 4.2 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.

Рисунок 4.2 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

3. Используем данные об амплитуде и сдвиге фаз вынужденных колебаний для механической системы и выразим эти же характеристики для аналогичных величин электромагнитной системы (LCR– контур с включенным в его цепь внешним источником ЭДС, величина которой изменяется по гармоническому закону):

,

.

5. Сила тока при установившихся в контуре колебаниях равна:

,

где – амплитуда силы тока, ψ₀ – сдвиг фаз между силой тока и внешнейЭДС в контуре. Амплитуда силы тока и ψ₀ находятся по формулам:

,

, .

График зависимости представлен на Рисунке 4.3.

Рисунок 4.3

Содержание книги

Предыдующая страница

§17. Механические колебания

17.6 Вынужденные колебания. Резонанс.

17.6.1 Уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиально различных способов создания колебательных систем незатухающих колебаний. Остановимся более подробно на рассмотрении незатухающих колебаний под действием внешней периодической силы. Такие колебания называются вынужденными.

Продолжим изучение движения гармонического маятника (Рис. 225). Помимо рассмотренных ранее сил упругости и вязкого трения, на шарик действует внешняя вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону

(~F_{vn} = F_0 cos omega t) , (1)

частота, которой может отличаться от собственной частоты колебаний маятника ω₀.

Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Создать такую силу можно различными способами, например, сообщить шарику электрический заряд и поместить его во внешнее переменное электрическое поле.

Уравнение движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид

(~ma = -kx – beta upsilon + F_0 cos omega t) . (2)

Разделим его на массу шарика и используем прежние обозначения параметров системы. В результате получим уравнение вынужденных колебаний:

где (~f_0 = frac{F_0}{m}) – отношение амплитудного значения внешней вынуждающей силы к массе шарика.

Общее решение уравнения (3) достаточно громоздко и, конечно, зависит от начальных условий. Характер движения шарика, описываемого уравнением (3), понятен: под действием вынуждающей силы возникнуть колебания, амплитуда которых будет возрастать. Этот переходный режим достаточно сложен и зависит от начальных условий. По прошествии некоторого промежутка времени колебательный режим установится, их амплитуда перестанет изменяться. Именно установившийся режим колебаний, во многих случаях представляет основной интерес. Мы не будем рассматривать переход системы к установившемуся режиму, а сконцентрируем внимание на описании и изучении характеристик этого режима. При такой постановке задачи нет необходимости задавать начальные условия, так как интересующий нас установившийся режим не зависит от начальных условий, его характеристики полностью определяются самим уравнением.

С аналогичной ситуацией мы сталкивались при изучении движения тела под действием постоянной внешней силы и силы вязкого трения

(~ma = F_0 – beta upsilon) .

По прошествии некоторого времени тело движется с постоянной установившейся скоростью (~upsilon = frac{F_0}{beta}), которая не зависит от начальных условий, и полностью определяется уравнением движения. Начальные условия определяют режим, переходный к установившемуся движению.

На основании здравого смысла разумно предположить, что в установившемся режиме колебаний шарик будет колебаться с частотой внешней вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (3) следует искать в гармонической функции с частотой^[1] вынуждающей силы.

Для начала решим уравнение (3), пренебрегая силой сопротивления

(~a = -omega^2_0 x + f_0 cos omega t) . (4)

Попробуем^[2] найти его решение в виде гармонической функции

(~x = A cos omega t) . (5)

Для этого вычислим зависимости скорости и ускорения тела от времени, как производные от закона движения

(~begin{matrix} upsilon(t) = x'(t) = -A omega sin omega t \ a(t) = upsilon'(t) = -A omega^2 cos omega t end{matrix}) ,

и подставим их значения в уравнение (4)

(~-A omega^2 cos omega t = – A omega^2_0 cos omega t + f_0 cos omega t) .

Теперь можно сократить на cos ωt. Следовательно, это выражение обращается в верное тождество в любой момент времени, при выполнении условия

(~A = frac{f_0}{omega^2_0 – omega^2}) . (6)

Таким образом, наше предположение о решении уравнения (4) в виде (5) оправдалось: установившийся режим колебаний описывается функцией

(~x(t) = frac{f_0}{omega^2_0 – omega^2} cos omega t) . (7)

Отметим, что коэффициент A согласно полученному выражению (6) может как положительным (при ω₀ < ω), так и отрицательным (при ω₀ > ω). Изменение знака соответствует изменению фазы колебаний на π (причина такого изменение будет выяснена чуть позже), поэтому амплитудой колебаний является модуль этого коэффициента A. Амплитуда установившихся колебаний, как и следовало ожидать, пропорциональна величине вынуждающей силы. Кроме того, эта амплитуда сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы. Схематический график этой зависимости показан на Рис. 226.

Как следует из формулы (6) и хорошо видно на графике, при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы амплитуда резко возрастает. Причина такого возрастания амплитуды понятна: вынуждающая сила «во время» подталкивает шарик, при полном совпадении частот установившейся режим отсутствует – амплитуда возрастает до бесконечности. Конечно, на практике такого бесконечного возрастания наблюдать невозможно: во-первых, это может привести к разрушению самой колебательной системы, во-вторых, при больших амплитудах колебаний нельзя пренебрегать силами сопротивления среды.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется явлением резонанса.

Приступим теперь к поиску решения уравнения вынужденных колебаний с учетом силы сопротивления

(~a = -omega^2_0 x – 2 gamma upsilon + f_0 cos omega t) . (8)

Естественно, что и в этом случае решение следует искать в виде гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Легко заметить, что поиск решения в форме (5) в данном случае не приведет к успеху. Действительно, уравнение (8), в отличие от уравнения (4), содержит скорость частицы, которая описывается функцией синуса. Поэтому, временная часть в уравнении (8) не сократится. Следовательно, решение уравнения (8) следует представить в общей форме гармонической функции

(~x(t) = A_0 cos (omega t + varphi)) , (9)

в которой два параметра A₀ и φ необходимо найти с помощью уравнения (8). Параметр A₀ является амплитудой вынужденных колебаний, φ – сдвиг фаз между изменяющейся координатой и переменной вынуждающей силой. Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, функцию (9) можно представить в эквивалентной форме

(~x(t) = A_0 cos (omega t + varphi) = A_0 cos varphi cdot cos omega t – A_0 sin varphi cdot sin omega t = B cos omega t + C sin omega t) , (10)

которая также содержит два параметра (B = A_0 cos varphi) и (C = -A_0 sin varphi), подлежащих определению. Используя функцию (10), запишем явные выражения для зависимостей скорости и ускорения частицы от времени

(~begin{matrix} x(t) = B cos omega t + C sin omega t \ upsilon(t) = x'(t) = -B omega sin omega t + C omega cos omega t \ a(t) = upsilon'(t) = -B omega^2 cos omega t – C omega^2 sin omega t end{matrix}) (11)

и подставим в уравнение (8):

(~-B omega^2 cos omega t – C omega^2 sin omega t = -omega^2_0 (B cos omega t + C sin omega t) – 2 gamma (-B omega sin omega t + C omega cos omega t) + f_0 cos omega t) . (12)

Перепишем это выражение в виде

(~(B (omega^2_0 – omega^2) + 2 gamma omega C – f_0) cos omega t + (C (omega^2_0 – omega^2) + 2 gamma omega B) sin omega t = 0) . (13)

Для того чтобы равенство (13) выполнялось в любой момент времени необходимо, чтобы коэффициенты при косинусе и синусе были равны нулю. На основании этого условия получаем два линейных уравнения для определения параметров функции (10):

(~begin{matrix} B (omega^2_0 – omega^2) + 2 gamma omega C = f_0 \ C (omega^2_0 – omega^2) + 2 gamma omega B = 0 end{matrix}) . (14)

Решение этой системы уравнений имеет вид

(~begin{matrix} B = frac{omega^2_0 – omega^2}{(omega^2_0 – omega^2)^2 + (2 gamma omega)^2} f_0 \ C = frac{2 gamma omega}{(omega^2_0 – omega^2)^2 + (2 gamma omega)^2} f_0 end{matrix}) . (15)

На основании формулы (10) определяем характеристики вынужденных колебаний:

амплитуду

(~A_0 = sqrt{B^2 + C^2} = frac{f_0}{sqrt{(omega^2_0 – omega^2)^2 + (2 gamma omega)^2}}) , (16)

сдвиг фаз

(~operatorname{tg} varphi = -frac{C}{B} = – frac{2 gamma omega}{omega^2_0 – omega^2}) . (17)

На Рис. 227 показана схематическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний A от частоты вынуждающей силы ω. При малом затухании эта зависимость имеет резкий максимум при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте системы ω₀. Таким образом, и в этом случае возможно возникновения резонанса, поэтому построенные зависимости часто называют резонансной кривой. Учет слабого затухания показывает, что амплитуда не возрастает до бесконечности, ее максимальное значение зависит от коэффициента затухания – с возрастанием последнего максимальная амплитуда быстро убывает.

Полученная зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (16) содержит слишком много независимых параметров (f₀, ω₀, γ₀) для того, чтобы построить полное семейство резонансных кривых. Как и во многих случаях, эту зависимость можно существенно упростить, перейдя к «безразмерным» переменным. Преобразуем формулу (16) к следующему виду

(~A_0 = frac{f_0}{sqrt{(omega^2_0 – omega^2)^2 + (2 gamma omega)^2}} = frac{f_0}{omega^2_0} cdot frac{1}{sqrt{left(1 – left(frac{omega}{omega_0}right)^2 right)^2 + left(frac{2 gamma}{omega_0}right)^2 left(frac{omega}{omega_0}right)^2}}) , (16а)

и обозначим (~tilde{omega} = frac{omega}{omega_0}) – относительная частота (отношение частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы); (~tilde{A} = frac{A}{A_0}) – относительная амплитуда (отношение амплитуды колебаний к величине отклонения (~A_0 = frac{f}{omega^2_0}) при нулевой частоте); (~delta = frac{2 gamma}{omega_0} = frac{gamma T}{pi}) – безразмерный параметр^[3], определяющий величину затухания. Используя эти обозначения, функция (16) существенно упрощается

(~tilde{A} = frac{1}{sqrt{(1 – tilde{omega}^2)^2 + delta^2 tilde{omega}^2}}) , (16б)

так как содержит всего один параметр – δ. Однопараметрическое семейство резонансных кривых, описываемых функцией (16 б) может быть построено, особенно легко с помощью компьютера. Результат такого построения показан на Рис. 227а. Отметим, что переход к «обычным» единицам измерения может быть проведен элементарным изменением масштаба осей координат.

Следует отметить, что частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, также зависит от коэффициента затухания, слегка убывая с ростом последнего. Наконец, подчеркнем, что увеличение коэффициента затухания приводит к существенному увеличению ширины резонансной кривой.

Возникающий сдвиг фаз между колебаниями точки и вынуждающей силой также зависит от частоты колебаний и коэффициента их затухания. Более подробно с ролью этого сдвига фаз мы познакомимся при рассмотрении преобразования энергии в процессе вынужденных колебаний.

17.6.2 Векторное описание колебаний. Векторное сложение колебаний.

Решение уравнения вынужденных колебаний потребовало от нас достаточно громоздких тригонометрических преобразований. Аналогичные проблемы возникают и при решении других задач, связанных со сложением нескольких тригонометрических функций. Поэтому для упрощения подобных математических выкладок разработан специальный математический метод – метод векторных диаграмм, с которым мы сейчас познакомимся.

Этот метод применяется для нахождения суммы гармонических функций одинаковой частоты вида

(~x(t) = A cos (omega t + varphi)) . (1)

Каждая такая функция определяется двумя параметрами^[4] A и φ. Сумма произвольного числа слагаемых вида (1) также является гармонической функцией того же вида.

Суммирование функций вида (1) может быть проведено аналитически в самом общем случае:

(~X(t) = A_1 cos (omega t + varphi_1) + A_2 cos (omega t + varphi_2) + A_3 cos (omega t + varphi_3) + ldots = sum_k^N A_k cos (omega t + varphi_k) = sum_k^N A_k (cos omega t cdot cos varphi_k – sin omega t cdot sin varphi_k) = left( sum_k^N A_k cos varphi_k right) cos omega t – left( sum_k^N A_k sin varphi_k right) sin omega t = A_0 cos (omega t + varphi_0)) ,

где амплитуда результирующей функции равна

(~A_0 = sqrt{left( sum_k^N A_k cos varphi_k right)^2 + left( sum_k^N A_k sin varphi_k right)^2}) , (2)

а ее фаза удовлетворяет условию

(~operatorname{tg} varphi_0 = -frac{left( sum_k^N A_k sin varphi_k right)}{left( sum_k^N A_k cos varphi_k right)}) . (3)

Поведенным преобразованиям можно дать наглядное геометрическое, векторное истолкование. Изучение колебаний мы начали с рассмотрения связи между равномерным вращением вектора и закона движения его проекции. На рис. 228 восстановлена эта связь. Теперь мы скажем, что вектор длиной A, направленный под углом φ к одной из осей может представлять функцию (1). Теперь вместо аналитического сложения функций этого вида можно геометрически сложить векторы, изображающие отдельные слагаемые. При этом важно подчеркнуть, что все функции имеют одинаковые частоты, следовательно, изображающие их векторы вращаются с одной и той же угловой скоростью, поэтому углы между ними не изменяются. Можно сделать следующий шаг – «забыть» об их вращении^[5], а складывать неподвижные векторы. Окончательным результатом суммирования будет являться проекция суммарного вектора на исходную ось. Так Рис. 229 иллюстрирует сложение двух гармонических функций с разными амплитудами и разными начальными фазами. Амплитуду A₀ и фазу φ₀ результирующего колебания можно найти геометрически.

Полезно также запомнить геометрическое представление других тригонометрических функций (Рис. 230). Для этого следует воспользоваться тригонометрическими формулами приведения и «привести» эти функции к виду (1):

(~begin{matrix} sin omega t = cos left(omega t – frac{pi}{2} right) \ -cos omega t = cos (omega t pm pi) \ -sin omega t = cos left(omega t + frac{pi}{2} right) end{matrix}) .

Продемонстрируем применение метода векторных диаграмм для решения уравнения вынужденных колебаний.

(~a = -omega^2_0 x – 2 gamma upsilon + f_0 cos omega t) . (4)

Зависимости координаты, скорости и ускорения частицы запишем в виде

(~begin{matrix} x(t) = A cos (omega t + varphi) \ upsilon(t) = x'(t) = -A omega sin (omega t + varphi) = A omega cos left(omega t + varphi + frac{pi}{2} right) \ a(t) = upsilon'(t) = -A omega^2 cos (omega t + varphi) = A omega^2 cos (omega t + varphi + pi) end{matrix}) . (5)

Подставим эти выражения в уравнение (4), которое запишем в виде

(~begin{matrix} a + 2 gamma upsilon + omega^2_0 x = f_0 cos omega t \ A omega^2 cos (omega t + varphi + pi) + 2 gamma A omega cos left(omega t + varphi + frac{pi}{2} right) + omega^2_0 A cos (omega t + varphi) = f_0 cos omega t end{matrix}) . (6)

Теперь формально это уравнение имеет следующий смысл: сумма трех гармонических функций с разными амплитудами и фазами равна известной гармонической функции (вынуждающей силе). Изобразим векторную диаграмму суммы трех слагаемых. Пока неизвестное направление оси, от которой отсчитываются углы, можно выбрать произвольно (на рис. 231 она выбрана горизонтально).

Рис. 231

Геометрическая сумма этих трех векторов (найти которую в данном случае можно элементарно) должна быть равна вектору, изображающему вынуждающую силу. Так как в исходном уравнении именно эта функция имеет нулевую фазу, то отсчет угла сдвига фаз должен проводится именно от этого вектора. Так на приведенном рисунке этот угол отрицателен, так поворот от вектора, изображающего вынуждающую силу, к вектору, изображающему зависимость x(t), осуществляется в отрицательном направлении («по часовой стрелке»).

Используя построенную диаграмму легко записать уравнение, связывающее амплитуду колебаний и амплитуду вынуждающей силы (на основании теоремы Пифагора):

(~A^2 (omega^2_0 – omega^2)^2 + A^2 (2 gamma omega)^2 = f^2_0) ,

из которого следует выражение для амплитуды вынужденных колебаний

(~A_0 = frac{f_0}{sqrt{(omega^2_0 – omega^2)^2 + (2 gamma omega)^2}}) , (7)

естественно, совпадающее с полученным ранее аналитическим методом. Векторная диаграмма дает такое же выражение и для сдвига фаз

(~operatorname{tg} varphi = – frac{2 gamma omega}{omega^2_0 – omega^2}) . (8)

Таким образом, метод векторных диаграмм позволяет получать точные формулы гораздо быстрее, чем традиционный аналитический метод, основанный на громоздких преобразованиях тригонометрических формул.

17.6.3 Превращения энергии при вынужденных колебаниях.

Внешняя сила, действующая на колебательную систему, совершает работу, следовательно, в систему поступает энергия. Полезно рассмотреть превращения энергии в ходе вынужденных колебаний. Для этого поступим уже традиционным образом:

динамическое уравнение^[6] колебаний

(~a = -omega^2_0 x – 2 gamma upsilon + f_0 cos omega t) , (1)

умножим на скорость

(~a cdot upsilon = -omega^2_0 x cdot upsilon – 2 gamma upsilon cdot upsilon + f_0 cos omega t cdot upsilon)

и перепишем в виде

(~f_0 cos omega t cdot upsilon = a cdot upsilon + omega^2_0 x cdot upsilon + 2 gamma upsilon cdot upsilon ) . (2)

В этом уравнении каждое слагаемое имеет наглядный физический смысл. Так функция (P_0(t) = f_0 cos omega t cdot upsilon(t)) описывает мгновенную мощность, развиваемой внешней вынуждающей силой. Величина (2 gamma upsilon cdot upsilon = f_{sopr}(t) cdot upsilon(t) = P_{poteri}(t)) является мощностью силы сопротивления и описывает потери механической энергии в единицу времени.

Слагаемое (a(t) cdot upsilon(t)) преобразовывается следующим образом

(~a(t) cdot upsilon(t) = upsilon frac{Delta upsilon}{Delta t} = frac{Delta left(frac{upsilon^2}{2} right)}{Delta t} = frac{Delta E_{kin}}{Delta t})

и равно скорости изменения кинетической энергии колеблющегося тела ΔE_kin. Наконец,

(~ omega^2_0 x cdot upsilon = omega^2_0 x frac{Delta x}{Delta t} = frac{Delta left(frac{omega^2_0 x^2}{2} right)}{Delta t} = frac{Delta U}{Delta t})

есть мощность силы упругости, равная скорости изменения потенциальной энергии системы U. С учетом проведенных преобразований, уравнение (2) приобретает смысл закона сохранения и превращения энергии:

(~P_0 Delta t = Delta (E_{kin} + U) + P_{poteri} Delta t) , (3)

энергия, переданная посредством работы внешней силы, расходуется на увеличение механической энергии системы и работу против сил сопротивления (равную в свою очередь, потерям механической энергии).

Полученное уравнение (3) справедливо для любого промежутка времени, в том числе и на стадии переходного режима. Применим его к режиму установившихся колебаний. В этом режиме колебания являются гармоническими, поэтому за время равное периоду колебаний все характеристики движения (координата, скорость, кинетическая и потенциальная энергия) возвращаются к исходным значениям. Если в уравнении (3) интервал времени Δt положить равным периоду колебаний, то изменение полной энергии будет равно нулю, что приводит к очевидному результату: работа внешней силы за период колебаний равна работе против силы сопротивления. Иными словами, вся энергия, поступающая в систему, превращается в теплоту, выделяющуюся из-за наличия сил сопротивления.

Не составляет труда получить точные значения механической энергии и мощностей всех сил в процессе вынужденных колебаний. Зависимости координаты и скорости от времени нам известны и описываются формулами

(~begin{matrix} x(t) = A_0 cos (omega t + varphi) \ upsilon(t) = -A_0 omega sin (omega t + varphi) end{matrix}) . (4)

В этом режиме полная механическая энергия системы равна

(~E + U = frac{upsilon^2}{2} + frac{omega^2_0 x^2}{2} = frac{A^2_0}{2} (omega^2 sin^2 (omega t + varphi) + omega^2_0 cos^2 (omega t + varphi)) = frac{A^2_0 omega^2_0}{2} left(1 + frac{omega^2 – omega^2_0}{omega^2_0} sin^2 (omega t + varphi) right) ) . (5)

Ее значение колеблется вокруг некоторого среднего значения.

Мощности внешней силы и силы сопротивления описываются формулами

(~begin{matrix} P_0 = f_0 cos omega t cdot upsilon = -A_0 omega f_0 cos omega t sin (omega t + varphi) \ P_{poteri} = 2 gamma upsilon^2 = 2 gamma A^2_0 omega^2 sin^2 (omega t + varphi) end{matrix}) . (6)

Причем первая принимает как положительные, так и отрицательные значения, а вторая все время положительна.

На рисунке 232 показаны графики зависимостей от времени внешней силы, координаты и скорости частицы, ниже построены графики зависимости от времени мощностей внешней силы и силы сопротивления, а также механической энергии. Графики построены для случая, когда частота вынуждающей силы меньше собственной частоты системы ω < ω₀, а затухание незначительно. На графиках выделены интервалы времени, когда работа внешней силы положительна, то есть когда энергия поступает в систему.

Эти графики показывают, что мгновенные значения энергетических характеристик даже в установившемся режиме достаточно сложно взаимосвязаны между собой – энергия, сообщаемая внешней силой, расходуется на изменение энергии системы (как кинетической, так и потенциальной), кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, часть энергии теряется из-за наличия сопротивления.

Более проста ситуация в случае точного резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы. В этом случае механическая энергия системы остается постоянной, поэтому в любой момент времени мощность внешней силы в точности равна мощности потерь. Сдвиг фаз между вынуждающей силой и координатой точки равен ±π, что приводит к тому, что изменение скорости точки синфазно с изменением внешней силы.

Следует отметить, что рассмотрение мгновенных энергетических характеристик представляет скорее академический интерес, с точки зрения практических применений более важно рассмотрение этих характеристик, усредненных по промежутку времени, значительно превышающему период колебаний. Тем более, это справедливо в тех случаях, когда частота колебаний настолько велика, что различить отдельное колебание не представляется возможным^[7].

Проведем расчет усредненных энергетических характеристик в установившемся режиме вынужденных колебаний.

Для начала получим одну важную математическую формулу, которую неоднократно будем использовать в дальнейшем. Пусть две функции изменяются по гармоническому закону с одной и той же частотой

(~begin{matrix} X_1(t) = A_1 cos (omega t + varphi_1) \ X_2(t) = A_2 cos (omega t + varphi_2) end{matrix}) . (7)

Найдем среднее значение произведения этих функций, используя тригонометрическую формулу для произведения косинусов

(~<X_1(t) cdot X_2(t)> = A_1 A_2 <cos (omega t + varphi_1) cdot cos (omega t + varphi_2)> = frac{A_1 A_2}{2} <cos (varphi_1 – varphi_2) + cos (2 omega t + varphi_1 + varphi_2)>) .

Первое слагаемое (косинус разности фаз) не зависит от времени, второе – является переменной функцией времени, очевидно, что ее среднее значение равно нулю. Таким образом, мы получаем, что среднее произведение двух функций равно половине произведения амплитуд, умноженной на косинус сдвига фаз между ними

(~<X_1(t) cdot X_2(t)> = frac{A_1 A_2}{2} cos (varphi_1 – varphi_2)) . (8)

Частные случаи этой формулы, очевидны, и ранее уже применялись нами. Так при сдвиге фаз равном нулю среднее произведение равно половине произведения амплитуд – ранее мы показали, что среднее значение квадрата косинуса (и синуса) равно 0,5; при сдвиге фаз равном (~pm frac{pi}{2}) среднее произведение равно нулю.

Полученная формула имеет красивую геометрическую интерпретацию на языке векторного представления колебаний. Если гармонические функции представить в векторной форме (в виде вращающихся векторов), то их среднее произведение в соответствии с полученной формулой (8) равно половине скалярного произведения векторов, изображающих функции-сомножители (рис. 233). Обратимся еще раз к рис. 231, на котором построена векторная диаграмма, иллюстрирующая процесс вынужденных колебаний. С ее помощью легко получить те же энергетические характеристики, которые мы нашли аналитически. Убедитесь в этом самостоятельно.

В заключение данного раздела получим явное выражение для средней мощности внешней силы (и равной ей мощности потерь) при вынужденных колебаниях. Эту величину разумно назвать средней мощностью поглощаемой системой. Проще всего это сделать, усредняя мгновенную мощность потерь (6)

(~<P_{poteri}> = <2 gamma A^2_0 omega^2 sin^2 (omega t + varphi)> = 2 gamma A^2_0 omega^2 frac{1}{2} = frac{gamma f^2_0 omega^2}{sqrt{(omega^2_0 – omega^2)^2 + (2 gamma omega)^2}}) , (9)

при выводе этой функции использовано явное выражение для амплитуды вынужденных колебаний. Схематические графики зависимости поглощенной энергии от частоты вынуждающей силы при различных значениях параметра затухания показаны на рис. 234. Эти графики похожи на зависимости амплитуды от частоты вынуждающей силы (Рис. 227а), но следует помнить, что это, все-таки, разные функции.

Примечания

1. ↑ В последовательности нашего изучения колебаний мы все время уходим от частоты собственных колебаний: частота свободных незатухающих колебаний совпадает с собственной частотой, частота затухающих колебаний немного меньше собственной, а частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы, а не собственной частотой.
2. ↑ Строгое решение этого уравнения изобилует простыми, но объемными, математическими выкладками, которые затуманивают физический смысл получаемых результатов. Поэтому, мы фактически, будем стараться угадать его решение, основываясь на здравом физическом смысле. Во-первых, такой подход является физическим, а, во-вторых, полученные нами результаты могут быть строго обоснованы математически.
3. ↑ Для любителей новых слов укажем, что эта величина называется декрементом затухания и очень часто встречается в теории колебаний.
4. ↑ Частоту колебаний ω считаем заданной.
5. ↑ Для физиков можно сказать о переходе во вращающуюся систему отсчета.
6. ↑ Напомним, что уравнение следует из второго закона Ньютона, которое мы разделили на массу движущегося тела. Слагаемые, стоящие в правой части этого уравнения имеет смысл «удельных» сил, то есть отношений сил к массе тела. Для упрощения изложения в дальнейшем эти слагаемые мы также будем называть «силами»[-omega^2_0 x] – сила упругости, (2 gamma upsilon) – сила сопротивления, (+f_0 cos omega t) – вынуждающая сила. Аналогично, энергетические характеристики так же относятся единице массы, поэтому величину (~frac{upsilon^2}{2}) будем называть кинетической энергией, а величину (~frac{omega^2_0 x^2}{2}) – потенциальной энергией системы. Кому такие переименования не нравятся, может все выражения этого раздела умножить на массу тела и любоваться знакомыми формулами.
7. ↑ Наиболее ярким примером такого положения является изучение взаимодействие света с веществом, где ни один прибор не в состоянии выделить отдельное колебание электромагнитной волны.

Следующая страница