Arctg это как найти – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α	-1	-32	-22	-12	0	12	22	32
arcsin αкак угол	в радианах	-π2	-π3	-π4	-π6	0	π6	π4	π3
в градусах	-90°	-60°	-45°	-30°	0°	30°	45°	60°
arcsin α как число	-π2	-π3	-π4	-π6	0	π6	π4	π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α	-1	-32	-22	-12	0	12	22	32	1
arccos αкак угол	в радианах	π	5π6	3π4	2π3	π2	π3	π4	π6	0
в градусах	180°	150°	135°	120°	90°	60°	45°	30°	0°
arccos α как число	π	5π6	3π4	2π3	π2	π3	π4	π6	0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α	-3	-1	-33	0	33	1	3
arctg aкак угол	в радианах	-π3	-π4	-π6	0	π6	π4	π3
в градусах	-60°	-45°	-30°	0°	30°	45°	60°
arctg a как число	-π3	-π4	-π6	0	π6	π4	π3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

При поиске значения арктангенса 0,9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Источник

Определение
График арктангенса
Свойства арктангенса
Таблица арктангенсов

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:

arctg x = tg^-1 x = y, причем -π/2<y<π/2

Примечание: tg^-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg^-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

График арктангенса

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Таблица арктангенсов


arctg x (°)	arctg x (рад)	x
-90°	-π/2	-∞
-71.565°	-1.2490	-3
-63.435°	-1.1071	-2
-60°	-π/3	-√3
-45°	-π/4	-1
-30°	-π/6	-1/√3
-26.565°	-0.4636	-0.5
0°	0	0
26.565°	0.4636	0.5
30°	π/6	1/√3
45°	π/4	1
60°	π/3	√3
63.435°	1.1071	2
71.565°	1.2490	3
90°	π/2	∞

microexcel.ru

Источник

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: ${displaystyle sin ^{-1},{frac {1}{sin }},}$ но они не прижились^[1].
Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п.^[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, $arcsin 1/2$ означает множество углов $left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right )$ , синус которых равен $1/2$ . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии $-1leqslant alpha leqslant 1$ все решения уравнения $sin x=alpha$ можно представить в виде $x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~.$ ^[3]

Основное соотношение[править | править код]

$arcsin x+arccos x={frac {pi }{2}}$

$operatorname {arctg},x+operatorname {arcctg},x={frac {pi }{2}}$

Функция arcsin[править | править код]

График функции $y=arcsin x$

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого ${displaystyle sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1.}$

Функция $y=arcsin x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arcsin[править | править код]

Получение функции arcsin[править | править код]

Дана функция $y=sin x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=arcsin x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок ${displaystyle [-pi /2;pi /2]}$ , на котором функция $y=sin x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке ${displaystyle [-pi /2;pi /2]}$ существует обратная функция $y=arcsin x$ , график которой симметричен графику функции $y=sin x$ относительно прямой $y=x$ .

Функция arccos[править | править код]

График функции $y=arccos x$

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого ${displaystyle cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,quad |x|leqslant 1.}$

Функция $y=arccos x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

Свойства функции arccos[править | править код]

Получение функции arccos[править | править код]

Дана функция $y=cos x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=arccos x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[0;pi ]$ , на котором функция $y=cos x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[0;pi ]$ существует обратная функция ${displaystyle y=arccos x}$ , график которой симметричен графику функции $y=cos x$ относительно прямой $y=x$ .

Функция arctg[править | править код]

График функции $y=operatorname {arctg},x$

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла ${displaystyle y,}$ выраженное в радианах, для которого ${displaystyle operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}.}$

Функция $y=operatorname {arctg}x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arctg[править | править код]

Получение функции arctg[править | править код]

Дана функция $y=operatorname {tg},x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=operatorname {arctg},x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал ${displaystyle (-pi /2;pi /2)}$ , на котором функция $y=operatorname {tg},x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале ${displaystyle (-pi /2;pi /2)}$ существует обратная функция $y=operatorname {arctg},x$ , график которой симметричен графику функции $y=operatorname {tg},x$ относительно прямой $y=x$ .

Функция arcctg[править | править код]

График функции ${displaystyle y=operatorname {arcctg} x}$

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${displaystyle operatorname {ctg} ,y=x,quad 0<y<pi .}$

Функция $y=operatorname {arcctg},x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

Свойства функции arcctg[править | править код]

Получение функции arcctg[править | править код]

Дана функция $y=operatorname {ctg},x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=operatorname {arcctg},x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(0;pi )$ , на котором функция $y=operatorname {ctg},x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(0;pi )$ существует обратная функция $y=operatorname {arcctg},x$ , график которой симметричен графику функции $y=operatorname {ctg},x$ относительно прямой $y=x$ .

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, $xrightarrow -x$ ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы $operatorname {arcctg}x=operatorname {arctg}(-x)+pi /2.$

Функция arcsec[править | править код]

График функции ${displaystyle y=operatorname {arcsec} x}$

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${displaystyle sec y=x,qquad |x|geqslant 1,quad 0leqslant yleqslant pi .}$

Функция ${displaystyle y=operatorname {arcsec} x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

Свойства функции arcsec[править | править код]

Функция arccosec[править | править код]

График функции ${displaystyle y=operatorname {arccosec} x}$

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ${displaystyle operatorname {cosec} y=x,qquad |x|geqslant 1,quad -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}$

Функция ${displaystyle y=operatorname {arccosec} x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

Свойства функции arccosec[править | править код]

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Примечание
${displaystyle arcsin {x}}$	${frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. ${displaystyle sin(arcsin((x))=x}$ После чего мы должны взять производную этих обеих функций. ${displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}$ ${displaystyle cos(arcsin(x))cdot (arcsin(x))'=1}$ Теперь мы должны выразить производную арксинуса. ${displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{cos(arcsin(x))}}}$ Исходя из тригонометрического тождества( ${displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}$ ) — получаем. ${displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{pm {sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}}$ Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения. ${displaystyle D(cos(x))=[{frac {pi }{2}};-{frac {pi }{2}}]}$ Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный. ${displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}$ Получается. ${displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$
${displaystyle arccos {x}}$	$-{frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: ${displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={frac {pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({frac {pi }{2}})'}$ ${displaystyle (arcsin(x))'+(arccos(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккосинуса. ${displaystyle (arccos(x))'=-(arcsin(x))'}$ Получается. ${displaystyle (arccos(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$
${displaystyle mathrm {arctg} x}$	${displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции: ${displaystyle tg(arctg(x))=x}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}$ ${displaystyle {frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}cdot (arctg(x))'=1}$ Теперь мы должны выразить производную арктангенса: ${displaystyle (arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))}$ Теперь на помощь нам придет на помощь тождество( ${displaystyle cos(x)={frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(x)}}}}$ ): ${displaystyle (arctg(x))'=({frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}}$ Получается. ${displaystyle (arctg(x))'={frac {1}{1+x^{2}}}}$
${displaystyle mathrm {arcctg} x}$	${displaystyle -{frac {1}{1+x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: ${displaystyle arctg(x)+arcctg(x)={frac {pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({frac {pi }{2}})'}$ ${displaystyle (arctg(x))'+(arcctg(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккотангенса. ${displaystyle (arcctg(x))'=-(arctg(x))'}$ Получается. ${displaystyle (arcctg(x))'=-{frac {1}{1+x^{2}}}}$
${displaystyle mathrm {arcsec} x}$	${displaystyle {frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$	Доказательство Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: ${displaystyle arcsec(x)=arccos({frac {1}{x}})}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({frac {1}{x}}))'}$ ${displaystyle (arcsec(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}cdot (-{frac {1}{x^{2}}})}$ ${displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{sqrt {frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}$ ${displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}}$ Получается. ${displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${displaystyle mathrm {arccosec} x}$	${displaystyle -{frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$	Доказательство Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: ${displaystyle arccosec(x)+arcsec(x)={frac {pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({frac {pi }{2}})'}$ ${displaystyle (arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккосинуса. ${displaystyle (arccosec(x))'=-(arcsec(x))'}$ Получается. ${displaystyle (arccosec(x))'=-{frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Для действительных и комплексных x:

${begin{aligned}int arcsin x,dx&{}=x,arcsin x+{sqrt {1-x^{2}}}+C,\int arccos x,dx&{}=x,arccos x-{sqrt {1-x^{2}}}+C,\int operatorname {arctg},x,dx&{}=x,operatorname {arctg},x-{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname {arcctg},x,dx&{}=x,operatorname {arcctg},x+{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C.end{aligned}}$

Для действительных x ≥ 1:

${begin{aligned}int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C.end{aligned}}$

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править код]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол.
Так, если катет длины $a$ является противолежащим для угла $alpha$ , то

${displaystyle alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a).}$

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

${displaystyle {begin{aligned}arcsin z&{}=-iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})={frac {pi }{2}}-iln(z+{sqrt {z^{2}-1}})=-ioperatorname {arsh} ,iz,end{aligned}}}$

${displaystyle arccos(z)={dfrac {pi }{2}}+iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})=-ioperatorname {arch} (iz)}$

${displaystyle operatorname {arctg} (z)={dfrac {i}{2}}(ln(1-iz)-ln(1+iz))=-ioperatorname {arth} (iz)}$

${displaystyle operatorname {arcctg} (z)={dfrac {i}{2}}left(ln left({dfrac {z-i}{z}}right)-ln left({dfrac {z+i}{z}}right)right)=ioperatorname {arcth} (iz)}$

${displaystyle operatorname {arcsec}(z)=arccos left(z^{-1}right)={dfrac {pi }{2}}+iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right),}$

${displaystyle operatorname {arccosec} ,(z)=arcsin left(z^{-1}right)=-iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right).}$

См. также[править | править код]

Обратные гиперболические функции
Теорема Данжуа — Лузина

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист.

Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым).

Список проблемных доменов

dic.academic.ru

Источник

Понятие арктангенса
График и свойства функции y=arctgx
Уравнение tgx=a
Понятие арккотангенса
График и свойства функции y=arcctgx
Уравнение ctgx=a
Формулы преобразований аркфункци
Примеры

Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения (xinmathbb{R}) – см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения (xinmathbb{R}) – см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций – см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арктангенса

В записи (y=tgx) аргумент x – это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от (-infty;) до (+infty). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (tgx=1), то (x=fracpi4+pi k, kinmathbb{Z}); если (tgx=0), то (x=pi k, kinmathbb{Z}) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: (-fracpi2leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).

Арктангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin[-fracpi2; fracpi2]), тангенс которого равен (a). $$ arctg a=x Leftrightarrow begin{cases} tgx=a\ -fracpi2leq xleq fracpi2 end{cases} $$

Например:

(arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6, arctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{3}, arctg1=fracpi4).

п.2. График и свойства функции y=arctgx

График и свойства функции y=arctg x
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (-fracpi2leq arctgxleq fracpi2).
Область значений (yinleft(-fracpi2; fracpi2right))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=fracpi2 text{при} xrightarrow +infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=-fracpi2 text{при} xrightarrow -infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=pmfracpi2).
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: (arctg(-x)=-arctg(x)).

п.3. Уравнение tgx=a

На оси тангенсов каждому углу на числовой окружности в интервале (-fracpi2leq xleq fracpi2) соответствует одно действительное число.

Например:
1) Решим уравнение (tgx=frac{1}{sqrt{3}})
Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (fracpi6) на числовой окружности, (arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6).
Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ:
(x=fracpi6+pi k)

2) Решим уравнение (tgx=2)
Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (arctg2) на числовой окружности.
Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ:
(x=arctg2+pi k)

В общем случае:

Уравнение (tgx=a) имеет решения $$ x=arctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$

п.4. Понятие арккотангенса

По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: (0lt xlt pi) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).

Арккотангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin(0;pi)), котангенс которого равен (a). $$ arcctg a=x Leftrightarrow begin{cases} ctgx=a\ 0lt xlt pi end{cases} $$

Например:

(arcctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi3, arcctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{6}, arcctg1=fracpi4).

п.5. График и свойства функции y=arcctgx

График и свойства функции y=arcctg x
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (0lt arcctgxlt pi).
Область значений (yin(0;pi))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=pi text{при} xrightarrow -infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=0 text{при} xrightarrow +infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=0 text{и} y=pi).
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.

п.6. Уравнение ctgx=a

Уравнение ctgx=a

В общем случае:

Уравнение (ctgx=a) имеет решения $$ x=arcctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$

Часто уравнение (ctgx=a) преобразуют в уравнение (tgx=frac{1}{a}), и ищут его корни.
Например:
1) (ctgx=sqrt{3})
(x=fracpi6+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{sqrt{3}})
Получаем тот же ответ: (x=fracpi6+pi k)

2) (ctgx=2)
(x=arcctg2+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{2})
Получаем ответ: (x=arctgfrac12+pi k)
Очевидно, что (arcctg 2=arctgfrac{1}{2}) (см. ниже формулы для аркфункций).

п.7. Формулы преобразования аркфункций

Аркфункции от обратных тригонометрических функций

begin{gather*} arcsin(sinalpha)=alpha, alphainleft[-fracpi2;fracpi2right], arccos(cosalpha)=alpha, alphain[0;pi]\ arctg(tgalpha)=alpha, alphainleft(-fracpi2;fracpi2right), arcctg(ctgalpha)=alpha, alphain(0;pi) end{gather*}

Аркфункции отрицательных аргументов

begin{gather*} arcsin(-alpha)=-arcsinalpha, arccos(-alpha)=pi-arccosalpha\ arctg(-alpha)=-arctgalpha, arcctg(-alpha)=pi-arcctgalpha end{gather*}

Суммы аркфункций

begin{gather*} arcsinalpha+arccosalpha=fracpi2, arctgalpha+arcctgalpha=fracpi2 end{gather*}

Сводная таблица тригонометрических функций от аркфункций

	arcsin	arccos	arctg	arcctg
sin	begin{gather} a\ ain[-1;1] end{gather}	begin{gather} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather}	begin{gather} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather}	begin{gather} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather}
cos	begin{gather} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather}	begin{gather} a\ ain[-1;1] end{gather}	begin{gather} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather}	begin{gather} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather}
tg	begin{gather} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather}	begin{gather} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather}	begin{gather} a\ ainmathbb{R} end{gather}	begin{gather} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather}
ctg	begin{gather} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather}	begin{gather} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather}	begin{gather} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather}	begin{gather} a\ ainmathbb{R} end{gather}

Аркфункции, выраженные через другие аркфункции

arcsin
arccos	$$ arcsina= begin{cases} arccossqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ -arccossqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arctg	$$ arcsina=arctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$
arcctg	$$ arcsina= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ -arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}-pi, -1leq alt 0 end{cases} $$

arccos
arcsin	$$ arccosa= begin{cases} arcsinsqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ pi-arcsinsqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arctg	$$ arccosa= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ pi+arctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arcctg	$$ arccosa=arcctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$

arctg
arcsin	$$ arctga=arcsinfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$
arccos	$$ arctga= begin{cases} arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ -arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$
arcctg	$$ arctga=arcctgfrac{1}{a}, ane 0 $$

arcctg
arcsin	$$ arcctga= begin{cases} arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ pi-arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$
arccos	$$ arcctga=arccosfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$
arctg	$$ arcctga=arctgfrac{1}{a}, ane 0 $$

п.8. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arctgx) область определения (xinmathbb{R}), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=tgx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) (главная ветвь) и область значений (yinmathbb{R}).
Строим графики:
Пример 1
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (tg x=-1)
(x=fracpi4+pi k)

б) (ctgx=-1)
(x=frac{3pi}{4}+pi k)

Если решать через (tgx=-1)
(x=-fracpi4+pi k)

в) (tg x=-5)
(x=arctg(-5)+pi k=-arctg5+pi k)

г) (ctgx=3)
(x=arcctg3+pi k)

Если решать через (tgx=frac13)
(x=arctgfrac13+pi k)

Пример 3. Вычислите:
a) (2arccosleft(-frac12right)+arctg(-1)+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}=2cdotfrac{2pi}{3}-fracpi4+fracpi4=frac{4pi}{3})
б) (arcsin1-arccosfrac{sqrt{3}}{2}-arctg(sqrt{-3})=arcsin1-fracpi3+fracpi3=arcsin1)
в) (arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4)
г) (5-2arccos0+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}+3arccosfrac{sqrt{2}}{2}=5-2cdotfracpi2+fracpi4+3cdotfracpi4=5)

Пример 4. Постройте графики функций:
(a) y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right))
Сумма арккосинусов (arccosa+arccos(-a)=pi), где (-1leq aleq 1).
Получаем систему для определения ОДЗ: begin{gather*} -1leq frac{1}{x}leq 1Rightarrow 0leq frac{1}{x}+1leq 2Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x+1}{x}leq 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{-x+1}{x}leq 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x-1}{x}geq 0 end{cases} Rightarrow\ Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ x+1geq 0\ x-1geq 0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x+1leq 0\ x-1leq 0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ xgeq 1 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ xleq -1 end{cases} end{array} right. Rightarrow xleq -1cup xgeq 1 end{gather*} Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1leqfrac{1}{x}leq 1Leftrightarrow |frac{1}{x}|leq 1Leftrightarrow |x|geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме (xnotin(-1;1).) $$ y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xnotin (-1;1) end{cases} $$ Строим график:
Пример 4а

(б) y=arcctg(sqrt{x})+arcctg(-sqrt{x}))
Сумма арккотангенсов (arcctga+arcctg(-a)=pi), где (ainmathbb{R})
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: (xgeq 0)
$$ y=arcctgleft(sqrt{x}right)+arcctgleft(-sqrt{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xgeq 0 end{cases} $$ Строим график:
Пример 4б

Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctgleft(fracpi4right), arcsinleft(fracpi4right), arctg1 $$

Способ 1. С помощью числовой окружности.

Отмечаем точку (fracpi4) на оси синусов (ось OY) и точки (fracpi4) и 1 на оси тангенсов (касательная к окружности).
На пересечении с числовой окружностью получаем искомые углы.
В порядке возрастания: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$

Способ 2. Аналитический
Арктангенс – функция возрастающая: (fracpi4approx 0,79lt 1Rightarrow arctgleft(fracpi4right)lt arctg 1)
Сравним (arctg1=fracpi4=arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)) и (arcsinleft(fracpi4right))
(frac{sqrt{2}}{2} ? fracpi4) – возведем в квадрат обе части
(frac12 ? frac{pi^2}{16}Leftrightarrow 8 ? pi^2)
(8ltpi^2Rightarrowfrac{sqrt{2}}{2}ltfracpi4 Rightarrow arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)lt arcsinleft(fracpi4right)Rightarrow 1lt arcsinleft(fracpi4right))
Получаем: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$

Пример 6*. Решите уравнения:

a) (arccosx=arctgx)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: (-1leq xleq 1)
Арккосинус ограничен (0leq arccosxleq pi), арктангенс (-fracpi2leq arctgxltfracpi2)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arctgxlt fracpi2) и (0leq arccos xlt fracpi2) $$ arccosx=arctgxLeftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq arctgxltfracpi2\ 0leq arccosxltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq x\ 0lt xleq 1 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ 0lt xlt 1 end{cases} $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для (cos(arctgx)).
Выведем её. Пуcть (arctgx=varphi). Тогда (x=tgvarphi) и $$ cos(arctgx)=cosvarphi=sqrt{frac{1}{1+tg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}} $$ Получаем уравнение: $$ x=sqrt{frac{1}{1+x^2}}Rightarrow x^2=frac{1}{1+x^2}Rightarrow x^2(1+x^2)=1Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5, x^2=frac{-1pmsqrt{5}}{2} $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень (x^2=frac{sqrt{5}-1}{2})
Откуда (x=pmsqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
По условию (0lt xlt 1). Получаем (x=sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
Ответ: (sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})

б) (arccos^2x+arcsin^2x=frac{5pi^2}{36})
Используем формулу для суммы: (arccosx+arcsinx=fracpi2)
Получаем: begin{gather*} arccos^2x+left(fracpi2-arccosxright)^2=frac{5pi^2}{36}\ arccos^2x+frac{pi^2}{4}-pi arccosx+arccos^2x=frac{5pi^2}{36}\ 2arccos^2x-pi arccosx+frac{pi^2}{9}=0\ D=(-pi)^2-4cdot 2cdot frac{pi^2}{9}=pi^2-frac89pi^2=frac{pi^2}{9}\ arccosx=frac{pipmfracpi3}{4}Rightarrow left[ begin{array} {l l} arccosx_1=fracpi6\ arccosx_2=fracpi3 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=cosfracpi6=frac{sqrt{3}}{2}\ x_2=cosfracpi3=frac12 end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{frac12; frac{sqrt{3}}{2}right})

в) (arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}})
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: ( -1leq frac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1)
Арксинус ограничен (-fracpi2leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}leqfracpi2), арккотангенс (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltpi)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2) и (0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2). begin{gather*} arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2\ 0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow\ Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{2}lt 1\ 0leq sqrt{frac{2}{x+1}} end{cases} Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{4}lt 1\ frac{4}{x+1}geq 0 end{cases} end{gather*} Для ОДЗ получаем: $$ begin{cases} 0leq 3x+2lt 4\ x+1gt 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} -2leq 3x lt 2\ xgt -1 end{cases} Rightarrow begin{cases} -frac23leq x lt frac23\ xgt -1 end{cases} Rightarrow -frac23leq xltfrac23 $$ ОДЗ: (-frac23leq xlt frac23)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть (arcctgx=varphi Rightarrow x=ctgvarphi)
Тогда (sin(arcctgx)=sinvarphi=sqrt{frac{1}{1+ctg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}})
Правая часть уравнения: $$ sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)= sqrt{frac{1}{1+left(sqrt{frac{2}{x+1}}right)}}= sqrt{frac{1}{1+frac{2}{x+1}}}=sqrt{frac{x+1}{x+3}} $$ Подставляем: begin{gather*} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sqrt{frac{x+1}{x+3}}Rightarrow frac{3x+2}{4}=frac{x+1}{x+3}Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)Rightarrow\ Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4Rightarrow 3x^2+7x+2=0\ D=49-4cdot 3cdot 2=25\ x=frac{-7pm5}{6}Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=-2 – text{ не подходит по ОДЗ}\ x_2=-frac13 end{array} right. end{gather*} Ответ: (-frac13)

Источник

Арктангенс — обратная тригонометрическая функция. Общепринятое обозначение арктангенса — arctg x. При этом довольно часто, особенно в зарубежной литературе можно встретить иное обозначение — arctan x.

Арктангенс калькулятор

Калькулятор арктангенса

Как пользоваться калькулятором арктангенса

Введите значение тангенса угла и нажмите кнопку посчитать. В результате вы получите значение арктангенса выраженное в градусах и радианах.

Что такое арктангенс

Арктангенс числа x — это значение угла в радианах, для которого справедливо равенство tg a = m.

К примеру, что такое arctg 1? Это угол в радианах, тангенс которого равен 1.

Ваша оценка

[Оценок: 9093 Средняя: 3.8]

Арктангенс Автор admin средний рейтинг 3.8/5 – 9093 рейтинги пользователей

Источник

	arcsin	arccos	arctg	arcctg
sin	begin{gather} a\ ain[-1;1] end{gather}	begin{gather} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather}	begin{gather} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather}	begin{gather} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather}
cos	begin{gather} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather}	begin{gather} a\ ain[-1;1] end{gather}	begin{gather} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather}	begin{gather} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather}
tg	begin{gather} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather}	begin{gather} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather}	begin{gather} a\ ainmathbb{R} end{gather}	begin{gather} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather}
ctg	begin{gather} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather}	begin{gather} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather}	begin{gather} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather}	begin{gather} a\ ainmathbb{R} end{gather}

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Определение

График арктангенса

Свойства арктангенса

Таблица арктангенсов

Основное соотношение[править | править код]

Функция arcsin[править | править код]

Свойства функции arcsin[править | править код]

Получение функции arcsin[править | править код]

Функция arccos[править | править код]

Свойства функции arccos[править | править код]

Получение функции arccos[править | править код]

Функция arctg[править | править код]

Свойства функции arctg[править | править код]

Получение функции arctg[править | править код]

Функция arcctg[править | править код]

Свойства функции arcctg[править | править код]

Получение функции arcctg[править | править код]

Функция arcsec[править | править код]

Свойства функции arcsec[править | править код]

Функция arccosec[править | править код]

Свойства функции arccosec[править | править код]

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Использование в геометрии[править | править код]

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

п.1. Понятие арктангенса

п.2. График и свойства функции y=arctgx

п.3. Уравнение tgx=a

п.4. Понятие арккотангенса

п.5. График и свойства функции y=arcctgx

п.6. Уравнение ctgx=a

п.7. Формулы преобразования аркфункций

п.8. Примеры

Арктангенс калькулятор

Как пользоваться калькулятором арктангенса

Что такое арктангенс

Вам также может понравиться

Как нас найти клиника

Как найти номер телефона своего участкового

Vcruntime40 dll что это за ошибка как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ