Линейная функция
Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»?
Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.
Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.
Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.
Линейной называется функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) – любые числа (они называются коэффициентами).
Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.
Как думаешь, почему она называется линейной?
Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений ( Eleft( y right)).
Область значений линейной функции
Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент ( x), тем больше значение функции ( y).
Значит, ( y) так же как и ( x) может принимать все возможные значения, то есть ( Eleft( y right)=mathbb{R}), верно?
Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?
Вспомним формулу: ( y=kx+b). Какие нужно выбрать коэффициенты ( k) и ( b), чтобы значение функции y не зависело от аргумента ( x)?
А вот какие: ( b) – любое, но ( k=0). И правда, каким бы ни был аргумент ( x), при умножении на ( k=0) получится ( 0)!
Тогда функция станет равна ( y=0cdot x+b=b), то есть она принимает одно и то же значение при всех ( x):
( y = kx + b:{rm{ }}left[ begin{array}{l}Eleft( y right) = mathbb{R}{rm{ при }}k ne 0\Eleft( y right) = left{ b right}{rm{ при }}k = 0.end{array} right.)
Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.
График линейной функции
Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.
Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).
Предположим, у нас есть функция линейная функция ( y=2x+1). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.
То есть нужно взять любые два значения аргумента ( x) и вычислить соответствующие два значения функции.
Затем для каждой пары ( left( x;y right)) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.
Проще всего найти функцию, если аргумент ( x=0:yleft( 0 right)=2cdot 0+1=1).
Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1 right)).
Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1 right)=2cdot 1+1=3).
Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3 right)).
Ставим эти две точки на координатной плоскости:
Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:
Вот и все, график построен!
Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: ( y={x} -1) и ( y=-x+2).
Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений ( x), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.
Должно получиться так:
Коэффициенты линейной функции
Для начала выясним, что делает коэффициент ( displaystyle b). Рассмотрим функцию ( displaystyle y=x+b), то есть ( displaystyle k=1).
Меняя ( displaystyle b) будем следить, что происходит с графиком.
Итак, начертим графики для разных значений ( displaystyle b:b=-2,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2):
Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?
Это сразу видно: чем больше ( displaystyle b), тем выше располагается прямая.
Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось ( displaystyle mathbf{y}) в точке с координатой, равной ( displaystyle mathbf{b})!
И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ( displaystyle y)? Чему равен ( displaystyle x) в такой точке?
В любой точке оси ординат (это название оси ( displaystyle y), если ты забыл) ( displaystyle x=0).
Значит достаточно подставить ( displaystyle x=0) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью ( displaystyle y):
( displaystyle y=kcdot 0+b=b)
Теперь по поводу ( displaystyle k). Рассмотрим функцию ( displaystyle left( b=0 right).) Будем менять ( displaystyle k) и смотреть, что происходит с графиком.
Построим графики для ( displaystyle k=-3,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2:)
Так, теперь ясно: ( displaystyle k) влияет на наклон графика.
Чем больше ( displaystyle k) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ( displaystyle Ox)) расположена прямая.
Если ( displaystyle k>0), график наклонен «вправо», при ( displaystyle k<0) – «влево». А когда ( displaystyle k=0), прямая располагается вдоль оси абсциссс.
Давай разбираться. Начертим новый график ( displaystyle y=kx+b):
Выберем на графике две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B). Для простоты выберем точку ( displaystyle A) на пересечении графика с осью ординат. Точка ( displaystyle B) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны ( displaystyle left( x;y right)).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ( displaystyle ABC), построенный на отрезке ( displaystyle AB) как на гипотенузе.
Из рисунка видно, что ( displaystyle AC=x), ( displaystyle BC=y-b).
Подставим ( displaystyle y=kx+b) в ( displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx).
Получается, что ( BC = k cdot AC{rm{ }} Rightarrow {rm{ }}k = frac{{BC}}{{AC}} = {mathop{rm tg}nolimits} alpha ).
Итак, коэффициент ( displaystyle k) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.
Именно поэтому его (коэффициент ( displaystyle k)) обычно называют угловым коэффициентом.
В случае, когда ( k < 0,{mathop{rm tg}nolimits} alpha < 0,) что соответствует тупому углу:
Если же ( displaystyle k=0), тогда и ( {mathop{rm tg}nolimits} alpha = 0,) следовательно ( displaystyle alpha =0), то есть прямая параллельна оси абсцисс.
Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.
построить график линейной функции:
a)
y=13x+1,x∈−6;3
; b)
y=13x+1,x∈−6;3
.
Составим таблицу значений функции:
| (x) | (-6) | (3) |
| (y) | (-1) | (2) |
Построим на координатной плоскости (xOy) точки ((-6;-1)) и ((3;2)) и
проведём через них прямую.
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции
y=13x+1,x∈−6;3
.
Точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены тёмными кружочками.
b) Во втором случае функция та же, только значения (x=-6) и (x=3) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу ((-6;3)).
Поэтому точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены светлыми кружочками.
По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.
В случае
a)
y=13x+1,x∈−6;3
, имеем:
yнаиб
(= 2) и
yнаим
(= -1);
b)
y=13x+1,x∈−6;3
, концы отрезка не рассматриваются, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.
Обновлено: 17.05.2023
Аргумент функции в алгебре это независимая перемена с помощью которой определяется значение функции. … Значение аргумента можно определить по значению функции. Для определения аргумента по функции y=f(x), надо заменить y заданным значением.
Что такое аргумент в алгебре х или у?
Аргумент — это независимая переменная. … Если нужно указать на тот факт, что y функция от x, не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто: y = f(x), где f (начальная буква слова function — функция) заменяет слово функция , y — это функция, а x — аргумент.
Что является аргументом в алгебре?
Аргумент в математике: Аргумент функции — независимая переменная, от значений которой зависят значения функции. Аргумент комплексного числа — одна из величин, связанных с комплексным числом. Аргумент максимизации, Аргумент минимизации
Что такое аргумент функции в алгебре 7 класс?
Что такое аргумент в линейной функции?
Где аргумент А где функция?
Если две величины связаны между собой так, что каждому допустимому значению одной соответствует определенное значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая — функцией этого аргумента.
Что из перечисленного может быть аргументом функции?
Аргументом функции может быть число, текст, логическое значение, массив, значение ошибки, ссылка на ячейку. В качестве аргументов используются также константы, формулы, или функции. … Оператором называют знак или символ, задающий тип вычисления в формуле.
Как найти значение аргумента в алгебре?
Это можно сделать с помощью формулы функции. Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.
Как найти значение функции при заданном аргументе?
Если функция задана формулой y=f(x), чтобы найти значение функции по данному значению аргумента, надо в формулу функции вместо каждого икса подставить это значение и вычислить значение y.
Какие способы задания функции вы знаете?
Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.
Как задать функцию в Питоне?
Какие функции есть в алгебре?
- Понятие функции является одним из основных в математике. Оно вводится следующим образом. …
- Четная функция f(−x)=f(x)
- Нечетная функция f(−x)=−f(x)
- Периодическая функция f(x+kT)=f(x), …
- Обратная функция Пусть задана функция y=f(x). …
- Сложная функция …
- Линейная функция …
- Квадратичная функция
Что такое функция в алгебре 7 класс?
Как найти к в линейной функции?
Из формулы линейной функции y=kx получим, что k = y x . Чтобы определить коэффициент k, необходимо выбрать некоторую точку на прямой и вычислить частное ординаты и абсциссы заданной точки. Прямая проходит через точку M(4; 2), следовательно получим 2 4 = 0,5 .
Как написать формулу графика линейной функции?
- Графиком функции является прямая, поэтому на рисунке изображен график линейной функции. …
- Любую линейную функцию можно выразить формулой y=ax+b, где a и b — действительные числа.
Как найти значение х в функции?
Чтобы вычислить значение функции у(х) при х = а, надо в формулу, задающую функцию, подставить данное значение аргумента а и выполнить вычисления. Такое значение функции обозначают символом у(а).
Где производится зимняя резина Gislaved? Состоянием на 2021 год компания Гиславед является частью корпорации
Как работать с уайт спиритом? Компоненты уайт—спирита размягчают герметик до консистенции сливочного масла. Для
Если две переменные величины находятся между собой в такой зависимости, что каждому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая его функцией.
Функция — это зависимая переменная величина. Аргумент — это независимая переменная. Зависимость функции от аргумента называется функциональной зависимостью.
Если нужно указать на тот факт, что y функция от x, не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто:
y = f(x),
где f (начальная буква слова function — функция) заменяет слово функция , y — это функция, а x — аргумент.
Иногда, чтобы показать, что y зависит от x, пишут просто:
Обратите внимание, что вместо y и x могут использоваться любые другие буквы.
Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции. Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Для функции f приняты следующие обозначения:
D(f) — область определения функции
(множество значений аргумента).
E(f) — множество значений функции.
f(x0) — значение функции в точке x0.
Пример. Возьмём формулу нахождения расстояния по скорости и времени:
S = vt,
где S — это расстояние, v — скорость, а t — время. Если взять скорость, равную 50 км/ч, то каждому неотрицательному значению t будет соответствовать строго определённое значение S:
| t (ч) | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| S (км) | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 |
Следовательно, S является функцией от t — S(t) , область определения функции — D(S) ⩾ 0, так как время не может быть отрицательным, но при этом можно не затратить времени вообще, если не двигаться, в этом случае t = 0. Значение этой функции в точке t0 можно обозначить в виде S(t0), то есть записать таблицу со значениями в таком виде:
S(1) = 50, S(1,5) = 75, S(2) = 100, S(2,5) = 125, S(3) = 150.
Вокруг нас происходит множество событий или процессов, которые можно измерить. При этом величина одних зависит от величины каких-либо других.
Так, например, от того, сколько мы испишем страниц в тетради, зависит количество оставшихся в стержне чернил. Чем больше кружек наполнено компотом, тем меньше его останется в кастрюле. Чем больше мама оставит денег на обеды, тем больше можно на них купить мороженого. А чем сильнее велосипедист крутит педали, тем больше километров он проедет. Придумайте свои примеры?
В наших описанных выше примерах первые два имеют обратную зависимость, то есть при увеличении одной величины (количество страниц и кружек в наших случаях), уменьшается вторая (количество чернил и компота в кастрюле).
Примеры с велосипедистом и мороженым имеют прямую зависимость, то есть при увеличении одной величины (скорость движения педалями и количество оставленных мамой денег) увеличивается и другая (пройденное расстояние и количество мороженого).
Зависимость, которая показывает как одна величина связана с другой величиной, как раз и называется функцией.
Аргумент и функция
Если одна величина меняется независимо от другой (например, оставленные мамой деньги, исписанные страницы), то она называется независимой или аргументом и обозначается обычно $x$
Если же величина зависит от другой, то ее называют зависимой переменной или функцией и обычно обозначают как $y$ или $f(x)$. То есть $y=f(x)$.
Зависимые и независимые переменные могут обозначаться и любыми другими буквами (латинскими или греческими).
Примеры аргумента и функции
- Чем старше дерево, тем оно выше. Возраст дерева — аргумент, рост — функция
- Чем дольше машина едет с одной скоростью, тем большее расстояние она проедет. Время — аргумент, скорость — неизменяемая величина, расстояние — функция
- Чем меньше цена мороженого, тем больше можно купить за 100 рублей. Цена мороженого — аргумент, количество мороженого — функция, 100 рублей — неизменяемая величина
- Чем меньше мы вычтем из числа, тем больше результат. Вычитатель — аргумент, результат — функция
Запись функции
Посмотрим как можно записать функциональную зависимость купленного мороженого от оставленных денег на обед. Допустим мороженое стоит $20$ рублей. Тогда:
- если мама оставит $20$ рублей, мы купим только одно мороженое;
- если $40$ рублей – два мороженых;
- если $100$ рублей – целых пять мороженых.
Таким образом, количество порций мороженого обозначим $у$, а количество оставленных денег $x$. Функция будет выглядеть следующим образом:
Переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Один из разделов математики это алгебра, которая подразумевает выполнение различных операций с числами, так как сложение, умножение и т.д. Можно сказать, что алгебра это нечто вроде расширения арифметики до более высокого уровня. Понять, что такое алгебра и откуда она взялась, помогут исторические факты. Первые предпосылки алгебры появились в разных уголках мира, людям нужна была алгебра для того, чтобы решить определенные уравнения. Например, в Древней Греции впервые об уравнениях заговорил Диофант, это был 2-3 век нашей эры.
Когда начинают учить алгебру в школе?
Разделение математики на несколько областях определило для алгебры решение определенных уравнений, под названием алгебраические уравнения. Что такое алгебра как предмет можно узнать только в 7-ом классе. Именно тогда вместе привычной математики появляется два отдельных предмета: алгебра и геометрия. Изучение начинается с простых понятий, также как и в случае других учебных процессов, все строится от простого материала к сложному.
7 класс оптимальное время для того, чтобы узнать, что такое алгебра. Вместо обычных операций с числами осуществляется переход на переменные. Так проще понять общие законы арифметики, научиться работать с неизвестными и функциями. Алгебру можно разделить на 5 отдельных категорий:
Школьная программа подразумевает изучение исключительно элементарной категории. Элементарная алгебра занимается изучением операций с вещественными числами. Перемененные и постоянные обозначены в алгебре символами в виде букв. С их помощью происходит преображение уравнений и математических выражений на основе четких правил.
Функция в алгебре
Понимание алгебры как предмет требует знание определенных элементов, так как функция, аргумент и определение. Что такое функция в алгебре и чем она определена? Функция является одним из основных понятий и определяет зависимость между переменными с неодинаковой величиной.
Что такое функция?:
Функция в алгебре представляет собой сопоставимость между двумя множествами. Согласно этому каждый элемент множества соответствует по одному единственному элементу другого множества.
Функция задается различным образом:
– согласно словесной формулировке (описание словами)
– аналитическим образом (используя формулу).
Аргумент в алгебре
Что такое аргумент в алгебре? Это не что иное, как перемена х, от которой зависит у, то есть функция. Аргумент функции в алгебре это независимая перемена с помощью которой определяется значение функции.
Значение аргумента можно определить по значению функции. Для определения аргумента по функции y=f(x), надо заменить y заданным значением. Остается только решить уравнение относительно x для того, чтобы значение стало известным. Существует возможность определения данного параметра и по графику функции.
Определение алгебры и ее практическая польза
Определение, что такое алгебра, позволяет понять какая от нее практическая польза. Только понимая область деятельности этой части математики, появляется стремление ее изучать. Благодаря алгебре, можно шагать на более высокий уровень познания математики. Алгебра это та простая ступень, которая позволяет делать прогресс в процессе изучения современной математики. Благодаря ней, появилась возможность взглянуть иначе на множества.
Постепенно элементарные значения алгебры перешли в более сложные понятия. Так появилась универсальная алгебра, которая стала основой для развития топологии. Алгебра это ступень, которая позволяет ступать дальше, и без нее не быть некоторым явлений прогресса. Знания некоторых людей, может завершиться на элементарных основ дисциплины, но в определенных областях глубокое изучение обязательно.
Аргумент — это независимая переменная. … Если нужно указать на тот факт, что y функция от x, не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто: y = f(x), где f (начальная буква слова function — функция) заменяет слово функция , y — это функция, а x — аргумент.
Что является аргументом в алгебре?
argumentum — рассказ, довод, тема) — многозначный термин: … Аргумент в математике: Аргумент функции — независимая переменная, от значений которой зависят значения функции. Аргумент комплексного числа — одна из величин, связанных с комплексным числом.
Что такое функция в алгебре 7 класс?
Функция – это соответствие между двумя множествами такое, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие единственный элемент другого множества . Первое множество называют областью определения функции, а второе – областью значений функции.
Что такое Х и У?
Что является аргументом?
Аргумент (лат. argumentum) — суждение (или совокупность взаимосвязанных суждений), посредством которого обосновывается истинность другого суждения (или теории).
Как найти значение аргумента в алгебре?
Как найти значение аргумента по значению функции? Это можно сделать с помощью формулы функции. Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.
Как найти значение функции при заданном аргументе?
Как найти значение функции по значению аргумента? Это можно сделать с помощью формулы, задающей функцию. Если функция задана формулой y=f(x), чтобы найти значение функции по данному значению аргумента, надо в формулу функции вместо каждого икса подставить это значение и вычислить значение y.
Читайте также:
- Кто может стать президентом кратко
- Что такое рыночная площадь в средневековье кратко
- Что такое фи кратко
- Школа 1466 расписание внеурочной деятельности
- В каких случаях необходимо вызывать скорую помощь кратко
