Асимптоты дробно линейной функции как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.

В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции, и как ее находить.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции y=1/x , то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой x=0 (ось ОY) – это вертикальная асимптота, и к прямой y=0 (ось ОХ) – это горизонтальная асимптота:

В общем случае горизонтальная асимптота – это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=b , где – число, к которому стремятся значения функции y=f(x) , когда стремится к infty .

То есть .

Вертикальная асимптота – это прямая, параллельная оси OY. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a . Здесь – значение переменной , при котором функция y=f(x) не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.

В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.

Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: .

График дробно-линейной функции – это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

Заметим, что при x=-d/c знаменатель равен нулю, в этой точке функция не определена. Поэтому прямая x=-d/c – вертикальная асимптота.

Степень в числителе дроби равна степени в знаменателе. Поэтому при числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и

и уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=a/c .

График дробно-линейной функции – это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.

Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.

Точка пересечения с осью OX (y=o): x=-b/a .

Точка пересечения с осью OY (x=0): y=b/d .

Построим график функции . Это дробно-линейная функция и ее график – гипербола.

Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: y=1/3 ;

уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя): x=-2/3

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ: x+1=0 ; x=-1

с осью OY(x=0): y=1/2 .

То есть график функции выглядит как-то так:

И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота – это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b .

Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

Найдем асимптоты графика функции $y={3-x^2}/{x+2}$

1. Начнем с области определения функции. Функция $y={3-x^2}/{x+2}$ не определена в точке x=-2 , следовательно прямая x=-2 является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби ${3-x^2}/{x+2}$ на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции $y={3-x^2}/{x+2}$ не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

$k=lim{x{right}{infty}}{{{3-x^2}/{(x+2)x}}}=-1$

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях в числителе и знаменателе дроби).

$b=lim{x{right}{infty}}{({{3-x^2}/{x+2}}-(-1)x)}=$ $lim{x{right}{infty}}{{3-x^2+x^2+2x}/{x+2}}=$

Итак, уравнение наклонной асимптоты: y=-x+2

График функции $y={3-x^2}/{x+2}$ , построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Содержание:

Понятие асимптоты:

Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Вертикальные асимптоты

— вертикальная асимптота, если при

Вертикальная асимптота может быть в точке если точка ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки значения функции стремятся к бесконечности.

Примеры вертикальных асимптот графиков функций

— вертикальная асимптота ( — также асимптота, но горизонтальная)

— вертикальная асимптота

Наклонные и горизонтальные асимптоты

I. Если — дробно рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты.

Примеры:

При тогда Следовательно, — наклонная асимптота (также — вертикальная асимптота)

При тогда Следовательно, — горизонтальная асимптота (также — вертикальная асимптота)

II. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптотможно получить с использованием формул

Понятие асимптоты

Если кривая имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.

Например, для графика функции (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку при и при график функции приближается к прямой ось — горизонтальная асимптота. Когда функция стремится к (или ), то кривая приближается к прямой ось — вертикальная асимптота.

Если рассмотреть функцию то при выражение Вследствие этого график функции приближается к прямой поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функции(рис. 7.2) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту ).

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика.

Вертикальные асимптоты

Если прямая — вертикальная асимптота, то по определению около точки кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при (слева или справа) должен равняться бесконечности (). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.

Например, у функции область определения имеет разрыв в точке (область определения: и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Можно предположить, что прямая будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим

Аналогично

Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой (рис. 7.3).

Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция имеет область определения поэтому прямая «подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но Аналогично Следовательно, около прямой функция не стремится к бесконечности, и поэтому прямая не является асимптотой графика данной функции (рис. 7.4).

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.

Например, еще раз рассмотрим функцию Выделим целую часть:

При выражение то есть график нашей функции будет х -1 неограниченно приближаться к прямой при Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая (рис. 7.3).

Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.

Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции является прямая По определению асимптоты при график функции неограниченно приближается к прямой Другими словами, при с любой точностью будет выполняться равенство

(1)

Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Получим: При отношение поэтому отношение при , то есть

(2)

Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при то есть

(3)

Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции (при условии, что они существуют).

Отметим, что если у графика функции есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет (в этом случае ). Но при из формулы (3) получаем Следовательно, если существует число то график функции имеет горизонтальную асимптоту

Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функции

Решение:

Будем искать наклонную асимптоту в виде где и находятся по формулам (2) и (3):

Асимптотой графика данной функции будет прямая то есть прямая

Пример:

Найдите асимптоты графика функции

Решение:

Область определения функции: — любое действительное число, то есть На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде Тогда

Таким образом, заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту (рис. 7.5).

Иногда график функции может иметь разные асимптоты при и при в этом случае при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения и при и при

Как найти асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности: Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.

Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.

Для того чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Частным случаем наклонной асимптоты (k=0) является горизонтальная асимптота.

Пример:

Найти асимптоты графика функции

Решение:

Функция непрерывна в области определения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты y=kx+b:

Получаем горизонтальную асимптоту y=0.

Общее исследование функции и построение графика

С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.

Найти область определения функции D(f).
Исследовать функцию на четность нечетность периодичность
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
Найти асимптоты графика функции.
Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).

Пример:

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

Область определения функции – вся числовая прямая:

Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для

Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку точек разрыва нет.

Строим график функции, используя результаты исследования.

Касательная к графику функции и производная
Предел и непрерывность функции
Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
Предел функции на бесконечности
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Производная в математике
Как найти производную функции

Источник

Дро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции.

Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае многомерное числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай:

Формальное определение[править | править код]

Дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${displaystyle mathbb {U} ^{n}to mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},dots ,u_{n})={frac {a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+cdots +c_{n}u_{n}+d}},}$

где — комплексные () или вещественные () числа, — соответственно комплексные или вещественные переменные, ${displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{n},}$ ${displaystyle c_{1},c_{2},dots ,c_{n},}$ — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,

${displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+dots +|c_{n}|+|d|>0}$

^[1].

Возможно обобщение на кватернионы^[2].

Вырожденные случаи^[1]:

если

${displaystyle |c_{1}|=|c_{2}|=dots =|c_{n}|=0,}$

то дробно-линейная функция становится целой линейной функций;

если ранг матрицы

${displaystyle left({begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&ldots &a_{n}&b\c_{1}&c_{2}&ldots &c_{n}&dend{array}}right)}$

равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную.

У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции^[1]:

${displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+dots +|c_{n}|>0;}$
равен двум ранг матрицы

${displaystyle left({begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&ldots &a_{n}&b\c_{1}&c_{2}&ldots &c_{n}&dend{array}}right).}$

Вещественная дробно-линейная функция[править | править код]

Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${displaystyle mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})={frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+cdots +c_{n}x_{n}+d}},}$

где — вещественные числа, $x_{1},x_{2},dots ,x_{n}$ — вещественные переменные, ${displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{n},}$ ${displaystyle c_{1},c_{2},dots ,c_{n},}$ — вещественные коэффициенты,

${displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+dots +|c_{n}|+|d|>0}$

^[1].

Функция одного переменного[править | править код]

В простейшем случае n = 1 и действительных

${displaystyle x_{1}=x,}$

${displaystyle a_{1}=a,}$

${displaystyle c_{1}=c,}$

график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола с асимптотами

параллельными осям координат:^[1].

Асимптоты гиперболы[править | править код]

Пусть дробно-линейная функция одного переменного

${displaystyle y={frac {ax+b}{cx+d}}}$

несократима, то есть , и не сводится к целой линейной функции, то есть cneq 0 . Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при ^[3]:

${displaystyle y={frac {{frac {a}{c}}x+{frac {b}{c}}}{x+{frac {d}{c}}}}={frac {{frac {a}{c}}left(x+{frac {d}{c}}right)+left({frac {b}{c}}-{frac {ad}{c^{2}}}right)}{x+{frac {d}{c}}}}=}$

${displaystyle ={frac {a}{c}}-{frac {ad-bc}{c^{2}(x+{frac {d}{c}})}}.}$

Теперь ясно, что график функции ${displaystyle {frac {ax+b}{cx+d}}}$ получается из графика ${frac {1}{x}}$ следующими элементарными преобразованиями:

Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного ${displaystyle {frac {ax+b}{cx+d}}}$ — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые ${displaystyle x=-{frac {d}{c}}}$ и ${displaystyle y={frac {a}{c}}}$ — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот ${displaystyle left(-{frac {d}{c}},{frac {a}{c}}right)}$ , не принадлежащая кривой, — её центр^[3].

Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного ${displaystyle {frac {ax+b}{cx+d}}}$ ^[3]:

${displaystyle {frac {ax+b}{cx+d}}={frac {a+{frac {b}{x}}}{c+{frac {d}{x}}}}.}$

Производная

${displaystyle left({frac {a}{c}}-{frac {ad-bc}{c^{2}(x+{frac {d}{c}})}}right)'={frac {ad-bc}{c^{2}(x+{frac {d}{c}})^{2}}}.}$

Неопределённый интеграл:

${displaystyle int left({frac {a}{c}}-{frac {ad-bc}{c^{2}(x+{frac {d}{c}})}}right)dx={frac {a}{c}}x-{frac {ad-bc}{c^{2}}}ln left|x+{frac {d}{c}}right|+C.}$

Каноническое уравнение гиперболы[править | править код]

Сначала приведём функцию

${displaystyle y={frac {a}{c}}-{frac {ad-bc}{c^{2}(x+{frac {d}{c}})}}}$

преобразованиями координат к виду

${displaystyle y'={frac {m}{x'}}.}$

Для этого сделаем следующие замены:

${displaystyle x'=x+{frac {d}{c}},}$

${displaystyle y'=y-{frac {a}{c}},}$

${displaystyle m=-{frac {ad-bc}{c^{2}}},}$

получим требуемый вид функции^[4].

Теперь повернём координатные оси на угол ${displaystyle 45^{circ },}$ сделав замену координат

${displaystyle x'=x''cos(45^{circ })-y''sin(45^{circ })={frac {x''-y''}{sqrt {2}}},}$

${displaystyle y'=x''sin(45^{circ })+y''cos(45^{circ })={frac {x''+y''}{sqrt {2}}},}$

получим в новых координатах^[4]:

${displaystyle {frac {x''-y''}{sqrt {2}}}{frac {x''+y''}{sqrt {2}}}=m,}$

${displaystyle {frac {x''^{2}}{2m}}-{frac {y''^{2}}{2m}}=1.}$

Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями ^[4]

Функция двух переменных[править | править код]

Гиперболический параболоид

В случае n = 2 и действительных ${displaystyle x_{1},}$ ${displaystyle x_{2},}$ ${displaystyle a_{1},}$ ${displaystyle a_{2},}$ ${displaystyle c_{1},}$ ${displaystyle c_{2},}$ график дробно-линейной функции

${displaystyle y={frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d}}}$

представляет собой гиперболический параболоид^[1].

Комплексная дробно-линейная функция[править | править код]

Комплексная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${displaystyle mathbb {C} ^{n}to mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},dots ,z_{n})={frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$

где — комплексные числа, ${displaystyle z_{1},z_{2},dots ,z_{n}}$ — комплексные переменные, ${displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{n},}$ ${displaystyle c_{1},c_{2},dots ,c_{n},}$ — комплексные коэффициенты,

${displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+dots +|c_{n}|+|d|>0}$

^[1].

При n = 1 комплексная дробно-линейная функция

${displaystyle mathbb {C} to mathbb {C} :w=L(z)={frac {az+b}{cz+d}}}$

—

аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости , за исключением точки , в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс^[1].

При комплексная дробно-линейная функция

${displaystyle mathbb {C} ^{n}to mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},dots ,z_{n})={frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$

—

мероморфная функция в пространстве ${mathbb C}^{n}$ комплексных переменных ${displaystyle z_{1},z_{2},dots ,z_{n}}$ , имеющая полярное множество

${displaystyle {zin mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+cdots +c_{n}z_{n}+d=0}}$

^[1].

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ Математическая энциклопедия, т. 2, 1979, стб. 384.
↑ Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups, 1983, p. 56.
↑ ¹ ² ³ Энциклопедия элементарной математики. Книга третья, 1952, с. 56—57.
↑ ¹ ² ³ Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, 2005, 119, с. 120.

Литература[править | править код]

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. 13-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 238 с., ил. ISBN 5-9221-0252-4.
Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.
Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил.
Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.

Источник

Дробно-рациональная функция – это такая
алгебраическая дробь, у которой числитель и
знаменатель представляют собой многочлены
некоторой степени.

Дробно-линейная функция представляет собой
частный случай дробно-рациональной функции.

Дробно-линейная функция – это такая
алгебраическая дробь , у которой числитель и
знаменатель представляют собой линейные
функции.

Во всякой дробно-линейной функции можно
выделить целую часть.

Прямая линия называется асимптотой графика
функции, если график функции неограниченно
сближается с этой прямой при удалении точки
графика в бесконечность.

уравнение вертикальной асимптоты

уравнение горизонтальной асимптоты

уравнение наклонной асимптоты

Пример 1. Построим график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

Дробно-линейная функция имеет две асимптоты:
горизонтальную и вертикальную.

горизонтальная асимптота

вертикальная асимптота, т.к.

Точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

Получаем график <Рисунок1>

Элементарная математика не располагает
средствами исследования всякой
дробно-рациональной функции общего вида. Однако
некоторые частные виды этих функций могут быть
исследованы средствами элементарной математики.

Если степень старшего члена числителя меньше
степени старшего члена знаменателя, то
рациональная алгебраическая дробь называется
правильной.

Если рациональная дробь неправильная, то
делением числителя на знаменатель можно ее
представить в виде суммы целого многочлена
(частное) и рациональной правильной дроби.

Методами элементарной математики могут быть
исследованы функции вида:

а)

б)

в)

г)

и некоторые другие.

Целая часть, полученная при делении числителя
на знаменатель, и будет либо горизонтальной
асимптотой (как в примере, разобранном выше), либо
наклонной асимптотой.

Пример 2 (стр. 141 учебника “Алгебра и начала
анализа 10-11 класс” Колмогоров А.Н.)

Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части

1)
наклонная асимптота

вертикальная асимптота

функция ни четная, ни нечетная.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

с осью ординат график функции не пересекается,
т.к. эта ось есть асимптота.

5) ; ;

7) Построим график <Рисунок2>.

Пример 3 (№295(г) учебника “Алгебра и начала
анализа 10-11 класс” Колмогоров А.Н.).

Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1)
наклонная асимптота

вертикальная асимптота

3) функция ни четная, ни нечетная.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

с осью абсцисс график функции не пересекается,
т.к. эта ось есть асимптота.

5) ;
;

7) Построим график <Рисунок3>.

Пример 4. Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1)
горизонтальная асимптота

вертикальные асимптоты

3) четная, график функции симметричен
относительно оси ординат.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

при , точки и .

5) ;
;

7) Построим график <Рисунок4>.

Пример 5. Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1)
наклонная асимптота

вертикальная асимптота

3) функция нечетная, график функции симметричен
относительно начала координат.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точки и

с осью ординат график функции не пересекается.

5) ; ; нет.

7) Построим график <Рисунок5>.

Пример 6. Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1)
наклонная асимптота

вертикальная асимптота

3) функция ни четная, ни нечетная.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

при , точки и

5) ;
;

7) Построим график <Рисунок 6>.

Пример 7. Найти множество значений функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1)
горизонтальная асимптота

3) функция ни четная, ни нечетная.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

при , точки и

5) ; ;

7) Построим график <Рисунок 7>.

Ответ:

Примеры 8–12.
(Приложение)

Источник

Вертикальная
асимптота.

Если выполнено
хотя бы одно из условий

, ,

то прямую

называют вертикальной асимптотой
графика функции
.

Невертикальная
асимптота.

Прямую

называют
невертикальной асимптотой графика
функции

при
,
если

Если
,
то асимптоту называют наклонной, а если
,
то асимптоту

называют горизонтальной.

Аналогично вводится
понятие асимптоты при
.

Для того чтобы
прямая

была асимптотой графика функции

при
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
конечные пределы

Аналогично находится
асимптота при
.

Исследование
асимптот при

и при

как правило проводят отдельно.

В некоторых частных
случаях возможно совместное исследование
асимптот при

и при
,
например, для

1) рациональных
функций;

2) четных и нечетных
функций, для графиков которых исследование
можно проводить на части области
определения.

Следует отметить,
что метод вычисления пределов для
нахождения асимптот не позволяет оценить
взаимное расположение графика функции
и его асимптоты. Для определения взаимного
положения графика и асимптоты можно
пользоваться следующими правилами.

1) Если функция

имеет асимптоту при
,
дифференцируема и строго выпукла вниз
на луче
,
то график функции лежит выше асимптоты.

2) Если функция

имеет асимптоту при
,
дифференцируема и строго выпукла вверх
на луче
,
то график функции лежит ниже асимптоты.

3) Могут быть другие
случаи поведения графика функции при
стремлении к асимптоте. Например,
возможно, что, график функции бесконечное
число раз пересекает асимптоту.

Аналогичное
утверждение справедливо и при
.

До исследования
свойств выпуклости графика функции
взаимное расположения графика функции
и его асимптоты можно определить по
знаку

в методе выделения главной части.

Метод выделения
главной части.
Для нахождения асимптоты выделяем
главную часть функции при
.
Аналогично при
.

Главную часть
дробно рациональной функции
удобно находить, выделяя целую часть
дроби.

Главную часть
иррациональной функции
при решении практических примеров
удобно находить используя методы
представления функции формулой Тейлора
при
.

Главную часть
иррациональных функций вида

и

удобно находить соответственно методом
выделения полного квадрата или полного
куба подкоренного выражения.