Базис пересечения линейного пространства как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств

Нахождение алгебраического дополнения подпространства

Для заданного подпространства $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ требуется найти алгебраическое дополнение подпространства $L^{+}$ , т.е. такое подпространство $L^{+} triangleleftmathbb{R}^n$ , что $mathbb{R}^n=Loplus L^{+}$ .

В зависимости от способа описания подпространства , используем одно из следующих двух утверждений.

1. Если подпространство $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ задано как линейная оболочка $L=operatorname{Lin}(a_1,ldots,a_k)$ столбцов матрицы $A=begin{pmatrix} a_1&cdots&a_kend{pmatrix}$ , то множество решений однородной системы A^Tx=o является его алгебраическим дополнением $L^{+}triangleleft mathbb{R}^n$ , т.е.

$L=operatorname{Lin}(a_1,a_2,ldots,a_k)quad Rightarrowquad L^{+}= Bigl{A^Tx=oBigr}.$

(8.16)

2. Если подпространство $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ задано как множество решений однородной системы Ax=o уравнений с неизвестными, то линейная оболочка столбцов $a_1^{tau},ldots, a_m^{tau}$ транспонированной матрицы $A^T=begin{pmatrix}a_1^{tau}&cdots& a_m^{tau}end{pmatrix}$ является его алгебраическим дополнением $L^{+}triangleleft mathbb{R}^n$ , т.е.

$L={Ax=o}quad Rightarrowquad L^{+}=operatorname{Lin} (a_1^{tau},ldots,a_m^{tau}),$

(8.17)

где $a_i^{tau}$ — i-й столбец матрицы A^T .

Разумеется, в (8.16) и (8.17) указано одно из возможных алгебраических дополнений подпространства $L^{+}$ (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств).

Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае (k=1) , а потом в общем. Пусть L=operatorname{Lin}(a) — одномерное подпространство R^n , $a=begin{pmatrix}alpha_1&cdots&alpha_nend{pmatrix}^T$ — ненулевой столбец. Найдем алгебраическое дополнение подпространства . Рассмотрим уравнение a^Tx=o в координатной форме: alpha_1x_1+ldots+ alpha_nx_n=0 . Множество ${a^Tx=o}$ решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, образует подпространство размерности (n-1) . Найдем пересечение Lcap L' . Подставляя элемент x=lambda a линейной оболочки в уравнение a^Tx=o , получаем lambda[(alpha_1)^2+ (alpha_2)^2+ldots+(alpha_n)^2]=0 , что возможно только при lambda=0 , так как ane o . Следовательно, элемент из принадлежит подпространству только тогда, когда — нулевой столбец, т.е. Lcap L'={o} . Учитывая, что dim{L}+dim{L'}=n , заключаем, что — алгебраическое дополнение подпространства в $mathbb{R}^ncolon, Loplus L'=mathbb{R}^n$ .Таким образом,

$operatorname{Lin}(a)oplus{a^Tx=o}=mathbb{R}^n.$

(8.18)

Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае (kgeqslant1) . Представим $L=operatorname{Lin}(a_1,ldots,a_k)$ в виде суммы L=L_1+ldots+L_k , где $L_i=operatorname{Lin}(a_i),$ i=1,ldots,k . Из (8.15) следует, что $(L_1+ldots+L_k)oplus (L_1^{+}+ldots+L_k^{+})= mathbb{R}^n$ . Согласно (8.18), множество $L_1^{+}={(a_i)^Tx=o}$ решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, дополняет L_i до всего пространства $mathbb{R}^n$ . Пересечение множеств решений отдельных уравнений дает, разумеется, множество $L_1^{+} capldotscap L_k^{+}={A^Tx=o}$ решений системы этих уравнений. Поэтому $(L_1+ ldots+L_k)oplus{A^Tx=o}=mathbb{R}^n$ , что и требовалось доказать. Утверждение (8.17) доказывается аналогично, используя (8.18).

Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства $L=operatorname{Lin}[(t-1)^2,(t+1)^3]$ в пространстве $P_3(mathbb{R})$ многочленов не более, чем 3-й степени.

Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в $P_3(mathbb{R})$ стандартный базис $mathbf{e}_1(t)=1,$ $mathbf{e}_2(t)=t,$ $mathbf{e}_3(t)=t^2,$ $mathbf{e}_4(t)=t^3$ . Пространство $P_3(mathbb{R})$ изоморфно $mathbb{R}^4$ . Найдем координаты многочленов $mathbf{a}_1(t)=(t-1)^2$ и $mathbf{a}_2(t)=(t+1)^3$ в стандартном базисе. Раскладывая $mathbf{a}_1(t)$ по базису, получаем:

$mathbf{a}_1(t)= (t-1)^2= 1-2t+t^2=1cdot mathbf{e}_1(t)+(-2)cdot mathbf{e}_2(t)+ 1cdot mathbf{e}_3(t)+0cdot mathbf{e}_4(t),$

т.е. многочлену $mathbf{a}_1(t)$ соответствует координатный столбец $a_1= begin{pmatrix}1&-2&1&0end{pmatrix}^T$ — элемент пространства $mathbb{R}^4$ . Аналогично получаем координатный столбец $a_2= begin{pmatrix} 1&3&3&1end{pmatrix}^T$ для многочлена $mathbf{a}_2(t)$ .

Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства $L=operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ в пространстве $mathbb{R}^4$ . Используя правило (8.16), получаем, что $L^{+}$ — это множество решений системы A^Tx=o , где $A^T=begin{pmatrix} a_1&a_2 end{pmatrix}^T= begin{pmatrix}1&-2&1&0\ 1&3&3&1end{pmatrix}$ , т.е. системы $begin{cases} x_1-2x_2+x_3=0,\ x_1+3x_2+3x_3+x_4=0. end{cases}$

Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой:

$A^T=begin{pmatrix}1&-2&1&0\ 1&3&3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&-2&1&0\ 0&5&2&1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&9/5&2/5\ 0&1&2/5&1/5 end{pmatrix}!.$

Базисные переменные x_1,,x_2 , свободные — x_3,,x_4 . Выражаем базисные переменные через свободные: $x_1=-frac{9}{5}x_3-frac{2}{5}x_4;$ $x_2=-frac{2}{5}x_3-frac{1}{5}x_4$ . Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных ( x_3=1,,x_4=0 и x_3= 0,,x_4=1 ), получаем решения: $varphi_1=begin{pmatrix}-dfrac{9}{5}&-dfrac{2}{5}& 1&0end{pmatrix}^T,$ $varphi_2=begin{pmatrix}-dfrac{2}{5}&-dfrac{1}{5}&0&1 end{pmatrix}^T$ , которые образуют фундаментальную систему решений и являются базисом алгебраического дополнения $L^{+}=operatorname{Lin}(varphi_1,varphi_2)$ Полученный результат переносим в пространство многочленов. По координатному столбцу находим многочлен

$varphi_1(t)=-frac{9}{9}cdot mathbf{e}_1(t)-frac{2}{5}cdot mathbf{e}_2(t)+ 1cdot mathbf{e}_3(t)+0cdot mathbf{e}_4(t)= -frac{9}{5}-frac{2}{5},t+t^2.$

Аналогично получаем $varphi_2(t)= -frac{2}{5}-frac{1}{5}t+t^3$ . Искомое алгебраическое дополнение имеет вид

$L^{+}=operatorname{Lin}!left[left( -frac{9}{5}-frac{2}{5},t+t^2 right)!,,left( -frac{2}{5} -frac{1}{5}t+ t^3right)right]!,$

Проверим равенство $Lcap L^{+}={mathbf{o}}$ . Для этого приравняем между собой линейные комбинации многочленов $mathbf{a}_1(t),,mathbf{a}_2(t)$ и varphi_1(t),,varphi_2(t):

$alpha(1-t)^2+beta(1+t)^3= gamma!left(-frac{9}{5}-frac{2}{5},t+t^2 right)+delta! left(-frac{2}{5} -frac{1}{5}t+ t^3right)!.$

Преобразовывая, получаем

$(alpha+beta)cdot t^3+(alpha+3beta-gamma)cdot t^2+left(-2alpha+ 3beta+ frac{2}{5},gamma+frac{1}{5},deltaright)!cdot t+alpha+beta+ frac{9}{5},gamma+ frac{2}{5},delta=0.$

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю:

$begin{cases}beta-delta=0,\ alpha+3beta-gamma=0,\ -2alpha+3beta+ frac{2}{5} gamma+ frac{1}{5}delta=0,\ alpha+beta+ frac{9}{5}gamma+ frac{2}{5}delta=0, end{cases} Leftrightarrowquad underbrace{begin{pmatrix}0&1&0&-1\ 1&3&-1&0\ -2&3&2/5&1/5\ 1&1&9/5&2/5 end{pmatrix}}_{B}!cdot! begin{pmatrix}alpha\ beta\ gamma\ delta end{pmatrix}= begin{pmatrix} 0\0\0\0 end{pmatrix}!.$

Ранг матрицы этой системы равен 4 (находится, например, методом Гаусса). Поэтому однородная система имеет только нулевое решение alpha=beta= gamma= delta=0 . Таким образом, равенство $Lcap L^{+}={mathbf{o}}$ выполняется.

Нахождение алгебраической суммы подпространств

Для заданных подпространств и пространства $mathbb{R}^n$ требуется найти размерность и базис их алгебраической суммы A+B . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.

Пусть подпространства заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): $mathbf{A} =operatorname{Lin}(mathbf{a}_1,ldots, mathbf{a}_{k_1})$ и $mathbf{B} =operatorname{Lin} (mathbf{b}_1,ldots, mathbf{b}_{k_2})$ . Тогда, приписывая к образующим $mathbf{a}_1,ldots, mathbf{a}_{k_1}$ одного подпространства образующие $mathbf{b}_1,ldots, mathbf{b}_{k_2}$ другого подпространства, получаем образующие суммы подпространств и mathbf{B}:

$left.{begin{gathered}mathbf{A} =operatorname{Lin}(mathbf{a}_1,ldots, mathbf{a}_{k_1}),hfill\ mathbf{B}=operatorname{Lin}(mathbf{b}_1,ldots, mathbf{b}_{k_2}) end{gathered}}!right}quad Rightarrowquad mathbf{A}+mathbf{B}=operatorname{Lin} (mathbf{a}_1,ldots, mathbf{a}_{k_1},mathbf{b}_1,ldots, mathbf{b}_{k_2}),$

(8.19)

поскольку любой вектор mathbf{v}in(mathbf{A}+mathbf{B}) имеет вид $mathbf{v}= underbrace{alpha_1 mathbf{a}_1+ldots+ alpha_{k_1}mathbf{a}_{k_1} }_{mathbf{v}_1inmathbf{A}}+ underbrace{beta_1 mathbf{b}_1+ldots+ beta_{k_1}mathbf{b}_{k_2} }_{mathbf{v}_2inmathbf{B}}$ . Базис суммы $mathbf{A}+ mathbf{B}= operatorname{Lin} (mathbf{a}_1,ldots, mathbf{a}_{k_1}, mathbf{b}_1, ldots, mathbf{b}_{k_2})$ можно найти как максимальную подсистему линейно независимых столбцов.

Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): mathbf{A}={Ax=o} и mathbf{B}={Bx=o} . Тогда, переходя к внутреннему описанию, сводим задачу к предыдущему случаю, а именно нужно выполнить следующие действия:

1) для каждой однородной системы Ax=o и Bx=o найти фундаментальные системы решений $varphi_1,ldots,varphi_{n-r}$ и $psi_1,ldots,psi_{n-r}$ соответственно. При этом получим $A=operatorname{Lin} (varphi_1,ldots,varphi_{n-r})$ и $B=operatorname{Lin}(psi_1,ldots,psi_{n-r})$ , где $r_{A}=operatorname{rg}A,$ $r_{B}=operatorname{rg}B$ ;

2) по правилу (8.19) найти сумму $mathbf{A}+mathbf{B}= operatorname{Lin} (varphi_1, ldots,varphi_{n-r},psi_1,ldots,psi_{n-r})$ .

Пример 8.11. Найти размерность и базис алгебраической суммы mathbf{A}+mathbf{B} подпространств $mathbf{A},mathbf{B}triangleleft mathbb{R}^4$ , если подпространство задано системой уравнений

$begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0,end{cases}$

подпространство mathbf{B} — линейной оболочкой своих образующих:

$mathbf{B}=operatorname{Lin}(b_1,b_2),quad b_1=begin{pmatrix}-4&3&1&-1 end{pmatrix}^T,quad b_2=begin{pmatrix}1&1&1&1end{pmatrix}^T.$

Решение. Образующие подпространства mathbf{A} были найдены в примере 8.9: $mathbf{A}=operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ , где $a_1= begin{pmatrix}-6&4&1&0end{pmatrix}^T,$ $a_2=begin{pmatrix}-2&1&0&1 end{pmatrix}^T$ . По правилу (8.19) получаем $mathbf{A}+mathbf{B}= operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1,b_2)$ . Найдем базис этого подпространства как максимальную линейно независимую подсистему столбцов. Составляем из этих столбцов матрицу и приводим ее методом Гаусса к ступенчатому виду:

$begin{gathered}begin{pmatrix}-6&-2&-4&1\ 4&1&3&1\ 1&0&1&1\ 0&1&-1&1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&1&1\ 4&1&3&1\ -6&-2&-4&1\ 0&1&-1&1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&1&1\ 0&1&-1&-3\ 0&-2&2&7\ 0&1&-1&1 end{pmatrix}sim\[2pt] sim begin{pmatrix}1&0&1&1\ 0&1&-1&-3\ 0&0&0&1\ 0&0&0&4 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&0&1&1\ 0&1&-1&-3\ 0&0&0&1\ 0&0&0&0 end{pmatrix}!.end{gathered}$

Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы a_1,,a_2,,b_2 исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом mathbf{A}+mathbf{B} и dim(mathbf{A}+ mathbf{B})=3 .

Нахождение пересечения подпространств

Для заданных подпространств mathbf{A} и mathbf{B} пространства $mathbb{R}^n$ требуется найти размерность и базис их пересечения mathbf{A}cap mathbf{B} . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.

Пусть подпространства заданы как множества решений однородных систем уравнений (внешнее описание): mathbf{A}={Ax=o} и mathbf{B}={Bx=o} . Тогда, приписывая к системе Ax=o , задающей одно подпространство, систему Bx=o , задающую другое подпространство, получаем систему $begin{cases} Ax=o,\ Bx=o,end{cases}$ определяющую пересечение подпространств:

$left.{begin{gathered}mathbf{A}={Ax=o},\ mathbf{B}={Bx=o} end{gathered}}right}quad Rightarrowquad mathbf{A}cap mathbf{B}=left{begin{pmatrix}A\ Bend{pmatrix}!x=oright}!.$

(8.20)

Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений.

Пусть подпространства mathbf{A} и mathbf{B} пространства $mathbb{R}^n$ заданы линейными оболочками своих образующих (внутреннее описание): $mathbf{A}=operatorname{Lin}(a_1,ldots,a_{k_1})$ и $mathbf{B}= operatorname{Lin}(b_1,ldots,b_{k_2})$ . Переходя от внутреннего описания подпространств к внешнему, можно свести задачу к предыдущему случаю. Однако удобнее сделать иначе. Пересечению mathbf{A}cap mathbf{B} принадлежат только такие $mathbf{x}in mathbb{R}^n$ , которые можно представить как равные между собой линейные комбинации столбцов $a_1,ldots,a_{k_1}$ и столбцов $b_1,ldots,b_{k_2}$ соответственно:

$mathbf{x}=alphacdot mathbf{a}_1+ldots+alpha_{k_1}cdot mathbf{a}_{k_1}= beta_{1}cdot mathbf{b}_{1}+ldots+beta_{k_2}cdot mathbf{b}_{k_2}.$

(8.21)

Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде Aalpha=Bbeta , где $A=begin{pmatrix}a_1&cdots&a_{k_1}end{pmatrix},$ $B=begin{pmatrix} b_1&cdots&b_{k_2}end{pmatrix}$ — матрицы, составленные из данных столбцов, $alpha= begin{pmatrix}alpha_1&cdots&alpha_{k_1}end{pmatrix}^T,$ $beta= begin{pmatrix} beta_1&cdots&beta_{k_2}end{pmatrix}^T$ — столбцы коэффициентов линейных комбинаций. Равенство Aalpha=Bbeta можно рассматривать как одно родную систему Aalpha-Bbeta=o уравнений с (k_1+k_2) неизвестными alpha и beta . Каждому решению этой системы соответствует вектор mathbf{x}= Aalpha=Bbeta , при надлежащий пересечению mathbf{A}cap mathbf{B} . Однако, на практике удобнее вместо системы Aalpha-Bbeta=o рассматривать однородную систему Aalpha+Bbeta=o , решения которой обладают теми же свойствами (тогда вектор mathbf{x}= Aalpha=Bbeta при надлежит пересечению mathbf{A}cap mathbf{B} .

Поэтому для нахождения пересечения подпространств $mathbf{A}= operatorname{Lin} (a_1,ldots,a_{k_1})$ и $mathbf{B}= operatorname{Lin}(b_1,ldots,b_{k_2})$ и базиса пересечения нужно выполнить следующие действия.

1. Составить блочную матрицу (Amid B) коэффициентов однородной системы уравнений Aalpha+Bbeta=o , где матрицы $A=begin{pmatrix} a_1&cdots&a_{k_1} end{pmatrix},$ $B=begin{pmatrix} b_1&cdots&b_{k_2}end{pmatrix}$ образованы из заданных столбцов.

2. Для однородной системы с матрицей (Amid B) найти фундаментальную матрицу Phi . Матрица Phi имеет размеры (k_1+k_2)times (k_1+k_2-r) , где r=operatorname{rg}(Amid B) .

3. Из первых k_1 строк матрицы Phi составить матрицу $Phi_{alpha}= (E_{k_1}mid O)Phi$ . Столбцы матрицы $Phi_{alpha}= begin{pmatrix} varphi_1&cdots &varphi_{k_1+k_2-r}end{pmatrix}$ содержат искомые коэффициенты $alpha=begin{pmatrix}alpha_1&cdots&alpha_{k_1}end{pmatrix}^T$ линейных комбинаций (8.21).

4. Записать пересечение mathbf{A}cap mathbf{B} как линейную оболочку столбцов матрицы $APhi_{alpha}:$ $Acap B=operatorname{Lin}(Avarphi_1,ldots, Avarphi_{k_1+k_2-r})$ .

5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих $Avarphi_1,ldots, Avarphi_{k_1+k_2-r}$ .

Пример 8.12. Найти размерности и базисы суммы mathbf{A}+ mathbf{B} и пересечения mathbf{A}cap mathbf{B} подпространств $mathbf{A},mathbf{B}triangleleft mathbb{R}^4$ , если они заданы линейными оболочками своих образующих: $mathbf{A}= operatorname{Lin}(a_1,a_2,a_3)$ $mathbf{B}= operatorname{Lin}(b_1,b_2,b_3)$ , где

$a_1=begin{pmatrix}1\1\1\1end{pmatrix}!,quad a_2=begin{pmatrix}1\-1\1\-1 end{pmatrix}!,quad a_3=begin{pmatrix}1\3\1\3end{pmatrix}!,quad b_1=begin{pmatrix} 1\2\0\2 end{pmatrix}!,quad b_2=begin{pmatrix}1\2\1\2end{pmatrix}!,quad b_3=begin{pmatrix} 3\1\3\1 end{pmatrix}!.$

Решение. Найдем базис и размерность суммы mathbf{A}+ mathbf{B} . Составим из данных столбцов блочную матрицу

$(Amid B)= begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3,mid, b_1&b_2&b_3 end{pmatrix}= begin{pmatrix}1&1&1!!&vline!!& 1&1&3\ 1&-1&3!!&vline!!& 2&2&1\ 1&1&1!!&vline!!& 0&1&3\ 1&-1&3!!&vline!!& 2&2&1 end{pmatrix}!.$

Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:

$(Amid B)sim begin{pmatrix}1&1&1!!&vline!!& 1&1&3\ 0&-2&2!!&vline!!& 1&1&-2\ 0&0&0!!&vline!!& -1&0&0\ 0&-2&2!!&vline!!& 1&1&-2end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&1&1!!&vline!!& 1&1&3\ 0&-2&2!!&vline!!& 1&1&-2\ 0&0&0!!&vline!!& -1&0&0\ 0&0&0!!&vline!!& 0&0&0 end{pmatrix}= (A'mid B').$

По ступенчатому виду определяем, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы. Следовательно, из 6 образующих a_1,a_2,a_3, b_1,b_2,b_3 подпространства mathbf{A}+mathbf{B} максимальную линейно независимую подсистему составляют столбцы a_1,a_2,b_1 (в этих столбцах расположен базисный минор матрицы). Следовательно, эти столбцы служат базисом суммы: $mathbf{A}+ mathbf{B}= operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1)$ и dim(mathbf{A}+mathbf{B})=3 . По ступенчатому виду матрицы (Amid B) можно также определить размерности подпространств. В блоке две ненулевых строки, следовательно, dimmathbf{A}= operatorname{rg}A= operatorname{rg}A'=2 . Ненулевые строки блока В’ линейно независимы, следовательно, dimmathbf{B}= operatorname{rg}B= operatorname{rg}B'=3 .

Найдем базис и размерность пересечения $mathbf{A}cap mathbf{B}~ (k_1=k_2=3,~ r=operatorname{rg}(Amid B)=3)$ .

1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица (Amid B) однородной системы Aalpha+Bbeta=o приведена к ступенчатому виду (A'mid B') .

2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу (A'mid B') системы к упрощенному виду:

$(A'mid B')= begin{pmatrix}1&1&1!!&vline!!& 1&1&3\ 0&-2&2!!&vline!!& 1&1&-2\ 0&0&0!!&vline!!& -1&0&0\ 0&0&0!!&vline!!& 0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&2!!&vline!!& 0&3/2&2\ 0&1&-1!!&vline!!& 0&-1/2&1\ 0&0&0!!&vline!!& 1&0&0\ 0&0&0!!&vline!!& 0&0&0end{pmatrix}!.$

Базисные переменные: alpha_1,,alpha_2,,beta_1 ; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: $alpha_1=-2alpha_3-frac{3}{2} beta_2-2beta_3;$ $alpha_2=alpha_3+frac{1}{2}beta_2-beta_3;$ beta_1=0 . Придавая свободным переменным наборы значений

alpha_3=1,quad beta_2=0,quad beta_3=0;qquad alpha_3=0,quad beta_2=2,quad beta_3=0;qquad alpha_3=0,quad beta_2=0,quad beta_3=1,

получаем линейно независимые решения

$varphi_1=begin{pmatrix} -2&1&1&0&0&0 end{pmatrix}^T,quad varphi_2= begin{pmatrix} -3&1&0&0&2&0 end{pmatrix}^T,quad varphi_3=begin{pmatrix}-2&-1&0&0&0&1 end{pmatrix}^T.$

т.е. фундаментальная матрица имеет вид

$Phi= begin{pmatrix}-2&-3&-2\ 1&1&-1\ 1&0&0\ 0&0&0\ 0&2&0\ 0&0&1 end{pmatrix}!.$

3. Из первых трех строк (k_1=3) матрицы Phi составляем матрицу $Phi_{alpha}= begin{pmatrix} -2&-3&-2\ 1&1&-1\ 1&0&0 end{pmatrix}$ .

4. Вычисляем произведение

$AcdotPhi_{alpha}= begin{pmatrix}1&1&1\ 1&-1&3\ 1&1&1\ 1&-1&3 end{pmatrix}! cdot! begin{pmatrix}-2&-3&-2\ 1&1&-1\ 1&0&0end{pmatrix}= begin{pmatrix}0&-2&-3\ 0&-4&-1\ 0&-2&-3\ 0&-4&-1end{pmatrix}= begin{pmatrix}o&c_1&c_2end{pmatrix}!.$

Столбцы этой матрицы являются образующими пересечения $mathbf{A}cap mathbf{B}= operatorname{Lin}(o,c_1,c_2)$ , где — нулевой столбец, $c_1= begin{pmatrix} -2&-4&-2&-4 end{pmatrix}^T,$ $c_2=begin{pmatrix}-3&-1&-3&-1 end{pmatrix}^T$ .

5. Найдем базис пересечения mathbf{A}cap mathbf{B} . Для этого матрицу $APhi_{alpha}$ приводим к ступенчатому виду

$AcdotPhi_{alpha}= begin{pmatrix}0&-2&-3\ 0&-4&-1\ 0&-2&-3\ 0&-4&-1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}0&2&3\ 0&0&5\ 0&0&0\ 0&0&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}0&1&3/2\ 0&0&1\ 0&0&0\ 0&0&0 end{pmatrix}!.$

По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы $APhi_{alpha}$ линейно независимы. Следовательно, два столбца c_1,c_2 являются базисом пересечения $mathbf{A}cap mathbf{B}= operatorname{Lin}(c_1,c_2)$ и dim(mathbf{A}cap mathbf{B})=2 .

Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13):

dim(mathbf{A}cap mathbf{B})= dim mathbf{A}+dim mathbf{B}-dim(mathbf{A}+ mathbf{B})= 2+3-3=2,

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Пример 8.13. Найти размерности и базисы пересечения mathbf{A}cap mathbf{B} и суммы mathbf{A}+ mathbf{B} подпространств $mathbf{A}, mathbf{B}triangleleft mathbb{R}^4$ , если они заданы однородными системами уравнений:

$mathbf{A}colon, begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0;end{cases}quad mathbf{B}colon, begin{cases}x_1+x_2+x_3=0,\ 2x_1+3x_2+x_3+2x_4=0,\ x_1+2x_2+2x_4=0.end{cases}$

Решение. Обозначим матрицы данных систем через mathbf{A} и mathbf{B} соответственно. По правилу (8.20) пересечение mathbf{A}cap mathbf{B} описывается однородной системой $begin{cases}Ax=o,\Bx=o.end{cases}$ Найдем базис пересечения — фундаментальную систему решений этой однородной системы уравнений. Составляем матрицу системы $begin{pmatrix}dfrac{A}{B}end{pmatrix}$ и приводим ее к ступенчатому виду, а затем к упрощенному виду:

$begin{gathered} begin{pmatrix}dfrac{A}{B}end{pmatrix}= begin{pmatrix}1&1&2&1\ 2&3&0&1\ 3&4&2&2\hline 1&1&1&0\ 2&3&1&2\ 1&2&0&2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&1&2&1\ 0&1&-4&-1\ 0&1&-4&-1\hline 0&0&-1&-1\ 0&1&-3&0\ 0&1&-2&1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1&2&1\ 0&1&-4&-1\ 0&0&0&0\hline 0&0&-1&-1\ 0&0&1&1\ 0&0&2&2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1&2&1\ 0&1&-4&-1\ 0&0&1&1\hline 0&0&0&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0 end{pmatrix}sim\[2pt] sim begin{pmatrix}1&0&6&2\ 0&1&-4&-1\ 0&0&1&1\hline 0&0&0&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&0&-4\ 0&1&0&3\ 0&0&1&1\hline 0&0&0&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0end{pmatrix}!.end{gathered}$

Базисные переменные: x_1,x_2,x_3 , свободная переменная — x_4 . Выражаем базисные переменные через свободную: x_1=4x_4; x_2=-3x_4; x_3=-x_4 . Фундаментальная система содержит одно решение $varphi_1= begin{pmatrix} 4&-3&-1&1end{pmatrix}^T$ , которое получаем, задавая x_4=1 . Следовательно, $mathbf{A}cap mathbf{B}= operatorname{Lin}(varphi_1)$ и dim(mathbf{A}cap mathbf{B}) .

Найдем теперь сумму mathbf{A}+mathbf{B} . Фундаментальная система решений однородной системы Ax=o была найдена в примере 8.9. Следовательно,

$mathbf{A}=operatorname{Lin}(a_1,a_2)$ , где $a_1=begin{pmatrix} -6&4&1&0 end{pmatrix}^T,~~ a_2=begin{pmatrix}-2&1&0&1end{pmatrix}^T,~~ dim{mathbf{A}}=2$ .

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы Bx=o . Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному:

$B=begin{pmatrix}1&1&1&0\ 2&3&1&2\ 1&2&0&2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&1&1&0\ 0&1&-1&2\ 0&1&-1&2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1&1&0\ 0&1&-1&2\ 0&0&0&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&2&-2\ 0&1&-1&2\ 0&0&0&0 end{pmatrix}!.$

Базисные переменные: x_1,,x_2 , свободные переменные: x_3,,x_4 . Выражаем базисные переменные через свободные: x_1=-2x_3+2x_4; x_2=x_3-2x_4 . Фундаментальная система состоит из двух решений $b_1=begin{pmatrix}-2&1&1&0end{pmatrix}^T,$ $b_2=begin{pmatrix}2&-2&0&1end{pmatrix}^T$ , которые находим, придавая свободным переменным стандартные наборы значений ( x_3=1,~x_4=0 и x_3=0,~x_4=1 ). Следователь но, $mathbf{B}= operatorname{Lin}(b_1,b_2)$ и dim mathbf{B}=2 .

По правилу (8.19) находим сумму $mathbf{A}+mathbf{B}= operatorname{Lin} (a_1,a_2,b_1,b_2)$ . Чтобы определить базис, составим из столбцов a_1,,a_2,, b_1,,b_2 матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:

$begin{pmatrix}-6&-2&-2&2\ 4&1&1&-2\ 1&0&1&0\ 0&1&0&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&1&0\ 0&1&-3&-2\ 0&-2&4&2\ 0&1&0&1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&0&1&0\ 0&1&-3&-2\ 0&0&-2&-2\ 0&0&3&3 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&1&0\ 0&1&-3&-2\ 0&0&1&1\ 0&0&0&0 end{pmatrix}!.$

Первые три столбца линейно независимы. Следовательно, $mathbf{A}+mathbf{B}= operatorname{Lin}(a_1,a_2,b_1)$ и dim(mathbf{A}+mathbf{B})=3 .

Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем

dim(mathbf{A}+mathbf{B})= dimmathbf{A}+dimmathbf{B}-dim(mathbf{A}cap mathbf{B})=2+2-1=3,

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств

Пусть дана цепочка подпространств $mathbf{A}triangleleft mathbf{B}triangleleft mathbb{R}^n$ . Требуется найти относительное дополнение $mathbf{A}^{+}cap mathbf{B}$ подпространства до подпространства .

Рассмотрим случай внешнего описания подпространств — как множеств решений однородных систем уравнений: mathbf{A}={Ax=o} и mathbf{B}={Ax=o} . Согласно (8.17) базис пространства $mathbf{A}^{+}$ образуют линейно независимые столбцы транспонированной матрицы A^T . Тогда относительное дополнение $mathbf{A}^{+}cap mathbf{B}$ составляют такие векторы x=A^Ty , которые удовлетворяют системе Bx=o . Если обозначить через Phi фундаментальную матрицу системы BA^Ty=o , то линейно независимые столбцы матрицы A^TPhi являются максимальной системой векторов подпространства mathbf{B} , линейно независимой над mathbf{A} , т.е. базисом относительного дополнения.

На практике нахождение базиса $mathbf{A}^{+}cap mathbf{B}$ удобнее производить, используя ступенчатые виды матриц и , согласно следующей методике.

1. Привести матрицы и при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду и удалить нулевые строки. В результате по лучим матрицы $(A)_{text{st}}$ и $(B)_{text{st}}$ модифицированного ступенчатого вида (строки каждой из этих матриц линейно независимые).

2. Найти фундаментальную матрицу Phi однородной системы уравнений $(B)_{text{st}}(A)_{text{st}}^Ty=o$ .

3. Вычислить матрицу $(A)_{text{st}}^TPhi$ . Ее столбцы образуют искомый базис $mathbf{A}^{+}cap mathbf{B}$ .

Рассмотрим случай внутреннего описания подпространства mathbf{A} как линейной оболочки своих образующих: $mathbf{A}=operatorname{Lin}(a_1,ldots,a_k)$ . Согласно (8.16) множество решений системы уравнений A^Tx=o (матрица $A= begin{pmatrix}a_1&cdots&a_kend{pmatrix}$ составлена из образующих) является алгебраическим дополнением $mathbf{A}^{+}$ . Тогда множество решений системы $begin{cases}A^Tx=o,\Bx=o,end{cases}!!Leftrightarrow, begin{pmatrix} dfrac{A^T}{B} end{pmatrix}!x=o$ является относительным дополнением $mathbf{A}^{+}cap mathbf{B}$ , а ее фундаментальная система решений — базисом относительного дополнения.

Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства $mathbb{R}^n$ вместо операции транспонирования матрицы в комплексном арифметическом пространстве $mathbb{C}^n$ нужно использовать операцию сопряжения матрицы.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Пусть
заданы два подпространства R₁
и R₂
n-мерного
пространства R.

Определение:
Если каждый вектор x
пространства R
можно, и притом единственным образом,
представить как сумму двух векторов:

x
=
x₁+
x₂,

где

, то говорят, что пространство R
разложено в прямую сумму подпространств
R₁
и R₂.
Это записывают так:

R
= R₁+ R₂,

Теорема. Для
того, чтобы пространствоR
разлагалось в прямую сумму подпространств
R₁
и R₂,достаточно,
чтобы:

Подпространства

R₁
и R₂
имели только один общий вектор x
=
0 (нулевой вектор).
Сума
размерностей этих подпространств была
равна размерности пространства R.

Пусть
имеем два произвольных подпространства
R₁
и R₂
линейного пространства R.
Подпространство пересечения
R₁
и R₂
– это совокупность векторов, принадлежащих
обоим подпространствам R₁
и R₂:

☺ Пример
124. Пусть
R₁
и R₂
– два двумерных подпространства
трехмерного прос-транства (две плоскости,
проходящие через начало координат).
Тогда их пересечение

есть одномерное подпространство (прямая,
по которой эти плоскости пересекаются).

По
двум подпространствам
R₁
и R₂

можно построить еще одно подпространство,
которое называют суммой:
векторами этого подпространства являются
всевозможные суммы вида:

x
=
x₁+
x₂, (*)

где

,
его обозначают:
(в
отличие от прямой суммы двух подпрос-транств,
запись (*) элемента из R
может быть неоднозначной. Легко проверить,
что построенные элементы (*) образуют
подпространство.

Теорема. Сумма
размерностей
R₁
и R₂,
равна размерности их суммы плюс
размерность пересечения.

☺ Пример
125. Найдем
базис пересечения подпространств

, если R₁
натянут на векторы a₁и
a₂,
а R₂
– на векторы b₁и
b₂:

, ,

, .

Решение:
Нетрудно заметить, что векторы a₁и
a₂,
b₁и
b₂:
– линейно независимы. Согласно
вышеприведенной теореме запишем
размерность пересечения

в виде d
= k+r-s,
где k
= 2 – число независимых векторов,
порождающих подпространство R₁;
r
= 2 – число независи-мых векторов,
порождающих подпространство R₂;
s
– число независимых векторов, порождающих
подпространство

(его предстоим вычислить).

Применяя
один из способов вычисления ранга
системы векторов, получаем: s
= 3. В таком случае размерность пересечения
d
= 2 + 2 – 3 = 1/

Найдем базис из
условия:

c
= x₁a₁+
x₂
a₂ =
x₃b₁+
x₄
b₂

или

Решая
эту систему одним из способов, изложенных
в Гл.5, получим: x₁=
-s;
x₂=
4s;
x₃=
-3s;
x₄=
s,
где s
– произвольная постоянная. Принимая
s
= -1, получим:

c
= a₁–
4 a₂
= 3b₁–
b₂
= (5, -2, -3, -4).

Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
a₁–
4
a₂
=
3b₁–
b₂
= (5, -2, -3, -4).

☻Решите
примеры:

Пример
126. Найдем
базис пересечения подпространств

, если R₁
натянут на векторы a₁и
a₂,
а R₂
– на векторы b₁и
b₂:

, ,

, .

Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
-4a₁+
13a₂
=
8b₁+
3b₂
= (5, 9, -13, 27).

Пример
127. Найдем
базис пересечения подпространств

, если R₁
натянут на векторы a₁и
a₂,
а R₂
– на векторы b₁и
b₂:

, ,

, .

Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
2a₁–
3
a₂
=
–b₁+
b₂
= (1, 3, -1, 1).

Соседние файлы в папке СРС

Источник

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Ваш е-мэйл

Заполните, если хотите получить ответ

Оцените наш проект

Источник

В комментариях уже нет места — придётся писать здесь. Потом можно будет что-то добавлять.

Базис суммы пространств состоит из трёх ненулевых строк ступенчатой матрицы. Разумеется, он не равен нулю (само это предположение абсурдно). Записать его можно примерно так: $%a_1=(1;2;0;1)$%, $%a_2=(0;1;-1;-1)$%, $%a_3=(0;0;1;-1)$%. У второго и третьего вектора я для удобства поменял знак.

Добавление. В задаче, среди прочего, требуется найти проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$%. Искомый вектор должен иметь вид $%x(1,2,0,1)+y(1,1,1,0)=(x+y,2x+y,y,x)$%, где $%x$%, $%y$% — некоторые неизвестные.

Проекция производится параллельно ортогональному дополнению пространства $%L_1$%. Это значит, что разность вектора проекции и вектора $%Y_1$%, имеющая координаты $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$%, должна быть ортогональна каждому вектору пространства $%L_1$%. Последнее означает, что скалярное произведение вектора $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$% на каждый из векторов $%(1,2,0,1)$% и $%(1,1,1,0)$% равно нулю. Получается два уравнения: $%x+y-1+2(2x+y)+x=0$% и $%x+y-1+2x+y+y-1=0$%. Упрощая, имеем $%6x+3y=1$% и $%3x+3y=2$%. Отсюда $%x=-frac13$% и $%y=1$%. Тем самым, вектор проекции равен $%(x+y,2x+y,y,x)=(frac23;frac13;1;-frac13)$%.

Источник

Нахождение дополнения, суммы и пересечения подпространств

Нахождение алгебраического дополнения подпространства

Нахождение алгебраической суммы подпространств

Нахождение пересечения подпространств

Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств

Предложите, как улучшить StudyLib

Вам также может понравиться

Как найти дело по алиментам по фамилии

Сталкер снайпер вылетает как исправить

Как найти селфимоджи на самсунг

Добавить комментарий Отменить ответ