Биномиальное распределение как найти функцию

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 20 июля 2022 года; проверки требует 1 правка.

Биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	— число «испытаний» — вероятность «успеха»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана	одно из
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Биномиа́льное распределе́ние с параметрами и в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Определение[править | править код]

Пусть  — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром , то есть при каждом величина принимает значения («успех») и («неудача») с вероятностями и соответственно. Тогда случайная величина

имеет биномиальное распределение с параметрами и .
Это записывается в виде:

.

Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

где

 — биномиальный коэффициент.

Функция распределения[править | править код]

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:

.

Моменты[править | править код]

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения[править | править код]

Связь с другими распределениями[править | править код]

См. также[править | править код]

• Треугольник Паскаля
• Локальная теорема Муавра — Лапласа

Задача 1

Прямоугольник
со сторонами l₁ и l₂ разделен на четыре равные
части, одна из которых заштрихована. На прямоугольник брошены три точки.
Попадание точки в любое место прямоугольника равновозможно.  Дискретная случайная величина – число точек,
попавших на заштрихованную часть. Найти: закон распределения, числовые
характеристики, функцию распределения F(x). Построить график F(x).

---

Задача 2

Для
случайной величины X найти: а) закон распределения; б) функцию
распределения; в) математическое ожидание и дисперсию. При установившемся
технологическом процессе   всей
производимой продукции станок-автомат выпускает 2/3 первым сортом и   1/3 – вторым. Случайным образом отбирается 5
изделий. X – число изделий первого сорта среди отобранных.

---

Задача 3

Игральную
кость подбросили 3 раза. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение числа невыпадения единицы.

---

Задача 4

Монету
подбросили 4 раза. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение дискретной случайной величины X –
числа появлений герба.

---

Задача 5

В городе
имеется N=3 оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар
отсутствует, на этих базах одинакова и равна p=0,2. Составить закон
распределения числа баз, на которых товар отсутствует в данный момент. Найти
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

---

Задача 6

Продавец
азартных игр объясняет, что в его лотерее 40% заклепок. Игрок покупает 5
билетов.

а) Какова
вероятность того, что он вытащит не более двух заклепок?

б)
Рассчитайте ожидаемое значение и интерпретируйте его

---

Задача 7

Случайные
величины ξ и η имеют биномиальные распределения с параметрами n=20 и p=0,2
для величины ξ и n=100 и p=0,1 для величины η.

Найти
математическое ожидание и дисперсию величины γ=10ξ-2η, если известен
коэффициент корреляции ρ(ξ,η)=-0,7.

---

Задача 8

Вероятность
изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на второй
станке – 5%. На первом станке изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

---

Задача 9

Производится
9 бомбометаний с вероятностью попадания при каждом 0,89. Какова вероятность при
более чем 4 бомбометаниях? Найти характеристики распределения случайной
величины.

---

Задача 10

Вероятность
того, что саженец абрикоса приживется в Новосибирской области, равна 0,6.
Посадили 5 саженцев. Записать закон распределения случайной величины X –
число прижившихся саженцев. Найти математическое ожидание и дисперсию
полученного распределения.

---

Задача 11

Из
курьерской службы отправились на объекты 5 курьеров. Каждый курьер с
вероятностью 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Указать вид
распределения случайной величины X – числа опоздавших
курьеров. Построить ряд распределения случайной величины X.
Найти ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что на
объекты опоздают не менее двух курьеров.

---

Задача 12

Проведено
5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7.
Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник
распределения.

---

Задача 13

На складе
производителя электрических гирлянд, которые планируется поставлять на продажу,
проводится выборочная проверка их работоспособности. Известно, что у примерно
5% производимых гирлянд бывают неисправности различного рода. Предположим, были
отобраны 3 гирлянды для проверки их работоспособности. Найдите закон
распределения случайной величины

 – число гирлянд без неисправностей среди
отобранных. Определите вероятность того, что более чем одна гирлянда будет
исправлена.

---

Задача 14

Торговый
агент в среднем контактирует с 4 потенциальными покупателями в день. Из опыта
ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит
покупку, равна 0,023. Составить закон распределения ежедневного числа продаж
для агента. Найти числовые характеристики этого распределения. Чему равна
вероятность того, что у агента будет хотя бы 2 продажи в течение дня?

---

Задача 15

Случайная
величина имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием M(X)=3 и
дисперсией D(X)=1,2. Найти P(X≥2).

---

Задача 16

По мишени
производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом
выстреле p=0,9. Найти закон распределения дискретной
случайной величины X, равной числу попадания в мишень. Написать функцию
распределения.

---

Задача 17

Производится
4 независимых выстрела по некоторой цели. Вероятность попадания при одном
выстреле равна 0,25. Выписать ряд распределения для числа попаданий в цель.

---

Задача 18

Вероятность
попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти:
а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число
попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.

---

Задача 19

Клиенты
банка не возвращают полученный кредит в 12% случаев.

а)
составить ряд распределения числа не отдавших кредит клиентов из взятых наудачу
3-х.

б) найти
среднее число не отдавших кредит клиентов и отклонение от него.

---

Задача 20

При
установившемся технологическом процессе происходит в среднем 10 обрывов нити на
100 веретен в час. Найти закон распределения и математическое ожидание
случайного числа обрывов нити в течение часа среди трех веретен, работающих
независимо друг от друга.

---

Задача 21

Составить
закон распределения случайной величины Х и найти ее математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Х – число
выигравших билетов лотереи, если куплено 3 билета, а выигрышные билеты
составляют в тираже 8%;

---

Задача 22

Производится
3 независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью
0,4. Построить ряд распределения числа появлений события в 3-х опытах.

Найти F(X),M(X),D(X),σ(X),p(x≥1)

---

Задача 23

Построить
ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при 4 бросках, если
вероятность попадания равна 0,7.

---

Задача 24

Производится
три независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события A равна
0,4. Составить закон распределения дискретной случайной величины X –
числа появления события A в указанных испытаниях.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

---

Задача 25

Запишите
таблицу для данного закона распределения случайной величины X,
постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения
(M(X),D(X),σ(X)). Запишите функцию распределения и постройте ее график.
Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.

Записи
страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет
потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было
отобрано 5 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина X –
количество требующих возмещения среди отобранных. Чему равна вероятность того,
что потребуют возмещения более трех человек?

---

Задача 26

На
некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность
остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз.
Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.

---

Задача 27

Устройство
состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого
элемента в одном опыте равна 0,7. Для случайной величины X
элементов, безотказно работавших в одном опыте, построить закон распределения,
их графики, найти ее числовые характеристики.

---

Задача 28

В группе
студентов среднее число отличников составляет 20%.  Составить закон распределения количества
отличников среди четырех студентов, отобранных случайным образом для участия в
деловой игре.

---

Задача 29

В урне 6
белых и 14 черных шара. Из урны извлекается один шар 4 раз подряд, причем
каждый раз вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Приняв за
случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон
распределения этой случайной величины, найти ее математическое ожидание и
дисперсию.

---

Задача 30

Устройство состоит из трех
независимо работающих элементов. Вероятность отказа в одном опыте для каждого
элемента равна 0.1. Составить закон распределения случайного числа отказавших
элементов в одном опыте. Составить функцию распределения, построить ее график.

---

Задача 31

В
контрольной работе три задачи. Вероятность того, что задача будет решена, равна
0,9. Найти математическое ожидание случайной величины – числа решенных задач,
стандартное отклонение.

---

Задача 32

Известна
вероятность события A: p(A)=0,6. Дискретная случайная
величина ξ – число появлений A в трех опытах. Построить
ряд распределения случайной величины ξ. Найти математическое
ожидание m_ξ и дисперсию D_ξ.

Binomial distribution

Probability mass function
Cumulative distribution function
Notation
Parameters	– number of trials – success probability for each trial
Support	– number of successes
PMF
CDF	(the regularized incomplete beta function)
Mean
Median	or
Mode	or
Variance
Skewness
Ex. kurtosis
Entropy	in shannons. For nats, use the natural log in the log.
MGF
CF
PGF
Fisher information	(for fixed )

In probability theory and statistics, the binomial distribution with parameters n and p is the discrete probability distribution of the number of successes in a sequence of n independent experiments, each asking a yes–no question, and each with its own Boolean-valued outcome: success (with probability p) or failure (with probability ). A single success/failure experiment is also called a Bernoulli trial or Bernoulli experiment, and a sequence of outcomes is called a Bernoulli process; for a single trial, i.e., n = 1, the binomial distribution is a Bernoulli distribution. The binomial distribution is the basis for the popular binomial test of statistical significance.^[1]

The binomial distribution is frequently used to model the number of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N. If the sampling is carried out without replacement, the draws are not independent and so the resulting distribution is a hypergeometric distribution, not a binomial one. However, for N much larger than n, the binomial distribution remains a good approximation, and is widely used.

Definitions[edit]

Probability mass function[edit]

In general, if the random variable X follows the binomial distribution with parameters n ∈ and p ∈ [0,1], we write X ~ B(n, p). The probability of getting exactly k successes in n independent Bernoulli trials is given by the probability mass function:

for k = 0, 1, 2, …, n, where

is the binomial coefficient, hence the name of the distribution. The formula can be understood as follows: k successes occur with probability p^k and n − k failures occur with probability . However, the k successes can occur anywhere among the n trials, and there are different ways of distributing k successes in a sequence of n trials.

In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as

Looking at the expression f(k, n, p) as a function of k, there is a k value that maximizes it. This k value can be found by calculating

and comparing it to 1. There is always an integer M that satisfies^[2]

f(k, n, p) is monotone increasing for k < M and monotone decreasing for k > M, with the exception of the case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two values for which f is maximal: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. M is the most probable outcome (that is, the most likely, although this can still be unlikely overall) of the Bernoulli trials and is called the mode.

Example[edit]

Suppose a biased coin comes up heads with probability 0.3 when tossed. The probability of seeing exactly 4 heads in 6 tosses is

Cumulative distribution function[edit]

The cumulative distribution function can be expressed as:

where is the “floor” under k, i.e. the greatest integer less than or equal to k.

It can also be represented in terms of the regularized incomplete beta function, as follows:^[3]

which is equivalent to the cumulative distribution function of the F-distribution:^[4]

Some closed-form bounds for the cumulative distribution function are given below.

Properties[edit]

Expected value and variance[edit]

If X ~ B(n, p), that is, X is a binomially distributed random variable, n being the total number of experiments and p the probability of each experiment yielding a successful result, then the expected value of X is:^[5]

This follows from the linearity of the expected value along with the fact that X is the sum of n identical Bernoulli random variables, each with expected value p. In other words, if are identical (and independent) Bernoulli random variables with parameter p, then and

The variance is:

This similarly follows from the fact that the variance of a sum of independent random variables is the sum of the variances.

Higher moments[edit]

The first 6 central moments, defined as , are given by

The non-central moments satisfy

and in general
^[6]
[7]

where are the Stirling numbers of the second kind, and is the th falling power of .
A simple bound
^[8] follows by bounding the Binomial moments via the higher Poisson moments:

This shows that if , then is at most a constant factor away from

Mode[edit]

Usually the mode of a binomial B(n, p) distribution is equal to , where is the floor function. However, when (n + 1)p is an integer and p is neither 0 nor 1, then the distribution has two modes: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. When p is equal to 0 or 1, the mode will be 0 and n correspondingly. These cases can be summarized as follows:

Proof: Let

For only has a nonzero value with . For we find and for . This proves that the mode is 0 for and for .

Let . We find

.

From this follows

So when is an integer, then and is a mode. In the case that , then only is a mode.^[9]

Median[edit]

In general, there is no single formula to find the median for a binomial distribution, and it may even be non-unique. However, several special results have been established:

• If np is an integer, then the mean, median, and mode coincide and equal np.^[10][11]
• Any median m must lie within the interval ⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉.^[12]
• A median m cannot lie too far away from the mean: |m − np| ≤ min{ ln 2, max{p, 1 − p} }.^[13]
• The median is unique and equal to m = round(np) when |m − np| ≤ min{p, 1 − p} (except for the case when p = 1/2 and n is odd).^[12]
• When p is a rational number (with the exception of p = 1/2 and n odd) the median is unique.^[14]
• When p = 1/2 and n is odd, any number m in the interval 1/2(n − 1) ≤ m ≤ 1/2(n + 1) is a median of the binomial distribution. If p = 1/2 and n is even, then m = n/2 is the unique median.

Tail bounds[edit]

For k ≤ np, upper bounds can be derived for the lower tail of the cumulative distribution function , the probability that there are at most k successes. Since , these bounds can also be seen as bounds for the upper tail of the cumulative distribution function for k ≥ np.

Hoeffding’s inequality yields the simple bound

which is however not very tight. In particular, for p = 1, we have that F(k;n,p) = 0 (for fixed k, n with k < n), but Hoeffding’s bound evaluates to a positive constant.

A sharper bound can be obtained from the Chernoff bound:^[15]

where D(a || p) is the relative entropy (or Kullback-Leibler divergence) between an a-coin and a p-coin (i.e. between the Bernoulli(a) and Bernoulli(p) distribution):

Asymptotically, this bound is reasonably tight; see ^[15] for details.

One can also obtain lower bounds on the tail , known as anti-concentration bounds. By approximating the binomial coefficient with Stirling’s formula it can be shown that^[16]

which implies the simpler but looser bound

For p = 1/2 and k ≥ 3n/8 for even n, it is possible to make the denominator constant:^[17]

Statistical inference[edit]

Estimation of parameters[edit]

When n is known, the parameter p can be estimated using the proportion of successes:

This estimator is found using maximum likelihood estimator and also the method of moments. This estimator is unbiased and uniformly with minimum variance, proven using Lehmann–Scheffé theorem, since it is based on a minimal sufficient and complete statistic (i.e.: x). It is also consistent both in probability and in MSE.

A closed form Bayes estimator for p also exists when using the Beta distribution as a conjugate prior distribution. When using a general as a prior, the posterior mean estimator is:

The Bayes estimator is asymptotically efficient and as the sample size approaches infinity (n → ∞), it approaches the MLE solution. The Bayes estimator is biased (how much depends on the priors), admissible and consistent in probability.

For the special case of using the standard uniform distribution as a non-informative prior, , the posterior mean estimator becomes:

(A posterior mode should just lead to the standard estimator.) This method is called the rule of succession, which was introduced in the 18th century by Pierre-Simon Laplace.

When estimating p with very rare events and a small n (e.g.: if x=0), then using the standard estimator leads to which sometimes is unrealistic and undesirable. In such cases there are various alternative estimators.^[18] One way is to use the Bayes estimator, leading to:

Another method is to use the upper bound of the confidence interval obtained using the rule of three:

Confidence intervals[edit]

Even for quite large values of n, the actual distribution of the mean is significantly nonnormal.^[19] Because of this problem several methods to estimate confidence intervals have been proposed.

In the equations for confidence intervals below, the variables have the following meaning:

Wald method[edit]

A continuity correction of 0.5/n may be added.^{[clarification needed]}

Agresti–Coull method[edit]

^[20]

Here the estimate of p is modified to

This method works well for and .^[21] See here for .^[22] For use the Wilson (score) method below.

Arcsine method[edit]

^[23]

Wilson (score) method[edit]

The notation in the formula below differs from the previous formulas in two respects:^[24]

^[25]

Comparison[edit]

The so-called “exact” (Clopper–Pearson) method is the most conservative.^[19] (Exact does not mean perfectly accurate; rather, it indicates that the estimates will not be less conservative than the true value.)

The Wald method, although commonly recommended in textbooks, is the most biased.^{[clarification needed]}

[edit]

Sums of binomials[edit]

If X ~ B(n, p) and Y ~ B(m, p) are independent binomial variables with the same probability p, then X + Y is again a binomial variable; its distribution is Z=X+Y ~ B(n+m, p):^[26]

A Binomial distributed random variable X ~ B(n, p) can be considered as the sum of n Bernoulli distributed random variables. So the sum of two Binomial distributed random variable X ~ B(n, p) and Y ~ B(m, p) is equivalent to the sum of n + m Bernoulli distributed random variables, which means Z=X+Y ~ B(n+m, p). This can also be proven directly using the addition rule.

However, if X and Y do not have the same probability p, then the variance of the sum will be smaller than the variance of a binomial variable distributed as

Poisson binomial distribution[edit]

The binomial distribution is a special case of the Poisson binomial distribution, which is the distribution of a sum of n independent non-identical Bernoulli trials B(p_i).^[27]

Ratio of two binomial distributions[edit]

This result was first derived by Katz and coauthors in 1978.^[28]

Let X ~ B(n,p₁) and Y ~ B(m,p₂) be independent. Let T = (X/n)/(Y/m).

Then log(T) is approximately normally distributed with mean log(p₁/p₂) and variance ((1/p₁) − 1)/n + ((1/p₂) − 1)/m.

Conditional binomials[edit]

If X ~ B(n, p) and Y | X ~ B(X, q) (the conditional distribution of Y, given X), then Y is a simple binomial random variable with distribution Y ~ B(n, pq).

For example, imagine throwing n balls to a basket U_X and taking the balls that hit and throwing them to another basket U_Y. If p is the probability to hit U_X then X ~ B(n, p) is the number of balls that hit U_X. If q is the probability to hit U_Y then the number of balls that hit U_Y is Y ~ B(X, q) and therefore Y ~ B(n, pq).

Bernoulli distribution[edit]

The Bernoulli distribution is a special case of the binomial distribution, where n = 1. Symbolically, X ~ B(1, p) has the same meaning as X ~ Bernoulli(p). Conversely, any binomial distribution, B(n, p), is the distribution of the sum of n independent Bernoulli trials, Bernoulli(p), each with the same probability p.^[29]

Normal approximation[edit]

If n is large enough, then the skew of the distribution is not too great. In this case a reasonable approximation to B(n, p) is given by the normal distribution

and this basic approximation can be improved in a simple way by using a suitable continuity correction.
The basic approximation generally improves as n increases (at least 20) and is better when p is not near to 0 or 1.^[30] Various rules of thumb may be used to decide whether n is large enough, and p is far enough from the extremes of zero or one:

• One rule^[30] is that for n > 5 the normal approximation is adequate if the absolute value of the skewness is strictly less than 0.3; that is, if

This can be made precise using the Berry–Esseen theorem.

• A stronger rule states that the normal approximation is appropriate only if everything within 3 standard deviations of its mean is within the range of possible values; that is, only if

This 3-standard-deviation rule is equivalent to the following conditions, which also imply the first rule above.

The following is an example of applying a continuity correction. Suppose one wishes to calculate Pr(X ≤ 8) for a binomial random variable X. If Y has a distribution given by the normal approximation, then Pr(X ≤ 8) is approximated by Pr(Y ≤ 8.5). The addition of 0.5 is the continuity correction; the uncorrected normal approximation gives considerably less accurate results.

This approximation, known as de Moivre–Laplace theorem, is a huge time-saver when undertaking calculations by hand (exact calculations with large n are very onerous); historically, it was the first use of the normal distribution, introduced in Abraham de Moivre’s book The Doctrine of Chances in 1738. Nowadays, it can be seen as a consequence of the central limit theorem since B(n, p) is a sum of n independent, identically distributed Bernoulli variables with parameter p. This fact is the basis of a hypothesis test, a “proportion z-test”, for the value of p using x/n, the sample proportion and estimator of p, in a common test statistic.^[31]

For example, suppose one randomly samples n people out of a large population and ask them whether they agree with a certain statement. The proportion of people who agree will of course depend on the sample. If groups of n people were sampled repeatedly and truly randomly, the proportions would follow an approximate normal distribution with mean equal to the true proportion p of agreement in the population and with standard deviation

Poisson approximation[edit]

The binomial distribution converges towards the Poisson distribution as the number of trials goes to infinity while the product np converges to a finite limit. Therefore, the Poisson distribution with parameter λ = np can be used as an approximation to B(n, p) of the binomial distribution if n is sufficiently large and p is sufficiently small. According to two rules of thumb, this approximation is good if n ≥ 20 and p ≤ 0.05, or if n ≥ 100 and np ≤ 10.^[32]

Concerning the accuracy of Poisson approximation, see Novak,^[33] ch. 4, and references therein.

Limiting distributions[edit]

• Poisson limit theorem: As n approaches ∞ and p approaches 0 with the product np held fixed, the Binomial(n, p) distribution approaches the Poisson distribution with expected value λ = np.^[32]
• de Moivre–Laplace theorem: As n approaches ∞ while p remains fixed, the distribution of

approaches the normal distribution with expected value 0 and variance 1. This result is sometimes loosely stated by saying that the distribution of X is asymptotically normal with expected value 0 and variance 1. This result is a specific case of the central limit theorem.

Beta distribution[edit]

The binomial distribution and beta distribution are different views of the same model of repeated Bernoulli trials. The binomial distribution is the PMF of k successes given n independent events each with a probability p of success.
Mathematically, when α = k + 1 and β = n − k + 1, the beta distribution and the binomial distribution are related by^{[clarification needed]} a factor of n + 1:

Beta distributions also provide a family of prior probability distributions for binomial distributions in Bayesian inference:^[34]

Given a uniform prior, the posterior distribution for the probability of success p given n independent events with k observed successes is a beta distribution.^[35]

Random number generation[edit]

Methods for random number generation where the marginal distribution is a binomial distribution are well-established.^[36][37]
One way to generate random variates samples from a binomial distribution is to use an inversion algorithm. To do so, one must calculate the probability that Pr(X = k) for all values k from 0 through n. (These probabilities should sum to a value close to one, in order to encompass the entire sample space.) Then by using a pseudorandom number generator to generate samples uniformly between 0 and 1, one can transform the calculated samples into discrete numbers by using the probabilities calculated in the first step.

History[edit]

This distribution was derived by Jacob Bernoulli. He considered the case where p = r/(r + s) where p is the probability of success and r and s are positive integers. Blaise Pascal had earlier considered the case where p = 1/2.

See also[edit]

• Logistic regression
• Multinomial distribution
• Negative binomial distribution
• Beta-binomial distribution
• Binomial measure, an example of a multifractal measure.^[38]
• Statistical mechanics
• Piling-up lemma, the resulting probability when XOR-ing independent Boolean variables

References[edit]

Further reading[edit]

• Hirsch, Werner Z. (1957). “Binomial Distribution—Success or Failure, How Likely Are They?”. Introduction to Modern Statistics. New York: MacMillan. pp. 140–153.
• Neter, John; Wasserman, William; Whitmore, G. A. (1988). Applied Statistics (Third ed.). Boston: Allyn & Bacon. pp. 185–192. ISBN 0-205-10328-6.

External links[edit]

• Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships
• Binomial distribution formula calculator
• Difference of two binomial variables: X-Y or |X-Y|
• Querying the binomial probability distribution in WolframAlpha
• Confidence (credible) intervals for binomial probability, p: online calculator available at causaScientia.org