Биссектриса смежного угла как найти

Смежные углы в геометрии

15 июня 2022

Два угла называются смежными, если у них общая вершина, общая сторона, а две других стороны образуют прямую.

В этом уроке:

1. Что такое смежные углы
2. Основное свойство смежных углов
3. Биссектрисы смежных углов
4. Тренировочные задачи

Это довольно простая, но очень важная тема.

1. Что такое смежные углы

Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$

Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.

Получим два новых угла: $angle AMN$ и $angle BMN$. Эти углы и называются смежными.

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).

Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:

А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:

Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых

образуется четыре пары смежных углов: $angle ASM$ и $angle ASN$; $angle BSM$ и $angle MSN$; $angle ASN$ и $angle BSN$; наконец, $angle ASM$ и $angle BSM$.

2. Основное свойство внешних углов

У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:

Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов

[angle AMB=angle AMN+angle BMN]

Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому

[angle AMN+angle BMN={180}^circ ]

Другими словами, если один угол равен $alpha $, то смежный с ним равен ${180}^circ -alpha $. Или если известно, что углы $alpha $ и $beta $ — смежные, то $alpha +beta ={180}^circ $.

Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.

Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:

1. $angle ABC={36}^circ $.
2. $angle ABC={121}^circ $.

Решение

1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:

Тогда $x=180-36=144$.

2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:

Тогда $x=180-121=59$.

Немного усложним задачу.

Задача 2. Найдите смежные углы, если:

1. один из них на 68° больше другого.
2. один из них в 5 раз больше другого.
3. их градусные меры относятся как 5 : 4.

Решение.

1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.

Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:

[begin{align}2x+68&=180 \ 2x&=112 \ x&=56 end{align}]

Итак, один угол равен 56 градусов. Тогда другой равен $x+68=124$ градуса.

2) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним равен $5x$.

Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому

[begin{align}5x+x&=180 \ 6x&=180 \ x&=30 end{align}]

Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.

3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.

Сумма смежных углов вновь равна 180 градусов:

[begin{align}5x+4x&=180 \ 9x&=180 \ x&=20 end{align}]

Поэтому сами углы равны $4x=80$ и $5x=100$ градусов.

3. Биссектрисы смежных углов

Вновь рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$:

Построим биссектрису $MC$ угла $AMN$ и биссектрису $MD$ угла $BMN$:

Если $angle AMC=x$ и $angle BMD=y$, то $angle AMN=2x$ и $angle BMN=2y$. Это смежные углы, поэтому

[begin{align}2x+2y&={180}^circ \ x+y&={90}^circ end{align}]

Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.

Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $angle ABC={70}^circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $angle ABD={40}^circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.

Решение. Изобразим все углы на рисунке:

Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно

[begin{align}angle MBD&={180}^circ -angle ABD= \ &={180}^circ -{40}^circ ={140}^circ end{align}]

Синим цветом отмечены биссектрисы углов $CBD$ и $MBC$. Обозначим величину углов переменными: $angle CBD=2x$, $angle MBD=2y$. Но $angle MBD=angle MBC+angle CBD$, поэтому

[begin{align}2x+2y&=140 \ x+y&=70 end{align}]

Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.

Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $angle MAC+angle ABC={180}^circ $. Докажите, что $angle MAC=angle NBC$.

Пусть $angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $angle MAC={180}^circ -x$.

С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $angle NBC={180}^circ -x$.

Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $angle MAC=angle NBC$, что и требовалось доказать.

Смотрите также:

1. Что такое вертикальные углы
2. Перпендикулярные прямые — определение и свойства
3. Правила комбинаторики в задаче B6
4. Метод координат в пространстве
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Анна Малкова

Пусть и – смежные углы, – биссектриса угла , – биссектриса угла . Докажем, что .

Смежные углы – это углы, имеющие общую сторону, и их сумма равна . Так как углы и – смежные, .

,

.

Значит, , что и требовалось доказать.

Легко доказать также, что биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей – перпендикулярны. Сделайте это самостоятельно.

Полезные следствия, применяемые в решении задач ЕГЭ:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Задача ЕГЭ по теме «Биссектрисы односторонних углов»

Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны. Угол между ними равен