Четырехугольник описан вокруг окружности как найти сторону

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

Фигура Рисунок Утверждение
Ромб В любой ромб можно вписать окружность
Квадрат В любой квадрат можно вписать окружность
Прямоугольник В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
Параллелограмм В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
Дельтоид В любой дельтоид можно вписать окружность
Трапеция В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб

Квадрат

В любой квадрат можно вписать окружность

Прямоугольник

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

Параллелограмм

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

Дельтоид

Трапеция

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Svoystva-Chetyrekhugolnikov-Opisannykh-Okolo-Okruzhnosti.html

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva/

[/spoiler]

Сторона

Сторона геометрической фигуры – это отрезок, соединяющий вершины фигуры. Равенство сторон или наличие прямых углов, соединяющих их, дает определенные свойства фигуре, благодаря которым становится возможным узнать другие измерительные величины. Поскольку определенное количество известных измерений, в том числе и сторон, определяет существование в плоскости одной, и только одной подобной фигуры, это позволяет также построить данную фигуру в плоскости.

В данном разделе можно найти все необходимые формулы и их доказательства для расчетов сторон любой геометрической фигуры, а также воспользоваться он-лайн калькуляторами.

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияуглы Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияявляются внешними.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениято параллелограмм Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияявляется ромбом.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство теоремы 1.

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияромб.

Докажите, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство (словестное): По определению ромба Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияравнобедренный. Медиана Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(так как Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияТак как Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияявляется прямым углом, то Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Аналогичным образом можно доказать, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

План доказательства теоремы 2

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияравнобедренная трапеция. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Докажите: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениятогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпроведем параллельную прямую к прямой Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениячерез точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения— середину стороны Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпроведите прямую параллельную Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияКакая фигура получилась? Является ли Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениятрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияМожно ли утверждать, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Пусть дан треугольник Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи его средняя линия Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияПроведём через точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпрямую параллельную стороне Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Четырехугольник - виды и свойства с примерами решеният.е. совпадает со средней линией Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияТ.е. средняя линия Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпараллельна стороне Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияТеперь проведём среднюю линию Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияТ.к. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениято четырёхугольник Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияПо теореме Фалеса Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияТогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство: Через точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениясередину Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениячерез Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениярадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи точка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякоторая является серединой отрезка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениято Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияа отсюда следует, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

2) По теореме Фалеса, если точка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияявляется серединой отрезка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениято на оси абсцисс точка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

3) Координаты середины отрезка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияс концами Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияточки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениянаходятся так:

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениято, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения— прямоугольный.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениятакже являются Пифагоровыми тройками.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Решение:

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(АВ CD, ВС-секущая), Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(ВС || AD, CD — секущая), Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решенияУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По свойству углов четырёхугольника, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Следовательно, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо двум сторонами и углу между ними.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияПри помощи циркуля сравните длины отрезков Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Проведём через точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпрямые Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпараллельные ВС. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпо условию, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак противоположные стороны параллелограммов Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияПроведём прямую Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Через точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияпроведём прямые, параллельные прямой Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак вертикальные, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениявнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияравнобедренный. Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениясоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По свойству внешнего угла треугольника, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Из доказанного в первом случае следует, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияизмеряется половиной дуги AD, a Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения— половиной дуги DC. Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениякак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Докажем, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По свойству равнобокой трапеции, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Четырехугольник - виды и свойства с примерами решениявписанного в окружность. Действительно,

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Следовательно, четырёхугольник Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как найти периметр сторон четырехугольника, формула нахождения

Совсем недавно в России родители отправляли своих детей в первый класс и с нетерпением ждали их первых заданий. Они с удовольствием наблюдали за тем, как их дети знакомятся с буквами русского алфавита, учатся считать палочки и точечки, выводить различные кривые и прямые линии. Родители помогали знакомиться своим детям с тем, что тетрадь в клеточку предназначена для написания цифр, а тетрадь в линеечку — для письма.

Сегодня, будучи второклассниками, ученики России достигли больших успехов в сфере начального образования, а точнее, в математическом прогрессе. Учителя научили их складывать и вычитать, умножать, делить, измерять.

Кстати, по поводу измерения: с линейкой ребята вторых классов России уже знакомы, и применение ей, кроме как стрелять с задней парты в соседа бумажки, они тоже знают. Именно об измерениях мы и заведем сегодняшний разговор.

Как мы видим, прогресс обучения нынешних учеников проходит слегка в ускоренном режиме. С теми темами, например, такими как периметр, дети 90-х знакомились позже, а наши ребята узнают сегодня. Конечно, в этом нет ничего страшного. Время меняется, и программа обучения тоже должна не стоять на месте. Зато, как считают многие, наши дети будут умнее нас.

Школьное задание

Наверное, многих родителей сегодня удивляют нынешние задания для второклассников. В учебнике по математике для второго класса можно встретить такое задание, как, например: «Найди периметр четырехугольника, две стороны которого равны по 2 сантиметра, а другие две будут по 3 сантиметра». Как справиться с данным заданием?

Многие родители настоящего времени являются теми самыми детьми девяностых годов, и, естественно, в большинстве случаев, мало кто помнит, что такое периметр. Особенно, если учились не на отлично, да и не совсем на «хорошо».

Естественно, каждому родителю хотелось бы, чтоб его ребенку было проще в обучении, и они всеми силами стараются ему в этом помочь. Некоторым родителям сначала приходится справиться со своей душевной паникой, а уже потом продолжать объяснять своему ребенку. В этом случае многим помогает интернет, место, где можно найти ответы на все тревожные вопросы. Во времена девяностых, к сожалению, такой «роскоши» не было.

Нахождение периметра четырехугольника формула

Вопросы:

  1. Что такое «периметр»?
  2. Как находить периметр четырехугольника?

Ответы на вопросы:

Для тех, кто знает, вспоминаем, а кто не знает — объясняем:

  1. Периметр — это сумма всех сторон четырехугольника. Всего лишь каждая грань по отдельности будет равна после сложения единому числу.
  2. Найти периметр, значит, что нужно взять линейку и измерить каждую границу четырехугольника. После выполнения данного действия необходимо сложить полученные числа между собой. Общая полученная сумма и будет являться периметром.

Решение:

В данном случае, по действиям нашей задачи, нам известны суммы сторон четырехугольника, а именно две из них по 2 сантиметра и две по 3 сантиметра. Поэтому нам остается всего лишь перечертить четырехугольник в тетрадь и сложить известные нам суммы каждой грани.

2+2+3+3=10

Как мы видим, периметр нашей четырехугольной фигуры равен 10.

В математике сумму всех сторон (периметр) мы обозначаем символом Р.

Теперь записываем правильное решение этой задачи:

Р=2+2+3+3;

Ответ: Р=10.

В математике существует формула, запомнив которую, вы никогда не будете забывать, как найти периметр (общую сумму всех сторон) четырехугольника и выглядит она так:

P = a + b + c + d (где a , b, c, d являются границами четырехугольника).

Кроме того, хотелось бы обратить внимание, что четырехугольник не обязательно будет являться прямоугольником. Это может быть и квадрат, у которого все стороны равны, и любая другая геометрическая фигура, у которой есть четыре стороны и такое же количество углов.

Грани произвольного четырехугольника могут совсем не совпадать ни с одной из сторон фигуры. Это могут быть совершенно разные числа. И, в итоге, получаются фигуры с четырьмя сторонами и теми же четырьмя углами. Фигура не будет похожа ни на квадрат, ни на прямоугольник, так как углы ее прямыми не будут. И периметр, соответственно мы вычисляем по той же самой единой формуле.

Или взять, например трапецию. Обычно у трапеции две стороны одинаковые, а другие две совсем не совпадают, но между собой параллельные.

На примере трапеция может выглядеть так: верхняя грань равна 2 сантиметра, левая и правая стороны по 3 сантиметра, соединяем их с нижней гранью и получаем трапецию. Высчитываем каждую ее сторону и снова получаем периметр четырехугольника.

Вычисление по формуле

Вычислить по формуле всегда будет проще, и не важно, каким числам равна каждая сторона.

Так как современные дети страны уже дошли до таблицы умножения, с периметром квадрата у них проблем не будет. Зная размер одной стороны квадрата, нужно умножить ее на все четыре равные стороны.

В общем, теперь стоит взять линейку с карандашом и лист бумаги. После этого следует начертить произвольные фигуры с четырьмя углами и высчитать общую сумму ее сторон.

Светило науки – 13536 ответов – 145139 раз оказано помощи

Ответ:

5 см, 10 см, 15 см, 10 см

Объяснение:

Смотрите рисунок.

Обозначим 4-угольник ABCD, а точки касания с кругом K, L, M, N.

Пусть стороны имеют длины: CD = x см, BC = 2x см, AB = 3x см.

Периметр 4-угольника P = 40 см.

Найти сторону AD = y см.

Решение:

1) Есть теорема: если из одной точки A идут две касательных к окружности в точки M и N, то длины отрезков AM = AN.

AM = AN, BM = BL, CK = CL, DK = DN.

2) Периметр:

P = AB + BC + CD + AD = x + 2x + 3x + y = 6x + y = 40    (1)

С другой стороны:

P = AM + BM + BL + CL + CK + DK + DN + AN

P = (AM + AN) + (BM + BL) + (CL + CK) + (DK + DN)

P = 2*AN + 2*BL + 2*CL + 2*DN = 2(AN + BL + CL + DN) = 40

AN + BL + CL + DN = 20

AN + DN = AD = y; BL + CL = BC = 2x

2x + y = 20       (2)

3) Получили систему уравнений (1) и (2):

{ 6x + y = 40

{ 2x + y = 20

Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение:

6x + y – 2x – y = 40 – 20

4x = 20

x = 20 : 4 = 5 см, 2x = 10 см, 3x = 15 см

y = 40 – 6x = 40 – 6*5 = 10 см

$SPJ1

Доказательство теоремы об окружности, вписанной в четырехугольник

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Ну, вот пример:

А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.

И вот эта теорема:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

В буквах:

( large a+c=b+d)
или (в других буквах)
( large AB+CD=AD+BC)

Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает:

  • Если в четырехугольник можно вписать окружность, то ( AB+CD=AD+BC)
  • Если в четырехугольнике есть ( AB+CD=AD+BC), то в него можно вписать окружность.

(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)

А теперь – доказательство!

Пункт 1 вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:

Пусть в ( ABCD) вписана окружность. Тогда получается из точек ( A,B,C,) и ( D) проведено по две касательных, которые равны!

(Вспоминаем о равенстве отрезков касательных проведённых из одной точки)

Итак, у нас

( displaystyle BK=BN) (обозначим ( x))

( displaystyle CK=CL) (обозначим ( y))

( displaystyle DL=DM) (обозначим ( z))

( displaystyle AM=AN) (обозначим ( u))

И теперь получается, что

( begin{array}{*{20}{c}}{AB = x + u}\{CD = y + z}end{array} Rightarrow AB + CD = x + y + z + u)

и

( begin{array}{*{20}{c}}{BC = x + u}\{AD = u + z}end{array} Rightarrow AD + BC = x + y + z + u)

( displaystyle Rightarrow AB+CD=AD+BC!)

Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.

Готово: пункт 1 доказали.

А теперь, наоборот, пункт 2.

Пусть в ( displaystyle ABCD) выполняется ( displaystyle AB+CD=AD+BC)

Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» – ( displaystyle ABCD) без стороны ( displaystyle AD).

Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром ( displaystyle O) такой окружности будет пересечение биссектрис углов ( displaystyle B) и ( displaystyle C).

Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона ( displaystyle AD), если она НЕ касается этой окружности, может либо пересекать её, либо вовсе не иметь с ней общих точек.

Разберём эти случаи и убедимся, что оба они ведут к противоречию.

Пусть ( displaystyle AD) пересекает окружность. Давай тогда проведём ( displaystyle A{{D}_{1}}), которая будет касаться окружности.

По пункту 1 для четырехугольника ( displaystyle ABC{{D}_{1}}) должно быть

( displaystyle AB+C{{D}_{1}}=A{{D}_{1}}+BC),

а по условию для четырехугольника ( displaystyle ABCD)

( displaystyle AB+CD=AD+BC).

Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)

( displaystyle C{{D}_{1}}-CD=A{{D}_{1}}-AD)

То есть ( displaystyle D{{D}_{1}}+AD=A{{D}_{1}})

Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для ( Delta AD{{D}_{1}}):

должно быть ( D{{D}_{1}}+AD>A{{D}_{1}}), а у нас ( D{{D}_{1}}+AD=A{{D}_{1}}).

Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что ( AD) НЕ МОЖЕТ пересекать окружность.

Пусть теперь ( AD) «не дотягивается» до окружности:

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность, вписанная в многоугольник или угол

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник/угол, если она касается всех сторон этого многоугольника/угла.
Тогда многоугольник/угол называется описанным около окружности.

(blacktriangleright) В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника (рис. 1).

Площадь описанного треугольника ищется по формуле [{Large{S_{triangle}=pcdot r}},]

где (p) – полупериметр.

(blacktriangleright) Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, (a, b) – катеты, (c) – гипотенуза, (r) – радиус этой окружности, то верна формула: [{large{r=dfrac{a+b-c}2}}]

(blacktriangleright) Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
И наоборот: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (рис. 2).
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов.
Площадь описанного четырехугольника ищется по формуле

[{large{S_{text{опис.4-к}}=pcdot r}},]

где (p) – полупериметр.

(blacktriangleright) Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 3).

(blacktriangleright) Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 4).

(blacktriangleright) Если в угол вписана окружность, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла (рис. 5).


Задание
1

#3106

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как (2:3:6). Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен (54).

Рассмотрим рисунок. Так как четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, четвертая сторона равна ((2x+6x)-3x=5x). Тогда можно составить уравнение: [2x+3x+6x+5x=54quadLeftrightarrowquad 6x=20,25] (большая сторона равна (6x))

Ответ: 20,25


Задание
2

#652

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В четырёхугольник (ABCD) вписана окружность, (AB = 3,5), (AD = 4), (BC = 6,5). Найдите длину (CD).

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
(AB + CD = AD + BC), откуда получаем (3,5 + CD = 4 + 6,5), значит, (CD = 7).

Ответ: 7


Задание
3

#2375

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольник (ABC) вписана окружность с центром в точке (O), причем (angle AOB=110^circ). Найдите (angle C) треугольника (ABC). Ответ дайте в градусах.

Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то (AO, BO) – биссектрисы углов (A, B) соответственно.

Следовательно, (angle BAO+angle
ABO=180^circ-110^circ=70^circ)
.
Также (angle A+angle B=2cdot (angle BAO+angle ABO)=140^circ), следовательно, (angle C=180^circ-(angle A+angle
B)=180^circ-140^circ=40^circ)
.

Ответ: 40


Задание
4

#3569

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны (5), основание равно (6). Найдите радиус вписанной окружности.

Известно, что для любого треугольника (S_{triangle}=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности.
В нашем случае по формуле Герона (полупериметр (p=8)) (S_{triangle}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=4cdot 3=12). Следовательно, [r=dfrac Sp=dfrac{12}{0,5(5+5+6)}
= 1,5]

Ответ: 1,5


Задание
5

#3560

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около окружности, радиус которой равен (3), описан многоугольник, периметр которого равен (20). Найдите его площадь.

Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, а (r) – радиус вписанной окружности, то [S=dfrac{20}2cdot 3=30]

Ответ: 30


Задание
6

#3561

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона правильного треугольника равна (sqrt3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть (H) – точка касания окружности со стороной (AB) (то есть (OH) – радиус). Следовательно, (OHperp AB) (как часть высоты) и (OH=frac13CH) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины).

Если (AC=2x=sqrt3), то (AH=x), следовательно, (CH=sqrt{4x^2-x^2}=xsqrt3), тогда [OH=dfrac13cdot CH=dfrac13cdot sqrt3cdot dfrac{sqrt3}2=0,5]

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной (a) равна (S=dfrac{sqrt3}4a^2). Тогда по формуле (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности, имеем: [r=dfrac Sp=dfrac{frac{sqrt3}4cdot (sqrt3)^2}{0,5(sqrt3+sqrt3+sqrt3)}
=0,5]

Ответ: 0,5


Задание
7

#3562

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен (dfrac{sqrt3}6). Найдите сторону этого треугольника.

1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть (H) – точка касания окружности со стороной (AB) (то есть (OH) – радиус). Следовательно, (OHperp AB) (как часть высоты) и (OH=frac13CH) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины).

Если (AC=2x), то (AH=x), следовательно, (CH=sqrt{4x^2-x^2}=xsqrt3), тогда [dfrac{sqrt3}6=OH=dfrac13cdot CH=dfrac{sqrt3}3xquadRightarrowquad
x=dfrac12quadRightarrowquad AC=2x=1]

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной (a) равна (S=dfrac{sqrt3}4a^2). Тогда по формуле (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности, имеем: [dfrac{sqrt3}4a^2=dfrac{3a}2cdot rquadRightarrowquad a=2sqrt3r=1]

Ответ: 1

На этапе подготовки к ЕГЭ старшеклассники повторяют базовые определения и формулы, в том числе и по теме «Окружность, вписанная в многоугольник или угол». Достаточно подробное изучение данного раздела планиметрии осуществляется, как правило, в средней школе. В связи с этим необходимость повторения основных формул и понятий по теме «Окружность, вписанная в угол или многоугольник» на этапе подготовки к ЕГЭ возникает у многих выпускников. Поняв принцип решения подобных заданий, старшеклассники смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед прохождением аттестационного испытания, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска базовых понятий и формул для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, и других параметров. Далеко не всегда их легко найти в Интернете, как и, например, задачи на правильный шестиугольник. А школьного учебника может просто не оказаться под рукой в нужное время. Для того чтобы ликвидировать пробелы в знаниях по этому и другим математическим разделам, обратитесь к образовательному проекту «Школково». На нашем сайте представлен весь необходимый материал, изложенный доступно и понятно. Какими свойствами обладает окружность, вписанная в угол и многоугольник, и какие формулы необходимо знать для успешного решения задач по данной теме? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете на сайте «Школково» в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы подготовка к единому госэкзамену была действительно эффективной, рекомендуем также попрактиковаться в решении соответствующих задач. Большая база заданий представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень задач на сайте постоянно дополняется и обновляется.

УСТАЛ? Просто отдохни

Добавить комментарий