Число фурье как найти

Число, или критерий Фурье () — один из критериев подобия нестационарных тепловых процессов. Характеризует соотношение между скоростью изменения тепловых условий в окружающей среде и скоростью перестройки поля температуры внутри рассматриваемой системы (тела), который зависит от размеров тела и коэффициента его температуропроводности:

$mathrm{Fo}=frac{chi t}{L^2},$

где

$chi=frac{lambda}{rho c}$ — коэффициент температуропроводности,
— характерное время изменения внешних условий,
— характерный размер тела.

Число Фурье является критерием гомохронности тепловых процессов, то есть связывает времена различных эффектов.

Критерий назван в честь французского физика и математика Жана Фурье.

Содержание

1 Применяемость
2 См. также
3 Ссылки
4 Примечания

Применяемость[править | править код]

Критерий Фурье вместе с критерием Био являются определяющими при решении задач нестационарной теплопроводности, описываемых уравнением теплопроводности. Определяемым критерием в таких задачах является безразмерная температура:^[1]

$theta=frac{T-T_f}{T_0-T_f},$

где

— текущая температура тела, К;
— температура среды;
$T_{0}$ — начальная температура тела.

Тогда безразмерная температура в точке выражается как функция от чисел Био и Фурье и безразмерной координаты точки:

$theta=f(mathrm{Bi};;mathrm{Fo};;vec{r}/l_0).$

См. также[править | править код]

Регулярные тепловые режимы
Теплопередача
Конвекция

Ссылки[править | править код]

Фурье число — статья из Большой советской энциклопедии. .

Примечания[править | править код]

↑ Тепловодность при нестационарном режиме.

Безразмерные величины в физике
Понятия	Размерность физической величины Безразмерная величина π-Теорема Критерий подобия
Критерии подобия	Число Альфвена (Al) Число Архимеда (Ar) Число Атвуда (A) Число Багнольда (Ba) Число Берстоу (Be) Число Био (Bi) Число Больцмана (Bo) Число Бонда/Этвёша (Bo, Bd или Eo) Число Бринкмана (Br) Число Булыгина (Bu) Число Вайсенберга (Wi или We) Число Вебера (We) Число Галилея (Ga) Число Гартмана (Ha) Число Гей-Люссака (Gc или GaL) Число гомохронности (Ho) Число Грасгофа (Gr) Число Гретца (Gz) Число Гуше (Go) Число Дамкёлера (Da) Число Деборы (De) Число Дерягина (Dg или De) Число Дина (Dn или D) Число Каулинга (Co) Число капиллярности (Cp или Ca) Число Кармана (Ka) Число Келегана — Карпентера (K_C) Число Кибеля (Ki) Число Кирпичёва (Ki) Число Клаузиуса (Cl) Число Кнудсена (Kn) Число Коссовича (Ko) Число Коши (Ca) Число Лапласа (La) Число Лундквиста (Lu или S) Число Лыкова (Lk или Lu) Число Льюиса (Le) Число Лященко (Ly) Число Марангони (Mg) Число Маха (M) Число Мортона (Mo) Число Нуссельта (Nu) Число Ньютона (Ne или Nt) Число Онезорге (Oh) Число Пекле (Pe) Число Поснова (Pn) Число Прандтля (Pr) Магнитное число Прандтля (Pr_m) Турбулентное число Прандтля (Pr_t) Число Пуазёйля (Po) Число Рейнольдса (Re) Акустическое число Рейнольдса (Re_a) Магнитное число Рейнольдса (Re_m) Число Ричардсона (Ri) Число Россби (Ro) Число Роуза (Rs) Число Рошко (Rk или Ro) Число Руарка (Ru) Число Рэлея (Ra) Число Соре (Sr) Число Стэнтона (St) Число Стокса (Sk или Stk) Число Струхаля (S, Sh или St) Число Стюарта (St или N) Число Суратмана (Su) Число Тейлора (Ta) Число Уомерсли (Wo или α) Число Фёдорова в гидродинамике в теории сушки (Fe) Число Фруда (Fr) Число Фурье (Fo) Число Хагена (Hg) Число Чандрасекара (Ch или Q) Число Шмидта (Sc) Число Шервуда (Sh) Число Эйлера (Eu) Число Эккерта (Ec или E) Число Экмана (Ek) Число Элсассера (El или Λ) Число Эриксена (Er) Число Якоба (Ja)
Другие безразмерные величины	Число Аббе Квантовые числа

Это статья-заготовка по термодинамике и статистической физике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In the study of heat conduction, the Fourier number, is the ratio of time, t, to a characteristic time scale for heat diffusion, t_d. This dimensionless group is named in honor of J.B.J. Fourier, who formulated the modern understanding of heat conduction.^[1] The time scale for diffusion characterizes the time needed for heat to diffuse over a distance, L. For a medium with thermal diffusivity, α, this time scale is t_d = L²/α, so that the Fourier number is t/t_d = αt/L². The Fourier number is often denoted as Fo or Fo_L.^[2]

The Fourier number can also be used in the study of mass diffusion, if the thermal diffusivity is replaced by a mass diffusivity.

The Fourier number is used in analysis of time dependent transport phenomena, generally in conjunction with the Biot number if convection is present. The Fourier number arises naturally in nondimensionalization of the heat equation.

Definition[edit]

The general definition of the Fourier number, Fo, is:^[3]

${displaystyle mathrm {Fo} ={frac {text{time}}{text{time scale for diffusion}}}={frac {t}{t_{d}}}}$

For heat diffusion with a characteristic length scale L in a medium of thermal diffusivity, α, the diffusion time scale is t_d =L²/α, so that

${displaystyle mathrm {Fo} _{L}={frac {alpha t}{L^{2}}}}$

where:

α is the thermal diffusivity (m²/s)
t is the time (s)
L is the characteristic length through which conduction occurs (m)

Interpretation of the Fourier number[edit]

Consider transient heat conduction in a slab of thickness L that is initially at a uniform temperature, T₀. One side of the slab is heated to higher temperature, T_h at time t = 0. The other side is adiabatic. The time needed for the other side of the object to show significant temperature change is the diffusion time, t_d.

When Fo ≪ 1, not enough time has passed for the other side to change temperature. In this case, significant temperature change only occurs close to the heated side, and most of the slab remains at T₀.

When Fo ≅ 1, significant temperature change occurs all the way through the thickness L. None of the slab remains at temperature T₀.

When Fo ≫ 1, enough time has passed for the slab to approach steady state. The entire slab approaches temperature T_h.

Derivation and usage[edit]

The Fourier number can be derived by nondimenionalizing the time-dependent diffusion equation. As an example, consider a rod of length L that is being heated from an initial temperature, T₀, by the imposition at time t = 0 of a higher temperature at x = L, T_L (with x along the axis of the rod). The heat equation in one spatial dimension, x, can be applied

${displaystyle {frac {partial T}{partial t}}=alpha {frac {partial ^{2}T}{partial x^{2}}}}$

where T is the temperature for 0 < x < L and t > 0. The differential equation can be scaled into a dimensionless form. A dimensionless temperature may be defined as Θ = (T – T_L)/(T₀ – T_L), and the equation may be divided through by α/L²:

${displaystyle {frac {partial Theta }{partial (alpha t/L^{2})}}={frac {partial ^{2}Theta }{partial (x/L)^{2}}}}$

The resulting dimensionless time variable is the Fourier number, Fo_L = αt/L². The characteristic time scale for diffusion, t_d =L²/α, comes directly from this scaling of the heat equation.

The Fourier number is frequently used as the nondimensional time in studying transient heat conduction in solids. A second parameter, the Biot number arises in nondimensionalization when convective boundary conditions are applied to the heat equation.^[2] Together, the Fourier number and the Biot number determine the temperature response of a solid subjected to convective heating or cooling.

Application to mass transfer[edit]

An analogous Fourier number can be derived by nondimensionalization of Fick’s second law of diffusion. The result is a mass transfer Fourier number, Fo_m defined as:^[4]

${displaystyle mathrm{Fo}_m = frac{D t}{L^2}}$

where:

Fo_m is the mass transfer Fourier number
D is the mass diffusivity (m²/s)
t is the time (s)
L is the length scale of interest (m)

The mass transfer Fourier number can be applied to the study of certain time-dependent mass diffusion problems.

References[edit]

^ Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie Analytique de la Chaleur (Analytical theory of heat). Paris: Firmin Didot, Père et Fils.
^ ^a ^b Lienhard, John H., IV; Lienhard, John H., V (2019). “Chapter 5: Transient and multidimensional heat conduction”. A Heat Transfer Textbook (5th ed.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 9780486837352. Retrieved January 2, 2023.
^ Glicksman, Leon R.; Lienhard, John H. (2016). “Section 3.2.4”. Modelling and Approximation in Heat Transfer. New York, NY: Cambridge University Press. p. 67. ISBN 978-1-107-01217-2.
^ Ostrogorsky, Aleks G.; Glicksman, Martin E. (2015). “Chapter 25: Segregation and Component Distribution”. In Rudolph, Peter (ed.). Handbook of Crystal Growth (Second ed.). Elsevier. p. 999. ISBN 9780444633033.

Источник

В изучении явлений
тепломассопереноса важную роль играют
экспериментальные
исследования. Для обобщения
результатов экспериментов на возможно
большее число явлений применяются
методы теории подобия. Понятие подобия
применимо к таким процессам, которые
имеют одинаковую физическую
природу и протекают в геометрически
подобных системах. Другими
словами, для того, чтобы некоторые
процессы или явления были подобны друг
другу, они должны описываться
одинаковыми уравнениями с подобными
друг другу начальными и
граничными условиями.

Важную
роль при анализе подобных процессов
играют безразмерные параметры.
Приведение уравнений к
безразмерному виду и выявление
безразмерных параметров –
необходимый этап любых сколько-нибудь
серьезных исследований в
теплофизике; он позволяет уменьшить
число переменных, дает
возможность изучать явление
независимо от выбора системы единиц и
более отчетливо выявить
внутренние связи, характеризующие
процесс. Безразмерные переменные
часто служат мерой, определяющей
возникновение критических ситуаций,
приводящих к резкому
изменению протекания изучаемого
явления (наиболее известный
пример – изменение режима течения
жидкости от ламинарного к
турбулентному при переходе
числа Рейнольдса через некоторое
критическое значение).

Рассмотрим
некоторые из наиболее часто применяемых
безразмерных параметров.

6.1.Число Фурье.

Рассмотрим
в качестве примера одну из простейших
задач теории теплопроводности
– задачу об определении температурного
поля в пластине (плоской стенке)
толщины l.
Пусть начальная температура
пластины во всех точках равна T₀
(начальное условие), затем в какой-то
момент времени на одной из ее
поверхностей устанавливают
температуру T₁,
а на другой продолжают поддерживать
температуру
T₀
(граничные условия). Через какое-то
время в пластине установится
стационарное
поле, которое в этой задаче определяется
элементарно (см. раздел 2.1), но
возникает вопрос: как определить,
или хотя бы оценить время, через
которое произойдет это установление?
Если отвечать на этот вопрос
формально, то время установления
будет бесконечно большим,
т.к. приближение к стационарному
распределению происходит асимптотически,
но реально всегда можно
указать конечное время, через которое
температурное поле практически
не будет отличаться от
стационарного. Чтобы
определить это время, можно попытаться
получить и проанализировать
точное решение задачи (т.е.
найти зависимость температуры
как от x,
так и от t),
но это уже существенно
сложнее, чем нахождение стационарного
поля, а в некоторых задачах
точное решение вообще
найти не удается. Однако есть способ
оценить время установления
не решая задачу, а лишь преобразовав
уравнение к безразмерным переменным.

Уравнение,
определяющее процесс
переноса тепла в неподвижной среде,
получено выше. Для пластины (или плоской
стенки) это уравнение имеет вид:

.
(6.1.1)

Решение этого
уравнения зависит, во-первых, от
теплофизических параметров
среды (от коэффициента
температуропроводности a),
а, во-вторых, (через граничные условия)
от некоторых величин, характерных
для рассматриваемой
задачи: от характерного размера и
характерной температуры (или
разности температур).
Правильный выбор характерных параметров
зависит от конкретной
задачи и является важным этапом решения.
В рассматриваемой простой задаче
о прогреве пластины значения
характерных параметров очевидны:
это толщина пластины l
и разность температур T₁
– T₀
(других величин в условии задачи
просто нет), но в других, более сложных
случаях, определение характерных
параметров может потребовать
специального исследования.

После того, как
характерные параметры выбраны, определим
безразмерные переменные
следующим образом: 
= (T – T₀)/(T₁
-T₀
) – безразмерная
температура и X
= x/l –
безразмерная координата.
Выразим отсюда T
и x:
T = T₀
+ (T₁
-T₀
),
x = lX,
и подставим в уравнение (6.1):

Разделим
обе части на a(T₁
-T₀
),
умножим на l²
и определим еще одну безразмерную
переменную: безразмерное время

;
(6.1.2)

тогда
уравнение (6.1.1) окончательно примет
безразмерный вид:

Безразмерное
время ,
определяемое формулой (6.1.2), называется
числом
Фурье (Fourier)
или критерием
Фурье.
Часто для обозначения числа Фурье
используют символ Fo;
этот символ был использован нами выше
в разделах 3.7 – 3.10. Время t,
соответствующее 
=
1, т.е. величина l²/a,
и есть характерное время задачи.
Установление температурного
поля происходит за время 
>>
1, или за время t
>> l²/a.
Обычно достаточно положить 

2…3, т.е. через
время, равное примерно двум – трем
характерным временам, температурное
поле практически не будет отличаться
от стационарного.

Соседние файлы в папке КраткийКонспектЛекций

Источник

В физике и технике используется число Фурье (Fo) или Модуль Фурье, названный в честь Джозефа Фурье, является безразмерное число, характеризующее переходную теплопроводность. Концептуально, это отношение скорости диффузионного или проводящего переноса к скорости накопления количества, где количество может быть либо теплом (тепловая энергия), либо материя (частицы). Это число является результатом обезразмеривания уравнения теплопроводности (также известного как закон Фурье ) или второго закона Фика и используется вместе с уравнением Био. число для анализа зависящих от времени явлений переноса.

Содержание

1 Определение
2 Получение и использование
3 Ссылки
4 См. также

Определение

Общее число Фурье определяется как:

F o = скорость распространения диффузного переноса { displaystyle mathrm {Fo} = { frac { text {скорость диффузионного переноса}} { text {скорость хранения}}}} ${ displaystyle mathrm {Fo} = frac { text {скорость диффузионного переноса }} { text {скорость хранения}}}$

Тепловое число Фурье, Fo h, определяется скоростью проводимости по отношению к скорости накопления тепловой энергии:

F oh = α t L 2 { displaystyle mathrm {Fo} _ {h} = { frac { alpha t} {L ^ {2}}}} ${ displaystyle mathrm {Fo} _h = frac { alpha t} {L ^ 2}}$

где:

α = kcp ρ { displaystyle alpha = { tfrac {k} {c_ {p} rho}}} $alpha = tfrac {k} {c_p rho}$ – коэффициент температуропроводности (SI единиц: m /s )
t – характерное время (с)
L – длина, на которой происходит проводимость (м)

Для переходного массопереноса путем диффузии, существует аналогичное массовое число Фурье Fo m, определяемое следующим образом:

F om = D t L 2 { displaystyle mathrm {Fo} _ {m} = { frac {Dt} {L ^ {2}}}} ${ displaystyle mathrm {Fo} _m = frac {D t} {L ^ 2}}$

где:

D – коэффициент диффузии ( м / с)
t – характерный масштаб (с)
L – интересующая шкала длины (м)

Вывод и использование

Обе формы числа Фурье, определенные выше, находятся путем безразмерного измерения переменных зависимых от времени уравнений диффузии. Чтобы получить число Фурье для теплопередачи, Fo h, уравнение теплопроводности в одном измерении:

∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 { displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = alpha { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}}} ${ displaystyle frac { partial u} { partial t} = alpha frac { partial ^ 2u} { partial x ^ 2} }$

Дан стержень длины L, который нагревается от начальной температуры T 0 путем приложения более высокой температуры L, T L, и безразмерной температуры u, определяемой как u = T – TLT 0 – TL { displaystyle u = { tfrac {T-T_ {L}} {T_ {0} -T_ {L}}}} $u = tfrac {T - T_L} {T_0 - T_L}$ , дифференциальное уравнение можно преобразовать в полностью безразмерную форму

∂ U ∂ (α T / L 2) = ∂ 2 u ∂ (x / L) 2 { displaystyle { frac { partial u} { partial ( alpha t / L ^ {2}) }} = { frac { partial ^ {2} u} { partial (x / L) ^ {2}}}} ${ Displaystyle frac { partial u} { partial ( alpha t / L ^ 2)} = frac { partial ^ 2 u} { partial (x / L) ^ 2}}$

Безразмерное время определяет число Фурье, Fo h = αt / L.

Эта процедура может быть выполнена аналогично второму закону диффузии Фика для получения числа Фурье массопереноса Fo m и применена к задачам, зависящим от времени, массопереносу.

Для нестационарных задач проводимости в твердых телах число Фурье часто используется как безразмерный параметр времени. Вместе с числом Био число Фурье можно использовать для определения нагрева или охлаждения объекта. Если число Био меньше 0,1, то всю систему можно рассматривать как однородную по температуре. Следующее уравнение, полученное с помощью произведения чисел Био и Фурье, можно использовать для оценки времени, за которое объект достигнет определенной температуры,

t = ρ cp V h A ln (T – T ∞ T 0 – T ∞) { displaystyle t = { frac { rho c_ {p} V} {hA}} ln ! Left ({ frac {T-T _ { infty}} {T_ {0} -T_ { infty}}} right)} ${ displaystyle t = { frac { rho c_ {p} V} {hA}} ln ! left ({ frac {T-T _ { infty}} {T_ {0} -T _ { infty}}} right)}$

где T – температура объекта в момент времени t, T 0 – начальная температура, T ∞ – температура объекта объем жидкости, V – объем объекта, A – площадь поверхности, а h – коэффициент конвективной теплопередачи для окружающей жидкости.

Ссылки

Incropera, Frank P. ; ДеВитт, Дэвид П. (1990). Основы тепломассообмена (5-е изд.). Wiley.

См. Также

Число Био
Конвекция
Теплопроводность
Уравнение теплопроводности
Молекулярная диффузия
Время пребывания

Источник

В физике и технике число Фурье ( Fo ) или модуль Фурье , названное в честь Джозефа Фурье , является безразмерным числом, которое характеризует переходную теплопроводность . Концептуально это отношение скорости диффузионного или кондуктивного переноса к скорости накопления количества, где количество может быть либо теплом (тепловая энергия), либо материей (частицы). Это число является результатом безразмерности уравнения теплопроводности (также известного как закон Фурье ) или второго закона Фика и используется вместе с числом Био для анализа явления переноса, зависящего от времени .

Определение

Общее число Фурье определяется как:

${ displaystyle mathrm {Fo} = frac { text {скорость диффузионного переноса}} { text {скорость хранения}}}$

Тепловое число Фурье, Fo _h , определяется степенью проводимости по отношению к скорости накопления тепловой энергии:

${ displaystyle mathrm {Fo} _h = frac { alpha t} {L ^ 2}}$

где:

$alpha = tfrac {k} {c_p rho}$ является температуропроводностью ( SI единица: м ² / с )
t – характерное время (с)
L – длина, на которой происходит проводимость (м)

Для неустановившегося массопереноса путем диффузии существует аналогичное массовое число Фурье Fo _m , определяемое следующим образом:

${ Displaystyle mathrm {Fo} _m = frac {D t} {L ^ 2}}$

где:

D – коэффициент диффузии (м ² / с)
t – характерная шкала времени (с)
L – интересующий масштаб длины (м)

Вывод и использование

Обе формы числа Фурье, определенные выше, находятся путем обезразмеривания переменных уравнений диффузии, зависящих от времени . Чтобы получить число Фурье для теплопередачи, Fo _h , уравнение теплопроводности в одном измерении выглядит следующим образом:

${ displaystyle frac { partial u} { partial t} = alpha frac { partial ^ 2u} { partial x ^ 2}}$

Для стержня длиной L , который нагревается от начальной температуры T ₀ , путем применения более высокой температуры L , T _L , и безразмерной температуры u , определяемой как , дифференциальное уравнение может быть преобразовано в полностью безразмерную форму ,
$u = tfrac {T - T_L} {T_0 - T_L}$

${ displaystyle frac { partial u} { partial ( alpha t / L ^ 2)} = frac { partial ^ 2 u} { partial (x / L) ^ 2}}$

Безразмерное время определяет число Фурье, Fo _h = αt / L ² .

Эта процедура может быть проделана аналогично второму закону диффузии Фика, чтобы получить число Фурье массопереноса, Fo _m , и применена к задачам массопереноса, зависящим от времени.

${ displaystyle t = { frac { rho c_ {p} V} {hA}} ln ! left ({ frac {T-T _ { infty}} {T_ {0} -T _ { infty }}}верно)}$

где T – температура объекта в момент времени t , T ₀ – начальная температура, T _∞ – температура объемной жидкости, V – объем объекта, A – площадь поверхности, а h – конвективная теплопередача. коэффициент для окружающей жидкости.

Смотрите также

Число Био
Конвекция
Теплопроводность
Уравнение тепла
Молекулярная диффузия
Время жительства

Источник

Содержание

Применяемость[править | править код]

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

Definition[edit]

Interpretation of the Fourier number[edit]

Derivation and usage[edit]

Application to mass transfer[edit]

See also[edit]

References[edit]

6.1.Число Фурье.

Содержание

Определение

Вывод и использование

Ссылки

См. Также

Определение

Вывод и использование

Рекомендации

Смотрите также

Добавить комментарий Отменить ответ

Содержание

Применяемость[править | править код]

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

Definition[edit]

Interpretation of the Fourier number[edit]

Derivation and usage[edit]

Application to mass transfer[edit]

See also[edit]

References[edit]

6.1.Число Фурье.

Содержание

Определение

Вывод и использование

Ссылки

См. Также

Определение

Вывод и использование

Рекомендации

Смотрите также

Вам также может понравиться

Как составить пкм

Как найти высоту цилиндра если известна площадь

Как найти бульвар победы

Добавить комментарий Отменить ответ