Число рамануджана как найти – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел, связанная с теоремой Рамануджана, уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел.

История[править | править код]

В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что

${displaystyle pi (x)-pi left({frac {x}{2}}right)geqslant 1}$

для всех $xgeqslant 2$ , где $pi (x)$ — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих $x$ .
Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:^[1]

${displaystyle pi (x)-pi left({frac {x}{2}}right)geqslant 1,2,3,4,5,ldots }$

для всех ${displaystyle xgeqslant 2,11,17,29,41,ldots }$ соответственно (последовательность A104272 в OEIS).

Определение[править | править код]

Простое число Рамануджана $R_n$ это наименьшее целое число, что для любого ${displaystyle xgeqslant R_{n}}$ выполнено

${displaystyle pi (x)-pi left({frac {x}{2}}right)geqslant n.}$

Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех ${displaystyle xgeqslant R_{n}}$ не меньше $n$ и стремится к бесконечности.

Следует отметить, что $R_n$ обязательно является простым числом: ${displaystyle pi (x)-pi left({frac {x}{2}}right)}$ , а следовательно и ${displaystyle pi (x),}$ должно возрасти, что возможно только если $R_n$ простое.

Границы и асимптотика[править | править код]

Оценка посредством элементарных функций^[2]:

${displaystyle 2nln 2n<R_{n}<4nln 4n.}$

Оценка посредством простых чисел^[2]^[3]:

${displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$ ,

где $p_n$ — $n$ -е простое число.

Асимптотика^[2]:

${displaystyle R_{n}sim p_{2n}}$ при ${displaystyle nto infty .}$

Уточнённая оценка сверху^[4]:

${displaystyle R_{n}leq {frac {41}{47}},p_{3n}.}$

Все эти результаты были доказаны после 2008 года.

Примечания[править | править код]

↑ Ramanujan, S. (1919), A proof of Bertrand’s postulate, Journal of the Indian Mathematical Society Т. 11: 181—182, <http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper24/page1.htm>. Архивная копия от 26 мая 2018 на Wayback Machine.
↑ ¹ ² ³ Sondow, J. (2009), Ramanujan primes and Bertrand’s postulate, Amer. Math. Monthly Т. 116 (7): 630—635, DOI 10.4169/193009709×458609
↑ Laishram, S. (2010), On a conjecture on Ramanujan primes, Международный журнал по теории чиселi (англ.) (рус. Т. 6 (8): 1869—1873, doi:10.1142/s1793042110003848, <http://www.isid.ac.in/~shanta/PAPERS/RamanujanPrimes-IJNT.pdf> Архивная копия от 12 ноября 2017 на Wayback Machine.
↑ Sondow, J.; Nicholson, J. & Noe, T. D. (2011), Ramanujan primes: bounds, runs, twins, and gaps, Journal of Integer Sequences Т. 14: 11.6.2, <http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Noe/noe12.pdf>. Архивная копия от 8 августа 2017 на Wayback Machine.

Источник

Given a positive integer L, the task is to find all the Ramanujan Numbers that can be generated by any set of quadruples (a, b, c, d), where 0 < a, b, c, d ≤ L.

Ramanujan Numbers are the numbers that can be expressed as sum of two cubes in two different ways.
Therefore, Ramanujan Number (N) = a³ + b³ = c³ + d³.

Examples:

Input: L = 20
Output: 1729, 4104
Explanation:
The number 1729 can be expressed as 12³ + 1³ and 10³ + 9³.
The number 4104 can be expressed as 16³ + 2³ and 15³ + 9³.

Input: L = 30
Output: 1729, 4104, 13832, 20683

Naive Approach: The simplest approach is to check for all combination of quadruples (a, b, c, d) from the range [1, L] consisting of distinct elements that satisfy the equation a³ + b³ = c³ + d³. For elements found to be satisfying the conditions, store the Ramanujan Numbers as a³ + b³. Finally, after checking for all possible combinations, print all the stored numbers.

Below is the implementation of the above approach:

C++

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

map<int,vector<int>> ramanujan_On4(int limit)

{

map<int,vector<int>> dictionary;

for(int a = 0; a < limit; a++)

{

for(int b = 0; b < limit; b++)

{

for(int c = 0; c < limit; c++)

{

for(int d = 0; d < limit; d++)

{

if ((a != b) and (a != c) and (a != d)

and (b != c) and (b != d)

and (c != d)){

int x = pow(a, 3) + pow(b, 3);

int y = pow(c, 3) + pow(d, 3);

if ((x) == (y))

{

int number = pow(a, 3) + pow(b, 3);

dictionary[number] = {a, b, c, d};

}

return dictionary;

}

int main()

{

int L = 30;

map<int, vector<int>> ra1_dict = ramanujan_On4(L);

for(auto x:ra1_dict)

{

cout << x.first << ": (";

for(int i = x.second.size() - 1; i >= 0; i--)

{

if(i == 0)

cout << x.second[i] << ")";

else

cout << x.second[i] << ", ";

}

cout << endl;

}

Java

import java.util.*;

import java.lang.*;

class GFG{

static Map<Integer, List<Integer>> ra1_dict;

static void ramanujan_On4(int limit)

{

for(int a = 0; a < limit; a++)

{

for(int b = 0; b < limit; b++)

{

for(int c = 0; c < limit; c++)

{

for(int d = 0; d < limit; d++)

{

if ((a != b) && (a != c) && (a != d) &&

(b != c) && (b != d) && (c != d))

{

int x = (int)Math.pow(a, 3) +

(int) Math.pow(b, 3);

int y = (int)Math.pow(c, 3) +

(int) Math.pow(d, 3);

if ((x) == (y))

{

int number = (int)Math.pow(a, 3) +

(int) Math.pow(b, 3);

ra1_dict.put(number, new ArrayList<>(

Arrays.asList(a, b, c, d)));

}

public static void main(String[] args)

{

int L = 30;

ra1_dict = new HashMap<>();

ramanujan_On4(L);

for(Map.Entry<Integer,

List<Integer>> x: ra1_dict.entrySet())

{

System.out.print(x.getKey() + ": (");

for(int i = x.getValue().size() - 1; i >= 0; i--)

{

if (i == 0)

System.out.print(x.getValue().get(i) + ")");

else

System.out.print(x.getValue().get(i) + ", ");

}

System.out.println();

}

Python3

import time

def ramanujan_On4(limit):

dictionary = dict()

for a in range(0, limit):

for b in range(0, limit):

for c in range(0, limit):

for d in range(0, limit):

if ((a != b) and (a != c) and (a != d)

and (b != c) and (b != d)

and (c != d)):

x = a ** 3 + b ** 3

y = c ** 3 + d ** 3

if (x) == (y):

number = a ** 3 + b ** 3

dictionary[number] = a, b, c, d

return dictionary

L = 30

ra1_dict = ramanujan_On4(L)

for i in sorted(ra1_dict):

print(f'{i}: {ra1_dict[i]}', end ='n')

C#

using System;

using System.Collections.Generic;

class GFG {

static Dictionary<int, List<int>> ra1_dict;

static void Ramanujan_On4(int limit) {

for (int a = 0; a < limit; a++) {

for (int b = 0; b < limit; b++) {

for (int c = 0; c < limit; c++) {

for (int d = 0; d < limit; d++) {

if ((a != b) && (a != c) && (a != d) &&

(b != c) && (b != d) && (c != d)) {

int x = (int)Math.Pow(a, 3) +

(int)Math.Pow(b, 3);

int y = (int)Math.Pow(c, 3) +

(int)Math.Pow(d, 3);

if (x == y) {

int number = (int)Math.Pow(a, 3) +

(int)Math.Pow(b, 3);

ra1_dict[number] = new List<int>{a, b, c, d};

}

static void Main(string[] args) {

int L = 30;

ra1_dict = new Dictionary<int, List<int>>();

Ramanujan_On4(L);

foreach (var x in ra1_dict) {

Console.Write(x.Key + ": (");

for (int i = x.Value.Count - 1; i >= 0; i--) {

if (i == 0)

Console.Write(x.Value[i] + ")");

else

Console.Write(x.Value[i] + ", ");

}

Console.WriteLine();

}

Javascript

<script>

function ramanujan_On4(limit) {

var dictionary = {};

for (var a = 0; a < limit; a++) {

for (var b = 0; b < limit; b++) {

for (var c = 0; c < limit; c++) {

for (var d = 0; d < limit; d++) {

if (

a !== b &&

a !== c &&

a !== d &&

b !== c &&

b !== d &&

c !== d

) {

var x = Math.pow(a, 3) + Math.pow(b, 3);

var y = Math.pow(c, 3) + Math.pow(d, 3);

if (x == y) {

var number =

Math.pow(a, 3) + Math.pow(b, 3);

dictionary[number] =

[" " + a, " " + b, " " + c, d];

}

return dictionary;

}

var L = 30;

var ra1_dict = ramanujan_On4(L);

var temp = Object.keys(ra1_dict)

.sort()

.reduce((r, k) => ((r[k] = ra1_dict[k]), r), {});

for (const [key, value] of Object.entries(temp)) {

document.write(key + ": (" + value.reverse() + ")" +

"<br>");

}

</script>

Output:

1729: (9, 10, 1, 12)
4104: (9, 15, 2, 16)
13832: (18, 20, 2, 24)
20683: (19, 24, 10, 27)

Time Complexity: O(L⁴)
Auxiliary Space: O(1)

Efficient Approach: The above approach can also be optimized by using Hashing. Follow the steps below to solve the problem:

Initialize an array, say ans[], to stores all the possible Ramanujan Numbers that satisfy the given conditions.
Precompute and store the cubes of all numbers from the range [1, L] in an auxiliary array arr[].
Initialize a HashMap, say M, that stores the sum of all possible combinations of a pair of cubes generated from the array arr[].
Now, generate all possible pairs(i, j) of the array arr[] and if the sum of pairs doesn’t exist in the array, then mark the occurrence of the current sum of pairs in the Map. Otherwise, add the current sum to the array ans[] as it is one of the Ramanujan Numbers.
After completing the above steps, print the numbers stored in the array ans[].

Below is the implementation of the above approach:

C++

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

map<int, vector<int> > ramanujan_On2(int limit)

{

int cubes[limit + 1];

for (int i = 0; i <= limit; i++) {

cubes[i] = i * i * i;

}

map<int, vector<int> > dict_sum_pairs;

map<int, vector<int> > dict_ramnujan_nums;

for (int a = 0; a <= limit; a++) {

for (int b = a + 1; b <= limit; b++) {

int a3 = cubes[a];

int b3 = cubes[b];

int sum_pairs = a3 + b3;

if (dict_sum_pairs.count(sum_pairs)) {

int c = dict_sum_pairs[sum_pairs][0];

int d = dict_sum_pairs[sum_pairs][1];

dict_ramnujan_nums[sum_pairs]

= { a, b, c, d };

}

else {

dict_sum_pairs[sum_pairs] = { a, b };

}

return dict_ramnujan_nums;

}

int main()

{

int L = 30;

map<int, vector<int> > r_dict

= ramanujan_On2(L);

for (auto& e : r_dict) {

cout << e.first << ": (";

for (int i = 0; i < e.second.size(); i++) {

if (i == e.second.size() - 1)

cout << e.second[i] << ")";

else

cout << e.second[i] << ", ";

}

cout << endl;

}

return 0;

}

Java

import java.io.*;

import java.util.*;

class GFG {

static HashMap<Integer, ArrayList<Integer> >

ramanujan_On2(int limit)

{

int[] cubes = new int[limit + 1];

for (int i = 0; i <= limit; i++) {

cubes[i] = i * i * i;

}

HashMap<Integer, ArrayList<Integer> > dict_sum_pairs

= new HashMap<>();

HashMap<Integer, ArrayList<Integer> >

dict_ramnujan_nums = new HashMap<>();

for (int a = 0; a <= limit; a++) {

for (int b = a + 1; b <= limit; b++) {

int a3 = cubes[a];

int b3 = cubes[b];

int sum_pairs = a3 + b3;

if (dict_sum_pairs.containsKey(sum_pairs))

{

int c

= dict_sum_pairs.get(sum_pairs).get(

0);

int d

= dict_sum_pairs.get(sum_pairs).get(

1);

dict_ramnujan_nums.put(

sum_pairs,

new ArrayList<>(

Arrays.asList(a, b, c, d)));

}

else

{

dict_sum_pairs.put(

sum_pairs,

new ArrayList<>(

Arrays.asList(a, b)));

}

return dict_ramnujan_nums;

}

public static void main(String[] args)

{

int L = 30;

HashMap<Integer, ArrayList<Integer> > r_dict

= ramanujan_On2(L);

for (Map.Entry<Integer, ArrayList<Integer> > e :

(Iterable<

Map.Entry<Integer, ArrayList<Integer> > >)

r_dict.entrySet()

.stream()

.sorted(

Map.Entry

.comparingByKey())::iterator) {

System.out.print(e.getKey() + ": (");

for (int i = 0; i <= e.getValue().size() - 1;

i++) {

if (i == e.getValue().size() - 1)

System.out.print(e.getValue().get(i)

+ ")");

else

System.out.print(e.getValue().get(i)

+ ", ");

}

System.out.println();

}

Python3

from array import *

import time

def ramanujan_On2(limit):

cubes = array('i', [])

dict_sum_pairs = dict()

dict_ramnujan_nums = dict()

sum_pairs = 0

for i in range(0, limit):

cubes.append(i ** 3)

for a in range(0, limit):

for b in range(a + 1, limit):

a3, b3 = cubes[a], cubes[b]

sum_pairs = a3 + b3

if sum_pairs in dict_sum_pairs:

c, d = dict_sum_pairs.get(sum_pairs)

dict_ramnujan_nums[sum_pairs] = a, b, c, d

else:

dict_sum_pairs[sum_pairs] = a, b

return dict_ramnujan_nums

L = 30

r_dict = ramanujan_On2(L)

for d in sorted(r_dict):

print(f'{d}: {r_dict[d]}', end ='n')

C#

using System;

using System.Linq;

using System.Collections.Generic;

class GFG {

static Dictionary<int, List<int> >

Ramanujan_On2(int limit)

{

int[] cubes = new int[limit + 1];

for (int i = 0; i <= limit; i++) {

cubes[i] = i * i * i;

}

Dictionary<int, List<int> > dict_sum_pairs

= new Dictionary<int, List<int> >();

Dictionary<int, List<int> > dict_ramanujan_nums

= new Dictionary<int, List<int> >();

for (int a = 0; a <= limit; a++) {

for (int b = a + 1; b <= limit; b++) {

int a3 = cubes[a];

int b3 = cubes[b];

int sum_pairs = a3 + b3;

if (dict_sum_pairs.ContainsKey(sum_pairs)) {

int c = dict_sum_pairs[sum_pairs][0];

int d = dict_sum_pairs[sum_pairs][1];

dict_ramanujan_nums[sum_pairs]

= new List<int>(

new int[] { a, b, c, d });

}

else {

dict_sum_pairs[sum_pairs]

= new List<int>(new int[] { a, b });

}

return dict_ramanujan_nums;

}

static void Main(string[] args)

{

int L = 30;

Dictionary<int, List<int> > r_dict

= Ramanujan_On2(L);

foreach(KeyValuePair<int, List<int> > e in

r_dict.OrderBy(key => key.Key))

{

Console.Write(e.Key + ": (");

for (int i = 0; i <= e.Value.Count - 1; i++) {

if (i == e.Value.Count - 1)

Console.Write(e.Value[i] + ")");

else

Console.Write(e.Value[i] + ", ");

}

Console.WriteLine();

}

Javascript

function ramanujan_On2(limit) {

let cubes = [];

let dict_sum_pairs = {};

let dict_ramanujan_nums = {};

let sum_pairs = 0;

for (let i = 0; i < limit; i++) {

cubes.push(i ** 3);

}

for (let a = 0; a < limit; a++) {

for (let b = a + 1; b < limit; b++) {

let a3 = cubes[a];

let b3 = cubes[b];

sum_pairs = a3 + b3;

if (dict_sum_pairs[sum_pairs]) {

let [c, d] = dict_sum_pairs[sum_pairs];

dict_ramanujan_nums[sum_pairs] = [a, b, c, d];

} else {

dict_sum_pairs[sum_pairs] = [a, b];

}

return dict_ramanujan_nums;

}

const L = 30;

const r_dict = ramanujan_On2(L);

for (let d in r_dict) {

console.log(`${d}: ${r_dict[d]}`);

}

Output:

1729: (9, 10, 1, 12)
4104: (9, 15, 2, 16)
13832: (18, 20, 2, 24)
20683: (19, 24, 10, 27)

Time Complexity: O(L²)
Auxiliary Space: O(L²)

Last Updated :
15 Feb, 2023

Like Article

Save Article

Источник

Знаток

(413),
на голосовании

2 года назад

Голосование за лучший ответ

Elepsis Eclipse

Гений

(61060)

2 года назад

cache = {}
twice = {}

a = 0
while len(twice) < 5:
    a += 1
    b = 0
    while b < a:
        b += 1
        n = a ** 3 + b ** 3

        if n in cache:
            twice[n] = [cache[n], [a, b]]
        else:
            cache[n] = [a, b]

for n in twice: print(n, twice[n])

“””
1729 [[10, 9], [12, 1]]
4104 [[15, 9], [16, 2]]
13832 [[20, 18], [24, 2]]
20683 [[24, 19], [27, 10]]
32832 [[30, 18], [32, 4]]
“””

Black Afgano

Просветленный

(21992)

2 года назад

import numpy as np
from itertools import combinations

numbers = np.arange(100)
pairs = np.array(list(combinations(numbers, 2)))
sums = np.apply_along_axis(lambda x: sum(x ** 3), 1, pairs)

nums, counts = np.unique(sums, return_counts=True)
print(*[num for num, count in zip(nums, counts) if count == 2][:5])

Лука Майский

Ученик

(193)

2 года назад

Вообще то в задаче на Степике было начальное число 1729
b = 1729
x = 0
ss = [b]
while x != 33:
for x in range(1, 34):
for y in range(1, 34):
for z in range(1,34):
for t in range(1, 34):
for r in range(1, 34):
if (x**3 + y**3) == (z**3+t**3):
if x != y and x != z and x != t and y != z and y != t and z != t:
a = (x ** 3 + y ** 3)
if a != b:
if a not in ss:
ss.append(a)
ss.sort()
b = a
print(ss)

“
[1729, 4104, 13832, 20683, 32832]
“

отступы тут не ставятся, сам расставишь если не совсем того… ))

Денис Проходский

Знаток

(364)

2 года назад

numbers = []
for a in range(1, 50):
for b in range(1, 50):
if a == b:
continue
for c in range(1, 50):
if c == a or c == b:
continue
for d in range(1, 50):
if d == c or d == b or d == a:
continue
if a**3 + b**3 == c**3 + d**3:
i = a**3 + b**3
if i not in numbers:
numbers.append(i)
print(numbers)
,,,,
[1729, 4104, 13832, 39312, 46683, 32832, 110656, 110808, 40033, 20683, 65728, 64232]

Александр Фролов

Ученик

(103)

7 месяцев назад

answer=[]
for i in range(1, 33):
____for j in range(1, 33):
________for x in range(1, 33):
____________for y in range(1, 33):
________________if i ** 3 + j ** 3 == x ** 3 + y ** 3 and i < x < y < j:
____________________answer.append(x ** 3 + y ** 3)
print(sorted(answer))

””
[1729, 4104, 13832, 20683, 32832]
””

УсяКуся

Профи

(531)

6 месяцев назад

Это все здорово, но на степике к этому моменту мы ещё не прошли массивы. Как это решить без массивов?

wmzУченик (237)

3 месяца назад

синтаксис name = [] – это объявление пустого списка.
массив в питоне подключается import array и при объявление указывается тип данных – array(‘i’, [-1, 1, 2, 6, 3, 4]) где i – integer + свои методы + хранится как непрерывная последовательность ячеек в памяти.
Списки называют массивом потому что массивы поддерживают списочные методы и по работе через те жи индексы схожи, но они отличаются между собой и по способу представления объектов в памяти и по типу хранимых объектов.

УсяКусяПрофи (531)

3 месяца назад

Мне это известно, но эта задача из курса на степике, и к тому моменту массивы не были пройдены, то есть решение должно быть другим

Ващенко Виталий

Ученик

(127)

1 месяц назад

Мой вариант с выводом только пяти чисел начиная с 1729 по возрастанию. Как сказано на степике.

counter, flag = 1, False
for a in range(1, 41):
__for c in range(1, a):
____for d in range(1, c + 1):
______for b in range(1, d):
________if a ** 3 + b ** 3 == d ** 3 + c ** 3:
__________print(a ** 3 + b ** 3)
__________counter += 1
__________if counter == 6:
____________flag = True
____________break
__if flag:
____break

Источник

«Что ты несёшь? Этого не может быть!»

В качестве эпиграфа я взял то, что сказала мне мама, узнав от меня об этой маленькой математической аномалии. И это именно аномалия. В конце концов, это противоречит основам логики. Как может сумма натуральных чисел равняться не только отрицательной величине, но ещё и отрицательной дроби? Что за дребедень?

Прежде чем начать: мне указали на то, что в данной статье слово «сумма» я использую в нетрадиционном смысле, ибо все ряды, о которых я говорю, не стремятся естественным образом к определённому числу. Так что речь идёт о другом типе сумм, а именно о суммировании методом Чезаро. Для всех, кто интересуется математикой: суммирование по Чезаро присваивает значения некоторым бесконечным суммам, которые не сходятся в обычном смысле. Согласно Википедии, «сумма Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда при n, стремящемся к бесконечности». Добавлю, что в данной статье используется понятие счётной бесконечности, то есть идёт речь о таком бесконечном множестве чисел, при котором, имея достаточно времени, можно сосчитать до любого числа множества. Это позволяет мне применять в уравнениях некоторые обычные математические свойства, такие как коммутативность (аксиома, которую я использую на протяжении всей статьи).

Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887—1920), выдающийся индийский математик

Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887—1920), выдающийся индийский математик.

Для тех из вас, кто незнаком с рядом, известным как суммирование методом Рамануджана (Сриниваса Рамануджан (Srinivasa Ramanujan) — выдающийся индийский математик), объясняю: такое суммирование означает, что, складывая все натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до бесконечности, вы получите результат −1/12. Ага, −0,08333333333.

суммирование рамануджана

Вы не верите мне? Читайте дальше, и узнаете, как я доказываю это путём доказательства истинности двух одинаково безумных утверждений:

1. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 … = 1/2

2. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4

Прежде всего, расскажу о главном — о волшебном преобразовании, без которого невозможны доказательства двух данных утверждений.

Возьмём ряд A, который представляет собой бесконечное повторение 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1. Я запишу это так:

A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …

Теперь маленький трюк: вычту А из 1.

1 − A = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …)

Пока всё правильно? Настало время перейти к волшебству. Упростив правую часть уравнения, я получаю кое-что весьма странное:

1 − A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 …

Не правда ли, что-то такое уже было? Подсказываю: это A. Да, в правой части уравнения оказался ряд, с которого мы начали. Теперь я могу заменить всю правую часть на букву A, немного поупражняться в применении алгебры средней школы — и опля!

1 − А = А

1 − А + А = А + А

1 = 2А

1/2 = А

Эта маленькая прелесть — ряд Гранди, названный в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (Guido Grandi). Вот и всё, что есть интересного в этом ряде, и, хотя лично для меня он самый замечательный, с ним не связано никаких крутых историй или открытий. Однако именно он позволяет построить доказательство для многих интересных вещей, включая очень важное для квантовой механики и даже для теории струн уравнение. Но об этом чуть позже. А пока перейдём к доказательству утверждения №2: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4.

Приступим к делу так же, как и выше. Пусть мы имеем ряд B: В = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … Теперь с этим можно поиграть. Для начала вычтем B из A. По правилам математики мы получаем следующее:

A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …)

A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 …

Затем слегка перемешаем элементы, чтобы получился ещё один интересный паттерн.

A − B = (1 − 1) + (−1 + 2) + (1 − 3) + (−1 + 4) + (1 − 5) + (−1 + 6) …

A − B = 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 …

И снова мы пришли к ряду, с которого начали, а поскольку нам уже известно, что A = 1/2, мы, используя основы алгебры, можем завершить доказательство нашего второго умопомрачительного факта.

А − В = В

А = 2В

1/2 = 2B

1/4 = B

Вуаля! У данного уравнения нет эффектного названия, ибо известно оно давно, и за долгие годы многие математики сумели выполнить его доказательство, что, однако не помешало им считать это уравнение парадоксальным. Как бы то ни было, оно будоражило умы учёных и даже помогло Эйлеру более широко подойти к решению «базельской проблемы», а также привело к исследованию важных математических функций, таких как дзета-функция Римана.

А теперь вишенка на торте, которую вы так долго ждали, — гвоздь программы. Первые шаги похожи на те, которые мы делали раньше: возьмём ряд C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …, а дальше, как вы, возможно, догадались, вычтем C из B.

B − C = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

Поскольку математика по-прежнему безупречна, поменяем некоторые числа местами, чтобы получить кое-что знакомое, но, вероятно, не то, о чём вы подумали.

В − С = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) − 1 − 2 − 3 − 4 — 5 − 6 …

В − С = (1 − 1) + (−2 − 2) + (3 − 3) + (−4 − 4) + (5 − 5) + (−6 − 6) …

B − C = 0 − 4 + 0 − 8 + 0 − 12 …

В − С = −4 − 8 − 12 …

Это не то, что вы ожидали, верно? Но сейчас вы не сможете удержаться от возгласа «Вау!», ибо я готов выполнить ещё один, последний трюк, который стоит того, чтобы им восхищаться. Возможно, вы заметили, что все числа с правой стороны кратны числу −4. Следовательно, мы можем вынести этот постоянный множитель за скобки — и вновь прийти к тому, с чего начали!

В − С = −4 (1 + 2 + 3) …

B − C = −4C

B = −3C

А поскольку, как мы выяснили ранее, B = 1/4, получаем наш волшебный результат:

1/4 = −3C

1/−12 = C, или C = −1/12.

Теперь объясню, почему этот результат важен. Во-первых, он используется в теории струн. Увы, в её первоначальной версии (в теории бозонных струн), а не в версии Стивена Хокинга (Stephen Hawking). К сожалению, теория бозонных струн несколько устарела, и сегодня учёные предпочитают суперсимметричную теорию струн, но исходная теория всё ещё используется для понимания суперструн, которые являются неотъемлемыми элементами вышеупомянутой обновлённой теории струн.

Во-вторых, суммирование по методу Рамануджана оказало большое влияние на развитие общей физики, особенно при осмыслении явления, известного как эффект Казимира. Хендрик Казимир (Hendrik Casimir) предсказал, что две незаряженные проводящие пластины, помещённые в вакуум, будут притягиваться друг к другу из-за присутствия виртуальных частиц, порождаемых квантовыми флуктуациями. Моделируя количество энергии между пластинами, Казимир использовал то самое уравнение, истинность которого мы только что доказали. Вот почему этот результат такой важный.

Итак, вы познакомились с открытым в начале 1900-х годов суммированием по методу Рамануджана, которое, хоть и прошло сто лет, всё ещё играет важную роль при решении проблем во многих областях физики и которое, если заключать пари с несведущими людьми, всё ещё может приносить победу.

P.S. Если у вас не пропал интерес к безумному уравнению Рамануджана и вы хотите узнать больше, то у меня есть для вас ссылка на беседу с двумя физиками. Они пытаются объяснить данное уравнение и показать его полезность и значимость. Это красиво, коротко и очень интересно.

Из серии рассказов на математические темы «Канторовский рай» («Cantor’s Paradise»).

Источник

Простые числа Рамануджана – это простые числа , удовлетворяющие неравенству согласно С. Рамануджану , вытекающему из его обобщения постулата Бертрана , который Рамануджан доказал заново. Постулат Бертрана гласит, что существует по крайней мере одно простое число для всех чисел между и . Рамануджан простых чисел определяются как маленькие числа, так что есть между и по крайней мере простых чисел для всех из них . Рамануджан доказал, что это есть для всех. Название Ramanujan prime было введено Джонатаном Сондоу в 2005 году.
${ Displaystyle х geq 1}$ $Икс$ $2x$ $R_ {n}$ ${ Displaystyle х geq R_ {п}}$ $Икс$ ${ displaystyle { tfrac {x} {2}}}$ $п$ $п$

Пусть на функцию простого числа , то есть, это число простых чисел, не больше . Тогда –е простое число Рамануджана – это наименьшее число, для которого:
${ Displaystyle х mapsto pi (x)}$ $пи (х)$ $Икс$ $п$ $R_ {n}$

${ displaystyle pi (x) - pi left ({ frac {x} {2}} right) geq n}$ для всех ${ Displaystyle х geq R_ {п}}$

Другими словами, это самые маленькие числа , так что между ними и по крайней мере простые числа для всех из них . Поскольку функция может расти только в простом положении , оно должно быть простым числом, и применимо следующее:
$R_ {n}$ ${ Displaystyle х geq R_ {п}}$ ${ displaystyle { tfrac {x} {2}}}$ $Икс$ $п$ ${ Displaystyle х mapsto pi (x) - pi ({ tfrac {x} {2}})}$ $Икс$ $R_ {n}$

${ displaystyle pi (R_ {n}) - pi left ({ frac {R_ {n}} {2}} right) = n}$

Первые простые числа Рамануджана:

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, … (последовательность A104272 в OEIS )

Постулат Бертрана в точности так (с ).
$п = 1$ ${ displaystyle R_ {1} = 2}$

Рамануджан доказал существование этих простых чисел, найдя неравенство

${ displaystyle pi (x) - pi left ({ frac {x} {2}} right)> { frac {1} { log x}} left ({ frac {x} { 6}} - 3 { sqrt {x}} right)}$

для производных. Правая сторона монотонно растет в сторону бесконечности для .
${ displaystyle x> 300}$ $х к infty$

характеристики

Это касается всех $п geq 1$

${ Displaystyle 2n , ln (2n) <R_ {n} <4n , ln (4n)}$ ,

где обозначает на натуральный логарифм , а также
$ln$

${ displaystyle p_ {2n} <R_ {n} <p_ {3n}}$ для , $п geq 2$

где -м первична.
$p_ {n}$ $п$

Асимптотически применяется

${ Displaystyle R_ {n} sim p_ {2n}}$ За ${ displaystyle n to infty,}$

откуда следует с теоремой о простых числах:

${ Displaystyle R_ {п} sim 2n , ln (2n)}$

Приведенные выше результаты получены Джонатаном Сондоу, за исключением неравенства , которое предположил Сондоу и которое доказал Шанта Лайшрам.
${ displaystyle R_ {n} <p_ {3n}}$

пример

Первые простые числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … (Следуйте A000040 в OEIS )

Рассмотрим следующие два свойства (где число простых чисел , и в -м Рамануджана простое число):
$пи (х)$ ${ displaystyle leq x}$ $R_ {n}$ $п$

${ displaystyle pi (x) - pi left ({ frac {x} {2}} right) geq n}$ для всех ${ Displaystyle х geq R_ {п}}$

${ displaystyle pi (R_ {n}) - pi left ({ frac {R_ {n}} {2}} right) = n}$

а теперь сначала рассмотрим их :
${ Displaystyle х in mathbb {N}, х leq 228}$

Иллюстрация простых чисел Рамануджана $R_ {n}$

$Икс$	$пи (х)$	${ displaystyle { frac {x} {2}}}$	${ displaystyle pi left ({ frac {x} {2}} right)}$	${ displaystyle pi (x) - pi left ({ frac {x} {2}} right)}$	Замечания	$п$	$R_ {n}$	${ Displaystyle пи (R_ {п})}$	${ displaystyle { frac {R_ {n}} {2}}}$	${ displaystyle pi left ({ frac {R_ {n}} {2}} right)}$	${ displaystyle pi (R_ {n}) - pi left ({ frac {R_ {n}} {2}} right) { stackrel {!} {=}} n}$
1	0	0,5	0	0		0	–	–	–	–	–
2	1	1	0	1	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 1}$	1	2	1	1	0	1
3	2	1.5	0	2		1	2	1	1	0	1
4-й	2	2	1	1		1	2	1	1	0	1
5	3	2,5	1	2		1	2	1	1	0	1
Шестой	3	3	2	1		1	2	1	1	0	1
7-е	4-й	3.5	2	2		1	2	1	1	0	1
8-е	4-й	4-й	2	2		1	2	1	1	0	1
9	4-й	4.5	2	2		1	2	1	1	0	1
10	4-й	5	3	1	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 1}$	1	2	1	1	0	1
11	5	5.5	3	2	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 2}$	2	11	5	5.5	3	2
12	5	Шестой	3	2		2	11	5	5.5	3	2
13	Шестой	6.5	3	3		2	11	5	5.5	3	2
14-е	Шестой	7-е	4-й	2		2	11	5	5.5	3	2
15-е	Шестой	7,5	4-й	2		2	11	5	5.5	3	2
16	Шестой	8-е	4-й	2	последний раз ${ Displaystyle пи (х) - пи ({ гидроразрыва {х} {2}}) leq 2}$	2	11	5	5.5	3	2
17-е	7-е	8,5	4-й	3	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 3}$	3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
18-е	7-е	9	4-й	3		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
19-е	8-е	9,5	4-й	4-й		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
20-е	8-е	10	4-й	4-й		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
21-е	8-е	10,5	4-й	4-й		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
22-е	8-е	11	5	3		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
23	9	11,5	5	4-й		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
24	9	12	5	4-й		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
25-е	9	12,5	5	4-й		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
26-е	9	13	Шестой	3		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
27	9	13,5	Шестой	3		3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
28	9	14-е	Шестой	3	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 3}$	3	17-е	7-е	8,5	4-й	3
29	10	14,5	Шестой	4-й	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 4}$	4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
30-е	10	15-е	Шестой	4-й		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
31 год	11	15.5	Шестой	5		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
32	11	16	Шестой	5		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
33	11	16,5	Шестой	5		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
34	11	17-е	7-е	4-й		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
35 год	11	17,5	7-е	4-й		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
36	11	18-е	7-е	4-й		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
37	12	18,5	7-е	5		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
38	12	19-е	8-е	4-й		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
39	12	19,5	8-е	4-й		4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
40	12	20-е	8-е	4-й	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 4}$	4-й	29	10	14,5	Шестой	4-й
41 год	13	20,5	8-е	5	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 5}$	5	41 год	13	20,5	8-е	5
42	13	21-е	8-е	5		5	41 год	13	20,5	8-е	5
43	14-е	21,5	8-е	Шестой		5	41 год	13	20,5	8-е	5
44	14-е	22-е	8-е	Шестой		5	41 год	13	20,5	8-е	5
45	14-е	22,5	8-е	Шестой		5	41 год	13	20,5	8-е	5
46	14-е	23	9	5	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 5}$	5	41 год	13	20,5	8-е	5
47	15-е	23,5	9	Шестой	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 6}$	Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
48	15-е	24	9	Шестой		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
49	15-е	24,5	9	Шестой		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
50	15-е	25-е	9	Шестой		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
51	15-е	25,5	9	Шестой		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
52	15-е	26-е	9	Шестой		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
53	16	26,5	9	7-е		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
54	16	27	9	7-е		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
55	16	27,5	9	7-е		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
56	16	28	9	7-е		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
57	16	28,5	9	7-е		Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
58	16	29	10	Шестой	последний раз ${ Displaystyle пи (х) - пи ({ гидроразрыва {х} {2}}) leq 6}$	Шестой	47	15-е	23,5	9	Шестой
59	17-е	29,5	10	7-е	отсюда всегда ${ Displaystyle пи (х) - пи ({ гидроразрыва {х} {2}}) geq 7}$	7-е	59	17-е	29,5	10	7-е
60	17-е	30-е	10	7-е		7-е	59	17-е	29,5	10	7-е
61	18-е	30,5	10	8-е		7-е	59	17-е	29,5	10	7-е
62	18-е	31 год	11	7-е		7-е	59	17-е	29,5	10	7-е
63	18-е	31,5	11	7-е		7-е	59	17-е	29,5	10	7-е
64	18-е	32	11	7-е		7-е	59	17-е	29,5	10	7-е
65	18-е	32,5	11	7-е		7-е	59	17-е	29,5	10	7-е
66	18-е	33	11	7-е	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 7}$	7-е	59	17-е	29,5	10	7-е
67	19-е	33,5	11	8-е	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 8}$	8-е	67	19-е	33,5	11	8-е
68	19-е	34	11	8-е		8-е	67	19-е	33,5	11	8-е
69	19-е	34,5	11	8-е		8-е	67	19-е	33,5	11	8-е
70	19-е	35 год	11	8-е	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 8}$	8-е	67	19-е	33,5	11	8-е
71	20-е	35,5	11	9	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 9}$	9	71	20-е	35,5	11	9
72	20-е	36	11	9		9	71	20-е	35,5	11	9
73	21-е	36,5	11	10		9	71	20-е	35,5	11	9
74	21-е	37	12	9		9	71	20-е	35,5	11	9
75	21-е	37,5	12	9		9	71	20-е	35,5	11	9
76	21-е	38	12	9		9	71	20-е	35,5	11	9
77	21-е	38,5	12	9		9	71	20-е	35,5	11	9
78	21-е	39	12	9		9	71	20-е	35,5	11	9
79	22-е	39,5	12	10		9	71	20-е	35,5	11	9
80	22-е	40	12	10		9	71	20-е	35,5	11	9
81 год	22-е	40,5	12	10		9	71	20-е	35,5	11	9
82	22-е	41 год	13	9		9	71	20-е	35,5	11	9
83	23	41,5	13	10		9	71	20-е	35,5	11	9
84	23	42	13	10		9	71	20-е	35,5	11	9
85	23	42,5	13	10		9	71	20-е	35,5	11	9
86	23	43	14-е	9		9	71	20-е	35,5	11	9
87	23	43,5	14-е	9		9	71	20-е	35,5	11	9
88	23	44	14-е	9		9	71	20-е	35,5	11	9
89	24	44,5	14-е	10		9	71	20-е	35,5	11	9
90	24	45	14-е	10		9	71	20-е	35,5	11	9
91	24	45,5	14-е	10		9	71	20-е	35,5	11	9
92	24	46	14-е	10		9	71	20-е	35,5	11	9
93	24	46,5	14-е	10		9	71	20-е	35,5	11	9
94	24	47	15-е	9		9	71	20-е	35,5	11	9
95	24	47,5	15-е	9		9	71	20-е	35,5	11	9
96	24	48	15-е	9	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 9}$	9	71	20-е	35,5	11	9
97	25-е	48,5	15-е	10	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 10}$	10	97	25-е	48,5	15-е	10
98	25-е	49	15-е	10		10	97	25-е	48,5	15-е	10
99	25-е	49,5	15-е	10		10	97	25-е	48,5	15-е	10
100	25-е	50	15-е	10	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 10}$	10	97	25-е	48,5	15-е	10
101	26-е	50,5	15-е	11	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 11}$	11	101	26-е	50,5	15-е	11
102	26-е	51	15-е	11		11	101	26-е	50,5	15-е	11
103	27	51,5	15-е	12		11	101	26-е	50,5	15-е	11
104	27	52	15-е	12		11	101	26-е	50,5	15-е	11
105	27	52,5	15-е	12		11	101	26-е	50,5	15-е	11
106	27	53	16	11	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 11}$	11	101	26-е	50,5	15-е	11
107	28	53,5	16	12	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 12}$	12	107	28	53,5	16	12
108	28	54	16	12		12	107	28	53,5	16	12
109	29	54,5	16	13		12	107	28	53,5	16	12
110	29	55	16	13		12	107	28	53,5	16	12
111	29	55,5	16	13		12	107	28	53,5	16	12
112	29	56	16	13		12	107	28	53,5	16	12
113	30-е	56,5	16	14-е		12	107	28	53,5	16	12
114	30-е	57	16	14-е		12	107	28	53,5	16	12
115	30-е	57,5	16	14-е		12	107	28	53,5	16	12
116	30-е	58	16	14-е		12	107	28	53,5	16	12
117	30-е	58,5	16	14-е		12	107	28	53,5	16	12
118	30-е	59	17-е	13		12	107	28	53,5	16	12
119	30-е	59,5	17-е	13		12	107	28	53,5	16	12
120	30-е	60	17-е	13		12	107	28	53,5	16	12
121	30-е	60,5	17-е	13		12	107	28	53,5	16	12
122	30-е	61	18-е	12		12	107	28	53,5	16	12
123	30-е	61,5	18-е	12		12	107	28	53,5	16	12
124	30-е	62	18-е	12		12	107	28	53,5	16	12
125	30-е	62,5	18-е	12		12	107	28	53,5	16	12
126	30-е	63	18-е	12	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 12}$	12	107	28	53,5	16	12
127	31 год	63,5	18-е	13	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 13}$	13	127	31 год	63,5	18-е	13
128	31 год	64	18-е	13		13	127	31 год	63,5	18-е	13
129	31 год	64,5	18-е	13		13	127	31 год	63,5	18-е	13
130	31 год	65	18-е	13		13	127	31 год	63,5	18-е	13
131	32	65,5	18-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
132	32	66	18-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
133	32	66,5	18-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
134	32	67	19-е	13		13	127	31 год	63,5	18-е	13
135	32	67,5	19-е	13		13	127	31 год	63,5	18-е	13
136	32	68	19-е	13		13	127	31 год	63,5	18-е	13
137	33	68,5	19-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
138	33	69	19-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
139	34	69,5	19-е	15-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
140	34	70	19-е	15-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
141	34	70,5	19-е	15-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
142	34	71	20-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
143	34	71,5	20-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
144	34	72	20-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
145	34	72,5	20-е	14-е		13	127	31 год	63,5	18-е	13
146	34	73	21-е	13		13	127	31 год	63,5	18-е	13
147	34	73,5	21-е	13		13	127	31 год	63,5	18-е	13
148	34	74	21-е	13	последний раз ${ Displaystyle пи (х) - пи ({ гидроразрыва {х} {2}}) leq 13}$	13	127	31 год	63,5	18-е	13
149	35 год	74,5	21-е	14-е	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 14}$	14-е	149	35 год	74,5	21-е	14-е
150	35 год	75	21-е	14-е	последний раз ${ Displaystyle пи (х) - пи ({ гидроразрыва {х} {2}}) leq 14}$	14-е	149	35 год	74,5	21-е	14-е
151	36	75,5	21-е	15-е	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 15}$	15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
152	36	76	21-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
153	36	76,5	21-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
154	36	77	21-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
155	36	77,5	21-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
156	36	78	21-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
157	37	78,5	21-е	16		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
158	37	79	22-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
159	37	79,5	22-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
160	37	80	22-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
161	37	80,5	22-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
162	37	81 год	22-е	15-е		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
163	38	81,5	22-е	16		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
164	38	82	22-е	16		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
165	38	82,5	22-е	16		15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
166	38	83	23	15-е	последний раз ${ Displaystyle пи (х) - пи ({ гидроразрыва {х} {2}}) leq 15}$	15-е	151	36	75,5	21-е	15-е
167	39	83,5	23	16	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 16}$	16	167	39	83,5	23	16
168	39	84	23	16		16	167	39	83,5	23	16
169	39	84,5	23	16		16	167	39	83,5	23	16
170	39	85	23	16		16	167	39	83,5	23	16
171	39	85,5	23	16		16	167	39	83,5	23	16
172	39	86	23	16		16	167	39	83,5	23	16
173	40	86,5	23	17-е		16	167	39	83,5	23	16
174	40	87	23	17-е		16	167	39	83,5	23	16
175	40	87,5	23	17-е		16	167	39	83,5	23	16
176	40	88	23	17-е		16	167	39	83,5	23	16
177	40	88,5	23	17-е		16	167	39	83,5	23	16
178	40	89	24	16	последний раз ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) leq 16}$	16	167	39	83,5	23	16
179	41 год	89,5	24	17-е	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 17}$	17-е	179	41 год	89,5	24	17-е
180	41 год	90	24	17-е	последний раз ${ Displaystyle пи (х) - пи ({ гидроразрыва {х} {2}}) leq 17}$	17-е	179	41 год	89,5	24	17-е
181	42	90,5	24	18-е	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 18}$	18-е	181	42	90,5	24	18-е
182	42	91	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
183	42	91,5	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
184	42	92	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
185	42	92,5	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
186	42	93	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
187	42	93,5	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
188	42	94	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
189	42	94,5	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
190	42	95	24	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
191	43	95,5	24	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
192	43	96	24	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
193	44	96,5	24	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
194	44	97	25-е	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
195	44	97,5	25-е	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
196	44	98	25-е	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
197	45	98,5	25-е	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
198	45	99	25-е	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
199	46	99,5	25-е	21-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
200	46	100	25-е	21-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
201	46	100,5	25-е	21-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
202	46	101	26-е	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
203	46	101,5	26-е	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
204	46	102	26-е	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
205	46	102,5	26-е	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
206	46	103	27	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
207	46	103,5	27	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
208	46	104	27	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
209	46	104,5	27	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
210	46	105	27	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
211	47	105,5	27	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
212	47	106	27	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
213	47	106,5	27	20-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
214	47	107	28	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
215	47	107,5	28	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
216	47	108	28	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
217	47	108,5	28	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
218	47	109	29	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
219	47	109,5	29	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
220	47	110	29	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
221	47	110,5	29	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
222	47	111	29	18-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
223	48	111,5	29	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
224	48	112	29	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
225	48	112,5	29	19-е		18-е	181	42	90,5	24	18-е
226	48	113	30-е	18-е	последний раз ${ Displaystyle пи (х) - пи ({ гидроразрыва {х} {2}}) leq 18}$	18-е	181	42	90,5	24	18-е
227	49	113,5	30-е	19-е	отсюда всегда ${ displaystyle pi (x) - pi ({ frac {x} {2}}) geq 19}$	19-е	227	49	113,5	30-е	19-е
228	49	114	30-е	19-е		19-е	227	49	113,5	30-е	19-е

веб ссылки

Дж. Сондоу: Рамануджан Прайм . В: MathWorld (английский).

Индивидуальные доказательства

↑ Рамануджан: Доказательство постулата Бертрана. В: Журнал Индийского математического общества. 11: 181-182 (1919).
^ Дж. Сондоу: простые числа Рамануджана и постулат Бертрана. В: American Mathematical Monthly. Том 116, 2009 г., стр. 630-635, Arxiv, pdf.
^ Первые 1000 и 10000 простых чисел

на основе формулы	Кэрол ((2 ⁿ – 1) ² – 2) \| Двойной Мерсенн (2 ^{2 ^п – 1} – 1) \| Факториал ( n! ± 1) \| Ферма (2 ^{2 ⁿ} + 1) \| Кубическая ( x ³ – y ³ ) / ( x – y ) \| Kynea ((2 ⁿ + 1) ² – 2) \| Лейланд ( x ^y + y ^x ) \| Мерсенн (2 ^ч. – 1) \| Мельницы ( A ^{3 ⁿ} ) \| Пьерпон (2 ^u ⋅ 3 ^v + 1) \| Primorial ( p _n # ± 1) \| Proth ( к ⋅2 ^п + 1) \| Пифагорейский (4 n + 1) \| Quartic ( x ⁴ + y ⁴ ) \| Табит (3⋅2 ⁿ – 1) \| Вагстафф ((2 ^р + 1) / 3) \| Уильямс (( b-1 ) ⋅ b ⁿ – 1) Вудалл ( n ⋅2 ⁿ – 1)
Следующее простое число	Колокол \| Фибоначчи \| Лукас \| Моцкин \| Пелл \| Перрин
имущественный	Элитист \| Удачливый \| Хорошо \| Счастливый \| Хиггс \| Высокий коэффициент \| Изолированный \| Пиллаи \| Рамануджан \| Обычный \| Сильный \| Звезда \| Стена – Солнце – Солнце \| Виферих \| Уилсон
базовый зависимый	Бельфегор \| Champernowne \| Двугранный \| Уникальный \| Счастливый \| Кит \| Длинный \| Минимальный \| Mirp \| Перестановочный \| Первобытный \| Палиндром \| Объединить простое число ((10 ⁿ – 1) / 9) \| Слабый \| Смарандаче – Веллин \| Стробограмматика \| Тетрадич \| Магистральный \| круговой
на основе кортежей	Сбалансированный ( p – n , p , p + n) \| Чен \| Кузен ( p , p + 4) \| Каннингем ( p , 2 p ± 1, …) \| Триплет ( p , p + 2 или p + 4, p + 6) \| Созвездие \| Сексуальный ( p , p + 6) \| Сейф ( p , ( p – 1) / 2) \| Софи Жермен ( p , 2 p + 1) \| Четверные ( p , p + 2, p + 6, p + 8) \| Близнец ( p , p + 2) \| Двойная двойная цепь ( n ± 1, 2 n ± 1, …)
по размеру	Титаник (более 1000 цифр) \| Гигантский (10 000+ цифр) \| Мега (более 1 000 000 цифр) \| Бева (1 000 000 000+ позиций)

Источник

История[править | править код]

Определение[править | править код]

Границы и асимптотика[править | править код]

Примечания[править | править код]

C++

Java

Python3

C#

Javascript

C++

Java

Python3

C#

Javascript

характеристики

пример

веб ссылки

Индивидуальные доказательства

Вам также может понравиться

Как найти процент усушки

Как найти утечку тока на ваз 21099

Как найти вектор перпендикулярный уравнению прямой

Добавить комментарий Отменить ответ