Число в степени икс как найти икс

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Он поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие степеней и переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

$$ a^{f(x)}=b^{g(x)}; $$

Где (a) и (b) – некоторые числа, а (f(x)) и (g(x)) – какие-то выражения, зависящие от (x). Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

$$2^x=8;$$
$$ 2^x=2^{2x+1};$$
$$3^{x^2}=2^{x^2-2x+3};$$

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

$$ 7x+2=16;$$
$$x^2-4x+5=0;$$

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Пример 1
$$ 2^x=8;$$

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

$$ 2^3=2*2*2=8; $$

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь по-сложнее.

Пример 2
$$ 3^{4x-1}=frac{1}{9};$$

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

$$frac{1}{9}=frac{1}{3^2}=3^{-2};$$

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

$$ a^{-n}=frac{1}{a^n};$$

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

$$ 3^{4x-1}=3^{-2};$$

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

$$ 4x-1=-2;$$

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

$$4х=-2+1;$$
$$4x=-1;$$
$$x=-frac{1}{4}.$$

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Пример 3
$$125^x=25;$$

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

$$ (5^3)^x=5^2;$$

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^{n*m}):

$$ 5^{3*x}=5^2;$$

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

$$ 3*x=2;$$
$$ x=frac{2}{3};$$

И еще один пример:

Пример 4
$$2^x=-4;$$

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

$$ a^x=b;$$

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0)).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

$$ a^x=a^m;$$

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

$$x=m.$$

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Пример 5
$$2^x=16;$$

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

$$2^x=2^4$$

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$

Пример 6
$$5^{-x}=125 Rightarrow 5^{-x}=5*5*5 Rightarrow 5^{-x}=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$

Пример 7
$$9^{4x}=81 Rightarrow (3*3)^{4x}=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^{4x}=3^4 Rightarrow 3^{8x}=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac{1}{2}.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

Пример 8
$$ 3^x=2;$$

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

$$ b=a^{log_{a}(b)};$$

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

$$ 2=3^{log_{3}(2)};$$

Подставим данное преобразование в наш пример:

$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

$$x=log_{3}(2).$$

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Пример 9
$$ 7^{2x}=5;$$
$$ 7^{2x}=7^{log_{7}(5)};$$
$$2x=log_{7}(5);$$
$$x=frac{1}{2}*log_{7}(5).$$

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

$$ x=frac{1}{2}*log_{7}(5)=log_{7}(5^{frac{1}{2}})=log_{7}(sqrt{5});$$

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Рассмотрим уравнение:

Пример 10
$$ 9^x-5*3^x+6=0;$$

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^{n*m}). Подставим:

$$(3^x)^2-5*3^x+6=0;$$

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию – (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

$$t^2-5t+6=0;$$

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

$$D=5^2-4*6=25-24=1; Rightarrow t_{1}=frac{5+sqrt{1}}{2}=3; Rightarrow t_{2}=frac{5-sqrt{1}}{2}=2;$$

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

$$ 3^x=3;$$
$$3^x=3^1;$$
$$x=1.$$

И второй корень:

$$ 3^x=2;$$
$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$
$$x=log_{3}(2).$$

Ответ: (x_{1}=1; ; x_{2}=log_{3}(2).)

И еще один пример на замену:

Пример 11
$$3^{4x^2-6x+3}-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

$$ 3^{4x^2-6x+3}=3^{4x^2-6x+2+1}=3^{2(2x^2-3x+1)+1}=3^{2*(2x^2-3x+1)}*3^1=3*(3^{2x^2-3x+1})^2;$$

Подставим в исходное уравнение:

$$3*(3^{2x^2-3x+1})^2-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

$$t=3^{2x^2-3x+1}; ; t>0;$$
$$3*t^2-10t+3=0;$$
$$D=100-36=64; Rightarrow t_{1}=3; t_{2}=frac{1}{3};$$

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

$$ 3^{2x^2-3x+1}=3;$$
$$ 2x^2-3x+1=1;$$
$$x(2x-3)=0;$$
$$x=0; ; x=frac{3}{2}.$$

И второе значение (t):

$$3^{2x^2-3x+1}=frac{1}{3};$$
$$3^{2x^2-3x+1}=3^{-1};$$
$$2x^2-3x+1=-1;$$
$$2x^2-3x+2=0;$$
$$D=9-16=-7<0;$$

Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.

Ответ: (x_{1}=0; ; x_{2}=frac{3}{2}.)

Однородные показательные уравнения

Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:

Пример 12
$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x};$$

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} ; ; :3^x$$
$$ frac{7^{x+1}}{3^x}+frac{3*7^{x}}{3^x}=frac{3^{x+2}}{3^x}+frac{3^{x}}{3^x};$$

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

$$frac{a^n}{a^m}=a^{n-m};$$
$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$ frac{a^n}{b^n}=(frac{a}{b})^n;$$

Разберем каждое слагаемое:

$$ frac{7^{x+1}}{3^x}=frac{7*7^x}{3^x}=7*frac{7^x}{3^x}=7*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3*7^{x}}{3^x}=3*frac{7^x}{3^x}=3*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9;$$
$$ frac{3^{x}}{3^x}=1;$$

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

$$ 7*(frac{7}{3})^x+3*(frac{7}{3})^x=9+1;$$

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac{7}{3})^x):

$$7t+3t=10;$$
$$10t=10;$$
$$t=1;$$

Сделаем обратную замену:

$$(frac{7}{3})^x=1;$$

Вспоминаем, что (1=(frac{7}{3})^0):

$$(frac{7}{3})^x=(frac{7}{3})^0;$$
$$x=0.$$

Ответ: (x=0).

И последний пример на замену:

Пример 13
$$2^{x+2}+0,5^{-x-1}+4*2^{x+1}=28;$$

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$${(a^n)}^m=a^{n*m};$$

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

$$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x;$$

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны – отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

$$0,5^{-x-1}=0,5^{-(x+1)}={(frac{1}{2})}^{-(x+1)}={(2^{-1})}^{-(x+1)}=2^{x+1}=2^x*2^1=2*2^x;$$

И последнее слагаемое со степенью:

$$ 4*2^{x+1}=4*2^x*2^1=8*2^x;$$

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

$$4*2^x+2*2^x+8*2^x=28;$$

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

$$2^x*(4+2+8)=28;$$
$$14*2^x=28;$$
$$2^x=frac{28}{14}=2;$$
$$2^x=2^1;$$
$$x=1.$$

Ответ: (x=1.)

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера.
Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Пример 14
$$2^{x+1}*5^x=10^{x+1}*5^{x+2};$$

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

$$2^{x+1}*5^x=(2*5)^{x+1}*5^{x+2};$$

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

$$ 2^{x+1}*5^x=2^{x+1}*5^{x+1}*5^{x+2};$$

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

$$frac{2^{x+1}}{2^{x+1}}=frac{5^{x+1}*5^{x+2}}{5^x};$$

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^{n+m}) и (frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}):

$$1=frac{5^{x+1+x+2}}{5^x};$$
$$1=frac{5^{2x+3}}{5^x};$$
$$1=5^{2x+3-x};$$
$$1=5^{x+3};$$
$$5^0=5^{x+3};$$
$$x+3=0;$$
$$x=-3.$$
Ответ: (x=-3).

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 Rightarrow 5^<-x>=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 Rightarrow 3^<8x>=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию – (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение (t):

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac<7><3>)^x):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны – отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^) и (frac=a^):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Степенные или показательные уравнения.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n

3. a n • a m = a n + m

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n ) m = a nm .

Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10•4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n ) m = a nm .

4 х = (2 2 ) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :

2 2х+4 = 2 2х •2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х ,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2 :

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t₁ = 9
t₂ = 3

Возвращаемся к переменной x.

3 х = 9
3 х = 3 2
х₁ = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:
t₂ = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х₂ = 1
Ответ: х₁ = 2; х₂ = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

[spoiler title=”источники:”]

http://tutomath.ru/uroki/stepennye-pokazatelnye-uravneniya.html

http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya

[/spoiler]

        Итак, друзья, на прошлом уроке мы с вами познакомились (или научились — кому как) решать самые простые показательные уравнения.

По итогам прошлого урока, в вашей светлой голове должна была остаться общая ключевая информация, касаемо подхода к решению показательных уравнений. Что-то в виде практических советов, а что-то — в самых общих чертах, исходя из примеров, разобранных на уроке.  

        По пунктам:

        1. Первым делом всегда смотрим на основания. Если основания степеней разные, то прикидываем, нельзя ли как-то сделать их одинаковыми. В первую очередь, пытаемся это делать, активно используя действия со степенями и умение распознавать одно и то же число в разных степенях — целых, дробных и отрицательных.

        2. Стремимся привести показательное уравнение к каноническому виду, когда слева и справа стоит одно и то же число в каких угодно степенях. Для этого активно используем действия со степенями и базовые тождественные преобразования уравнений (перенос вправо-влево и умножение/деление).

        3. Степени популярных чисел надо уметь узнавать в лицо! Пробуем делать это.

        4. Действия со степенями надо знать и уметь применять. Причём в обоих направлениях (слева направо и справа налево)!

        В приведённых советах, если как следует вчитаться и присмотреться, можно заметить очень частое употребление слов: «пытаемся», «пробуем», «стремимся». Это ключевые слова не только в показательных уравнениях, а во всей математике вообще. Кто пытается, пробует, стремится, у того и получается. Возможно, не сразу, но рано или поздно — обязательно получается! И не только в математике, между прочим. У того же, кто не пробует — не получается ни-че-го! Ничего не поделать. Так уж устроена эта коварная жизнь. К сожалению. Или к счастью.)

        Ну что, продолжаем наращивать наш потенциал?

Уровень 3.  Раскладываем на множители!

        К сожалению, для успешного решения очень многих примеров, одних только примитивных действий со степенями и базовых тождественных преобразований уравнений недостаточно. Необходимо ещё грамотно уметь применять и весь остальной набор ваших знаний и умений из младших и средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, не так ли?

        Например, разложение на множители. Привет 7-му классу! Это, между прочим, один из самых популярных приёмов в решении очень многих видов уравнений, не только показательных!

        Например, вот такое уравнение:

        5^x+2 – 5^x+1 + 5^x = 105

        Первый совет (выход на одинаковые основания) здесь не нужен: основания всех степеней уже одинаковые — пятёрка.

        Второй совет (приведение к каноническому виду) здесь тоже пока что не работает: из 105 пятёрку в «красивой» степени никак не сделаешь. Убирать пятёрки тоже не имеем права: во-первых, из-за мешающего нам числа 105, а во-вторых, слева нам необходима одинокая степень пятёрки. А у нас там этих пятёрок целая прорва… Причём сделать из этих трёх пятёрок одну также нельзя: нету в математике стандартных правил на сложение и вычитание степеней…

        Тупик? Вовсе нет!

        Для хоть какого-то продвижения вперёд вспоминаем базовое правило всей математики:

        Не знаешь, что нужно — делай, что можно!

        Вот и смотрим на наше злое уравнение. Причём не просто пучим глазки, думая о чём-то своём, далёком, а именно внимательно всматриваемся. Что в левой части можно сделать? Да там прямо-таки напрашивается вынесение общего множителя за скобки! Но… где же там общий множитель?! Не видите? Ну ладно. Сейчас покажу!

        Начнём с первого слагаемого — с выражения 5^x+2. По правилам действий со степенями, это выражение мы имеем полное право переписать вот так:

        5^x+2 = 5^x·5²

        Почему именно так? А как же! Ну ладно, давайте перемножим обратно. По правилу перемножения степеней с одинаковым основанием:

        5^x·5² = 5^x+2

        Вот и всё, никаких хитростей. Просто здесь, как раз, именно тот самый случай, когда правило действий со степенями

        a^m·aⁿ = a^m+n

        надо применять справа налево! А я предупреждал: действия со степенями надо уметь применять в обоих направлениях! Да, непривычно, я не спорю. Но ведь и мы тоже серьёзными темами с вами всё-таки занимаемся.) Привыкайте.)

        С выражением 5^x+1 полная аналогия:

        5^x+1 = 5^x·5¹

        Вставляем теперь наши результаты в уравнение:

        5^x·5² – 5^x·5¹ + 5^x = 105

        Ну как, осеняет? Да! Теперь уже редкий кадр не увидит, что выносить за скобки надо 5^x. Вот и выносим:

        5^x(5² – 5¹ + 1) = 105

        Что дальше можно сделать? Ну, очевидно, можно посчитать выражение в скобках:

        5² – 5¹ + 1 = 25-5+1 = 21

        Уравнение из злого постепенно превращается в белое и пушистое:

        21·5^x = 105

        Вспоминаем теперь, что для ликвидации оснований нам необходима одинокая степень, безо всяких коэффициентов. А число 21 нам мешает. Не беда! Запускаем в ход второе базовое тождественное преобразование и делим обе части на 21. Элементарную математику пока что никто не отменял, да.)

        Получаем:

        5^x = 5

        Вот всё и наладилось! Вот мы и вырулили на одинаковые основания слева и справа!

        5^x = 5¹

        x = 1

        Это окончательный ответ.)

        “Многа букафф”, да. Но зато понятно, надеюсь. Кстати, кто на «ты» со степенями, тот сразу вынесет 5^x за скобки, не расписывая так подробно. Знания — они иногда помогают. Если они есть, конечно…

        Запоминаем: если в уравнении стоит сумма (разность) одного и того же числа в разных степенях, то пробуем применить разложение этой суммы (разности) на множители! А именно — вынесение общего множителя за скобки. Очень часто пример значительно упрощается, и дальнейшая дорога к ответу становится простой и понятной. Всё что можно посчитать в числах — считаем!

        В этом примере мы снова вырулили на одинаковые основания путём элементарных преобразований, сведя исходное уравнение к каноническому виду. А именно — с помощью разложения на множители. К сожалению, такой удачный исход при решении показательных уравнений возможен далеко не всегда. Случается, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот полная их ликвидация — уже никак. Такое явление происходит в уравнениях другого типа. Освоим и его.

        Итак, знакомьтесь!

Уровень 4.  Делаем замену переменной!

        Для начала решим вот такое уравнение:

        9^x – 4·3^x + 3 = 0

        Сначала всё как обычно. Основания разные — девятка и тройка. Ничего, тройка в квадрате — это как раз и будет девятка. Так что выправление оснований никаких проблем не вызывает — приводим все степени с иксами к тройке:

        9^x = (3^x)² = 3^2x

        Получаем вот такое уравнение:

        3^2x – 4·3^x + 3 = 0

        А вот тут-то и застрянем. Старые советы здесь не помогут: как ни ухищряйся, как ни уединяй степени хоть слева, хоть справа, что ни выноси за скобку, канонический вид уравнения (слева и справа степень тройки) мы всё равно не получим. Кстати, кому интересно, можете попробовать: это полезно.)

        Так что же делать? Что-что… Придётся раскрывать вам новое секретное супероружие, предназначенное как раз именно для расправы с такого рода примерами. Да! Это замена переменной!

        Суть любой замены всегда проста до безобразия. Вместо одного сложного выражения мы пишем новую букву. Пусть t, например. Или y. Казалось бы, и какой в этом смысл? Ничего, сейчас интересно будет!

        В нашем примере прямо таки напрашивается заменить выражение 3^x новой буковкой. Вот и попробуем. А там — видно будет.

        Итак, пусть

        3^x = t

        Тогда, по правилам действий со степенями:

        3^2x = 3^x·2 = (3^x)² = t²

        Ух ты! Кажется, я уже потихоньку догадываюсь, что получится… Ну-ка, ну-ка… Заменяем в уравнении все выражения с иксами на t:

        t² — 4t + 3 = 0

        Ну и как вам? Квадратные уравнения ещё помните, я надеюсь?)

        Решаем через дискриминант (или по теореме Виета) и получаем два корня:

        t₁ = 3

        t₂ = 1

        А вот теперь, главное, не останавливаться, как это часто бывает. Это пока ещё не ответ: мы же икс с вами ищем! А буковка t — лишь вспомогательное средство.) Стало быть, возвращаемся к иксу, то есть делаем обратную замену.

        Начнём с t₁:

        t₁ = 3

        3^x = 3

        x₁ = 1

        Отлично. Один корень нашли. Теперь ищем второй, уже из t₂:

        t₂ = 1

        3^x = 1

        О-па! Слева 3^x, а справа 1… Какая-то нестыковочка… Как же нам из единички сделать справа тройку? Как-как… Да снова свойства степеней вспомнить!) А именно: единичка — это любое число в нулевой степени! Да-да! Совершенно любое (кроме нуля).) Какое хотим, такое и сделаем. Нам нужна тройка. Вот и пишем:

        1 = 3⁰

        3^x = 3⁰

        x₂ = 0

        Вот и всё. Получили два корня:

        x₁ = 1

        x₂ = 0

        Это окончательный ответ.

        Разберём теперь пример посложнее.

        2^x+2 + 7·2^0,5x — 2 = 0

        Здесь тоже старые советы не действуют. Основания одинаковые, но никакими преобразованиями уединению слева и справа не поддаются: что-то обязательно будет мешаться — либо соседи, либо коэффициенты…. Ну что, попробуем замену? Вопрос — что и как заменять будем? А вот тут уже задачка…

        Для любой замены чётко уясним себе одну простую вещь: замена переменной оправдана тогда и только тогда, когда в примере в разных местах стоят одинаковые выражения с иксом.

        У нас есть выражения 2^x+2 и 2^0,5x. Первое выражение, по правилам действий со степенями, можно немного упростить и переписать вот так:

        2^x+2 = 2^x·2² = 4·2^x

        Уже лучше. Остались лишь 2^x и 2^0,5x. Уже почти похоже.) А вот теперь начинаем прикидывать и размышлять. Примерно так:

        «Если мы за t примем 2^x, то что нам тогда нужно сделать с 2^x, чтобы получить 2^0,5x? Очевидно, возвести в степень 0,5. То есть, 2^0,5x = t^0,5 = t^1/2.

        Или, по правилам действий с дробными показателями:

        Тогда после такой замены у нас получается иррациональное уравнение с корнями. Как-то оно не очень…

        Так, стоп! А что, если попробовать взять за t не 2^x, а наоборот 2^0,5x? Тогда, для того чтобы из 2^0,5x сделать 2^x, надо 2^0,5x… возвести в квадрат! Ух ты! Получится квадратное уравнение! Отлично!»

        Да! Именно так.) Вот такая нетривиальная замена. Сразу и не увидишь. Работает привычка. Ну и крепкая дружба со степенями, разумеется.

        Итак, пусть

        2^0,5x = t

        Тогда

        2^x+2 = 2^x·2² = 4·2^x = 4·(2^0,5x)² = 4t²

        Заменяем все конструкции с иксами на выражения с t и получаем:

        4t² + 7t — 2 = 0

        Так и есть! Снова вышли на квадратное уравнение! Решаем его и получаем корни:

        t₁ = -2

        t₂ = 0,25

        А теперь возвращаемся к иксам, делаем обратную замену.

        t₁ = -2

        2^0,5x = -2

        Хм… В какую же такую степень надо возвести двойку, чтобы получить минус два? А вы попробуйте, повозводите! Возьмите полный набор самых разнообразных иксов — целое, дробное, отрицательное, нулевое… Минус два вы всё равно никогда не получите. Но! Самые наблюдательные могут заметить, что, во что двойку ни возводи, всё время будет получаться строго положительное число! А вот этот факт уже очень важен!

        Итак, запоминаем:

        Положительное число в любой степени даёт также положительное число.

        Стало быть, нету таких иксов, которые нам минус два дадут. В таких случаях пишут:

        t₁ = -2 — посторонний корень

        Но это пока ещё не всё: у нас же есть ещё t₂!

        t₂ = 0,25

        2^0,5x = 0,25

        А вот здесь всё нормально:

        2^0,5x = 25/100 = 1/4 = 2^-2

        2^0,5x = 2^-2

        0,5x = -2

        x = -4

        Вот теперь всё. Получили единственный корень x = -4.

        Разумеется, применять замену переменной возможно не только в показательных уравнениях, сводящихся к квадратным. В любых! Лишь бы было что и как заменять. Например, вот такое уравнение:

        3^x + 7·3^1-x = 10

        Здесь та же история. Да, основания одинаковы, но сами степени никак не уединяются, выкидывать тройки – нельзя. Разложение на множители тоже не катит: за скобку ничего не выносится, да и десятка всё время мешаться будет… Остаётся замена. Но, ещё раз напоминаю, что замена оправдана только тогда, когда в уравнении в разных местах стоят одинаковые выражения с иксом! Вот и пробуем сначала добраться до одинаковых выражений!

        Первым делом упрощаем выражение 3^1-x по правилам действий со степенями:

        3^1-x = 3¹·3^-x = 3·3^–x

        Тогда наше уравнение станет таким:

        3^x + 7·3·3^–x = 10

        Или, если ещё чуток упростить:

        3^x + 21·3^–x = 10

        Уже получше. В одном месте в уравнении сидит 3^x, а в другом 3^–x. Похоже, но всё-таки не одно и то же, да… Снова тупик? Да вовсе нет! Мы с вами знаем, что от минуса в степени математика, если надо, позволяет избавляться! Вот так:

        И теперь наше уравнение станет выглядеть вот так:

        Вот и всё! Теперь, кроме 3^x, никаких других выражений с иксом в нашем примере больше нет. Делаем замену переменной:

        3^x = t

        Тогда наше уравнение станет вот таким:

        Ну как? Узнали? Да! Это классическое дробно-рациональное уравнение. Куда более привычное, нежели исходное показательное, правда?

        А дальше действуем по всем правилам решения дробно-рациональных уравнений: умножаем обе части на t, приводим подобные, собираем всё слева и получаем:

        t² — 10t + 21 = 0

        Решаем квадратное уравнение и получаем корни:

        t₁ = 3

        t₂ = 7

        А вот сейчас интересно будет! Возвращаемся к нашим иксам.

        Начинаем с t₁:

        t₁ = 3

        3^x = 3

        x₁ = 1

        Здесь ничего особенного… Хорошо, на очереди следующий клиент t₂:

        t₂ = 7

        3^x = 7

        Опаньки! Из тройки семёрку через простую степень никак не сделаешь! Не родственники они… Как тут быть? Нет ответа?

        Спокойствие, как говорил Карлсон! Математика своих в беде никогда не бросает! Она нам на этот случай придумала логарифмы! Посему, если вы в теме, то хладнокровно игнорируем этот жуткий факт и с блеском в глазах записываем твёрдой рукой совершенно верный ответ:

        x₂ = log₃7

        Вот и всё. Получили тоже два корня:

        x₁ = 1

        x₂ = log₃7

        Естественно, в заданиях на ЕГЭ из части 1, которые проверяет компьютер, такого экзотического ответа быть никак не может: там всегда конкретное число требуется. А вот в заданиях части 2, с развёрнутым решением, которые проверяются экспертами (т.е. людьми) — запросто! Так что будьте готовы и к таким сюрпризам. Чтобы не зависать, в случае чего.)

        Подытожим темку:

        Замена переменной, порой, существенно упрощает внешний вид примера! В этом и есть весь смысл замены. Очень часто с виду тупиковая ситуация с показательными выражениями после удачной замены превращается в простой и очевидный путь к правильному ответу. Характерные признаки применения замены переменной — присутствие (или получение) одного и того же выражения в разных местах примера.

Уровень 5.  Не самые простые примеры. И некоторые дополнительные фишки…

        Некоторые примеры не решаются стандартными методами — выравниванием оснований и уединением степеней, вынесением общего множителя за скобки, заменой переменной. Нет, ну не то что бы совсем-совсем не решаются… Это я зря математику обидел.) Но в таких примерах, как правило, дополнительно требуется смекалка и умение нестандартно мыслить. Хотя бы самую малость. Чтобы догадаться до какого-то нетривиального хода, который и спасёт положение.)

        Но основная проблема состоит в том, что умение нестандартно мыслить, в большинстве своём, не даётся от природы. Его у себя надо развивать. Даже людям, способным к математике. Как именно его надо развивать?

        Что ж, дам несколько самых общих правил.

        Правило №1 — Нужно интересоваться математикой!

        Да-да! А вы как думали? А иначе какой же смысл браться за сложные (и не только) примеры?

        Правило №2 — Нужно чётко понимать основные школьные понятия и термины математики.

        Конкретно по нашей теме:

        Что такое степень? Как возводить в степень? Какие бывают правила действий со степенями?

        Что такое отрицательные и дробные показатели и что с ними можно делать?

        Какие вам известны базовые тождественные преобразования уравнений?

        Что такое логарифм и зачем он нужен?

        Может ли положительное число при возведении в степень дать отрицательное число?

        И так далее. Вот берёте, задаёте сами себе определённый вопрос по той или иной теме (в нашем случае — степени и действия с ними) и пытаетесь своими словами, безо всяких заумных фраз, ответить на него. Как именно вы понимаете то или иное понятие, что это такое и как это употребить в дело.

        Прошу заметить, что «выучить» и «понимать» – вещи разные. Выучить, скажем, определение логарифма и понять смысл этого самого логарифма — две большие разницы! В первом случае вы зависните на любом нестандартном, хотя и элементарном вопросе на эту тему, а во втором — скорее всего, даже не заметите проблем.

        Правило №3 — Нужно знать основные формулы школьного курса математики.

        Но одного только знания формул мало. Нужно ещё уметь узнавать формулы, узнавать видоизменённые формулы, уметь применять формулы слева-направо и справа-налево. Это всё очевидно, но… сами понимаете.)

        Правило №4 — Нужно не бояться.

        А именно — не бояться браться за сложные примеры! Пробовать, пытаться шаг за шагом упростить пример и, возможно, найти решение. Один способ, другой, третий… Что-то подходит, а что-то нет. Это совершенно нормально.

        Правило №5 — Нужно думать…

        А вот с думаньем дело обстоит хуже всего, да… Нет, думается что-то, конечно. Иногда озаряет даже. Как молния.)

        К сожалению, как правильно думать, в книжках и в интернете не написано. Это как-то само собой образуется. С богатым опытом. Но некоторые примеры правильных мыслей и рассуждений я не зря выделяю синим цветом! Обращайте на них внимание!

        Итак, обо всём об этом — на этом уровне!

        А теперь разбираем примеры. Начнём с довольно безобидного. Решаемого в уме, между прочим.) Если понимать смысл. Допустим, перед нами вот такое уравнение:

        2^0,17x + 3^0,3x+1 + 5^0,23x+2 = -5

        И что тут можно сделать? Похоже, что… ничего.) Совершенно немыслимый набор степеней. Основания разные, друг в друга через степень не превращаются. Показатели — вообще ахтунг!

        Кстати, это и есть подсказка. Значит, где-то спрятан какой-то нестандартный обходной путь, который спасёт положение. И путь этот, скорее всего, до ужаса элементарный…

        Что ж, вскрою этот тайный ход. Обращаемся к Правилу №2 и вспоминаем наши самые общие сведения о степенях. А чуть конкретнее — пример, где я предлагал вам повозводить двойку в самые разнообразные степени. Забыли? Зря. Из того примера у вас должно было остаться важное знание. А именно — положительное число в любой степени даёт также положительное число.

        Конкретно в нашем примере:

        2^0,17x >0

        3^0,3x+1 >0

        5^0,23x+2 >0

        А теперь осмысливаем: может ли сумма положительных чисел дать нам в результате минус пять? Конечно же, нет! Ни при каком иксе такое равенство не получится.

        Ответ: корней нет.

        Возможно, кто-то подумает, что этот пример я дал чисто для прикола. Нет! В серьёзных заданиях (скажем, в задачах части 2 из ЕГЭ) необходимо уметь выкидывать целые куски примера из детального рассмотрения. Чтобы не зависать и не тратить время зря на поиск очевидного ответа.

        А вот следующий пример уже так просто не спишешь, да…

        Решить уравнение:

        6^x — 9·2^x – 8·3^x + 72 = 0

        Начинаем размышлять:

        «Хм… И что тут можно сделать? Основания — разные, к одному и тому же числу никак не сводятся. За скобку ничего не вынесешь. И замена тоже не проходит. Пример явно не простейший…

        Но… Вообще говоря, чем больше одинаковых выражений в примере и меньше разных, тем лучше! Поэтому, первым делом, преобразую-ка я выражение 6^x. Разложу шестёрку как 2·3, связав 6^x с уже имеющимися в примере выражениями 2^x и 3^x:

        6^x = (2·3)^x = 2^x·3^x»

        Вот вам наглядный пример того, как нужно правильно думать. Да! Разложим 6^x на отдельные степени двойки и тройки. Ну ведь явно ни к чему здесь шестёрка! Что получим:

        2^x·3^x — 9·2^x – 8·3^x + 72 = 0

        Продолжаем размышления:

        «И дальше что? В уравнении есть 2^x и есть 3^x. Из двойки тройку через простую степень не сделаешь, это понятно. Стало быть, можно даже не пытаться как-то выровнять основания. Хорошо было бы как-то разделить разные виды показательных выражений. Но как этого можно добиться? Только одним путём – попробовать разложить левую часть на множители! Тем более, что справа в уравнении стоит ноль! Это явный намёк…

        За скобку тут ничего не вынесешь, так как общего множителя, сидящего во всех слагаемых, здесь нет. Но! У нас же есть ещё один оч-чень мощный способ разложения подобных выражений! Группировка называется.) А не попробовать ли сгруппировать слагаемые таким образом, чтобы всё получилось? Ну-ка, посмотрим…»

        Да! Именно так. Только группировка в этом злом примере даёт нам шанс растащить разные типы показательных выражений (2^x и 3^x). Так что пробуем и группируем. Других вариантов как-то выкрутиться просто нет. Заключаем в скобочки выражения, в которых точно есть общий множитель, есть что вынести.

        Хотя бы вот так:

        (2^x·3^x — 9·2^x) — (8·3^x — 72) = 0

        Теперь видно, что в первых скобках можно вынести 2^x, а во вторых — восьмёрку. Выносим:

        2^x(3^x — 9) — 8(3^x — 9) = 0

        Вот и отлично. В скобках остались совершенно одинаковые выражения! И теперь эти скобочки сами стали общим множителем. Можно и их вынести:

        (3^x — 9)(2^x — 8) = 0

        Всё! Слева — произведение скобок, справа — ноль. А дальше уже всё ясно: произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

        Обратите внимание, как красиво разделились разные типы показательных выражений! Разошлись по своим скобочкам. И теперь каждую из них стало возможно рассматривать независимо друг от друга!

        Приравниваем к нулю первую скобочку:

        3^x — 9 = 0

        3^x = 9

        3^x = 3²

        x₁ = 2

        Со второй аналогично:

        2^x — 8 = 0

        2^x = 8

        2^x = 2³

        x₂ = 3

        Вот всё и получилось. Два корня.

        Запоминаем: при решении сложных примеров очень часто применяется разложение на множители способом группировки. Основная цель — разделить разные типы показательных выражений.

        А вот в следующих двух примерах уже и группировка не спасёт…

        Для начала вот такой:

        5·3^x – 7·2^x = 0

        Казалось бы, коротенькое и простенькое уравнение. Но… За что зацепиться? Совершенно безумный набор чисел, ни одно из них друг в друга не превращается. Специально, поди.) Ни разложение на множители не катит, ни замена…

        Спокойствие! На подобного рода примеры тоже есть своё секретное оружие. Называется — почленное деление на показательное выражение. Характерный признак применения такой процедуры — разные основания, но одинаковые показатели. Ибо по нашим незабвенным свойствам степеней мы знаем, что

        А теперь смотрим на уравнение. У нас есть тройка в степени икс и двойка также в степени икс. И, глядя на уравнение, прямо-таки напрашивается вместо двух разных степеней сделать одну. А что, если поделить обе части уравнения на какое-то из показательных выражений? Например, на 2^x?

        Что ж, посмотрим. Делим:

        Вот и первый хитрый вопрос: почему я так смело делю всё уравнение на 2^x? Ведь в теме про уравнения открытым текстом сказано, что делить мы имеем право только на отличное от нуля число! А тут в показателе икс есть! Кто ж его знает, какое он там число даст… Подумайте пока, ответ будет чуть ниже, после расправы над этим злым уравнением.

        А мы продолжаем. Вспоминаем действия со степенями, сокращаем что сокращается и получаем:

        Цель деления достигнута: вместо двух различных значков 3^x и 2^x стал один значок (3/2)^x. Уже гораздо проще, правда?)

        А дальше дело техники. Уединяем степень слева: переносим семёрку вправо и делим на пятёрку. Получаем:

        Можно, для краткости, (но не обязательно) перевести дроби в десятичные:

        1,5^x = 1,4

        Всё. Получено простейшее показательное уравнение. Слева — чистая степень, а справа — число. Правда, сами числа какие-то корявые… Выравнивание не катит… Ну и ладно, ничего страшного. Логарифмы — они выручают всегда!

        Так прямо и пишем:

        x = log_1,51,4

        Вот и всё. Да, такой вот хитрый ответ у примера, через логарифм! Так и уравнение у нас тоже не подарок, прямо скажем. Мы ведь уже на пятом уровне с вами, не так ли? И, кстати сказать, даже по внешнему виду уравнения сразу было понятно, что ответ красивым целым числом не получится.

        Возможно, кто-то спросит: «А что, если поделить это же уравнение не на 2^x, а на 3^x? Это как-то повлияет на ответ?» А вы не поленитесь и попробуйте! И сравните. Будет интересно.)

        А теперь обещанный ответ на хитрый вопрос, почему же мы можем смело делить всё уравнение на показательное выражение с иксом типа 2^x, 3^2x и т.п. Ведь, казалось бы, в показателе сидит икс! А делить на выражение с иксом мы имеем право лишь тогда это выражение отлично от нуля! А откуда мы знаем, какое там число получится — ноль, не ноль…

        Любое число может получиться! Почти… Но не ноль! Ещё раз (уже третий по счёту!) напоминаю, что положительное число в любой степени (в том числе и с иксом!) даёт число положительное! Никогда не получится ни отрицательное число, ни ноль! Именно поэтому такое деление в показательных уравнениях применяется весьма и весьма часто. И, как видите, порой только оно и спасает.

        Ну и на десерт рассмотрим ещё одно уравнение на деление. С одной стороны оно посложнее (ибо решается дольше), а с другой – попроще (ибо безо всяких логарифмов, все числа — красивые).

        Вот оно:

        5·3^2x + 3·5^2x = 8·15^x

        С чего начинать? Ну, пока сделаем очевидное преобразование — распишем 15^x как произведение 3^x·5^x. Всё-таки два основания в примере получше, чем три, правда?

        Получим:

        5·3^2x + 3·5^2x = 8·3^x·5^x

        Ну вот, уже гораздо приятнее. В основаниях остались только тройки и пятёрки. Но… Что же дальше? Основания разные, к одному через степень не приводятся. Замена не годится: нету пока что одинаковых выражений с иксами. Вынесение общего множителя за скобки и группировка — тоже не канают: ни выносить нечего, ни группировать… Так, стоп! А что, если поделить обе части уравнения на… да хоть на что-нибудь! Например, на 5^2x.

        Что получим:

        И чем же нам помогло такое, казалось бы, бессмысленное действие? Терпение! Сейчас всё будет! Работаем дальше. Упрощаем каждое слагаемое по правилам действий со степенями, сокращаем то, что сокращается и получаем:

        Ну и как? Осенило? Да! Теперь уже очевидно, что можно сделать замену (3/5)^x = t. Получится квадратное уравнение. Кажется, жизнь налаживается!

        5t² + 3 = 8t

        5t² — 8t + 3 = 0

        Решаем и получаем корни:

        t₁ = 1

        t₂ = 3/5

        Возвращаемся к иксам. Для t₁ = 1 получим:

        Для t₂ = 3/5 получим:

        Видите! Всего одно бесполезное, казалось бы, действие (деление на 5^2x) — а эффект колоссальный! Сразу же всё высвечивается — что преобразовать, что сократить, что заменить…

        Запоминаем: при решении сложных примеров очень часто применяется почленное деление на показательное выражение. Основная цель — сделать как можно больше одинаковых выражений в примере.

        А теперь второй хитрый вопрос.) Мы с вами решаем самые разные показательные уравнения. Простые и не очень. Почему я ни разу не сказал здесь про ОДЗ? В уравнениях это весьма и весьма важная штука, между прочим!

        Да, важная, безусловно. Но фишка в том, что показательные выражения типа 2^x, 3^2x и тому подобные, имеют смысл при любом икс! Нету никаких ограничений на показатель степени. Любым может быть показатель. Вот обычно и не вспоминают про ОДЗ в показательных уравнениях.

        Но я всё-таки вспомнил. И не зря. Привыкают люди к типовым примерам (когда в показателях стоят простые выражения типа x, 2x+1 и т.п.), вот и не вспоминают про ОДЗ в показательных уравнениях. Вообще! Даже и в таких показательных уравнениях не вспоминают:

        А вот здесь уже есть ограничение! В показателе слева икс не может равняться тройке! На ноль делить нельзя. В том числе и в показателе, да.) И, если по привычке проигнорировать это ограничение, то, чего доброго, можно и ответ неверный получить.

        Так что привычка привычкой, но внимание — превыше всего.

        Ну что! Поздравляю! Мы с вами успешно поработали с показательными уравнениями на всех уровнях! И теперь — финальный аккорд. Обещанная домашка. Да-да, решать так решать! Вам же экзамен сдавать, а не мне.) Так что меняем мышку на ручку и – тренируемся.)

        Уравнения даю вразброс, никак не сортируя их ни по типам, ни по способам решения. Ибо так интереснее.)

        Рецепт здесь один: внимательно осматриваем уравнение и сами лично выбираем способ решения. Если сразу не осеняет, то поочерёдно пробуем  все известные вам приёмы, о которых я рассказал на прошедших уроках. Что-то сработает, что-то — нет. Это не страшно. Пробуем дальше. Что-то обязательно сработает!

        Решить уравнения:

        

        Да-да, прошу не удивляться последнему уравнению! Это уравнение смешанного типа: иксы стоят и в показателях, и просто так. Такие уравнения мы с вами не рассматривали, да.) Но материала этого урока вполне достаточно для успешной расправы с этим монстром. И да поможет вам седьмой класс (это подсказка)!

        Ответы (в беспорядке):

        x = -2

        x₁ = -1    x₂ = log₂5

        x = 2

        x = 5

        x₁ = 0     x₂ = 0,5

        x = 1

        x₁ = -0,5   x₂ = 0,5

        x₁ = -3    x₂ = 0

        решений нет