#статьи
- 19 май 2023
-
0
Что такое факториал и как его вычислить
Статья, после которой вы начнёте щёлкать факториалы как орешки.
Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media
Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.
Даже если вы уже давно окончили школу, факториалы всё равно могут доставить немало приятных флешбэков — например, если вы обучаетесь программированию и знакомитесь с задачками на рекурсию или комбинаторику. Поэтому мы решили максимально просто объяснить, что такое факториал, как его вычислять и зачем он вообще нужен.
Эта статья будет полезна как опытным программистам, которые хотят освежить знания, так и тем, кто ещё учится: школьникам, студентам и совсем зелёным джунам.
Содержание:
- Что такое факториал
- Для чего он нужен
- Основные свойства и формулы
- Шпаргалка: таблица факториалов
- Решаем задачи на факториалы
- Что запомнить
Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от единицы до n. Обозначается факториал символом восклицательного знака: !.
Это определение из учебника, и оно пока звучит сложновато — неясно, зачем эти факториалы вообще нужны и как они могут пригодиться в науке и технике. Но об этом чуть позже — для начала давайте посмотрим на примеры факториалов:
Чтобы вычислить их, нам нужно перемножить все числа от единицы до числа, стоящего под знаком факториала — так гласит определение. Получаем выражения:
Ещё в математическом определении сказано, что факториал не может быть отрицательным или дробным — то есть вот такие факториалы вычислить нельзя:
Факториалы незаменимы там, где нужно быстро посчитать количество комбинаций и сочетаний разных предметов. В математике этому посвящён даже целый раздел — комбинаторика. Её методы используют много где: от лингвистики до криптографии и анализа ДНК. И во всех этих сферах факториал помогает упрощать сложные вычисления.
Разберём на примере, как это работает.
Допустим, у вас есть пять шоколадок и вы решили раздать их пяти друзьям — каждому по одной. Задача — выяснить, сколько существует способов раздать эти шоколадки. Начинаем размышлять:
- первую шоколадку можно отдать одному из пяти друзей;
- вторую — одному из четырёх друзей, потому что один уже получил свою шоколадку;
- третью — одному из трёх, потому что двое уже наслаждаются своими шоколадками;
- четвёртую — одному из двух;
- пятую — последнему другу.
Получается, что способов раздать первую шоколадку — 5, вторую — 4, третью — 3, четвёртую — 2, а пятую — всего 1. По правилам математики, чтобы выяснить общее количество всех вариантов, нужно перемножить их между собой. Ну а кто мы такие, чтобы с этими правилами спорить?
Смотрим на выражение выше и понимаем: ведь оно идеально вписывается в определение факториала — произведение натуральных чисел от одного до n (в нашем случае n равно 5). Следовательно, это выражение можно коротко и изящно записать в виде факториала:
Выходит, что всего способов раздать пять шоколадок пяти друзьям существует 120. Вот как может выглядеть один из них:
Конечно, в жизни вам вряд ли придётся считать количество способов раздать друзьям шоколадки. Но, например, в статистике, теории вероятностей, матанализе и программировании факториалы используют сплошь и рядом. Так что, если видите себя в будущем на матмехе или, на худой конец, в IT, то лучше познакомиться с ними хотя бы бегло.
Так как факториалы используются в разных областях математики, свойств у них довольно много — каждая область привносит какие-то свои методы вычислений. Одно из свойств вы уже знаете: факториал — это всегда целое положительное число. Вот ещё несколько, которые стоит запомнить:
- Факториал нуля равен единице — 0! = 1.
- Факториал единицы тоже равен единице: 1! = 1.
- Рекурсия: n! = (n – 1)! × n. Это основное свойство факториалов, о нём мы чуть подробнее поговорим дальше.
Мы видим, что каждое свойство описывается какой-то формулой — и некоторые из этих формул могут быть весьма полезны. Они позволяют нам находить факториалы проще и быстрее, чем простым перемножением натуральных чисел. Разберём эти формулы тоже.
Чтобы вычислить факториал, не используя так много операций умножения, придумали формулу Стирлинга. Вот как она выглядит:
Выглядит страшно, но на самом деле она очень полезная. Её используют, когда хотят приблизительно узнать факториал большого числа. Обычным способом это будет сделать сложно даже мощному компьютеру — например, попробуйте посчитать в онлайн-калькуляторе факториал числа 10 024 (спойлер: это может занять несколько часов и даже дней).
Скришнот: «Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн» / Skillbox Media
Давайте попробуем вычислить факториал числа 6 по этой формуле:
Число e примерно равно 2,71, а π — 3,14. Подставляем их в выражение и получаем ответ:
Получили приближённое значение настоящего факториала, который равен 720. Но можно сделать ответ и более точным. Для этого нужно добавить больше знаков после запятой всем переменным — например, если взять 20 знаков, то ответ будет таким:
Это уже больше похоже на правду. Хотя погрешность всё равно есть.
Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал числа n, основываясь на факториале предыдущего числа — (n – 1). Выглядит она так:
В целом рекуррентная формула не приносит нам большой пользы, так как всё равно приходится вычислять факториал предыдущего числа. Если он равен какому-то большому числу (например, 100), то использование формулы теряет смысл — слишком уж много вычислений это потребует.
Рекуррентная формула основана на главном свойстве факториалов — рекурсии: n! = (n – 1)! × n. Это свойство особенно полезно при решении задач по комбинаторике: так мы можем быстро сокращать факториалы и упрощать выражения.
Однако рекуррентная формула хорошо подходит для алгоритмов — в частности, для программирования. Мы можем задать начальное значение: например, что 0! = 1 или 1! = 1, а затем считать следующие факториалы по формуле:
Получим алгоритм для вычисления факториалов. Не очень эффективный, но простой.
Давайте вычислим по этой формуле факториал числа 4. Сначала распишем рекуррентную формулу до базового значения — факториала числа 1:
Можно записать это и в сокращённом виде:
Теперь последовательно подставляем значение факториала, которое мы уже знаем, и вычисляем результат:
Получили ответ — 24. Ничего сложного, просто перемножаем числа.
Кстати, всю эту формулу можно обернуть в реально работающую функцию на языке Python:
def factorial(n): # Определяем функцию if n == 0 or n == 1: # Базовый случай return 1 else: # Рекуррентный случай return factorial(n-1) * n # Вызываем эту же функцию, но с меньшим аргументом print(factorial(4)) # Печатаем факториал 4 # Вывод: # 24
Можете попробовать запустить её в онлайн-интерпретаторе и посмотреть, как работает. Тут есть один нюанс: Python не даст вам посчитать факториал числа больше 998, так как у него есть ограничение на количество вызовов функции — в программировании это называется глубиной рекурсии.
Чтобы быстро находить, чему равен факториал, можно запомнить или сохранить в заметки вот такую табличку. Она рассчитана всего на 12 чисел, но для большинства учебных задач этого хватит.
| 1! | 1 |
| 2! | 2 |
| 3! | 6 |
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5040 |
| 8! | 40 320 |
| 9! | 362 880 |
| 10! | 3 628 800 |
| 11! | 39 916 800 |
| 12! | 479 001 600 |
С теорией вроде разобрались — теперь попробуем решить несколько задач с факториалами, чтобы закрепить знания на практике.
Задача: перемножить два факториала.
Решение:
Сперва нужно вычислить значения факториалов, а затем перемножить полученные значения:
Обратите внимание: во второй строке мы применили рекуррентную формулу, чтобы быстрее вычислить факториал числа 7.
Задача: вычесть из одного факториала другой.
Решение:
Используем тот же подход, что и в предыдущей задаче: сначала вычисляем факториалы, а затем получаем ответ на всё выражение.
Вроде бы ничего сложного, главное — не запутаться в умножении.
Задача: умножить один факториал на другой:
Решение:
Вычисляем факториалы, потом перемножаем их значения:
Во второй строке мы воспользовались таблицей выше и быстро нашли значение факториала от числа 8.
Задача: сократить дробь и вычислить её значение.
Решение:
Здесь мы воспользуемся рекуррентной формулой для вычисления факториала и разложим верхний факториал на множители:
В первой строке мы применили рекуррентную формулу два раза, а во второй — просто сократили одинаковые факториалы в числителе и в знаменателе.
Задача: сократить дробь.
Решение:
Хотя здесь нет конкретных чисел, но принцип решения остаётся таким же: используем рекуррентную формулу и сокращаем одинаковые значения в числителе и знаменателе.
Главное — не запутаться и правильно применить рекуррентную формулу.
- Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа. Например, факториал числа 5 будет равен 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
- Его используют во многих областях науки — например, комбинаторике, теории вероятностей и математическом анализе.
- Помимо стандартной формулы для вычисления факториала можно использовать формулы Стирлинга и рекуррентную формулу.
- Формула Стирлинга нужна для того, чтобы посчитать факториал без большого числа операций умножения.
- Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал на основе предыдущего факториала.
Научитесь: Профессия Data Scientist
Узнать больше
Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается 
, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа 
определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно:
- .
Например,
- .
Для 
принимается в качестве соглашения, что
- .
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
| 11 | 39916800 |
| 12 | 479001600 |
| 13 | 6227020800[1] |
| 14 | 87178291200[2] |
| 15 | 1307674368000[3] |
| 16 | 20922789888000[4] |
| 17 | 355687428096000[5] |
| 18 | 6402373705728000[6] |
| 19 | 121645100408832000[7] |
| 20 | 2432902008176640000[8] |
| 25 | 15511210043330985984000000[9] |
| 50 | 30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000[10] |
| 70 | 11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 425 857 555 362 864 628
009 582 789 845 319 680 000 000 000 000 000[11] |
| 100 | ≈9,332621544⋅10157 |
| 450 | ≈1,733368733⋅101000 |
| 1000 | ≈4,023872601⋅102567 |
| 3249 | ≈6,412337688⋅1010000 |
| 10000 | ≈2,846259681⋅1035659 |
| 25206 | ≈1,205703438⋅10100000 |
| 100000 | ≈2,824229408⋅10456573 |
| 205023 | ≈2,503898932⋅101000004 |
| 1000000 | ≈8,263931688⋅105565708 |
| 10100 | ≈109,956570552⋅10101
|
| 101000 | ≈10101003 |
| 1010 000 | ≈101010 004 |
| 10100 000 | ≈1010100 005 |
| 1010100 | ≈101010100 |
Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция 
растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например 
.
Свойства[править | править код]
Рекуррентная формула[править | править код]
Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:
Комбинаторная интерпретация[править | править код]
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов.
Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 
— количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из элементов по 
при 
обращается в формулу для числа перестановок из элементов (порядка ), которое равно .
Связь с гамма-функцией[править | править код]
Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением
- .
Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при 
.
Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция 
, которая при 
может быть определена как
- (интегральное определение).
Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: 
. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению 
.
Формула Стирлинга[править | править код]
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
см. O-большое[12].
Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что
- 100! ≈ 9,33×10157;
- 1000! ≈ 4,02×102567;
- 10 000! ≈ 2,85×1035 659.
Разложение на простые множители[править | править код]
Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени определяемой следующей формулой:
Таким образом,
где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.
Связь с производной от степенной функции[править | править код]
Для целого неотрицательного числа n:
Например:
Другие свойства[править | править код]
- Для натурального числа :
- Для любого :
- не является квадратом целого числа;
- Для любого :
- оканчивается на 0;
- Для любого :
- оканчивается на 00.
- Если простое число:
- делится на (теорема Вильсона)
История[править | править код]
Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году[13]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента 
была неопределённая константа)[14].
Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:
Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение[15]:
Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.
Обобщения[править | править код]
Двойной факториал[править | править код]
Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.
- Для чётного n:
- Для нечётного n:
Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
Осуществив замену 
для чётного n и 
для нечётного n соответственно, где 
— целое неотрицательное число, получим:
- для чётного числа:
- для нечётного числа:
По договорённости: 
. Также это равенство выполняется естественным образом:
Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность значений n!! начинается так[16]:
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …
Кратный факториал[править | править код]
m-кратный факториал числа n обозначается 
и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде 
где 
Тогда[17]
Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.
Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[18]:
Также кратный факториал возможно записывать в сокращенном виде 
.
Неполный факториал[править | править код]
Убывающий факториал[править | править код]
Убывающим факториалом называется выражение
- .
![(n)_k = n^{underline{k}} = n^{[k]}= ncdot (n-1)cdot ldotscdot (n-k+1) = frac{n!}{(n-k)!} = prod_{i=n-k+1}^n i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001e78ea0bc33bb150e1628f7af1d7d03d5ad1f3)
Например:
- n = 7; k = 4,
- (n − k) + 1 = 4,
- nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.
Возрастающий факториал[править | править код]
Возрастающим факториалом называется выражение
Праймориал или примориал[править | править код]
Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,
- .
Иногда праймориалом называют число 
, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.
Последовательность праймориалов (включая 
) начинается так[19]:
- 1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …
Фибонориал или фибоначчиал[править | править код]
Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!F.
Например, : 6!F = 
.
Суперфакториалы[править | править код]
Нейл Слоан и Симон Плуффэ[en] в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
В общем
Последовательность суперфакториалов чисел 
начинается так[20]:
- 1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000, 127 313 963 299 399 430 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …
Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли[en], что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так[21]:
- 1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть
где 
для 
и 
Субфакториал[править | править код]
Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.
См. также[править | править код]
- Факторион
Примечания[править | править код]
- ↑ Шесть миллиардов двести двадцать семь миллионов двадцать тысяч восемьсот
- ↑ Восемьдесят семь миллиардов сто семьдесят восемь миллионов двести девяносто одна тысяча двести
- ↑ Один триллион триста семь миллиардов шестьсот семьдесят четыре миллиона триста шестьдесят восемь тысяч
- ↑ Двадцать триллионов девятьсот двадцать два миллиарда семьсот восемьдесят девять миллионов восемьсот восемьдесят восемь тысяч
- ↑ Триста пятьдесят пять триллионов шестьсот восемьдесят семь миллиардов четыреста двадцать восемь миллионов девяносто шесть тысяч
- ↑ Шесть квадриллионов четыреста два триллиона триста семьдесят три миллиарда семьсот пять миллионов семьсот двадцать восемь тысяч
- ↑ Сто двадцать один квадриллион шестьсот сорок пять триллионов сто миллиардов четыреста восемь миллионов восемьсот тридцать две тысячи
- ↑ Два квинтиллиона четыреста тридцать два квадриллиона девятьсот два триллиона восемь миллиардов сто семьдесят шесть миллионов шестьсот сорок тысяч
- ↑ Пятнадцать септиллионов пятьсот одиннадцать секстиллионов двести десять квинтиллионов сорок три квадриллиона триста тридцать триллионов девятьсот восемьдесят пять миллиардов девятьсот восемьдесят четыре миллиона
- ↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один секстиллион пятьсот шестьдесят восемь квинтиллионов девятьсот шестьдесят квадриллионов пятьсот двенадцать триллионов
- ↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста пятьдесят восемь новемдециллионов девятьсот тридцать восемь октодециллионов сто сорок два септдециллиона пятьсот сорок шесть седециллионов четыреста двадцать пять квиндециллионов восемьсот пятьдесят семь кваттуордециллионов пятьсот пятьдесят пять тредециллионов триста шестьдесят два додециллиона восемьсот шестьдесят четыре ундециллиона шестьсот двадцать восемь дециллионов девять нониллионов пятьсот восемьдесят два октиллиона семьсот восемьдесят девять септиллионов восемьсот сорок пять секстиллионов триста девятнадцать квинтиллионов шестьсот восемьдесят квадриллионов
- ↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
- ↑ Крамп, Кристиан. Дата обращения: 19 сентября 2016. Архивировано 19 сентября 2016 года.
- ↑ Pearson, Karl (1924), Historical note on the origin of the normal curve of errors, Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна . Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
- ↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
- ↑ Последовательность A006882 в OEIS
- ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
- ↑ wolframalpha.com Архивная копия от 1 ноября 2013 на Wayback Machine.
- ↑ Последовательность A002110 в OEIS
- ↑ Последовательность A000178 в OEIS
- ↑ Последовательность A055462 в OEIS
A factorial is a mathematical operation that you write like this: n!. It represents the multiplication of all numbers between 1 and n.
So if you were to have 3!, for example, you’d compute 3 x 2 x 1 (which = 6). Let’s see how it works with some more examples.
Definition of a Factorial
The factorial of a number is the multiplication of all the numbers between 1 and the number itself. It is written like this: n!. So the factorial of 2 is 2! (= 1 × 2).
To calculate a factorial you need to know two things:
0! = 1n! = (n - 1)! × n
The factorial of 0 has value of 1, and the factorial of a number n is equal to the multiplication between the number n and the factorial of n-1.
For example, 5! is equal to 4! × 5.
Here the first few factorial values to give you an idea of how this works:
| Factorial | Multiplication | Result |
|---|---|---|
| 0! | 1 | 1 |
| 1! | 1 | 1 |
| 2! | 1 × 2 | 2 |
| 3! | 1 × 2 × 3 | 6 |
| 4! | 1 × 2 × 3 × 4 | 24 |
| 5! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 | 120 |
| 6! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 | 720 |
| 7! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 | 5040 |
| 8! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 | 40,320 |
| 9! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 | 362,880 |
What is a Factorial Used For?
Practically speaking, a factorial is the number of different permutations you can have with n items: 3 items can be arranged in exactly 6 different ways (expressed as 3!).
For example, let’s see all the arrangements you can have with the three items, A, B and C:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBAAnd in fact, 3! = 6.
How to Calculate the Factorial of 0
Looking at the factorial from this point of view, what’s the factorial of 0?
Well, how many different ways can you arrange 0 elements?
There is exactly 1 way to arrange zero elements. And that’s making a sequence of zero elements.
Factorial Use Cases
You typically use a factorial when you have a problem related to the number of possible arrangements. Let’s look at some example problems.
Factorial example problem 1: the letters in the word “camper”
How many different ways can you arrange the letters of the word camper?
The word camper has 6 letters, so the number of possible arrangements is given by the factorial of 6: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. That would have been a pretty big number of arrangements to find by hand, wouldn’t it?
Factorial example problem 2: drawing colored balls from a bag
Let’s say there are three balls in a bag – one green, one blue, and one yellow.
If you draw the three balls in sequence, what chance is there that you’ll get the yellow first, the green one second, and the blue one last?
Maybe now you are wondering what chances have to do with factorials – well, in a moment you will see.
There are 6 possible sequences in which the balls can be drawn: 3! = 6.
There is a chance of 1 over the total number of possibilities to get the yellow-green-blue sequence, so that is 1/(3!) or 1/6 or 16.7% chance to get the desired outcome.
How to Calculate a Factorial Programmatically with JavaScript
There are two ways to calculate factorials programmatically in JavaScript:
How to calculate a factorial in JS with recursion
Let’s get back to the two things to know when calculating a factorial – that is 0! = 1 and n! = (n - 1)! × n. We can use the first one to create the base case of the recursive function, because in that case we know the result already.
function factorial(n) {
if (n === 0) {
return 1;
}
}The second thing to know about how to calculate a factorial, n! = (n - 1)! × n, can be the recursive case.
function factorial(n) {
if (n === 0) {
return 1;
} else {
return factorial(n-1) * n;
}
}
How to calculate a factorial with a JavaScript while loop
We said before that 0! = 1. So, to calculate the factorial of a number with a loop, we can initialize a variable to 1, and multiply the numbers from n to 1 by the variable inside the loop.
In this way, if the input is higher than 1, the output will easily be 1.
function factorial(n) {
let result = 1;
for (n > 1) {
result *= n;
n--;
}
return result;
}Conclusion
The factorial is a pretty important operator to know if you are interested in statistics and probabilities.
In this article you have learned a how to calculate a factorial, a simple application, and you have seen how to calculate it using JavaScript.
Have fun with it!
Learn to code for free. freeCodeCamp’s open source curriculum has helped more than 40,000 people get jobs as developers. Get started
Математическая формула представлена восклицательным знаком «!». Термин был введен в 1800 году, а обозначение появилось только в 1808. В формуле нужно умножить все целые числа от 1 до значения самого числа, стоящего под знаком факториала.
Это очень просто, вот пример:
7! = 1 * … * 7 = 5040.
Факторизация – разложение функции на множители.
Таблица факториалов
Свойства факториалов
Рекуррентная формула
Комбинаторная интерпретация
Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.
Формула Стирлинга
Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:
Можно ли вычислить 0,5 или -3,217? Нет, нельзя. Но можно использовать нечто под названием «Гамма-функция», что намного сложнее.
Расчет по предыдущему значению
Функцию легко вычислить из предыдущего значения:
-
3! = 3 × 2! = 6;
-
41160 = 5! +8! + 6!
А как вычислить факториал нуля? Если вернуться к определению, то видно, что применять его в случае «0» нет смысла. Положительных чисел до 0 нет, поэтому 0 x 0 = 0.
Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.
Некоторые очень большие значения
Онлайн калькулятор поможет сделать вычисление – всего лишь надо найти знак, похожий на «x!» или «n!». Нужно обратить внимание, что браузеры могут испытывать затруднения при попытке отобразить более крупные числа и может произойти сбой.
Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.
Примеры вычисления факториалов больших чисел:
-
70! приблизительно 1 19785716669969869891796072783721 x 10100, что немного больше, чем «гуголь» (1 и 100 нулей);
-
100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;
-
200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.
Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.
Программа на языке Паскаль:
На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.
Факториал дроби (½) – это половина квадратного корня pi = (½)√π.
Примеры задач с решениями
Задание 1
Задание 2
Использование факториалов
Математика и многие ее области используют функцию. В комбинаторике функция была введена именно для расчета перестановки. Также понятие тесно связано с биномом ньютона (формула бинома Ньютона необходима для разложения степени (x + y) n в многочлен).
Здравствуйте, дорогие друзья! Спасибо, что читаете мой канал!
Вы когда-нибудь слышали о факториале? Сегодня расскажу Вам, что это такое и для чего он нужен.
Факториал – это математическая функция, применяемая к неотрицательным целым числам, равная произведению всех натуральных чисел от 1 до числа, для которого она вычисляется (о целых, натуральных и других числах можно почитать здесь). Обозначается она очень просто: n! (произносится “эн факториал”) – да, просто приписывается восклицательный знак к числу 🙂 Чтобы было легче понять определение факториала, сразу приведу пример: 5!=1х2х3х4х5=120. То есть, чтобы найти факториал числа, нужно просто поочереди перемножить все натуральные числа от единицы до самого числа включительно. Математически определение факториала выглядит так:
Также из определения факториала следует следующая формула:
То есть, зная факториал числа, можно найти факториал предыдущего числа путём деления значения факториала на само число. Из этой же формулы следует, что 0!=1 при n=1. Хотя не все математики считают 0 натуральным числом (подробнее читайте в этой статье), факториал для него можно вычислить.
Вы спросите: для чего же он нужен, этот факториал? Давайте теперь расскажу Вам о его применении.
Факториал очень активно используется в различных разделах математики, особенно там, где заходит речь о различных вариантах, перестановках, комбинациях и т. п. Он применяется в комбинаторике, теории чисел, математическом анализе и других областях. Очень хорошо становится понятным смысл факториала при изучении и применении вышеозвученной комбинаторики. В ней факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок множества из n элементов. Что это означает на практике? Разберём задачу.
В гостиной стоит стол с четырьмя стульями вокруг. В комнату заходит четыре человека. Сколько существует вариантов для рассаживания вокруг стола всех четырёх человек?
Как раз для решения подобных задач требуется факториал. Зная его определение, задача решается в одно действие: 4!=1х2х3х4=24. То есть, ответ: 24 варианта (комбинации). Для такого небольшого числа, как 4, можно проверить правильность решения. Обозначим людей первыми буквами латинского алфавита: A, B, C, D. Тогда все возможные комбинации из них будут выглядеть так:
В комбинаторике множество подобных задач и в них повсеместно используется факториал.
Как можно заметить, факториал – очень быстрорастущая функция: если 3!=6, то, например, 10!=3 628 800. Факториал растёт гораздо быстрее, чем, например, показательная или степенная функции. Об этих двух обязательно в будущем ещё Вам расскажу.
В среде математиков существует одна занимательная задачка. Попробуйте её решить сами. Ответ будет в конце следующей статьи. Вот сама задача: дан отрезок времени 10! секунд; сколько это будет в каких-нибудь более удобных, крупных единицах времени?
Надеюсь, теперь Вы хорошо знаете, что такое факториал числа и где он может применяться.
Спасибо, что прочитали статью! Буду благодарен за комментарии, лайки, подписки.
Предыдущая статья
Следующая статья
