Что такое особые точки как их найти

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.

Исследование функции в особой точке определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием . Очевидно, имеют место три возможности:

а) не существует;
б) существует и равен конечному числу;
в) равен бесконечности.

Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная стремится к по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях .

Будем рассматривать , где — особая точка.

Пример 4.1. Исследовать существование в случаях a) ; б) .

Решение

Аналогично можно показать, что не существует , хотя для случаев и (по действительной и мнимой осям).

Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.

Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

В частности, конечная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число , такое, что в круге эта точка- единственная особая точка , а в проколотой окрестности, т.е. в функция аналитическая.

Бесконечно удаленная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число , такое, что в области эта точка — единственная особая точка , а в кольце функция — аналитическая.

Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.

Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки функций:

а) ; б) ; в) .

Решение

Эти простые примеры показывают, что поведение функции в особой точке связано с видом главной части ряда Лорана: трем отмеченным выше случаям нахождения предела функции в точке соответствуют три различных случая вида главной части ряда Лорана в окрестности точки. В примере 4.2 исследовалась конечная особая точка. Такой же результат можно получить, рассматривая точку , например, для функций и .

Типы особых точек функции

В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

Изолированная особая точка функции называется:

– устранимой особой точкой, если существует и конечен (4.1);
– полюсом, если (4.2);
– существенно особой точкой, если не существует (4.3).

Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки положить , то будет аналитической в и точку можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке устранена особенность.

Пример 4.3. Определить тип особой точки для функций .

Решение

На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что является устранимой особой точкой функции ; полюсом для при любом ; существенно особой точкой для функций и .

Пример 4.4. Определить тип особой точки для функций и .

Решение

Рассмотрим . Для удобства введем обозначение . Для функции получим (см. пример 4.2), поэтому является полюсом функции . Для функции точка является существенно особой, так как не существует (см. пример 4.1).

Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) б) и определить их тип.

Решение

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если — существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность , сходящаяся к точке , такая, что .

Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.

Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:

a) ; б) .

Решение

Ряд Лорана в окрестности особой точки

В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.

Утверждение 4.1

1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции имеет вид

для — конечной точки , и (для )

2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции в случае полюса имеет вид

если , и (если )

3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции в случае — существенно особой точки имеет вид

если , и (если )

Замечания 4.2

1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

Так, точка является полюсом порядка функции , если в разложении (4.6) при . Точка является полюсом порядка функции , если в разложении (4.7) при .

2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:

а) в случае в виде , или , или, подробнее:

б) в случае в виде , или (см. (4.7)), или, подробнее:

3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:

а) в случае в виде , или (см.(4.8)), или, подробнее:

б) в случае в виде или (см.(4.9)), или, подробнее:

Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) ; б) .

Решение

Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций:

а) ; б) .

Решение

Сравнивая разложения функций по степеням в окрестности (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при ) и (формулы (4.5), (4.7), (4.9)), можно сделать следующее заключение.

Утверждение 4.2

1. Чтобы была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы точка была устранимой (или не особой) для .

2. Чтобы была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы точка была полюсом порядка функции .

3. Чтобы была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы точка была существенно особой точкой функции .

Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки , в которой функция не определена, но (см. утверждение 3.5) , так и для в случае , устранимую особую точку можно считать нулем функции . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции в точке .

Пример 4.9. Исследовать точку для функций: a) ; б) ; в) .

Решение

Правила определения порядка полюса

Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.

Пусть — полюс порядка функции . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:

или ,

где — функция, аналитическая в точке , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и .

Далее рассмотрим функцию , то есть или , где — аналитическая в точке и . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что является нулем порядка функции . Можно доказать и обратное утверждение.

А именно, если функция представлена в виде , где — функция, аналитическая в точке , и , то — полюс порядка функции , а также, если — нуль порядка функции , то для функции эта точка является полюсом порядка .

Кроме того, рассмотрим частное , где точка является нулем порядка для функции и нулем порядка для функции , то есть . При получаем , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что — полюс порядка . Заметим, что при точка — устранимая особая точка; случай рассмотрен ранее. Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.

Утверждение 4.3

1. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде

2. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка функции (связь нулей с полюсами).

3. Если точка является нулем порядка функции и нулем порядка функции , то она — полюс порядка для .

Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.

Решение

Замечания 4.4

1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.

2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида , где — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки — нуля порядка знаменателя:

а) — полюс порядка функции , если ;
б) — полюс порядка , если — нуль порядка функции и ;
в) — устранимая особая точка функции , если — нуль порядка функции ;

г) — нуль порядка функции , если — нуль порядка функции и ; при этом полагаем .

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.

Практически удобное правило определения порядка полюса можно получить, используя п. 2 утверждения 4.2 и правила определения порядка полюса в конечной точке (утверждение 4.3). Действительно, пусть для функции , тогда для и можно записать (см. (4.14)). Поэтому, обозначив , для получим

Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка функции в точке .

Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если для и для , то — полюс порядка для функции .

Пример 4.17. Определить тип особой точки для функций: а) ; б) .

Решение

Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке для следующих функций: а) ; б) .

Решение

Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

Пусть — особая точка функций и и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций . Рассмотрим следующие случаи.

Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка для функции и полюсом порядка для функции .

а) При исследовании суммы воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде

, где .

При для суммы получаем или , где . Если , то для функции . Однако для функций может выполняться условие и’ следовательно, . В этом случае формула (4.14) не применима и точка не будет полюсом порядка для . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем , и равен в случае , где — порядок нуля функции . Если , то — устранимая особая точка для .

Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.

б) Для исследования произведения воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции . Для первой из этих функций , для второй соответственно . а поэтому для она будет . Согласно п.2 утверждения 4.3, является для .

в) Аналогичные рассуждения для частного приводят к результату: при точка является для .

Второй случай. Пусть точка является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для и существенно особой для . Так как не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций . Следовательно, для каждой из них — существенно особая точка. Заметим, что для функции эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции .

Третий случай. Пусть — полюс порядка для и устранимая особая точка для . Разложения этих функций в ряд в окрестности имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.

а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции . Следовательно, для точка — полюс порядка .

б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для , если .

Если и для функции , то из равенства

заключаем, что .

в) Для частного при условии из равенства заключаем, что для .

Если и для , то, используя условие кратного нуля, из равенства

заключаем, что является для , где — порядок полюса функции — порядок нуля функции в точке .

Подводя итог, запишем следующее утверждение.
Утверждение 4.4

1. Пусть точка является для функции и для функции . Тогда:

а) для она будет , а при — устранимой особой точкой;

б) для она является ;

в) для она будет .

2. Пусть — существенно особая точка для функции и устранимая особая точка или полюс для функции . Тогда — существенно особая точка для .

3. Пусть точка является для функции и устранимой особой точкой для функции . Тогда:

а) для она будет ;

б) для она является , если , и , если и — порядок нуля в точке ;

в) для она будет , если , и , если и — порядок нуля в точке ;

4. Если точка для , то она существенно особая точка для сложной функции . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для и в окрестности .

Пример 4.19. Определить тип особой точки для функции , если , где , а функция определяется следующим образом:

а) ; б) ; в) .

Решение

Пример 4.20. Найти особые точки функции . Определить их тип.

Решение

Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип:

а) ; б) .

Решение

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Напомним определение. Точка называется особой точкой аналитической функции , если в ней аналитичность ее нарушается.

Определение 2. Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки с исключенной точкой , в которой аналитична, кроме самой точки .

Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.

Определение 3. Точка называется устранимой особой точкой , если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.

Определение 4. Точка называется полюсом кратности N функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является .

Определение 5. Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Приведем критерии типа изолированных особых точек.

1) для того, чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .

2) для того, чтобы точка была полюсом кратности N функции, необходимо и достаточно, чтобы , .

3) для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .

Полезна следующая теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка N функции, нужно, чтобы она была нулем N – го порядка функции (связь между нулями и полюсами).

Пример 1. Для функции особой точкой является . Имеем – есть устранимая особая точка.

Пример 2. Для функции является особой точкой. Так как – это полюс. Так как для функции т. является нулем пятого порядка, то – полюс пятого порядка функции .

Пример 3. Для функции является особой точкой. Разложение в ряд Лорана: в главной части содержит бесконечное число членов: это существенно особая точка.

Пример 4. Найти все особые точки функции и определить их характер.

Решение. Особыми точками являются точка и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках , функция имеет простые полюса. Точка не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов: : это означает, что любая окрестность точки содержит бесконечное число особых точек .

Задачи для самостоятельного решения

У нижеследующих функций найти нули и определить их порядки:

132. . 133. . 134. . 135. . 136. .

137. .

Найти порядок нуля для следующих функций:

138. . 139. . 140. .

141. .

Определить характер особой точки для следующих функций:

142. . 143. . 144. .

Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:

145. . 146. . 147. . 148. . 149. .

150. . 151. . 152. . 153. .

Особые точки функций комплексного переменного

Опр.
Особой точкой функции

называется точка в которой

не определена или не дифференцируема.

Опр.
Особая точка называется изолированной,
если

такая ее окрестность, в которой нет
других особых точек.

Утв. Если
–
изолированная особая точка
,
то в окрестности
,

раскладывается в ряд Лорана.

Классификация
особых точек

Опр1.
Особая точка называется устранимой,
если в ряде Лорана в окрестности этой
точки отсутствует главная часть.

Опр2.
Изолированная особая точка называется
полюсом, если главная часть ряда Лорана
в окрестности этой точки имеет конечное
число членов:

Число N
называется кратностью (порядком полюса).

Утв.
Если

– полюс
,
то
.

Док-во:

Опр3.
Изолированная особая точка называется
существенно особой, если главная часть
разложения в ряд Лорана в окрестности
этой точки содержит бесконечное число
членов.

Лекция 8

Связь между нулем
и полюсом

Утв1.

имеет в точке

нуль порядка n

имеет в точке

полюс порядка n.

Док-во: {}

Утв2.

имеет существенно особую точку в точке

имеет в

неизолированную особую точку ИЛИ
существенно особую точку.

Пример.

;

;

;
;

Таким образом,
получаем не изолированную особую точку.

Утв3.
Если
,

,

,

то

имеет при:

1)mn
устранимую особую точку,

2)m>n
полюс порядка n-m.

Док-во: {для
2}

;

Теорема Сохоцкого.

Если
-существенно
особая точка функции
,
то
.

Док-во:

1)

а)

-сходится
при

сходится при

б) Предположим
противное:

ограничена в
окрестности точки
.

в)

при
(т.е.

ограничена в окрестности
).

г)В круге

ограничена, как непрерывная функция в
замкнутой области.

д) Из б), в), г)
следует

ограничена на всей комплексной плоскости.

е)

ограничена на С,

аналитическая, по теореме Ляувилля
противоречие.

2)

а)
имеет
не изолированную особую точку.

б)
-изолированная
особая точка

имеет изолированную
особую точку в



имеет существенно особую точку

по Утв2

имеет существенно особую точку в

по
1)

Теорема доказана.

Особые точки в
бесконечности

Утв.
Если
-изолированная
особая точка
,
то

Док-во:

Пусть
.
Раскладываем

в окрестности нуля:

.

Вычеты

Опр.
-изолированная
особая точка.

называется вычетом, где

– коэффициент при -1 степени в разложении
ряда Лорана:

Основная теорема
о вычетах.

Если G
– односвязная область, Г – замкнутый
контур, Г ограничевает G,
G
содержит конечное число изолированных
особых точек

функции
,
то

.

Док-во:

Г

G

.

.

.

Окружит каждую
особую точку

окружностью

так, чтобы внутри

не было других особых точек, и чтобы

и

не пересекались(ij).

.

Вычисление
вычетов

1.

Утв.
Если

– устранимая особая точка
,
то
(Т.к.
главная часть ряда Лорана не содержит
ни одного члена
)

2.

а) Утв.
Если
-простой
полюс
(полюс
кратности 1), то
.

Док-во:

Пример.

,

имеет простой полюс.

б) Утв.
Если
,,,,
то
.

Док-во:

-полюс
I
порядка

3.

Утв.
Если
-полюс
порядка n
,
то
.

Док-во:

Переходим к

и делим на
:

Пример1.

;

Пример2.

Лекция 9

Опр.

– изолированная особая точка
,

,
где Г- замкнутый контур.

Утв.
Если
,
то
.

Док-во:

1)
.

2) С: {}

,

при

3)

4)

Теорема.
Если
-изолированная
особая точка, кроме

имеется конечное число особых точек,
то

Док-во:

Возьмем замкнутый
контур С, охватывающий все особые точки,
кроме

;

;

;

Логарифмический
вычет.

Опр.
Логарифмическим вычетом называется:

,
если С – замкнутый контур,

– аналитическая внутри С и на нем за
исключением конечного числа особых
точек, все особые точки лежат внутри С,
все особые точки – полюсы.

Утв1.
Если
,
–
нуль кратности

фунции
,
то
.

Док-во:

Для функции

–
полюс I
порядка.

.

Утв2.
Если
-полюс
кратности n
функции
,
то
.

Док-во:

.

Принцип аргумента.

Теорема.
Логарифмический вычет функции

относительно контура С равен приращению

аргумента

при обходе контура С, деленному на
,
равно разности между числом нулей М и
числом полюсов N
функции

в облости D,
ограниченной контуром С:

Док-во:

Z
W

z w

C

1)

2) Внутри С

будет иметь конечное число нулей, т.к.
она аналитическая в замкнутой области.
В силу Утв1 и Утв2 :

3)

Теорема Руше.

ЕСЛИ G
– односвязная область, С – замкнутый
контур, ограничивающий G,

и

аналитические в G
и на С,
на
С,
на
С,
–
сумма кратностей всех лежащих в G
нулей функции
,
–
сумма кратностей всех лежащих в G
нулей функции
+,
ТО
.

Док-во:

1)

2)

3)

w

Вектор из начала
координат в точку, при такой конфигурации
образа С, ни одного оборота не совершит.

.

4)

Пример.
Найти количество нулей, которые имеет
функция

в круге
.

,

при
:

имеет нуль кратности
5

w
имеет 5 нулей.

Утв.
Если
,
то

имеет n
корней.

Док-во:

С:

имеет
нуль кратности n,
т.о.

имеет n
нулей.

Теорема.
Если
,

аналитическая в G
,
то

– аналитическая.

Док-во:

1)

1. аналогично
   доказываем
   

2. Из пунктов 1) и 2)
   следует, что для F
   выполнены условия Коши-Римана,
   следовательно F
   аналитическая.

Лекция 10

Вычисление
несобственных интегралов с помощью
вычетов

Теорема.
Если


при x=z,
-изолированная
особая точка f(z),

имеет в

нуль не ниже II
порядка,

не имеет особых точек на действительной
оси,

имеет конечное число особых точек, то
,
где
распространяется
на особые точки, лежащие выше действительной
оси.

Док-во:

Возьмем круг такого
радиуса, чтобы на нем и вне его не было
особых точек, кроме бесконечности.

Y

R

-R R x

.

Пример.
Найти интеграл:.

,
;

Операционное
исчисление

Опр.
Функция

называется оригиналом, если:

1)

определена при
,

и
являются
кусочно-непрерывными на любом конечном
интервале,

2) при

3).

Утв.
Если
-многочлен
степени n,

то
.

Док-во:

,
по
правилу Лопиталя

;.

Опр.

называется изображением, соответствующим
оригиналу f(t),
если F(p)
– интеграл Лапласа:

;

.

Теорема.
Если f(t)
оригинал, то
–
изображение
,

1)
сходится
в полуплоскости
,

2)
является
в полуплоскости

аналитической функцией от p.

Док-во:

1)

,
таким образом F(p)
сходится.

2) Аналитичность
следует из теоремы, доказанной в
предыдущей лекции.

След. Если F(p)
– изображение некоторого оригинала,
то

Зам. Если
,
то F(p)
сходится равномерно.

Свойства
преобразования Лапласа:

1. Линейность

1. Однородность.

.

Док-во для 2:

Теорема о
дифференцировании оригинала.

Если f(t)
– оригинал,
-оригинал,
F(p)-изображение
f(t),
,

то
.

Док-во:

.

Следствие.
Если
-оригиналы,
то
.

Док-во:

далее по индукции.

Теорема о
дифференцировании изображения.

Если
,
то
.

Теорема об
интегрировании оригинала.

Если
,
то
.

Док-во:

1) Докажем, что
-оригинал.
а)
кусочная гладкость – по свойству
интеграла.

б)
,
t>0
–очевидно.

в)

2)
.

.

Лекция 11

Теорема об
интегрировании изображения

Если f(t)
– оригинал,
–
оригинал, то
.

Док-во:

.

,

.

Теорема о
запаздывание

Если
-оригинал,
,

то
.

Док-во:

.

Теорема смещения

Если
,
то
.

Таблица соответствий

1.
.

2.

3.

4.

5.

6.

.

7.

.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Опр.
Сверткой функций f
и g
называется

Утв.
Если
,
g(t)
– оригиналы, то f*g(t)
– оригинал.

Док-во:

Пункты 1) и 2) в
определении оригинала очевидно выполнены.
Докажем выполнение пункта 3).

,

,
где

Теорема о свертках.

Если f(t),
g(t)
– оригиналы,
,
,
то
.

Док-во:

.

Лемма Жордана

Лемма1.
Если f(z)
– аналитическая в верхней полуплоскости,
за исключением, быть может, конечного
числа точек,


–
полуокружность в верхней полуплоскости

.

Док-во:

;

.

Лекция12

Лемма2.
Если f(z)
– аналитическая в левой полуплоскости,
,

то
.

Док-во:

.

Лемма3.

Если f(z)
аналитическая,
,
то.

y

R

x

Док-во:

1. Докажем, что
   .

.

2)Если

аналогично.

3)

по Лемме 2.

4) Из пунктов
1), 2), 3) следует
.

Лемма4.
Если f(z)
аналитическая
,
,

то

Докозательство
следует из Леммы3.

Теорема об
интеграле Фурье.

Если f(t)
кусочно непрерывна и кусочно дифференцируема
на R,
то
(сходится
абсолютно).

Теорема обращения
преобразования Лапласа.

Если f(t)
– оригинал,
,
то
.

Док-во:

;

;

;

Теорема разложения.

,
для

выполнены условия леммы Жордана, то
.

Док-во:

.

Пример.

;

;

.

Лекция13

Соседние файлы в папке Лекции и семинары

• #
• #

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскости[править | править код]

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

,

где  — точка на плоскости,  — матрица . Очевидно, точка в случае невырожденной матрицы является единственной особой точкой такого уравнения.

В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений	Собственные значения на комплексной плоскости	Тип особой точки	Тип фазовых траекторий	Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые		Центр	окружности, эллипсы
Комплексные с отрицательной действительной частью		Устойчивый фокус	Логарифмические спирали
Комплексные с положительной действительной частью		Неустойчивый фокус	Логарифмические спирали
Действительные отрицательные		Устойчивый узел	параболы
Действительные положительные		Неустойчивый узел	параболы
Действительные разных знаков		Седло	гиперболы

См. также[править | править код]

• Теорема Пуанкаре о векторном поле

Время на прочтение
10 мин

Количество просмотров 22K

В этой статье речь пойдёт о некоторых алгоритмах поиска и описания особых точек изображений. Здесь эта тема уже поднималась, и не раз. Буду считать, что основные определения читателю уже знакомы, рассмотрим детально эвристические алгоритмы FAST, FAST-9, FAST-ER, BRIEF, rBRIEF, ORB, обсудим искромётные идеи, лежащие в их основе. Частично это будет вольный перевод сути нескольких статей [1,2,3,4,5], будет немного кода для «попробовать».

Алгоритм FAST

FAST, впервые предложенный в 2005 году в работе [1], был одним из первых эвристических методов поиска особых точек, который завоевал большую популярность из-за своей вычислительной эффективности. Для принятия решения о том, считать заданную точку С особой или нет, в этом методе рассматривается яркость пикселов на окружности с центром в точке С и радиусом 3:

Сравнивая яркости пикселов окружности с яркостью центра C, получаем для каждого три возможных исхода (светлее, темнее, похоже):

Здесь I – яркость пикселов, t – некоторый заранее фиксированный порог по яркости.
Точка помечается как особая, если на круге существует подряд n=12 пикселов, которые темнее, или 12 пикселов, которые светлее, чем центр.

Как показала практика, в среднем для принятия решения нужно было проверить около 9 точек. Для того, чтобы ускорить процесс, авторы предложили сначала проверить только четыре пиксела под номерами: 1, 5, 9, 13. Если среди них есть 3 пиксела светлее или темнее, то выполняется полная проверка по 16 точкам, иначе – точка сразу помечается как «не особая». Это сильно сокращает время работы, для принятия решения в среднем достаточно опросить всего лишь около 4 точек окружности.

Немного наивного кода лежит тут
Изменяемые параметры (описаны в коде): радиус окружности (приимает значения 1,2,3), параметр n (в оригинале n=12), параметр t. Код открывает файл in.bmp, обрабатывает картинку, сохраняет в out.bmp. Картинки обычные 24-битные.

Строим дерево решений, Tree FAST, FAST-9

В 2006 году в работе [2] удалось развить оригинальную идею с использованием машинного обучения и деревьев решений.

У оригинального FAST есть следующие недостатки:

• Несколько рядом расположенных пикселов могут быть помечены как особые точки. Нужна какая-то мера «силы» особенности. Одна из первых предложенных мер — максимальное значение t, при котором точка всё ещё принимается как особая.
• Быстрый 4-точечный тест не обобщается для n меньше 12. Так, например, визуально наилучшие результаты метода достигаются при n=9, а не 12.
• Хотелось бы ещё ускорить алгоритм!

Вместо использования каскада из двух тестов из 4 и 16 точек предлагается всё делать за один проход по дереву решений. Аналогично оригинальному методу будем сравнивать яркость центральной точки с точками на окружности, но в таком порядке, чтобы принять решение как можно быстрее. И оказывается, что можно принимать решение всего лишь за ~2 (!!!) сравнения в среднем.

Самая соль в том, как найти нужный порядок для сравнения точек. Найти при помощи машинного обучения. Предположим, кто-то отметил для нас на картинке множество особых точек. Будем использовать их как набор обучающих примеров и идея состоит в том, чтобы в качестве следующей точки

жадно

выбирать такую, которая даст наибольшее число информации на данном шаге. Например, пусть изначально в нашей выборке было 5 особых точек и 5 НЕособых точек. В виде таблички вот так:

Выберем теперь один из пикселов р окружности и для всех особых точек проведём сравнение центрального пиксела с выбранным. В зависимости от яркости выбранного пиксела около каждой особой точки, в таблице может быть такой результат:

Идея в том, чтобы выбрать такую точку p, чтобы цифры в столбцах таблицы максимально отличались. И если теперь для новой неизвестной точки мы получим результат сравнения «Светлее», то уже можем сразу сказать, что точка «не особая» (см. таблицу). Процесс продолжается рекурсивно до тех пор, пока в каждую группу после разделения на «темнее-похожий-светлее» не будут попадать точки только одного из классов. Получается дерево следующего вида:

В листьях дерева находится бинарное значение (красный – особая, зелёный – не особая), а в остальных вершинах дерева находится номер точки, которую нужно анализировать. Более конкретно, в оригинальной статье предлагают делать выбор номера точки по изменению энтропии. Энтропия множества точек вычисляется:

с – число особых точек,

– число не особых точек множества

Изменение энтропии после обработки точки p:

Соответственно, выбирается точка, для которой изменение энтропии будет максимально. Процесс разбиения прекращается, когда энтропия равна нулю, это означает, что все точки либо особые, либо наоборот – все не особые. При программной реализации после всего этого найденное дерево решений преобразуется в набор конструкций типа «if-else».

Последним этапом алгоритма является операция подавления немаксимумов, чтобы получить из нескольких рядом расположенных точек одну. Разработчики предлагают использовать оригинальную меру на основе суммы абсолютных разностей между центральной точкой и точками окружности в таком виде:

Здесь

и

соответственно группы пикселов светлее и темнее, t – пороговое значение яркости,

– яркость центрального пиксела,

– яркость пиксела на круге. Попробовать алгоритм можно следующим кодом. Код взят из OpenCV и освобождён от всех зависимостей, просто запускайте.

Оптимизируем дерево решений — FAST-ER

FAST-ER [3] – алгоритм тех же авторов, что и предыдущий, аналогично строится быстрый детектор, тоже ищется оптимальная последовательность точек для сравнения, тоже строится дерево решений, но другим методом – методом оптимизации.

Мы уже понимаем, что детектор можно представить в виде дерева решений. Если бы у нас был какой-нибудь критерий для сравнения производительности разных деревьев, то можно максимизировать этот критерий, перебирая разные варианты деревьев. И вот в качестве такого критерия предложено использовать «Повторяемость».

Повторяемость показывает, насколько хорошо особые точки сцены детектируются с разных ракурсов. Для пары картинок точка называется «полезной» (useful), если найдена на одном кадре и теоретически может быть найдена на другом, т.е. не загораживается элементами сцены. И точка называется «повторяемой» (repeated), если она найдена на втором кадре тоже. Поскольку оптика камеры неидеальна, то точка на втором кадре может находиться не в расчётном пикселе, а где-то рядом в его окрестности. Разработчики взяли окрестность в 5 пикселов. Определим повторяемость как отношение числа повторяемых точек к числу полезных:

Для поиска наилучшего детектора используется метод имитации отжига. На Хабре уже есть прекрасная статья про него. Кратко, суть метода в следующем:

• Выбирается какое-то начальное решение задачи (в нашем случае это какое-то дерево детектора).
• Считается повторяемость.
• Дерево случайным образом модифицируется.
• Если модифицированный вариант лучше по критерию повторяемости, то модификация принимается, а если хуже, то может либо приняться, либо нет, с некоторой вероятностью, которая зависит от вещественного числа, называемого «температура». С увеличением числа итераций температура падает до нуля.

Кроме этого, в построении детектора теперь участвуют не 16 точек окружности, как раньше, а 47, но смысл от этого совершенно не меняется:

Согласно методу имитации отжига, определим три функции:

• Функцию стоимости k. В нашем случае в качестве стоимости мы используем повторяемость. Но тут есть одна проблема. Представим, что все точки на каждом из двух изображений детектированы как особые. Тогда получается, что повторяемость равна 100 % – абсурд. С другой стороны, пусть у нас на двух картинках найдено по одной особой точке, и эти точки совпали – повторяемость также 100 %, но это тоже нас не интересует. И поэтому авторы предложили в качестве критерия качества использовать такой:

r – повторяемость,

– число детектированных углов на кадре i, N – число кадров и s – размер дерева (число вершин). W – настраиваемые параметры метода.]

• Функцию изменения температуры со временем:

где

– коэффициенты, Imax – число итераций.

• Функцию, порождающую новое решение. Алгоритм делает случайные модификации дерева. Сначала выбирается некоторая вершина. Если выбранная вершина это лист дерева, то с равной вероятностью делаем следующее:

1. Заменим вершину случайным поддеревом с глубиной 1
2. Изменить класс этого листа (особая-неособая точки)

Если это НЕ лист:

1. Заменить номер тестируемой точки случайным числом от 0 до 47
2. Заменить вершину листом со случайным классом
3. Поменять местами два поддерева из этой вершины

Вероятность P принятия изменения на итерации I это:

k – функция стоимости, T – температура, i – номер итерации.

Эти модификации к дереву позволяют как рост дерева, так и его сокращение. Метод случайный, он не гарантирует, что получится наилучшее дерево. Запускают метод много раз, выбирая наилучшее решение. В оригинальной статье, например, запускают 100 раз на 100000 итераций каждый, что занимает 200 часов времени процессора. Как показывают результаты, получается в итоге лучше, чем Tree FAST, особенно на зашумлённых картинках.

Дескриптор BRIEF

После того, как особые точки найдены, вычисляют их дескрипторы, т.е. наборы признаков, характеризующие окрестность каждой особой точки. BRIEF [4] – быстрый эвристический дескриптор, строится из 256 бинарных сравнений между яркостями пикселов на

размытом

изображении. Бинарный тест между точками х и у определяется так:

В оригинальной статье было рассмотрено несколько способов выбора точек для бинарных сравнений. Как оказалось, один из лучших способов – выбирать точки случайным образом Гауссовским распределением вокруг центрального пиксела. Эта случайная последовательность точек выбирается один раз и в дальнейшем не меняется. Размер рассматриваемой окрестности точки равен 31х31 пиксел, а апертура размытия равна 5.

Полученный бинарный дескриптор оказывается устойчив к сменам освещения, перспективному искажению, быстро вычисляется и сравнивается, но очень неустойчив к вращению в плоскости изображения.

ORB — быстрый и эффективный

Развитием всех этих идей стал алгоритм ORB (Oriented FAST and Rotated BRIEF) [5], в котором сделана попытка улучшить производительноть BRIEF при повороте изображения. Предложено сначала вычислять ориентацию особой точки и затем проводить бинарные сравнения уже в соответствие с этой ориентацией. Работает алгоритм так:

1) Особые точки обнаруживаются при помощи быстрого древовидного FAST на исходном изображении и на нескольких изображениях из пирамиды уменьшенных изображений.

2) Для обнаруженных точек вычисляется мера Харриса, кандидаты с низким значением меры Харриса отбрасываются.

3) Вычисляется угол ориентации особой точки. Для этого, сначала вычисляются моменты яркости для окрестности особой точки:

x,y – пиксельные координаты, I – яркость. И затем угол ориентации особой точки:

Всё это авторы назвали «центроид ориентации». В итоге получаем некоторое направление для окрестности особой точки.

4) Имея угол ориентации особой точки, последовательность точек для бинарных сравнений в дескрипторе BRIEF поворачивается в соответствие с этим углом, например:

Если более формально, новые положения для точек бинарных тестов вычисляются так:

5) По полученным точкам вычисляется бинарный дескриптор BRIEF

И на этом… не всё! Есть в ORB ещё одна интересная деталь, которая требует отдельных пояснений. Дело в том, что в тот момент, когда мы «доворачиваем» все особые точки до нулевого угла, случайный выбор бинарных сравнений в дескрипторе перестаёт быть случайным. Это приводит к тому, что, во-первых, некоторые бинарные сравнения оказываются зависимыми между собой, во-вторых, их среднее уже не равно 0.5 (1 – светлее, 0 – темнее, когда выбор был случайным, то в среднем было 0.5) и всё это существенно уменьшает способность дескриптора различать особые точки между собой.

Решение — нужно выбрать «правильные» бинарные тесты в процессе обучения, эта идея веет тем же ароматом, что и обучение дерева для алгоритма FAST-9. Предположим, у нас есть куча уже найденных особых точек. Рассмотрим все возможные варианты бинарных тестов. Если окрестность 31 х 31, а бинарный тест представляет собой пару подмножеств 5 х 5 (из-за размытия), то всего вариантов выбора N=(31-5)^2 – очень много. Алгоритм поиска «хороших» тестов такой:

1. Вычисляем результат всех тестов для всех особых точек
2. Упорядочим всё множество тестов по их дистанции от среднего 0.5
3. Создадим список, который будет содержать отобранные «хорошие» тесты, назовём список R.
4. Добавим в R первый тест из отсортированного множества
5. Берём следующий тест и сравниваем его со всеми тестами в R. Если корреляция больше пороговой, то отбрасываем новый тест, иначе – добавляем.
6. Повторяем п. 5 пока не наберём нужное число тестов.

Получается, что тесты отбираются так, чтобы, с одной стороны, среднее значение этих тестов было как можно ближе к 0.5, с другой стороны, чтобы корреляция между разными тестами была минимальна. А это нам и нужно. Сравните, как было и как стало:

К счастью, алгоритм ORB реализован в библиотеке OpenCV в классе cv::ORB. Я использую версию 2.4.13. Конструктор класса принимает следующие параметры:

nfeatures – максимальное число особых точек
scaleFactor – множитель для пирамиды изображений, больше единицы. Значение 2 реализует классическую пирамиду.
nlevels – число уровней в пирамиде изображений.
edgeThreshold – число пикселов у границы изображения, где особые точки не детектируются.
firstLevel – оставить нулём.
WTA_K – число точек, которое требуется для одного элемента дескриптора. Если равно 2, то сравнивается яркость двух случайно выбранных пикселов. Это и нужно.
scoreType – если 0, то в качестве меры особенности используется харрис, иначе – мера FAST (на основе суммы модулей разностей яркостей в точках окружности). Мера FAST чуть менее стабильная, но быстрее работает.
patchSize – размер окрестности, из которой выбираются случайные пикселы для сравнения. Код производит поиск и сравнение особых точек на двух картинках, «templ.bmp» и «img.bmp»

cv::Mat img_object=cv::imread("templ.bmp", 0);
std::vector<cv::KeyPoint> keypoints_object, keypoints_scene;
cv::Mat descriptors_object, descriptors_scene;

cv::ORB orb(500, 1.2, 4, 31, 0, 2, 0, 31);

// особые точки объекта
orb.detect(img_object, keypoints_object);
orb.compute(img_object, keypoints_object, descriptors_object);

// особые точки картинки
cv::Mat img = cv::imread("img.bmp", 1);
cv::Mat img_scene = cv::Mat(img.size(), CV_8UC1);
orb.detect(img, keypoints_scene);
orb.compute(img, keypoints_scene, descriptors_scene);

cv::imshow("desrs", descriptors_scene);
cvWaitKey();
int test[10];
for (int q = 0; q<10 ; q++) test[q]=descriptors_scene.data[q];

//-- matching descriptor vectors using FLANN matcher
cv::BFMatcher matcher;
std::vector<cv::DMatch> matches;
cv::Mat img_matches;
if(!descriptors_object.empty() && !descriptors_scene.empty()) {
    matcher.match (descriptors_object, descriptors_scene, matches);
    double max_dist = 0; double min_dist = 100;

    // calculation of max and min idstance between keypoints
    for( int i = 0; i < descriptors_object.rows; i++)
    { double dist = matches[i].distance;
        if( dist < min_dist ) min_dist = dist;
        if( dist > max_dist ) max_dist = dist;
    }

    //-- Draw only good matches (i.e. whose distance is less than 3*min_dist)
    std::vector< cv::DMatch >good_matches;
    for( int i = 0; i < descriptors_object.rows; i++ ) if( matches[i].distance < (max_dist/1.6) ) good_matches.push_back(matches[i]); 
    
    cv::drawMatches(img_object, keypoints_object, img_scene, keypoints_scene, good_matches, img_matches, cv::Scalar::all(-1), cv::Scalar::all(-1), 
	std::vector<char>(), cv::DrawMatchesFlags::NOT_DRAW_SINGLE_POINTS);
}

cv::imshow("match result", img_matches );
cv::waitKey();

return 0;

Если кому-то помогло разобраться в сути алгоритмов, то всё не зря. Всем Хабра.

Литература:

1. Fusing Points and Lines for High Performance Tracking
2. Machine learning for high-speed corner detection
3. Faster and better: a machine learning approach to corner detection
4. BRIEF: Binary Robust Independent Elementary Features
5. ORB: an efficient alternative to SIFT or SURF