Что такое проекция вектора как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Навигация по странице:

Определение проекции вектора на ось
Определение проекции вектора на вектор
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Примеры задач на проекцию вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A₁B₁ оси l, где точки A₁ и B₁ являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

рис. 1

Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	11	= 2.2
\|b\|	5

Ответ: Пр _ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √4² + 2² + 4² = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	12	= 2
\|b\|	6

Ответ: Пр _ba = 2.

Источник

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось L и ненулевой вектор AB→, то можем построить вектор A1B1⇀, обозначив проекции его точек A1 и B1.

A1B→1 будет являться проекцией вектора AB→ на L.

Определение 1

Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. npLAB→→ принято обозначать проекцию AB→ на L. Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L.

Пример 1

Пример проекции вектора на ось.

На координатной плоскости Оху задается точка M1 (x1, y1). Необходимо построить проекции на Ох и Оу для изображения радиус-вектора точки M1. Получим координаты векторов (x1, 0) и (0, y1).

Если идет речь о проекции a→ на ненулевой b→ или проекции a→ на направление b→, то имеется в виду проекция a→на ось, с которой совпадает направление b→. Проекция a→ на прямую, определяемая b→, имеет обозначение npb→a→→. Известно, что когда угол междуa→ и b→, можно считать npb→a→→ и b→ сонаправленными. В случае, когда угол тупой, npb→a→→ и b→противоположно направлены. В ситуации перпендикулярностиa→ и b→, причем a→ – нулевой, проекция a→ по направлению b→ является нулевым вектором.

Числовая проекция вектора на ось

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Определение 2

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция AB→ на L имеет обозначениеnp LAB→, а a→ на b→ – npb→a→.

Исходя из формулы, получим npb→a→=a→·cosa→, b→^, откуда a→ является длиной вектора a→, a⇀, b→^ – угол между векторами a→ и b→.

Получим формулу вычисления числовой проекции: npb→a→=a→·cosa→, b→^. Она применима при известных длинах a→ и b→ и угле между ними. Формула применима при известных координатах a→ и b→, но имеется ее упрощенный вид.

Пример 2

Узнать числовую проекцию a→ на прямую по направлению b→ при длине a→ равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a⇀=8, a⇀, b→^=60°. Значит, подставляем числовые значения в формулу npb⇀a→=a→·cosa→,b→^=8·cos 60°=8·12=4.

Ответ: 4.

При известном cos(a→, b→^)=a⇀, b→a→·b→, имеем a→, b→ как скалярное произведение a→ и b→. Следуя из формулы npb→a→=a→·cosa⇀, b→^, мы можем найти числовую проекцию a→ направленную по вектору b→ и получим npb→a→=a→, b→b→. Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Определение 3

Числовой проекцией вектора a→ на ось , совпадающей по направлению с b→, называют отношение скалярного произведения векторовa→ иb→ к длине b→. Формула npb→a→=a→,b→b→ применима для нахождения числовой проекции a→ на прямую, совпадающую по направлению с b→, при известных a→ и b→ координатах.

Пример 3

Задан b→=(-3, 4). Найти числовую проекцию a→=(1, 7) на L.

Решение

На координатной плоскости npb→a→=a→, b→b→ имеет вид npb→a→=a→, b→b→=ax·bx+ay·bybx2+by2, при a→=(ax, ay) и b→=bx, by. Чтобы найти числовую проекцию вектора a→ на ось L, нужно: npLa→=npb→a→=a→,b→b→=ax·bx+ay·bybx2+by2=1·(-3)+7·4(-3)2+42=5.

Ответ: 5.

Пример 4

Найти проекцию a→ на L, совпадающей с направлением b→, где имеются a→=-2, 3, 1 и b→=(3, -2, 6). Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданнымa→=ax, ay, az и b→=bx, by, bz вычислим скалярное произведение: a⇀, b→=ax·bx+ay·by+az·bz. Длину b→ найдем по формуле b→=bx2+by2+bz2. Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a→ будет: npb→a⇀=a→, b→b→=ax·bx+ay·by+az·bzbx2+by2+bz2.

Подставляем числовые значения: npLa→=npb→a→=(-2)·3+3·(-2)+1·632+(-2)2+62=-649=-67.

Ответ: -67.

Просмотрим связь междуa→ на L и длиной проекции a→ на L. Начертим ось L, добавив a→ и b→ из точки на L, после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a→ на L и проведем проекцию на L. Существуют 5 вариаций изображения:

Первый случай при a→=npb→a→→ означает a→=npb→a→→, отсюда следует npb→a→=a→·cos(a,→b→^)=a→·cos0°=a→=npb→a→→.

Второй случай подразумевает применение npb→a→⇀=a→·cosa→,b→, значит, npb→a→=a→·cos(a→,b→)^=npb→a→→.

Третий случай объясняет, что при npb→a→→=0→ получаем npb⇀a→=a→·cos(a→,b→^)=a→·cos90°=0, тогда npb→a→→=0 и npb→a→=0=npb→a→→.

Четвертый случай показывает npb→a→→=a→·cos(180°-a→,b→^) = -a→·cos(a →, b→^), следует npb→a→=a→·cos(a→,b→^)=-npb→a→→.

Пятый случай показывает a→=npb→a→→, что означаетa→=npb→a→→, отсюда имеем npb→a→=a→·cosa→,b→^=a→·cos180°=-a→=-npb→a→.

Определение 4

Числовой проекцией вектора a→ на ось L, которая направлена как и b→, имеет значение:

длины проекции вектора a→ на L при условии, если угол между a→ и b→ меньше 90 градусов или равен 0: npb→a→=npb→a→→ с условием 0≤(a→,b→)^<90°;
ноля при условии перпендикулярности a→ и b→: npb→a→=0, когда (a→, b→^)=90°;
длины проекции a→ на L, умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a→ и b→: npb→a→=-npb→a→→ с условием 90°<a→,b→^≤180°.

Пример 5

Дана длина проекцииa→ на L, равная 2. Найти числовую проекциюa→ при условии, что угол равен 5π6 радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: π2<5π6<π. Тогда можем найти числовую проекцию a→ на L: npLa→=-npLa→→=-2.

Ответ: -2.

Пример 6

Дана плоскость Охyzс длиной вектора a→ равной 63,b→(-2, 1, 2) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a→ на ось L.

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектораa→: npLa→=npb→a→=a→·cos(a→,b→)^=63·cos30°=63·32=9.

По условию угол острый, тогда числовая проекция a→= длине проекции вектора a→: npLa→=npLa→→=9. Данный случай показывает, что векторы npLa→→ и b→ сонаправлены, значит имеется число t, при котором верно равенство: npLa→→=t·b→. Отсюда видим, что npLa→→=t·b→, значит можем найти значение параметра t: t=npLa→→b→=9(-2)2+12+22=99=3.

Тогда npLa→→=3·b→ с координатами проекции вектора a→ на ось L равны b→=(-2,1, 2), где необходимо умножить значения на 3. Имеем npLa→→=(-6, 3, 6). Ответ: (-6, 3, 6).

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Как найти проекцию вектора на вектор?

Для того, чтобы найти проекцию вектора на вектор ($overline{a}$ на $overline{b}$) нужно разделить скалярное произведение этих векторов на длину последнего вектора $overline{b}$ по формуле: $$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{b}|}$$

Пример 1

Найти проекцию вектора $overline{a} = (1,2)$ на вектор $overline{b} = (-1,2)$

Решение

Вычисляем скалярное произведение векторов. Умножаем соответствующие координаты и складываем $$(overline{a},overline{b}) = 1 cdot (-1) + 2 cdot 2 = -1 + 4 = 3$$

Находим модуль вектора, на который ищем проекцию $$|overline{b}| = sqrt{(-1)^2 + 2^2} = sqrt{5}$$

Подставляя в формулу проекции вектора $overline{a}$ на направляющий вектор $overline{b}$ получаем искомое значение $$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{3}{sqrt{5}}$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{3}{sqrt{5}}$$

Пример 2

Вычислить проекцию вектора на вектор, если $overline{a} = (1,2,-3)$ и $overline{b} = (2,1,1)$

Решение

Берем скалярное произведение двух векторов. Перемножаем попарно соответствующие координаты и суммируем полученные значения $$(overline{a},overline{b}) = 1 cdot 2 + 2 cdot 1 + (-3) cdot 1 = 2 + 2 – 3 = 1$$

Так как ищем проекцию на вектор $overline{b}$, то вычисляем его модуль (длину) $$|overline{b}| = sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = sqrt{6}$$

По главной формуле получаем ответ к задаче $$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{1}{sqrt{6}}$$

Ответ

$$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{1}{sqrt{6}}$$

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое проекция вектора на ось или на другой вектор, и приведем формулу, с помощью которой можно найти значение этой проекции. Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение проекции вектора
Примеры задач

Нахождение проекции вектора

Проекция вектора AB на ось l – это число, которое равняется отрезку A₁B₁. Точки A₁ и B₁ при этом являются проекциями точек A и B на ось l.

Проекция вектора a на направление вектора b – это число, которое равно проекции a на ось, проходящую через b.

Формула для нахождения проекции вектора на вектор

Рассчитать проекцию a на направление b можно следующим образом:

Примеры задач

Задание 1
Найдем проекцию вектора a = {3; 5} на b = {2; 8}.

Решение:

1. Сперва посчитаем скалярное произведение заданных векторов:

a · b = 3 · 2 + 5 · 8 = 46

2. Теперь вычислим длину (модуль) b:

3. Остается только воспользоваться формулой выше для нахождения проекции вектора:

Задание 2
Вычислим проекцию вектора a = {4; -7; 5} на b = {11; 3; 6}.

Решение:
Поочередно выполняем те же самые действия, что и в примере, разобранном выше.

a · b = 4 · 11 + (-7) · 3 + 5 · 6 = 53

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Проекция вектора на ось в физике – формулы и определения с примерами

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через

Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:

Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).

Главные выводы:

Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пример №1

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности

Решение

Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).