Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.
Взаимно обратные числа. Определение
Взаимно обратные числа – такие числа, произведение которых дает единицу.
Если a·b=1, то можно сказать, что число a обратно числу b, так же как и число b обратно числу a.
Самый простой пример взаимно обратных чисел – две единицы. Действительно, 1·1=1, поэтому a=1 и b=1 – взаимно обратные числа. Другой пример – числа 3 и 13, -23 и -32, 613 и 136, log317 и log173. Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 23, то числа не являются взаимно обратными.
Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел – натуральных, целых, действительных и комплексных.
Как найти число, обратное данному
Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a, то обратное ему число запишется в виде 1a, или a-1. Действительно, a·1a=a·a-1=1.
Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.
Число, обратное обыкновенной дроби
Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби ab – это дробь ba. Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.
Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 2857 обратным числом будет дробь 5728, а для дроби 789256 – число 256789.
Число, обратное натуральному числу
Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a1. Тогда обратным ему числом будет число 1a. Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 13, для числа 666 обратное число равно 1666, и так далее.
Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.
Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.
Число, обратное смешанному числу
Смешанное число имеем вид abc. Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.
Например, найдем обратное число для 725. Сначала представим 725 в виде неправильной дроби: 725=7·5+25=375.
Для неправильной дроби 375 обратным числом будет дробь 537.
Число, обратное десятичной дроби
Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.
Например, есть дробь 5,128. Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5,128=51281000=532250=516125=641125. Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125641.
Рассмотрим еще один пример.
Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2,(18).
Переводим десятичную дробь в обыкновенную:
2,18=2+18·10-2+18·10-4+…=2+18·10-21-10-2=2+1899=2+211=2411
После перевода можем легко записать обратное число для дроби 2411. Этим числом, очевидно, будет 1124.
Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3,6025635789… обратное число будет иметь вид 13,6025635789….
Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.
К примеру, обратным числом для π+3380 будет 80π+33, а для числа 8+е2+е обратным числом будет дробь 18+е2+е.
Взаимно обратные числа с корнями
Если вид двух чисел отличен от a и 1a, то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.
Обратимся к практике.
Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4-23 и 1+32.
Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.
4-23·1+32=4-23+23-3=1
Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.
Рассмотрим еще один пример.
Запишите число, обратное числу 53+1.
Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 153+1. Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 253-53+1. Получим:
153+1=253-53+153+1·253-53+1=253-53+1533+13=253-53+16
Взаимно обратные числа со степенями
Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a. Другими словами, число a, возведенное в степень n. Обратным числу an будет число a-n. Проверим это. Действительно: an·a-n=an1·1an=1.
Найдем обратное число для 5-3+4.
Согласно написанному выше, искомое число равно 5–3+4=53-4
Взаимно обратные числа с логарифмами
Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a.
logab и logba – взаимно обратные числа.
Проверим это. Из свойств логарифма следует, что logab=1logba, значит logab·logba.
Найти число, обратное log35-23.
Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 35-2 будет логарифм числа 35-2 по основанию 3.
Число, обратное комплексному числу
Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.
Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z=x+iy. Числом, обратным данному, будет дробь
1x+iy. Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x-iy.
Пусть есть комплексное число z=4+i. Найдем число, обратное ему.
Число, обратное z=4+i, будет равно 14+i.
Умножим числитель и знаменатель на 4-i и получим:
14+i=4-i4+i4-i=4-i42-i2=4-i16-(-1)=4-i17.
Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:
z=r·cosφ+i·sinφ
z=r·ei·φ
Соответственно, обратное число будет иметь вид:
1rcos(-φ)+i·sin(-φ)
или
1rei(-φ)
Убедимся в этом:
r·cosφ+i·sinφ·1rcos(-φ)+i·sin(-φ)=rrcos2φ+sin2φ=1r·ei·φ·1rei·(-φ)=rre0=1
Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Найдем число, обратное для 23cosπ6+i·sinπ6.
Учитывая, что r=23, φ=π6, запишем обратное число
32cos-π6+i·sin-π6
Какое число будет обратным для 2·ei·-2π5.
Ответ: 12·ei2π5
Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство
Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.
Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2.
Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:
a+b2≥a·b
Если вместо числа b взять число, обратное a, неравенство примет вид:
a+1a2≥a·1aa+1a≥2
Что и требовалось доказать.
Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.
Вычислим сумму чисел 23 и обратного ему числу.
23+32=4+96=136=216
Как и говорит теорема, полученное число больше двух.
Обратными (или взаимно-обратными) называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа:
Как найти обратное число?
Для нахождения обратного числа, нужно единицу поделить на это число. В случае обыкновенной дроби просто поменять числитель и знаменатель местами.
Обратное число обыкновенной дроби
Когда ищем обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, так как запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачиваем, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, то есть такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.
Обратное число десятичной дроби
Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из двух способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.
Как найти обратное число?
Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.
Свойства обратных чисел
Свойство №1
Обратное число существует для любого числа, кроме 0.
Ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, то есть фактически делить на него.
Свойство №2
Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2. Математически это свойство можно выразить неравенством:
Свойство №3
Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Математически:
Свойство №4
Взаимно-обратными могут быть числовые выражения.
Свойство №5
Для числа, представленного в виде степени с показателем х, обратным будет число в виде степени с показателем –х. Обоснование:
Это свойство означает, что и для всякой степени тоже может быть подобрано обратное число.
Даниил Романович | Просмотров: 3.6k
В этом уроке мы узнаем, какие числа называются взаимно обратными, как найти число, обратное данному, а также разберем все эти случаи для смешанных чисел.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Введем определение: взаимно обратными числами называются такие два числа, произведение которых равняется единице.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
То есть, если имеются две обыкновенных дроби, каждую из которых нельзя сократить, то необходимо ответить на вопрос: являются ли они взаимно обратными? Для этого достаточно проверить два равенства:
- числитель первой дроби равняется знаменателю второй
- числитель второй дроби равняется знаменателю первой
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Можно не запоминать что с чем сравнивать. Если начнем записывать выражение для произведения, то заметим, что в случае взаимно обратных чисел числители и знаменатели сократятся, и результатом будет единица.
Перед сравнением важно, чтобы дроби уже были сокращены!
Допустим, имеются две дроби: (mathbf{frac{2}{3}}) и (mathbf{frac{6}{4}})
Если к ним просто применить признак и сравнить по отдельности числитель первой дроби с знаменателем второй и наоборот, то мы заменим, что равенства не выполняются. Но, если их перемножить, мы заметим, что произведение равняется 1, следовательно, они являются взаимно обратными.
Итак, имеются два способа проверить, являются ли числа взаимно обратными.
- по определению: перемножить два числа и проверить, является ли их произведение единицей
- по признаку: сократить оба числа, проверить равенство числителя первой дроби и знаменателя второй, а также равенство знаменателя первой дроби и числителя второй
Пример 1
Являются ли числа (mathbf{frac{2}{5}}) и (mathbf{frac{3}{2}}) взаимно обратными?
Воспользуемся вторым способом. Как можно заметить, дроби уже сокращены.
Сравним числитель первой дроби – 2 и знаменатель второй дроби – 2. Как видим, они равны, идем дальше.
Сравниваем числитель второй дроби – 3 со знаменателем первой дроби – 5. 3 не равно 5, значит, числа (mathbf{frac{2}{5}}) и (mathbf{frac{3}{2}}) не являются взаимно обратными.
Ответ: не являются.
Пример 2
Являются ли числа (mathbf{frac{2}{5}}) и (mathbf{frac{5}{2}}) взаимно обратными?
Воспользуемся первым способом.
Перемножим (mathbf{frac{2}{5}}) и (mathbf{frac{5}{2}}).
В процессе умножения все множители в числителе и знаменателе сократились и результатом произведения оказалась единица.
Значит (mathbf{frac{2}{5}}) и (mathbf{frac{5}{2}}) являются взаимно обратными.
Ответ: являются.
Рассмотрим еще один момент.
Допустим, нас просят проверить, являются ли взаимно обратными два числа, одно из которых является обыкновенной дробью, а второе натуральным числом.
В таком случае нам достаточно представить натуральное число в виде дроби, у которой числитель будет равняться данному натуральному числу, а знаменатель единице.
Дальше можно действовать одним из двух разобранных способов.
Пример 3
Являются ли числа (mathbf{frac{2}{126}}) и 63 взаимно обратными?
Представим 63 как обыкновенную дробь.
Получится (mathbf{frac{63}{1}})
Далее воспользуемся вторым способом.
Сократим первую дробь (mathbf{frac{2}{126}=frac{2cdot1}{2cdot63}=frac{1}{63}})
Теперь сравним числитель первой дроби со знаменателем второй: единица равна единице.
Сравним знаменатель первой дроби с числителем второй: 63 равно 63
Делаем вывод, что числа (mathbf{frac{2}{126}}) и 63 являются взаимно обратными.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Сначала посмотрим на вопрос со строгой математической точки зрения, а потом сформулируем простое бытовое правило.
Задание:
Дано число а, найдите число, обратное ему.
Решение:
Необходимо найти такое число b, чтобы произведение а и b равнялось единице.
Значит нам нужно решить уравнение:
(mathbf{acdot b=1})
В нем известно число a, а неизвестным будет b
Как мы знаем, в таких случаях (mathbf{b=1div a})
Необходимо единицу поделить на число a.
Соответственно, если число а – натуральное, то ответом будет дробь, в которой знаменатель равняется данному числу, а числитель- единица.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пример:
Найдите число, обратное 5:
(mathbf{5cdot b=1})
(mathbf{b=1div5})
(mathbf{b=frac{1}{5}})
Ответ: число, обратное 5-ти- (mathbf{frac{1}{5}}).
В случае же когда а – дробь, необходимо будет единцу поделить на эту дробь. В результате получится дробь, в которой в числителе будет стоять знаменатель исходной дроби, и наоборот, в знаменателе результата будет стоять числитель исходной дроби.
Пример:
Найдите число, обратное (mathbf{frac{4}{7}}):
(mathbf{frac{4}{7}cdot b=1})
(mathbf{b=1divfrac{4}{7}})
(mathbf{b=frac{7}{4}})
Ну, и для красоты ответа выделим целую часть.
(mathbf{b=1frac{3}{4}})
Ответ: число, обратно (mathbf{frac{4}{7}})- это (mathbf{1frac{3}{4}}).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Как проверить, являются ли два числа взаимно обратными, если одно из них смешанное?
Все довольно просто: достаточно перевести смешанное число в формат неправильной дроби и воспользоваться методами, рассмотренными ранее.
Задание:
Взаимно обратны ли числа (mathbf{2frac{2}{3}}) и (mathbf{frac{3}{8}})?
Решение:
Для начала переведем смешанное число в вид неправильной дроби.
(mathbf{2frac{2}{3}=frac{2cdot3+2}{3}=frac{8}{3}})
Дальше выбираем один из алгоритмов проверки взаимной обратности.
Сделаем по первому способу: проверим, равняется ли произведение двух дробей единице.
(mathbf{frac{8}{3}cdotfrac{3}{8}=frac{8cdot3}{3cdot8}=1})
Произведение дробей равняется единице, значит, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да, являются.
Заметьте, мы не случайно сказали: «…одно из них смешанное…».
Представим, что у нас имеются два смешанных числа.
У первого есть целая часть, больше или равная единице, и дробная часть, которая может быть сколь угодно малой, но будет больше нуля. Значит, первое число строго больше единицы.
Эти же рассуждения аналогичны и для второго смешанного числа. Значит, и второе число строго больше единицы.
Первое число у нас было больше единицы, значит, после умножения на второе оно не уменьшилось и единицей стать не могло.
Вывод: если мы имеем два смешанных числа, то они никак не могут быть взаимно обратными.
Кстати, аналогичное верно и для правильных дробей: если две дроби меньше единицы, то они тоже не могут быть взаимно обратными числами.
Нахождение обратного числа по данному полностью аналогично этому же процессу для обыкновенных дробей после того момента, как мы преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
Задание:
Найдите число взаимно обратное (mathbf{1frac{2}{5}}):
Решение:
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
(mathbf{1frac{2}{5}=frac{1cdot5+2}{5}=frac{7}{5}})
В данном случе получилась дробь, значит, обратным к ней числом также будет дробь.
В числителе будет стоять знаменатель дроби, полученной из смешанного числа, а в знаменателе, соответственно, числитель.
Значит, обратным числом будет (mathbf{frac{5}{7}}).
Ответ: число, взаимно обратное к (mathbf{1frac{2}{5}})- это (mathbf{frac{5}{7}}).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Расскажем пару интересных фактов про взаимно обратные числа.
Во-первых, существует число, которое взаимно обратно самому себе.
Для того чтобы вывести это, нужна хоть и не сложная математика, но еще не пройденная.
А пока что мы можем просто проверить.
И в самом деле, (mathbf{1cdot1=1})
Еще одним интересным фактом является то, что сумма любых двух взаимно обратных чисел всегда не меньше 2-х.
Опять же, доказательство уходит в чуть более сложную математику, но всегда можно поэкспериментировать и понять, что это действительно похоже на правду.
Взаимно обратные числа
- Как находить обратные числа
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно единице:
Обратное число к данному числу — это число, умножение которого на данное число, даёт в результате единицу. Так, если числа p и q взаимно обратные, то можно сказать, что число p — это число, обратное числу q, а число q — это число, обратное числу p:
p · q = 1.
Как находить обратные числа
Если взять обыкновенную дробь и перевернуть
её, т. е. поменять местами числитель со знаменателем, то мы получим дробь обратную данной.
Возьмём дробь 
и перевернём
её, получится дробь 
:
Проверить, правильно ли найдено обратное число к данному можно с помощью умножения:
Теперь рассмотрим, как найти число, обратное натуральному числу: возьмём к примеру число 15, представим его в виде дроби 
, затем “перевернём” эту дробь, получится дробь 
.
Из сказанного следует, что:
Число, обратное данному натуральному числу, получается от деления единицы на это натуральное число.
Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:
- Представить его в виде неправильной дроби.
Перевернуть
полученную дробь.
Найдём обратное число для 
:
Проверяем:
Обратное число для десятичной дроби находится точно так же, как и для смешанного числа:
Проверяем:
Для единицы обратным числом является сама единица, так как:
1 · 1 = 1.
Для нуля не существует обратного числа, так как невозможно умножить нуль на какое-то число и получить единицу.
Таким образом, для любого числа, кроме нуля, существует обратное число.
Математика
Тема 3: Умножение и деление обыкновенных дробей
Урок 3: Взаимно обратные числа
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
52. Взаимно обратные числа
Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.
Например, если умножить 815 на 158, то получится 1 – эти числа взаимно обратные.
815∙158=8∙1515∙8=1.
Другой пример – числа 3 и 13, при умножении которых получится 3∙13=1.
Также и числа 4,4 и 522 взаимно обратны, потому что 4,4∙522=4410∙522
Если нужно определить, являются ли два числа взаимно простыми, необходимо эти числа перемножить.
Если ответ равен единице, числа – взаимно обратные.
Чтобы найти число взаимно обратное данному, надо:
-
Если число натуральное, например 7, представить его в виде дроби 71 и перевернуть дробь – 17.
Действительно, 7∙17=1.
-
Если дробь обыкновенная, например 38 , ее надо перевернуть – 83 .
Действительно, 38∙83=3∙88∙3=1.
-
Если число смешанное, например 323 , представить его в виде неправильной дроби 113 и перевернуть дробь –311.
Действительно, 323∙311=113∙311=1.
-
Если десятичная дробь, например 5,8, представить его в виде дроби 5810 и перевернуть дробь –1058.
Действительно, 5,8∙1058=5810∙1058=1.
Сформулируем общее правило.
Число ab, где а ≠ 0 и b ≠ 0, обратно числу ba, так как ab·ba=a·bb·a=1
Пример 1. Найдем значение выражения, для этого сгруппируем взаимно обратные дроби и затем найдем произведение:
511∙37∙73=511∙37∙73=511∙1=511.
Если число х сначала умножить на некоторое число а , а потом на число, обратное а , то получим опять х.
x∙a∙1a=x∙1=x
Например, x∙5∙15=x∙1=x.
С помощью взаимно обратных чисел можно решать некоторые уравнения.
Пример 2. Решим уравнение 34x=1.
x=1:34=1∙43=43=113.
Пример 3. Решим уравнение 89x=89.
x=89:89=89∙98=1.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
