Cos 2pi gives the value of the cosine function when the angle made with the positive x-axis is 2pi, that is, one complete rotation. We study values of trigonometric functions at some standard angles like 0, π/6, π/4, π/3/ π/2 (in radians) and use them to solve various problems to determine the trigonometric values with non-standard angles. The value of cos 2pi is one such value and can be found using different methods. In this article, we will determine the value of cos 2pi as 1 using various methods along with some examples.
| 1. | What is Cos 2pi? |
| 2. | Cos 2pi Using cos x Graph |
| 3. | Cos 2pi Using Unit Circle |
| 4. | Cos 2pi Using Standard Angles |
| 5. | Cos 2pi Using Double Angle Formula |
| 6. | FAQs on cos 2pi |
What is Cos 2pi?
Cos 2pi is the value of the cosine function cos x when x = 2π. We know that the period of the cosine function is 2π, that is, the cycle of cos x repeats after every 2π radians. Hence, if we subtract 2π from 2π, the value of cos x will be the same as cos 2pi and we get back to 0 radians. So, the value of cos 2pi is equal to the value of cos 0 which is 1. So, cos 2pi is equal to 1.
The trigonometric table gives the values of the trigonometric functions at standard (specific) angles such as 0, π/6, π/4, π/3/ π/2. Let us recall the values of the cosine function at these angles: cos 0 = 1, cos π/6 = √3/2, cos π/4 = √2/2, cos π/3 = 1/2, and cos π/2 = 0. Now, we will use some of these values to determine the value of cos 2pi using different methods such as graphically, standard angles, unit circle, and double angle formula.
Cos 2pi Using cos x Graph
We will plot the graph of the cosine function and check the value of cos x when x = 2π to determine the value of cos 2pi. Given below is the graph of cos x. We know that the period of cos x is 2pi and the graph repeats after every 2pi radians. Hence, the value of cos 2pi is the same as the value of cos 0 in the graph. Hence, the value of cos 2pi from the graph of cos x is 1.
Cos 2pi Using Unit Circle
We will draw a unit circle with a center at the origin and radius equal to 1. Now, we know that every point on the circumference of the unit circle has the coordinates (cosθ, sinθ), where θ is the angle made by the line segment joining the origin and the point on the circle with the positive direction of the x-axis and the angle is measured in the anti-clockwise direction.
To determine the value of cos 2pi, we need to understand that the line which makes an angle of 2pi, that is, 360° is the x-axis itself because 2pi implies one complete rotation and when the x-axis makes one complete rotation, it comes back to the point from where it started, that is, when the angle was 0 radians. Also, as we can see that the point on the circle which makes angle 2pi radians has coordinates (1, 0) as 1 is the radius of the circle and the x-intercept is 0. Hence, we have
(cos 2pi, sin 2pi) = (1, 0) ⇒ cos 2pi = x-coordinate of (1, 0) = 1
Cos 2pi Using Standard Angles
To determine the value of cos 2pi using standard angles, we need to reduce cos 2pi into cosine of one of the standard angles 0, π/6, π/4, π/3/ π/2. We know that the cosine function repeats after every 2π radians which makes it one complete rotation of the unit circle, that is, cos(2pi – x) = cos x. This implies we will subtract 2pi from 2pi, which gives us 2pi – 2pi = 0. Hence, it either lies in the first quadrant or the fourth quadrant. Since, cosine function is positive in both first and fourth quadrants, we have cos 2pi = + cos 0 = 1
Cos 2pi Using Double Angle Formula
We can find the value of cos 2pi using the double angle formula of the cosine function, that is, cos 2x = cos2x – sin2x. We have cos 2pi = cos2π – sin2π. Since π is not a standard angle we will determine the values of cos π and sin π using angle sum formulas.
cos π = cos (π/2 + π/2) = cos π/2 cos π/2 – sin π/2 sin π/2 = 0×0 – 1×1 = -1
sin π = sin (π/2 + π/2) = sin π/2 cos π/2 + sin π/2 sin π/2 = 1×0 + 1×0 = 0
Substitute these values in cos 2pi = cos2π – sin2π, we have cos 2pi = (-1)2 – 0 = 1. Hence cos 2 pi is equal to 1.
Important Notes on cos 2pi
- cos nπ = (-1)n, n is an integer
- The value of cos 2pi from the graph of cos x is 1.
- sin nπ = 0, n is an integer
Related Topics on cos 2pi
- Sin of 2pi
- Inverse Trigonometric Formulas
- cos 2x
FAQs on cos 2pi
What is the Value of Cos 2pi?
The value of cos 2pi is 1 which can be obtained using different methods.
How to Find the Value of cos 2pi?
The value of cos 2pi can be calculated using different methods such as graphically, standard angles, unit circle, and double angle formula.
How to Determine the Value of Tan 2pi Using Cos 2pi?
We know that sin 2pi is equal to 0 using the cos 2pi value and the value of cos 2pi is equal to 1. Also, tan x = sin x/cos x, therefore, tan 2pi = sin 2pi/ cos 2pi = 0/1 = 0. Hence tan 2pi is equal to 0.
Is the Value of cos pi equal to the Value of cos 2pi?
No, the value of cos pi is NOT equal to the value of cos 2pi as cos pi is equal to -1 and cos 2pi is equal to 1.
What is the Value of sin 2pi Using cos 2pi?
We know the trigonometric identity cos2x + sin2x = 1 ⇒ sin2x = 1 – cos2x ⇒ sin22π = 1 – cos22π = 1 – 12 = 1 – 1 = 0. Hence sin 2pi is equal to 0 using cos 2pi value.
Подобные задачи из результатов поиска в Интернете
Evaluate cos (-2pi) using radiants graph
https://math.stackexchange.com/questions/461875/evaluate-cos-2-pi-using-radiants-graph
Yes, indeed: cos(-2pi) = cos(2pi) = 1. Formally, this is because cos theta is an even function, meaning costheta = cos(−theta) for all theta. This can be seen in a number of ways. …
Find all intervals such that sin(2pi t) and cos(2pi t) are orthogonal.
https://math.stackexchange.com/questions/1551574/find-all-intervals-such-that-sin2-pi-t-and-cos2-pi-t-are-orthogonal/1551585
frac{cos(4pi a)-cos(4pi b)}{8pi}=0Longleftrightarrow cos(4pi a)-cos(4pi b)=0Longleftrightarrow -cos(4pi b)=-cos(4pi a)Longleftrightarrow cos(4pi b)=cos(4pi a)Longleftrightarrow …
Joint Density of sin(2pi U) and cos(2pi U), U uniform (0,1)
https://math.stackexchange.com/questions/720011/joint-density-of-sin2-pi-u-and-cos2-pi-u-u-uniform-0-1
Since (X,Y) is almost surely on the unit circle whose Lebesgue measure is zero, the distribution of (X,Y) has no density with respect to the Lebesgue measure on the plane mathbb R^2. To …
Таблица значений тригонометрических функций
Примечание. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби – символ “/”.
См. также полезные материалы:
- Формулы преобразования тригонометрических функций
- Таблица производных тригонометрических функций
- Как вычислены эти значения
Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов – ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой “30 градусов”, на их пересечении считываем результат – одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2 ) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других “популярных” углов.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах
Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах. Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.
Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.
Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180.
Примеры:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи – это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.
2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи – это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.
3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи – это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 – 360 градусов (часто встречающиеся значения)
|
значение угла α (градусов) |
значение угла α
(через число пи)
|
sin (синус) |
cos (косинус) |
tg (тангенс) |
ctg (котангенс) |
sec (секанс) |
cosec (косеканс) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | – | 1 | – |
| 15 | π/12 |
|
|
2 – √3 | 2 + √3 | ||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 |
|
|
2 + √3 | 2 – √3 | ||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | – | 0 | – | 1 |
| 105 | 7π/12 |
|
–
|
– 2 – √3 | √3 – 2 | ||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | – | -1 | – |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | – | 0 | – | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | – | 1 | – |
Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет – клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.
Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов
(цифровые значения “как по таблицам Брадиса”)
| значение угла α (градусов) | значение угла α в радианах | sin (синус) | cos (косинус) | tg (тангенс) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
1 |
0 |
– |
| 15 |
π/12 |
0,2588 |
0,9659 |
0,2679 |
3,7321
|
| 30 |
π/6 |
0,5000 |
0,8660
|
0,5774 |
1,7321
|
| 45 |
π/4 |
0,7071 |
0,7071
|
1 |
1 |
|
50 |
5π/18 |
0,7660 |
0,6428
|
1.1918 |
0,8391 |
| 60 |
π/3 |
0,8660 |
0,5000 |
1,7321 |
0,5774
|
|
65
|
13π/36 |
0,9063 |
0,4226 |
2,1445 |
0,4663 |
|
70
|
7π/18 |
0,9397 |
0,3420 |
2,7475 |
0,3640 |
| 75 |
5π/12 |
0,9659 |
0,2588
|
3,7321 |
0,2679
|
| 90 |
π/2 |
1 |
0 |
– |
0 |
|
105
|
5π/12 |
0,9659 |
–0,2588 |
–3,7321 |
–0,2679 |
| 120 |
2π/3 |
0,8660 |
–0,5000 |
-1,7321 |
–0,5774 |
| 135 |
3π/4 |
0,7071 |
–0,7071 |
-1 |
-1 |
|
140 |
7π/9 |
0,6428 |
–0,7660 |
-0,8391
|
-1,1918 |
| 150 |
5π/6 |
0,5000 |
–0,8660 |
-0,5774 |
-1,7321
|
| 180 |
π |
0 |
-1 |
0 |
– |
| 270 |
3π/2 |
-1 |
0 |
– |
0 |
| 360 |
2π |
0 |
1 |
0 |
– |
Иногда для быстрых расчетов нужно не точное, а вычисляемое значение (число десятичной дробью), которое раньше искали в таблицах Брадиса. Поэтому, в дополнение к таблице точных значений тригонометрических функций приведены эти же самые значения, но в виде десятичной дроби, округленной до четвертого знака. Дополнительно в таблицу включены “нестандартные” значения тангенса, косинуса, синуса 140 градусов, синуса 105, 70, косинуса 105 и 50 градусов.
Пример: синус 60 градусов равен приблизительно 0,866025404, а в таблице указано значение sin 60 ≈ 0,8660 ; косинус 30 градусов равен этому же самому числу (см. формулы преобразования тригонометрических функций)
0
Начать курс обучения
$$ctg(pi-alpha)=-ctg(alpha);$$
Давайте вместо угла (alpha) возьмем какой-нибудь реальный угол. Суть от этого не изменится. Чтобы усложнить задачу, я не буду рисовать рисунок. Нарисуйте окружность сами и по пунктам сделайте пример.
Пример 7
$$cos(3pi+frac{pi}{6})=?;$$
- Угол ((3pi+frac{pi}{6})) лежит в третьей четверти. Действительно, (3pi=2pi+pi) можно представить как полный круг плюс еще половина;
- В третьей четверти косинус отрицательный. Знак минус;
- (3pi) лежит на горизонтальной оси в точке (C). Значит косинус не меняется на синус;
$$cos(3pi+frac{pi}{6})=-cos(frac{pi}{6})=-frac{sqrt{3}}{2};$$
До этого мы рассматривали примеры, когда угол (alpha) был острым. А что, если он больше (90^o)?
В этом случае нам придется сделать из него острый угол. Рассмотрим пример:
Пример 8
$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=?;$$
Угол (frac{5pi}{6}) – тупой угол. Для того, чтобы воспользоваться формулой приведения, можно представить:
$$frac{5pi}{6}=pi-frac{pi}{6};$$
Подставим в исходный пример
$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=tg(frac{pi}{2}-pi+frac{pi}{6})=tg(frac{pi}{6}-frac{pi}{2});$$
Угол (frac{pi}{6}) острый и теперь можно воспользоваться правилом лошади.
- ((frac{pi}{6}-frac{pi}{2})) лежит в четвертой четверти. Отмечаем (frac{pi}{6}) и по часовой стрелке вычитаем из него (frac{pi}{2});
- В четвертой четверти тангенс отрицательный;
- (frac{pi}{2}) лежит на вертикальной оси, тангенс меняется на котангенс;
$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=tg(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})=-ctg(frac{pi}{6})=-sqrt{3};$$
У любопытного читателя может возникнуть вопрос: а почему данный алгоритм называется правилом лошади? При чем тут, казалось бы, лошадь?
Лошадь, действительно, не при чем. Но дело в том, что когда вы определяете в третьем пункте, меняется ли наша тригонометрическая функция на противоположную или нет, то в случае, если дополнительный угол к (alpha) лежит на вертикальной оси, мы как бы смотрим вверх-вниз, киваем головой, как лошадь, говоря себе: «Да, меняем». Или если угол лежит на горизонтальной оси, то мы киваем влево вправо вдоль горизонтальной оси, как бы говоря: «Нет, не меняем». Такое вот странное название у правила.
|
Чему равен угол пи (сколько градусов)? Чему равен угол пи разделить на 2, 3, 4, 6? Чему равны синусы и косинусы этих углов?
Угол пи равен 180 градусов. Таким образом, угол пи/2 является прямым и равен 180/2 = 90 градусов. Угол пи/3 = 60 градусов (180/3 = 60). Угол пи/4 = 45 градусов (180/4 = 45). Угол пи/6 = 30 градусов (180/6 = 30). В приведенной ниже таблице приведены значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов этих углов:
Рассмотрев таблицу, мы увидим, что синус угла пи/2= 1, а косинус пи/2 = 0. Синус угла пи/3 = √3/2, а косинус пи/3 = 1/2 или 0,5. Синус угла пи/4 = косинус пи/4 = √2/2. Синус угла пи/6 = 1/2 или 0,5, а косинус пи/6 = √3/2. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Начнем с того, что величина угла Пи радиан равна величине развернутого угла и это 180 градусов
Так, как разделить 180 на 2, 3, 4 и 6 совсем не сложно, получим значения в градусах для этих углов Пи/2=180°/2=90° Пи/3=180°/3=60° Пи/4=180°/4=45° Пи/6=180°/6=30° Что же такое синус? Давайте убедимся, что синус одного и того-же угла в двух разных прямоугольных треугольниках будет одинаковый. рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом альфа, со сторонами а, в и с и другой прямоугольный треугольник с острым углом альфа. По двум соответственно равным углам углам определяем, что они подобны. Следовательно их стороны пропорциональны и всегда при делении противолежащего катета на гипотенузу будем получать один и тот же результат.
исходя из того, что при вычислении синуса длина сторон не имеет значения, решили избавится от знаменателя, придав ему значение равное единице. Тогда в прямоугольном треугольнике, гипотенуза которого равна 1, синус угла равен длине катета напротив этого-же угла. аналогично косинус равен длине прилежащего катета
Нужно также учитывать, что косинус – это синус дополнительного угла. Sin 30° = Cos 60° = 1/2 Sin 60° = Cos 30° = √3/2
Sin 45° = Cos 45° = √2/2 Sin 90° = Cos 0° = 0 Sin 0° = Cos 90° = 1 Зная значения синуса и косинуса, очень просто найти значения тангенса и котангенса этих углов. Чему будут равны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса всех наших углов и других в таблице ниже
88SkyWalker88 5 лет назад Если учесть, что угол пи равняется 180 градусам, получается, что пи на 2 равняется 90 градусам. пи на 3 равняется 60 градусам. пи на 4 равняется 45 градусам. пи на 6 равняется 30 градусам. Sin(Пи) равняется 0. Cos(Пи) равняется -1. Sin(Пи на 2) равняется 1. Cos(Пи на 2) равняется 0. Sin(Пи на 3) равняется √3/2. Cos(Пи на 3) равняется 1/2. Sin(Пи на 4) равняется √2/2. Cos(Пи на 4) равняется √2/2.
moreljuba 5 лет назад В первую очередь необходимо отталкиваться от того факта, что сам угол Пи приравнивается в тригонометрии к 180-ти градусам. И вот уже исходя из этого ясно следующее: Пи/2 будет равняться 90 градусов, Пи/3 будет равняться 60 градусов, Пи/4 будет равняться 45 градусов, Пи/6 будет равняться 30 градусам. А вот информация относительно сунуса и косинуса: 1)Синус Пи/2 будет равняться 0, 2)Косинус Пи/2 будет равняться 1, 3)Синус Пи/3 будет равняться √3/2, 4)Косинус Пи/3 будет равняться 0,5, 5)Синус Пи/4 будет равняться √2/2, 6)Косинус Пи/4 будет равняться √2/2, Синус Пи/6 будет равняться 1/2, Косинус Пи/6 будет равняться √3/2.
владсандрович 5 лет назад Изначальная величина самого угла ПИ равена – ста восьмидесяти градусов – 180 градусов. Производя расчет, Угла пи/2 , есть не что иное как деление 180/2 и в итоге в частном мы получаем – 90 градусов. Теперь по аналогии, давайте разделим каждое цифровое значение угла, требуемые делители и получим правильные отношения: Угол пи/3, мы вычисляем деля 180/3 и в частном получаем 60 гр Угол пи/4 , рассчитываем деля 180/4 и в частном получаем 45 гр Угол пи/6 , рассчитываем деля 180/6 и в частном получаем 30 гр Что касается косинусов и синусов, то это справочные данные и их мы можем всегда просматривать в таблице:
Угол пи равен 180 градусам, соответственно, отсюда можно произвести расчет всех остальных углов, а именно: Пи/2 = 90°, Sin 90° = 0, Cos 90° = 1; Пи/3 = 60°, Sin 60° = √3/2, Cos 60° = 1/2; Пи/4 = 45°, Sin 45° = √2/2, Cos 45° = √2/2; Пи/6 = 30°, Sin 30° = 1/2, Cos 30° = √3/2. При этом значения тригонометрических функция самого угла Пи следующие: Sin 180° = 0°, Cos 180° = -1.
дольфаника 5 лет назад Если знаем, сколько градусов составляет число Пи, то некоторые значения можно высчитать самостоятельно, если же значения получаем в результате сложных вычислений, тогда лучше пользоваться таблицей и постепенно запоминать значения. Чем чаще делаешь однотипные задания, тем быстрее запоминается.
FantomeRU 5 лет назад В тригонометрии угол Пи равен 180 градусов. Соответственно, угол: Пи/2 = 90 градусов, Пи/3 = 60 градусов, Пи/4 = 45 градусов, Пи/6 = 30 градусам. Синус Пи/2=0, Косинус Пи/2=1, Синус Пи/3=√3/2, Косинус Пи/3=0,5, Синус Пи/4=√2/2, Косинус Пи/4=√2/2, Синус Пи/6=1/2, Косинус Пи/6=√3/2.
Alexgroovy 5 лет назад Переводя Пи в градусную меру получаем 180 градусов. Отсюда получаем:
Значения синусов/косинусов удобно представить в табличном виде
Первые две строчки таблицы содержат искомые значения синусов и косинусов пи на 2, пи на 3, пи на 4.
Zolotynka 5 лет назад Если знать, что угол π равен 180 градусам, то можно легко выстроить следующую логическую цепочку:
И далее:
В приведенной ниже табличке наглядно показаны величины синус и косинус данных углов:
bezdelnik 8 лет назад Угол Пи равен 180°, Sin(Пи) = 0, Cos(Пи) = -1. Пи/2=90° Sin(Пи/2)=1, Cos(Пи/2)=0. Пи/3=60°, Sin(Пи/3)=√3/2, Cos(Пи/3)=1/2. Пи/4=45°, Sin(Пи/4)=√2/2, Cos(Пи/4)=√2/2. Знаете ответ? |
