Даны три вектора как найти четвертый

761 По данным векторам и построить
каждый из следующих векторов: 1). , 2). , 3). , 4).
. 762 Даны =13, =19 и =24. Вычислить
. 763 Даны =11, =23 и =30. Определить
. 764 Векторы и взаимно
перпендикулярны, причем =5, =12. Определить и . 765 Векторы и образуют
угол =60⁰, причем=5 и =8. Определить и . 766 Векторы и образуют
угол =120⁰, причем =3 и =5. Определить и . 767 Какому условию
должны удовлетворять векторы и , чтобы
имели место следующие соотношения: 767.1 ; 767.2 ; 767.3 . 768 Какому условию
должны удовлетворять векторы и , чтобы
вектор делил пополам угол между векторами и . 769 По данным векторам и
построить каждый из следующих
векторов: 769.1 ; 769.2 ; 769.3 ; 769.4 . 770 В треугольнике АВС
вектор
и вектор . Построить каждый из
следующих векторов. Принимая в качестве
масштабной единицы , построить также векторы: 770.1 ; 770.2 ; 770.3 ; 770.4 ; 770.5 ; 770.6 . 771 Точка О является
центром масс треугольника АВС. Доказать, что . 772 В правильном
пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпадающие с
его ребрами: , , , , . Построить векторы: 772.1 ; 772.2  ; 772.3 . 773 В параллелепипеде
ABCDA’B’C’D’ (рис.) заданы векторы, совпадающие с
его ребрами: , , . Построить
каждый из следующих векторов:

773.1 ; 773.2

;

773.3 ; 773.4 ; 773.5 . 774 Три силы , , , приложенные к одной
точке, имеют взаимно перпендикулярные
направления. Определить величину их
равнодействующей , если известно, что =2Н, =10Н, =11Н. 775 Даны два вектора ={3; -2; 6}, ={-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные
оси следующих векторов: 775.1 ; 775.2 ; 775.3 ; 775.4 ; 775.5 ; 775.6 . 776 Проверить
коллинеарность векторов ={2; -1; 3} и ={-6;
3; -9}. Установить, какой из них
длиннее другого и во сколько раз, как они
направлены – в одну или в противоположные
стороны. 777 Определить, при
каких значениях , векторы и коллинеарны. 778 Проверить, что
четыре точки A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(2; 2; -7), D(3; -5; 3) служат
вершинами трапеции. 779 Даны точки A(-1; 5; -10},
B(5; -7; 8), C(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы и
коллинеарны, установить, какой из
них длиннее другого и во сколько раз, как они
направлены – в одну или в противоположные
стороны. 780 Найти орт вектора ={6; -2; -3}. 781 Найти орт вектора ={3; 4; -12}. 782 Определить модули
суммы и разности векторов ={3; -5; 8} и ={-1;
1; -4}. 783 Дано разложение
вектора по базису , , : . Определить
разложение по этому же базису вектора , параллельного
вектору и противоположного с ним
направления, при условии, что =75. 784 Два вектора ={2; -3; 6} и ={-1;
2; -2} приложены к одной точке.
Определить координаты вектора направленного
по биссектрисе угла между векторами и , при
условии, что . 785 Векторы ={2; 6; -4} и ={4;
2; -2} совпадают со сторонами
теругольника АВС. Определить координаты
векторов, приложенных к вершинам треугольника и
совпадающими с его медианами AM, BN, CP. 786 Доказать, что если и
– какие угодно неколлинеарные
векторы, то всякий вектор, лежащих в их плоскости,
может быть представлен в виде . Доказать,
что числа и однозначно определяются векторами , и . 787 На плоскостиданы
два вектора ={2; -3}, ={1; 2}. Найи разложение вектора ={9; 4} по
базису , . 788 На плоскости даны
три вектора ={3; -2}, ={-2; 1}, ={7; -4}. Определить
разложение каждого из этих трех векторов,
принимая в качестве базиса два других. 789 Даны три вектора ={3; -1}, ={1; -2}, ={-1; 7}. Определить
разложение вектора по базису , . 790 Принимая в качестве
базиса векторы и , совпадающие
со сторонами треугольника АВС, опреедлить
разложение векторов, приложенных в вершинах
треугольника и совпадающие с его медианами. 791 На плоскости даны
етыре точки A(1; -2), B(2; 1), C(3; 2), D(-2; 3). Определить
разложение векторов , , и ,
принимая в качестве базиса
векторы и . 792 Доказать, что если , , – какие угодно
некомпланарные векторы, то всякий вектор пространства
может быть представлен в виде . Доказать,
что числа , , однознчно
определяются векторами , , , . (Представление
вектора в виде называется разложением
его по базису , , . Числа , , называются коэффициентами этого
разложения. 793 Даны три вектора ={3; -2; 1}, ={-1; 1; -2}, ={2; 1; -3}. Найти разложение вектора ={11; -6; 5} по базису , , . 794 Даны четыре вектора
={2; 1; 0}, ={1; -2; 2}, ={2; 2; -1}, ={3; 7; -7}. Определить разложение каждого из
этих четырех векторов, принимая в качестве
базиса три остальных.

Понятие
вектора

Определение
1. Вектором называется направленный
отрезок ( или, что то же, упорядоченная
пара точек).

Обозначают:
(точка А-начало вектора), точка В – конец
вектора) или одной буквой –.

Определение
2. Длиной вектора (модулем)называется
расстояние между началом и концом
вектора. Длина вектора обозначаетсяили.

Определение
3. Нулевым вектором называется
вектор, у которого начало и конец
совпадают. Обозначают:

Определение
4. Единичным векторомназывается
вектор, длина которого равна единице.

Единичный
вектор, имеющий одинаковое направление
с данным вектором
,
называется ортом вектораи обозначается символом.

Определение
5. Векторы называютсяколлинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых. Нулевой
вектор считается коллинеарным любому
вектору.

Определение
6. Векторы называютсяравными,
если они коллинеарны, имеют одинаковые
длины и одинаковое направление.

Линейные
операции над векторами

Определение
7. Линейными операциями над вектораминазываются сложение векторов и умножение
вектора на число.

Определение
8. Суммой
двух векторовиназывается
вектор,
который идет из начала векторав конец векторапри условии, что векторприложен к концу вектора(правило треугольника). В случае
неколлинеарных векторовиможно
вместо правила треугольника использовать
правило параллелограмма: если векторыиотложены от общего начала и на них
построен параллелограмм, то суммаесть вектор, совпадающий с диагональю
этого параллелограмма, идущего из общего
началаи.

Определение
9. Разностью
двух
векторовиназывается вектор,
который в сумме с векторомсоставляет вектор.
Если два вектораиотложены от общего начала, то их разность
есть вектор, исходящий из конца вектора(«вычитаемого») к концу вектора(«уменьшаемого»).

Определение
10. Два коллинеарных вектора равной
длины, направленные в противоположные
стороны, называются противоположными.
Вектор, противоположный вектору, обозначается.

Произведение
вектора
на числообозначают α.

Некоторые
свойства линейных операций

1)
+()=(+)+;

2)
=;

3)+=;

4)
+()=;

5)=();

6)

7)
;

8)
1·=.

Теорема
1. (О коллинеарных векторах). Еслии– два коллинеарных вектора, причем
вектор-ненулевой,
то существует единственное число х
такое, что=х

В
частности, ненулевой вектор
и его ортсвязаны равенством:=·.

Сформулированные
свойства линейных операций позволяют
преобразовать выражения, составленные
из векторов, по обычным правилам алгебры:
можно раскрыть скобки, приводить подобные
члены, переносить некоторые члены в
другую часть равенства с противоположным
знаком и т.д.

Пример
1.

Доказать
равенства:

а)
+()=();

б)–()=().

и
выяснить, каков их геометрический смысл.

Решение.
а) В левой части равенства раскроем
скобки, приведем подобные члены, получим
вектор в правой части. Поясним это
равенство геометрически. Пусть даны
два вектораи,
отложим их от общего начала и посмотрим
параллелограмм и его диагонали, получим:

§2 Линейная комбинация векторов

Векторный
базис на плоскости и в пространстве.

Определение
1. Линейной комбинацией векторов
,,называется сумма произведений этих
векторов на какие-нибудь числа,,:++.

Определение
2. Векторным базисом в данной
плоскости называется любая пара
неколлинеарных векторовиэтой плоскости.

Вектор
называют
при этом первым базисным вектором,
вектор-вторым.

Справедлива
следующая теорема.

Теорема
1.Если базис,–векторный базис в плоскости, тогда
любой векторэтой плоскости может быть представлен,
и притом единственным образом, в виде
линейной комбинации базисных векторов:= х+у.
(*)

Определение
3. Равенство(*) называютразложением
вектора
по базису,,
а числа х и у –координатами вектора
в базисе,(
илиотносительно базиса
,).Если заранее ясно, о каком базисе идет
речь, то пишут кратко:={x,y}. Из
определения координат вектора относительно
базиса следует, что равные векторы имеют
соответственно равные координаты.

Два
и более векторов в пространстве называются
компланарными, если они параллельны
одной и той же плоскости или лежат в
этой плоскости.

Определение
4. Векторным базисом в пространстве
называют любые три вектора,,.

Вектор
называют при этом первым базисным
вектором,– вторым,-третьим.

Замечание.
1. Три вектора=
{},=
{}
и= {}
образуют базис пространства, если
определитель, составленный из их
координат, отличен от нуля :

.

2.
Основные положения теории определителей
и способы их вычисления рассмотрены в
модуле 1 «линейная алгебра».

Теорема
2. Пусть,,– векторный базис в пространстве. Тогда
любой векторв пространстве может быть представлен,
и притом единственным образом, в виде
линейной комбинации базисных векторов,и:

=
х+у+z.
(**)

Определение
5. Равенство (**) называютразложением
вектора
по базису,,,
а числаx,y,z–координатами
(компонентами) векторав базисе,,.

Если
заранее ясно, о каком базисе идет речь,
то пишут кратко:
= {x,y,z}.

Определение
6. Базис,,называетсяортонормированным, если
векторы,,попарно перпендикулярны и имеют единичную
длину. В этом случае приняты обозначения,,.

Действия
над векторами, заданными своими
координатами.

Теорема
3. Пусть на плоскости выбран векторный
базис,и относительно его векторыизаданы
своими координатами:= {},=
{}.

Тогда
={},={},
т.е. при сложении или вычитании векторов
складываются или вычитаются их одноименные
координаты;= {·;},
т.е. при умножении вектора на число его
координаты умножаются на это число.

Условие
коллинеарности двух векторов

Теорема
4. Векторколлинеарен ненулевому векторув том и только том случае, когда координаты
векторапропорциональны соответственным
координатам векторат.е.

.

Линейные
операции над векторами, заданными своими
координатами в пространстве, производятся
аналогично.

Пример
1. Пусть даны векторы= {1;2;-1} ,= {3;2;1},
= {1;0;1} в некотором векторном базисе,,.
Найти координаты линейной комбинации
2+3-4.

Решение.
Введем обозначение для линейной
комбинации=2+3+(-4).

Коэффициенты
линейной комбинации
=2,=3,=-4.
Запишем данное векторное равенство в
координатной форме=
{x,y,z}=:

=2

Очевидно,
что каждая координата линейной комбинации
векторов равна такой же линейной
комбинации одноименных координат, т.е.

х
= 2·1+3·3+(-4)·1=7,

у
= 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

Координаты
вектора

в базисе
,,будут:

=
{7,10,-3}

Ответ:=
{7,10,-3}.

Общая
(аффинная) декартова система координат

Определение
7. Пусть О- некоторая фиксированная
точка, которую будем называтьначалом.

Если
М- произвольная точка, то вектор
называетсярадиус-векторомточки
М по отношению к началу, коротко,
радиус-вектор точки М.

Декартовы
(аффинные) координаты на прямой

Пусть
дана в пространстве некоторая прямая
l.Выберем начало
О лежащим на этой прямой. Кроме того,
выберем на прямойl
ненулевой вектор,
который будем называть базисным.

Определение
8. Пусть точка М лежит на прямойl.
Так как векторыиколлинеарны, то=х,
где х- некоторое число. Это число назовемкоординатой точки М на прямой.

Начало
О имеет положительные или отрицательные
координаты, в зависимости от того,
совпадают ли направления векторов
иили они противоположны. Прямуюl,
на которой координаты, будем называть
осью координат или осью ОХ.

Введение
координат на прямой соответствует
единственное число х, и наоборот,
существует единственная точка М, для
которой это число является координатой.

Декартовы
(аффинные) координаты на плоскости.

Выберем
на плоскости О два неколлинеарных
вектора
и,
образующих некоторый базис . Очевидно,
что длины векторовимогут быть различны.

Определение
9. Совокупность {0;;}
точки О и векторного базиса,называют
декартовой (аффинной) системой на
плоскости.

Две
прямые, проходящие через О и параллельные
соответственно векторам
,называют
осями координат. Первую из них обычно
называют осью абсцисс и обозначают Ох,
вторую- осью ординат и обозначают Оу.

Будем
всегда изображать
илежащими на соответствующих осях
координат.

Определение
10. Координатами точки М на плоскости
относительно декартовой (аффинной)
системы координат {0;;}
называют координаты ее радиус-векторапо базису,:

=
х+у,
тогда числа х и у будет координатами М
относительно декартовой(аффинной)
системы координат {0;;}.
Координату х называютабсциссой точки
М, координату у-ординатой точки М.

Итак,
если выбрана система координат, {0;;}
на плоскости, то каждой точке М плоскости
соответствует единственная точка М на
плоскости: эта точка является концом
вектора

=
х+у.

Введение
системы координат лежит в основе метода
аналитической геометрии, сущность
которой состоит в том, чтобы уметь
сводить любую геометрическую задачу к
задачам арифметики или алгебры.

Определение
11. Координатами вектора
на
плоскости относительно декартовой
системы координат {0;;}
называют координаты этого вектора в
базисе,.

Чтобы
найти координаты вектора
,
надо разложить его по базису
,:

=
х+у,
где коэффициенты х,у и будут координатами
вектора
относительно декартовой системы {0;;}.

Декартова
(аффинная) система координат в пространстве.

Пусть
в пространстве зафиксирована некоторая
точка О(начало) и выбран векторный базис

,,.

Определение
12. Совокупность {0;;;}называютдекартовой системой координат в
пространстве.

Определение
13. Три прямые проходящие через О и
параллельные соответственно векторам,,,
называютосями координат и обозначают
соответственно Оz,Oy,Oz.Мы
будем всегда изображать векторы,,лежащими на соответственных осях.

Определение
14. Координатами точки М в пространстве
относительно декартовой системы
координат {0;;;}
называют координаты ее радиус-векторав этой системе.

Иначе
говоря, координаты точки М – это такие
три числа х,у,zсоответственно
абсцисса и ордината точки М; третью
координатуzназывают
аппликатой точки М.

Введение
в пространстве декартовой системы
координат позволяет установить
взаимно-однозначное соответствие между
точками М пространства и упорядоченными
тройками чисел x,y,z.

Определение
15. Координатами вектора
в пространстве относительно декартовой
системы координат {0;;;}называют
координаты этого вектора в базисе;;.

Пример
2.

Даны
три последовательные вершины
параллелограмма А(-2;1),В(1;3),С(4;0). Найти
четвертую его координату D.
Система координат аффинная.

Решение.

Векторы
иравны, значит, равны их координаты (
коэффициенты линейной комбинации):

=
{3;2},
={4-x;-y};.
Значит,D(1;-2).

Ответ:D(1;-2).

Линейная
зависимость. Понятие базиса

Определение
16. Векторы
,
называют
линейно зависимыми, если
существуют числа
,

(***)

Это
определение линейной зависимости
векторов
,эквивалентно
такому: векторы,линейно зависимы, если один из них можно
представить в виде линейной комбинации
остальных (или разложить по остальным).

Векторы
,называются линейно зависимыми, если
равенство (***) возможно в единственном
случае, когда

Понятие
линейной зависимости играет большую
роль в линейной алгебре. В векторной
алгебре линейная зависимость имеет
простой геометрический смысл.

1. Любые
   два коллинеарных вектора линейно
   зависимы, и наоборот, два неколлинеарных
   вектора линейно независимы.

2. Три
   компланарных вектора линейно зависимы,
   и наоборот, три некомпланарных вектора
   линейно независимы.

3. Каждые
   четыре вектора линейно зависимы.

Определение
17. Три линейно
независимых вектора
называютсябазисом
пространства, т.е.
любой векторможет быть представлен в виде некоторой.

Определение
18. Два лежащих
в плоскости линейно независимых вектора
называютбазисом
плоскости, т.е.
любой лежащий в этой плоскости вектор
может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов.

Задания
для самостоятельного решения.

1. Даны
   три вектора
   Найти
   разложение векторапо
   базису

2. Даны
   векторы
   Вектор–медиана
   треугольникаOAB.
   Разложить вектор
   по
   базису

3. В
   тетраэдре OABC
   точки K,
   L,
   M,
   N,
   P,
   Q
   – середины рёбер OA,
   OB,
   OC,
   AB,
   AC,
   BC
   соответственно, S
   – точка пересечения медиан треугольника
   ABC.
   Принимая за базисные

векторы
найти в этом базисе координаты:

1. векторов
   

2. векторов
   

3. векторов
   и

1. Точки
   Mи
   N
   – середины сторон BCи
   CDпараллелограмма
   ABCD.
   Разложить вектор
   по
   векторами

2. Дан
   куб ABCDEFGH.
   Разложить вектор
   ,
   гдеK–
   центр грани DHGC,
   по векторам
   ,

3. На
   плоскости даны вектора
   Найти
   разложение векторапо
   базису,

4. На
   плоскости даны три вектора
   иОпределить разложение каждого из этих
   трёх векторов, принимая в качестве
   базиса два других.

5. Принимая
   в качестве базиса векторы
   и,
   совпадающие со сторонами треугольникаABC,
   определить разложение векторов,
   приложенных в вершинах треугольника
   и совпадающих с его медианами.

6. Даны
   четыре вектора
   Найти координаты векторов – линейных
   комбинаций:

7. Даны
   четыре вектора
   ,Найти числа α, β, γ такие, что α

8. Проверить,
   что векторы
   образуют базис в пространстве. Найти
   координаты векторов,в
   этом базисе.

9. (Задача
   об отрезке, разделённом в заданном
   отношении.) Пусть точка C,
   лежащая на отрезкеAB,
   делит этот отрезок в отношении λ, т.е.
   Выразить векторчерез векторыи

10. Даны
    две точки A(1;2;3).
    B(7;2;5).
    На прямой ABнайти
    такую точку M,
    чтобы точки Bи
    Mбыли
    расположены по разные стороны от точки
    A и чтобы отрезок AMбыл
    вдове длиннее отрезка AB.
    Система координат аффинная.

11. Вершина
    Aпараллелепипеда
    ABCD
    принята за начало координат, а векторы
    
    – за базисные векторы. Найти в этой
    системе координаты всех вершин
    параллелепипеда.

12. Вершина
    Oтетраэдра
    OABCDпринята
    за начало координат, а векторы
    – за базисные векторы. Найти на этой
    (аффинной) системе координаты точек
    пересечения медиан граней тэтраэдра.

Жаль, что мы не можем делать здесь уравнения в стиле LaTeX (или может мы? Я не знаю, никогда не делал этого здесь…), но вот:

v1-v2 · v3-v4 = |v1-v2| * |v3-v4| * cos(a)   (by definition)

определять |v3-v4| быть единичным вектором, так что

v1-v2 · v3-v4 = |v1-v2|*1*cos(a) = |v1-v2|*cos(a)

работа с левой стороны дает

v1·v4 + v2·v4 = |v1-v2|*cos(a) - v1·v3 + v2·v3

or

(v1+v2)·v4 = |v1-v2|*cos(a) - (v1-v2)·v3 

в то время как

|v3-v4| = (v3-v4)·(v3-v4) = 1    

Итак, есть 2 уравнения с 2 неизвестными. Теперь, для краткости,

aa  = (v1+v2|x
bb  = (v1+v2|y
x1 = v4|x
x2 = v4|y
A  = |v1-v2|*cos(a) - (v1-v2)·v3 

в котором |x означает x-компонента и т. д. При этом тривиальная замена дает нам

( (A-aa*x1)/bb )^2 + (aa*x1)^2 = 1     (-> 2 solutions)
( (A-bb*x2)/aa )^2 + (bb*x2)^2 = 1     (-> another 2 solutions) 

Решения слишком запутаны, чтобы записывать их здесь, но они просты квадратные уравнения это можно легко решить.

Вы тогда имеете 4 уникальных вектора которые лежат на единичной окружности вокруг v3 (см. рисунок). Эти 4 вектора дают только 2 отдельные линии, но все равно неплохо найти все 4 вектора (в качестве самопроверки и для повышения надежности — могут быть некоторые крайние случаи, когда один из векторов таков, что что-то не так). нравится катастрофическая отмена происходит).

Какая линия лучше всего подходит для вас, зависит, конечно, от вашего варианта использования.

Какое бы решение вы ни выбрали, вы, конечно, всегда должны

arccos(((v1-v2)·(v3-v4))/|v1-v2|) = a

так, как это должно быть.