Дерево вероятностей как найти вероятность события

Дерево вероятностей

В этой статье я покажу вам очень простой способ решения некоторых задач по теории вероятностей.
Рассмотрим задачу. Трое друзей Вася, Петя и Слава купили торт, и решили его съесть. Они разделили торт на три равных части. Внезапно появился четвертый друг Коля, и друзья решили отрезать ему по кусочку от своей доли. Вася отрезал 1/3 от своего куска, Петя 1/4, а Слава – половину. Какую часть всего торта получил в итоге Коля?

Изобразим ситуацию, описанную в задаче в виде такой схемы:

Сначала торт разрезали на три равные части, и каждому из трех друзей досталось по 1/3 торта.

Затем пришел Коля и каждый мальчик отрезал ему соответствующую часть своего куска:

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь. То есть Вася отдает Коле часть торта, Петя –   часть торта, а Слава  часть торта.

В итоге Коля получит   часть тортa.

Когда мы ищем вероятность события,  мы ищем,  какую часть благоприятные исходы составляют от общего числа исходов. Если в задаче описывается последовательность случайных опытов, и следующий опыт зависит от исхода предыдущего, для разделения возможных сценариев  развития событий часто используют схему “дерева вероятностей”, аналогичную приведенной выше.

Решим еще одну задачу.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных  фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, а вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных  стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Изобразим ситуацию в виде дерева вероятностей:

Все стекла делятся на те, которые выпускает первая фабрика и на те, которые выпускает вторая:

Стекла, которые выпускает каждая фабрика делятся на бракованные и  пригодные. Из стекол, которые выпускает первая фабрика 4% бракованных, и из тех, которые выпускает вторая – 1% бракованных:

Нас интересуют бракованные стекла, которые выпускаются первой или второй фабрикой. Найдем, какую часть эти стекла составляют от всех стекол:

Ответ: 0,019

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Вероятность – это способ оценить, насколько вероятно, что событие произойдет, или насколько вероятно, что утверждение истинно. Древовидная диаграмма – это инструмент, который помогает людям эффективно рассчитывать вероятность и принимать решения на основе своих расчетов. Если вы студент-математик, математик или другой специалист, работающий со статистикой, вам будет полезно узнать об этой важной таблице. В этой статье мы рассмотрим определение диаграммы дерева вероятностей, объясним, как рассчитать вероятности с ее помощью, и дадим советы для успешного проведения расчетов.

Что такое диаграмма дерева вероятностей?

Диаграмма дерева вероятностей – это инструмент, который помогает людям рассчитать количество возможных исходов события и вероятность того, что они могут произойти. Это также организованное визуальное отображение этих результатов, где каждое дерево ветвь представляет собой другой результат. Умножая вероятности по ветвям, вы можете определить вероятность определенной серии событий. Вы можете проверить точность своей работы, убедившись, что все итоговые вероятности на древовидной диаграмме равны 1.0.

Например, при подбрасывании монеты первые две ветви представляют результаты первого броска монеты. Возможными исходами являются голова или решка , и вероятность каждого из них равна 0.5. Чтобы представить возможный исход каждого раза, когда вы можете подбросить монету еще раз, вы можете заполнить дальнейшие ветви дерева и вероятности. Древовидные диаграммы вероятности могут использоваться для расчета как независимых событий, например, броска монеты, так и зависимых событий, где каждое событие зависит от предыдущего.

Почему важны диаграммы дерева вероятностей?

Диаграммы дерева вероятностей важны, поскольку они могут быть полезными инструментами для следующих типов специалистов:

• Метеорологи: Специалисты в этой области могут использовать диаграмму дерева вероятностей для анализа погодных условий и прогнозирования вероятности определенных погодных условий, таких как дождь или снежная буря.

• Эпидемиологи: Вероятность является важной частью этой профессии, где члены команды рассчитывают и анализируют связь между воздействием и риском для здоровья.

• Статистики: Эти специалисты собирают и интерпретируют данные, чтобы помочь бизнесу в принятии решений высокого уровня, часто отвечают за управление финансовыми вероятностями и рисками.

• Оценщики стоимости: Люди в этой роли могут использовать диаграммы дерева вероятностей для рассмотрения вопроса о том, как сократить расходы, время и ресурсы, затраченные на производство продукта или предоставление услуги.

• Страховые андеррайтеры: Поскольку в обязанности этих специалистов входит оценка риска страхового клиента, полезно, когда они могут легко рассчитать вероятность риска.

• Аналитики по исследованию рынка: Представители этой профессии исследуют и собирают данные о потребительских рынках, чтобы помочь бизнесу в продвижении товаров и услуг, и используют вероятность для прогнозирования поведения потребителей.

• Астрономы: Эти специалисты собирают данные о космосе и небесных телах, используя вероятность для прогнозирования таких явлений, как солнечные вспышки, метеориты и космическая погода.

• Спортивные телеведущие: Эти профессионалы могут использовать вероятность при анализе спортивных событий и прогнозировании будущих спортивных событий для зрителей.

• Врачи: Люди на этой должности отвечают за оценку различных типов информации для пациентов, таких как здоровье беременности, продолжительность жизни и продолжительность болезни.

• Преподаватели математики: Преподаватели математики рассказывают учащимся о вероятности, чтобы подготовить их к решению обычных жизненных ситуаций и принятию повседневных решений.

Как рассчитать вероятности с помощью древовидных диаграмм

Хотя существует множество различных способов расчета вероятностей, древовидные диаграммы могут быть полезным графиком для визуализации и организации данных. Вот как использовать древовидные диаграммы для расчета вероятности события в шесть шагов:

1. Набросайте возможные исходы

Определив, какой ответ вы ищете, обрисуйте возможные исходы. Например, вы можете попытаться выяснить, сможет ли ваша баскетбольная команда Тигры выиграть сегодняшнюю игру. Это может зависеть от того, играете ли вы в Ястребов , высококвалифицированную команду, или в Ящеров , команду, в которой много новичков.

Сначала создайте точку с двумя стрелками, направленными от нее. Поскольку ваши возможные исходы – это игра Ястребов или Ящериц , вы можете написать эти исходы в конце каждой стрелки. Далее вы можете написать вероятность каждого исхода на линии стрелки.

2. Напишите вероятность каждого исхода

Поскольку вы обычно играете в The Lizards примерно 6 раз в 10 игр, вероятность того, что вы сыграете в The Lizards сегодня, равна 0.6. Вы можете вычесть 0.Отнимите 6 от 1, чтобы найти вероятность игры Ястребов , которая равна 0.4. На стрелке, указывающей на Ястребов , напишите 0.6. На стрелке, указывающей на Lizards, напишите 0.4. Быстрой проверкой для этого раздела является сложение ваших чисел, 0.6 и 0.4, чтобы убедиться, что они равны 1.0.

3. Создайте следующие ветви дерева

Играя в прошлом сезоне с командой The Lizards, вы выиграли игру восемь раз из десяти. Итак, если вы сегодня сыграете в The Lizards, вероятность того, что вы выиграете, равна 0.8. Это также означает, что вероятность того, что ваша команда проиграет игру, равна 0.2, так как в прошлом сезоне вы проиграли Ящерицам две игры из 10. После вашего Ящерицы создайте две новые стрелки, ветвящиеся вправо, ведущие к Выиграть и Проиграть результаты. На Выиграть стрелка, напишите 0.8. На Потерять стрелка, напишите 0.2.

Играя с Ястребами в прошлом сезоне, ваша команда выиграла игру пять раз из 10. Это означает, что вы также проиграли пять раз из 10. Во-первых, после того, как вы Ястребы создайте две новые стрелки, направленные вправо, ведущие к Выиграть и Проиграть исходы. На Победа стрелкой, напишите 0.5, и на Проиграть стрелке можно также написать 0.5. Чтобы проверить свою работу по ходу дела, вы можете добавить 0.5 с 0.5, чтобы убедиться, что оно равно 1.0.

4. Рассчитайте общую вероятность

Далее, пришло время вычислить общую вероятность путем умножения по ветвям дерева. Вы пытаетесь выяснить, насколько вероятно, что ваша команда сможет выиграть игру. Во-первых, умножьте вероятность того, что вы играете в The Lizards, 0.6, на вероятность того, что вы выиграете у Ящеров , 0.8. Это дает вам 0.48 выигрыша у The Lizards в сегодняшней игре.

Затем, в отдельном расчете, умножьте вероятность того, что вы играете в Ястребов , 0.4, к вероятности победы над Ястребами 0.5. Это дает вам 0.20 шансов на победу над Ястребами в сегодняшней игре.

5. Сложите соответствующие вероятности

Теперь вы можете сложить вероятности в столбце столбец дерева, чтобы найти свой окончательный результат, вероятность того, что вы можете выиграть сегодняшнюю игру в целом. Добавление 0.48, вероятность победы против Ящеров , с 0.20, шанс, что вы выиграете у Ястребов , даст вам результат 0.68 – вероятность того, что вы вообще выиграете игру. Вы можете умножить свой результат на 100, чтобы получить его в процентах, что может быть проще для понимания и представления другим. Исходя из ваших расчетов, вероятность того, что вы выиграете сегодняшнюю баскетбольную игру, составляет 68%.

6. Проверьте правильность своей работы

Проверка работы в данном случае означает расчет общей вероятности проигрыша игры, если вы играете с любой из команд, а затем сложение всех чисел в столбце, чтобы убедиться, что они равны 1.0. На Первом, чтобы найти вероятность того, что вы проиграете The Lizards в сегодняшней игре, умножьте 0.6 на 0.2, чтобы получить 0.12. Затем, чтобы найти вероятность проигрыша Ястребов в сегодняшней игре, умножьте 0.4 по 0.5, чтобы получить 0.20.

Затем, добавьте 0.12 и 0.20, чтобы получить 0.32, общая вероятность проигрыша в игре сегодня. Прибавьте 0.32 с 0.68, что является вероятностью выигрыша, и вы получаете 1.0. Этот метод проверки показывает, что вы выполнили расчеты правильно.

Советы по расчету вероятности с помощью древовидной диаграммы

Будь вы студент или профессионал, инструмент древовидной диаграммы может быть полезен вам в повседневной работе. Вот несколько советов по эффективному расчету вероятности с помощью древовидной диаграммы:

• Используйте лист бумаги: Подумайте о том, чтобы нарисовать диаграмму карандашом или ручкой и бумагой, по крайней мере, вначале. Физическое записывание информации и создание графика может помочь вам хорошо понять процесс и запомнить его на будущее.

• Сначала соберите всю информацию: Это помогает собрать и перечислить всю информацию, которую вы планируете использовать в диаграмме, прежде чем начать процесс рисования. Сюда входят измеряемые вами исходы и вероятности, которые вы уже знаете.

• Будьте внимательны к своим цифрам: Внимание к деталям – полезный навык при подсчете статистики. Обратите пристальное внимание на используемые числа и убедитесь, что каждый шаг на этом пути имеет правильное значение.

• Проверьте свою работу: При выполнении любого математического вычисления полезно проверить точность своей работы, используя метод проверки. Это может гарантировать, что вы представите правильные конечные результаты своему учителю, коллегам или руководителю.

• Поймите, что вероятность – это оценка: Хотя прогнозирование результатов до того, как они произойдут, может быть полезным и точным, всегда существует вероятность неожиданных событий. Старайтесь помнить об этом при использовании древовидной диаграммы, чтобы правильно управлять своими ожиданиями.

• Обратитесь за помощью: Если вы столкнулись с трудностями при попытке использовать древовидную диаграмму, попросите помощи у учителя, коллеги или надежного друга. Они могут дать вам совет о том, как легко завершить этот процесс.

Скачать материал

Скачать материал

Определение.
Если событие
может происходить только с одним из
событий

,
которые образуют полную группу событий,
то события

называются гипотезами.

Поскольку
события
образуют полную группу событий, то сумма
их вероятностей равна единице

,

Согласно
следствию 3 из теоремы сложения. Это
равенство следует применять при проверке
правильности составления системы
гипотез.

Теорема
(формула полной вероятности).
Если событие
может произойти только с одной из гипотез
,
то вероятность события
равна сумме произведений вероятностей
гипотез на условные вероятности события,
вычисленные при условии, что соответствующая
гипотеза имела место

.

Доказательство.

Пример.
В трех одинаковых урнах находятся шары.
В первой урне находятся только белые
шары, во второй только черные, а в третьей
урне два черных и три белых шара.

Найти вероятность
того, что наудачу выбранный шар из
случайно выбранной урны является белым.

Запишем, прежде
всего, условие задачи, вводя соответствующие
обозначения.

Дано:
событие
состоит в том, что будет выбран белый
шар.

Гипотеза
состоит в том, что выбрана первая урна
(состав урны: все белые шары).

Гипотеза
состоит в том, что выбрана вторая урна
(состав урны: все черные шары).

Гипотеза
состоит в том, что выбрана третья урна
(состав урны: 2 черных и 3 белых шара).

Найти:

Решение.

Дерево вероятностей

Для
решения задач, в которых решения
принимаются в условиях стохастической
неопределенности, удобно использовать
так называемое «дерево вероятностей».

Определение.
Деревом вероятностей называется
графический метод, который показывает
последовательность стратегических
решений и предполагаемые последовательности
действий при каждом возмож­ном блоке
случайных обстоятельств.

Построение
дерева решения начинается с первого
решения и продвигается вперед через
ряд последовательных событий и решений,
при этом вероятностные события
обозначаются кружками, а принимаемые
решения квадратиками. Ответвления из
квадратиков представляют стратегии, а
ответвления из кружков – внешние условия.
При каждом решении или событии у дерева
вероятностей появляются ответвления,
которые пока­зывают соответственно
возможное направление действий до тех
пор, пока, наконец, все логиче­ские
последовательности решений и вытекающие
из них события не будут вычерчены.
Отметим, что ответвления из кружков
имеют вероятности, причем сумма
вероятностей для всех ответвлений,
вытека­ющих из любого кружка, должна
равняться единице.

Из
формулы полной вероят­ности следует,
что для вычисления вероятности события

необ­ходимо
осуществить перебор всех путей, ведущих
к результиру­ющему
событию
;
вычислить
и расставить на соответствующих путях
вероятности
того, что движение будет происходить
поданному
пути, и вероятности
того,
что на данном пути бу­дет
достигнуто конечное событие
.
Затем
вероятности,
стоящие на
одном пути, перемножаются, а результаты,
полученные для раз­личных
путей, складываются.

Каждое
из условий может, в свою очередь, делиться
на несколько дополнительных условий
или гипотез, т.е. на каждом этапе оно
допускает
неограниченное число ветвлений схемы,
поэтому при решении задач более удобно
пользоваться не самой формулой полной
вероятности,
а графической схемой полной вероятности
или соответствующим деревом
вероятностей.

Пример.
Трое
преподавателей принимают экзамен в
группе из
30 человек, причем первый опрашивает 6
студентов, второй — 3,
а третий — 21 студента (выбор студентов
производится случай­ным
образом из списка). Отношение трех
экзаменаторов к слабо подготовившимся
различное: шансы таких студентов сдать
эк­замен
у первого преподавателя равны 40 %, у
второго — только 10
%, зато у третьего — 70 %. Найти вероятность
того, что слабо подготовившийся
студент сдаст экзамен. Решение.
Обозначим
через
,—
гипотезы, состоящие в том, что
слабо подготовившийся студент отвечал
первому, второму и
третьему экзаменатору соответственно.
По условию задачи

Пусть
событие
состоит в том, что слабо подготовившийся
студент сдал эк­замен.
Тогда по условию задачи

.

По формуле полной
вероятности получаем

.

Построим для
рассматриваемой задачи дерево решений

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Я обещала разобрать задачи по теории вероятностей из итоговой диагностики 8 класса.
https://klarissa45.livejournal.com/406026.html
Диагностика проходила за компьютерами, учитывались только ответы

В одном из вариантов задача была такой
В группе туристов 51 человек. Среди них Алексей и Иван.
Туристы в случайном порядке рассаживаются в красный, синий и зелёный автобусы.
а) Какова вероятность, что Алексей и Иван окажутся в одном автобусе?
б) Какова вероятность, что в красном автобусе не окажутся ни Алексей, ни Иван?

А в другом варианте были два профессора со своими докладами

На конференции запланировано 16 докладов, в том числе доклад профессора А и доклад профессора Б
Конференция проходит с понедельника по четверг, оргкомитете распределяет докладчиков случайным образом
по 4 доклада в день.
а) Какова вероятность, что доклад профессора А и доклад профессора Б будут назначены на один день?
б) Какова вероятность, что доклад профессора А и доклад профессора Б не будут запланированы на понедельник?

Скажем прямо-это задачи ЕГЭ.
Хотя там тоже можно загнуть ещё более сложную задачу
[Spoiler (click to open)] Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует 20 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Но одновременно это и задачи курса теории вероятностей Математической вертикали.
Чтобы решить эти задачи, надо уметь строить деревья.
Хотя на первый вопрос задачи можно ответить и без дерева.

«Пусть Алексей занял место в каком-то автобусе. Тогда в этом месте осталось 17-1=16 мест, на которые претендуют 51-1=50 человек. Вероятность равна 16/50 или 0,32»

« Пусть профессор А уже выступает в определенный день, тогда у профессора Б есть возможность стать одним из 3 выступающих в этот день. Но таких претендентов 15. А значит вероятность равна 3/15 или 0,2»

Или с помощью дерева

Задание а)
Первый уровень – уровень Алексея ( мы его первым сажаем в автобус), а второй уровень – уровень Ильи, потом мы его сажаем.

Задания а) и б)

Крестиками зачеркнуты ветки дерева, которые нам не нужны.
То есть первый мальчик в красном автобусе или второй мальчик в красном

А теперь теория, это статья И.Р. Высоцкого из журнала «Математика»

https://ptlab.mccme.ru/sites/ptlab.mccme.ru/files/ob_uslovnoy_veroyatnosti.pdf

В другой статье И.Р.Высоцкий пишет: «Дерево позволяет рассматривать составной эксперимент как бы по частям. Иногда удобно мысленно расположить случайные события во времени, хотя нужно помнить, что эта очередность условная. Событие А можно рассматривать при условии, что событие В произошло. Точно так же можно считать, что случилось событие А, и тогда ставить вопрос о вероятности события В. Эти условные вероятности удобно надписывать около соответствующих ребер дерева. Это наглядно, и этому легко научиться. Даже при небольшом навыке деревья становятся излюбленным способом решения многих задач.»