Диагональ известна a как найти среднюю линию

Средняя линия трапеции

Это отрезок, который соединяет середины 2 боковых сторон трапеции. Существует несколько способов (формул), позволяющих узнать, чему равна средняя линия.

Рассмотрим некоторые из них.

---

Как найти среднюю линию трапеции через основания

Если известно, чему равны основания трапеции, то среднюю линию найти совсем не сложно.

Она будет равна полусумме оснований.

EF = (AB + CD) / 2.

Например, если основание AB = 10 см, а основание CD = 6 см, то средняя линия равна (10 + 6) / 2 = 8 см.

---

Как найти среднюю линию трапеции через площадь и высоту

По классической формуле, площадь трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту. А полусумма оснований и есть средняя линия.

Поэтому, если площадь S = EF * DH, то средняя линия EF = S / DH.

Например, если площадь трапеции равна 30 кв. см, а высота – 6 см, то средняя линия = 30 / 6 = 5 см.

---

Как найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и угол между ними

Если неизвестна площадь трапеции, но известны диагонали и угол между ними, то можно воспользоваться одной из формул нахождения площади.

А после этого подставить полученное значение в формулу, позволяющую найти среднюю линию через площадь и высоту.

Если даны диагонали d1 и d2, а также угол между ними (например, γ), то S = 0,5 * d1 *d2 * sinγ.

Подставим это в формулу нахождения средней линии: EF = S / DH = (0,5 * AC * BD * sinγ) / DH = AC * BD * sinγ / 2DH.

Например, высота = 6 см, диагонали – 8 и 10 см, угол между ними – 30 градусов.

EF = (8 * 10 * 0,5) / (2 * 6) = 40 / 12 = 3,33 см.

Термин «трапеция» произошёл от греческого слова «столик». В русском языке от того же слова произошло
понятие «трапеза» — еда.

Средняя линия — отрезок, который прокладывается через противолежащие стороны, и который дробит их
точно на половинки.

Средняя линия трапеции имеет три отличительных черты:

• Она параллельна базовым сторонам четырёхугольника;
• Эквивалентна половинке суммирования оснований;
• Разбивает первоначальный четырёхугольник на две поменьше. Вместе с тем их площади имеют
  конкретное соотношение друг к другу.

Через длины оснований

Имеется одно основная формулировка, которая позволяет рассчитывать величину средней линии. Величина
средней линии будет равна сумме базовых сторон фигуры, поделённой напополам. Формула следующая:

M = a + b / 2

где a и b — наибольшая и наименьшая стороны.

Пример. Если наибольшая базовая сторона равна 8, а наименьшая — 10, то (8 + 10) / 2 = 9. Или, если
наибольшая базовая сторона равна 15, а наименьшая — 3. Тогда:
(3 + 15) / 2 = 9.

Через площадь и высоту

Формулировка поиска величины срединного отрезка через площадь и перпендикуляр:

M = S / h

где S — площадь, h — перпендикуляр.

Пример. Если площадь равняется 20, а высота — 5, тогда: M = 20 / 5 = 4. Если площадь равна 50, а
высота равна 5, тогда срединный отрезок:
M = 50 / 5 = 10.

Через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Равенство расчёта величины срединного отрезка через наибольшую базовую сторону, высоту и углы при
наименьшей базовой стороне выглядит:

M = b + h * (ctg α + ctg β)/2

где b — наибольшая базовая сторона, α и β — углы при наименьшей базовой стороне, h — высота.

Пример. Наибольшая сторона равняется 15, высота — 6, а углы — 45 и 30. В таком случае:
m = 15 + 6 · (ctg 45 + ctg 30)/2 = 15 + 6 · (1 + √3)/2 ≈ 23,196.

Через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формулировка исчисления величины срединного отрезка через диагонали, высоту и уголок между
диагоналями описывается:

M = (d1 * d2)/2h * sin α

где d1, d2 — диагонали, α — уголок между диагоналями, h — высота.

Пример. Пусть диагонали четырёхугольника равняются 15 и 4, высота — 5, а уголок между диагоналями
фигуры — 30 градусов. Значит:
m = (15 * 4)/(2 * 5) * sin 30 = 6 * 1/2 = 3.

Если в качестве диагоналей взять 20 и 5, высоты — 6, а угла — 30, тогда: m = (20 * 5)/(2 * 6) * sin
30 ≈ 8,33 * 1/2 ≈ 4,167.

Через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Формулировка нахождения величины срединного отрезка через наименьшую базовую сторону, высоту и углы
при наименьшей базовой стороне приведена далее:

M = a — h * (ctg α + ctg β)/ 2

где a — наименьшая базовая сторона, α и β — углы при наименьшей базовой стороне, h — высота
четырёхугольника.

Пример. Если наименьшая базовая сторона четырёхугольника равносильна 5, углы — 45 и 45, а высота — 2,
тогда: 5 – 2 · (ctg 45 + ctg 45)/ 2 = 3.

Через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании

Тождество поиска величины срединного отрезка через вспомогательные стороны, наибольшую сторону и углы
при наименьшей стороне:

m = (2b + c * cos α + d * cos β) / 2

где b — наибольшая сторона, c и d — вспомогательные стороны, α и β — углы при наименьшей стороне.

Пример. Если в качестве наибольшей стороны взять 15, наклонных сторон — 7 и 9, а углов при наименьшей
стороне — 60 и 60 градусов. Следовательно: m = (2 * 15 + 7 * cos 60 + 9 * cos 60) / 2 = (30 +
3,5 + 4,5) / 2 = 19.

Через боковые стороны, нижнее основание и углы при нижнем основании

Выражение исчисления величины срединного отрезка через вспомогательные стороны, меньшую сторону и углы при меньшей стороне:

m = (2a — c * cos α — d * cos β) / 2

где a — меньшая сторона, c и d — наклонные стороны, α и β — углы.

К примеру, если нижняя сторона равна 8, боковая сторона 5, а угол при нижней стороне фигуры — 60, тогда:
m = (2 · 8 – 2 · 5 · cos 60) / 2 = 3.

Если же нижняя сторона равняется 12, боковая сторона 6, а угол при нижней стороне — 60, в таком случае:
m = (2 · 12 – 2 · 6 · cos 60) / 2 = 9.

Средняя линия равнобедренной трапеции через боковую сторону, верхнее основание и угол при нижнем
основании

Формула расчёта длины срединного отрезка через боковые стороны, верхнюю сторону и углы при нижней
стороне:

m = (2b + 2c · cos β) / 2

где b — верхняя сторона, c — боковая сторона четырёхугольника, β — угол.

Например, если верхняя сторона четырёхугольника равняется 5, боковая сторона 8, а угол при нижней
стороне фигуры — 60, тогда срединный отрезок рассчитывается следующим образом: m = (2 · 5 – 2 ·
8 · cos 60) / 2 = 1.

Если представить верхнюю сторону длиной 6, боковую сторону длиной 5, а угол при нижней стороне
четырёхугольника — 60, в таком случае: m = (2 · 6 – 2 · 5 · cos 60) / 2 = 3,5.

Через боковые стороны, нижнее основание и углы при нижнем основании

Выражение исчисления величины срединного отрезка через вспомогательные стороны, меньшую сторону и
углы при меньшей стороне:

m = (2a — c * cos α — d * cos β) / 2

где a — меньшая сторона, c и d — наклонные стороны, α и β — углы.

К примеру, если нижняя сторона равна 8, боковая сторона 5, а угол при нижней стороне фигуры — 60,
тогда: m = (2 · 8 – 2 · 5 · cos 60) / 2 = 3.

Если же нижняя сторона равняется 12, боковая сторона 6, а угол при нижней стороне — 60, в таком
случае: m = (2 · 12 – 2 · 6 · cos 60) / 2 = 9.

Средняя линия прямоугольной трапеции через нижнее основание, высоту и острый угол при нижнем
основании

Формула определения длины срединного отрезка через боковые стороны, верхнюю сторону и углы при нижней
стороне:

m = a – h · ctg β / 2

где a — нижняя сторона, h — высота, β — острый уголок при нижней стороне.

Пример. Пусть нижняя сторона четырёхугольника равняется 8, высота — 3, а острый уголок — 45, в таком
случае: m = 8 – 3 · ctg 45 / 2 = 6,5.

Средняя линия прямоугольной трапеции через верхнее основание, высоту и острый угол при нижнем
основании

Формула определения длины срединного отрезка через боковые стороны, верхнюю сторону и углы при нижней
стороне:

m = b + h · ctg β / 2

где b — верхняя сторона, h — высота, β — острый угол при нижней стороне.

Пример. В качестве верхнего возьмём 4, высоты — 2, острого угла — 45. В таком случае формула
такая: m = 4 + 2 · ctg 45 / 2 = 5.

Общее понятие трапеции

Трапеция — геометрическая фигура, четырёхугольник, две противолежащие стороны которого размещены на
параллельных прямых. В свою очередь, две иные стороны должны быть не параллельными. Нередко в
описании четырёхугольника не обращают внимания на завершающее требование.

Впервые эту фигуру описал математик Древней Греции Евклид в своих работах. В своей книге «Начала» он
таким образом характеризует всякий четырёхугольник, не являющийся параллелограммом.

Описывая трапецию, необходимо выделить следующие элементы:

• Параллельные противолежащие стороны именуются основаниями фигуры;
• Две иные стороны именуют боковыми или наклонными сторонами;
• Отрезок, который объединяет средины вспомогательных сторон, прозвали средней линией
  четырёхугольника;
• Углом при основании трапеции прозвали её внутренний уголок, который образовало основание с
  наклонной стороной.

Выделяют такие характеристики трапеции:

1. Срединный отрезок трапеции пролегает параллельно основаниям и равняется половине их
   суммирования;
2. Отрезок, который объединяет средины диагоналей трапеции, равняется половинке разности оснований
   и пролегает по средней линии;
3. Отрезок, который параллелен основаниям и пролегает через точку скрещивания диагоналей,
   разделяется последней напополам и равняется 2xy / (x + y) среднему гармоническому (один из
   методов, которым можно характеризовать «среднюю» величину определённой совокупности чисел)
   величин оснований трапеции;
4. В трапецию можно вписать окружность, если суммирование величин оснований четырёхугольника
   равняется суммированию величин её вспомогательных сторон;
5. Точка скрещивания диагоналей трапеции, точка скрещивания последующих продлений её
   вспомогательных сторон и средины оснований располагаются на единой прямой;
6. Если суммирование углов при одном из оснований трапеции равняется 90°, в таком случае
   продолжения наклонных сторон перекрещиваются под прямым углом, а отрезок, объединяющий средины
   оснований, равняется половинке их разности;
7. Диагонали четырёхугольника разделяют его на четыре треугольника. Два из них, которые прилегают к
   основаниям, подобны. Два иных, которые прилегают к вспомогательным сторонам, имеют равную
   площадь;
8. Если отношение оснований равно K, тогда отношение площадей треугольников, которые прилегают к
   ним, равняется K²;
9. Прямая Ньютона (прямая, которая объединяет серединки диагоналей четырёхугольника) для
   четырёхугольника сходится с её срединным отрезком.

Рассмотренная версия трапеции — это наиболее популярная разновидность геометрической фигуры. Однако,
выделяют и дополнительные ситуации.

Равнобедренная или равнобокая или равнобочная трапеция — та, у которой наклонные, иными словами,
непараллельные, стороны равняются друг другу. В евклидовой геометрии равнобедренной трапецией
именуется выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, которая пролегает через средины двух
противолежащих сторон. Во всякой равнобедренной трапеции два противолежащих основания параллельны,
две наклонные стороны имеют одинаковые величины (характеристика, которой параллелограмм также
соответствует). Диагонали также имеют равносильные величины. Углы при всяком основании равняются
друг другу и углы при разнообразных основаниях считаются смежными, иначе говоря, в сумме
составляющие 180 градусов.

Трапеция является равнобедренной лишь в том случае, когда выполняется одно из таких эквивалентных
условий:

• Прямая, пролегающая через средины оснований, ортогональна ним;
• Перпендикуляр, который проложен из вершины на наиболее протяжённое основание, разделяет его на
  две части, одна из которых равняется половине суммирования оснований, а другая — половинке
  разности;
• Углы при всяком основании равносильны;
• Суммирование противолежащих углов равняется 180 градусам;
• Величины диагоналей равносильны;
• Вокруг следующего четырёхугольника можно описать окружность;
• Вершинами подобного четырёхугольника ещё считаются вершины какого-либо антипараллелограмма или
  контрпараллелограмма (плоского четырёхугольника, где всякие две противолежащие стороны равняются
  друг другу, но не параллельны, в сравнении с параллелограммом);
• Если в равнобедренной трапеции диагонали ортогональны, тогда перпендикуляр равняется половине
  суммирования базовых сторон.

Диагонали равнобедренной трапеции равносильны. Иными словами, всякая равнобедренная трапеция
считается равнодиагональным четырёхугольником. Тем не менее диагонали равнобедренной трапеции
разделяются в одинаковой пропорции.

Прямоугольная трапеция — та, где одна из наклонных сторон и основание формируют прямой угол (в 90
градусов).

Иным особенным случаем считается трапеция с тремя равносильными сторонами. В иностранной литературе
её именуют трёхсторонней трапецией или триравнобедренной трапецией. Подобный четырёхугольник
анализируется как отсечение четырёх последовательных вершин от правильного многоугольника, который
имеет пять или больше сторон.

По заданному описанию параллелограмм и прямоугольник — особые случаи трапеции. Тем не менее при
применении подобного термина основная доля характеристик равнобедренной трапеции становится
недействительна, так как параллелограмм становится её особым случаем.

Анализирование трапеции неразрывно связано с окружностью:

1. Если суммирование базовых сторон трапеции равносильно суммированию вспомогательных сторон, то в
   неё можно вписать окружность. Средняя линия в такой ситуации равносильна суммированию наклонных
   сторон, разделённой на два, ведь средняя линия трапеции равносильна половинке суммирования
   оснований;
2. В четырёхугольнике его вспомогательная сторона различима из центра вписанной окружности
   ортогонально;
3. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, в такой ситуации она равнобедренная.

Средняя линия треугольника – свойства, признаки и формулы

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Рассматривается сумма векторов

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

Отсюда следует, что

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

Следствие №2

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Пример решения задачи

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

• KL – средняя линия треугольника ABC
• K – середина стороны AB: AK = KB
• L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

• △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
• Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
  AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL.
• S_△ABC = 4 ⋅ S_△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1 /₂ ⋅ BC = 1 /₂ ⋅ 10 = 5.

Как находить среднюю линию треугольника? Основные свойства, определения и способы

Порой темы, которые объясняют в школе, могут быть не всегда понятны с первого раза. Особенно это касается такого предмета, как математика. Но все становится намного сложнее, когда эта наука начинает подразделяться на две части: алгебру и геометрию.

Каждый ученик может обладать способностью к одному из двух направлений, но особенно в начальных классах важно понять базу и алгебры, и геометрии. В геометрии одной из главных тем принято считать раздел о треугольниках.

Как находить среднюю линию треугольника? Давайте разбираться.

Основные понятия

Для начала чтобы разобраться, как находить среднюю линию треугольника, важно понимать, что же это.

Для проведения средней линии нет ограничений: треугольник может быть любым (равнобедренным, равносторонним, прямоугольным). И все свойства, которые относятся к средней линии, будут действовать.

Средняя линия треугольника является отрезком, соединяющим середины 2-х его сторон. Следовательно, любой треугольник может иметь 3 таких линии.

Свойства

Чтобы знать, как находить среднюю линию треугольника, обозначим ее свойства, которые необходимо запомнить, иначе без них будет невозможным решение задач с необходимостью обозначить длину средней линии, поскольку все полученные данные необходимо обосновать и аргументировать теоремами, аксиомами или свойствами.

1. Средняя линия параллельна стороне данной геометрической фигуры и равна ее 1/2. Это говорит о том, что если, к примеру, сторона равна 8, то средняя линия будет равна 4.
2. Проводя в данной геометрической фигуре всевозможные средние линии, мы получим 4 треугольника, равных и подобных друг другу. Также их коэффициент подобия будет равен 1/2.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос: «Как найти среднюю линию треугольника АВС?», достаточно знать одну из сторон треугольника.

Приведем пример

Взгляните на рисунок. На нем представлен треугольник ABC со средней линией DE. Обратим внимание, что она параллельна основанию AC в треугольнике. Следовательно, каким бы ни было значение AC, средняя линия DE будет в два раза меньше. К примеру, AC=20, значит DE=10 и т. д.

Вот такими несложными способами можно понять, как находить среднюю линию треугольника. Запомните ее основные свойства и определение, и тогда у вас никогда не возникнет проблем с нахождением ее значения.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.syl.ru/article/286665/new_kak-nahodit-srednyuyu-liniyu-treugolnika-osnovnyie-svoystva-opredeleniya-i-sposobyi

[/spoiler]