Длина частичного интервала как найти

Интервальное статистическое распределение

Если признак может
принимать любые значения из некоторого
промежутка, т.е. является непрерывной
случайной величиной, то необходимо
промежуток между наименьшим и наибольшим
значениями признака в выборке разбить
на несколько интервалов одинаковой
(или разной) длины. При
этом количество интервалов k
не должно
быть меньше 6 – 10 и больше 20 – 25 (выбор
числа интервалов зависит от объема
выборки n).

При подборе
количества интервалов можно пользоваться
приближенной формулой, которую предложил
американский статистик Sturgess
(Стерджесс):


– целая часть
числа х.

Затем определяем
длину частичного интервала группировки:

,
где R
=

размах выборки.

Находим границы
каждого из непересекающихся частичных
интервалов
:

a1
= xmin

;
b1
= a1
+ h;

a2
= b1;
b2
= a2
+ h
и т.д.

Далее
каждому интервалу требуется поставить
в соответствие число выборочных значений
признака, попавших в этот интервал. В
результате получим интервальное
статистическое распределение
:

Таблица
3.3

Интервалы

[a1;
b1)

[a2;
b2)

[a3;
b3)

[ak;
bk)

Частоты

m1

m2

m3

mk

Используя
интервальное статистическое распределение,
можно вычислить относительную частоту,
накопленную частоту, эмпирическую
функцию распределения, так же как и для
дискретного статистического распределения.

Если
в интервальном распределении каждый
интервал

заменить числом, лежащим в его середине
(ai
+
bi)/2,
то получим дискретное статистическое
распределение. Такая замена вполне
естественна, так как, например, при
измерении размера детали с точностью
до одного миллиметра, всем размерам из
промежутка [49,5 мм; 50,5 мм) будет
соответствовать одно число, равное 50.

Для графического
изображения интервального распределения
используется гистограмма.
Для ее построения в прямоугольной
системе координат по оси абсцисс
откладываем границы интервалов
группировки и на этих интервалах как
на основаниях строим прямоугольники,
высоты которых откладываются на оси
ординат. Различают:

а) гистограмму
абсолютных частот
,
когда высота прямоугольника равна
;

б) гистограмму
относительных частот
,
когда высота прямоугольника равна
.

Гистограмма
является выборочным
аналогом графика плотности вероятности
.
Площадь на интервале (aj;
am)
можно интерпретировать как приближенное
значение вероятности попадания случайной
величины Х
в этот интервал, т.е.
.

Основное свойство
гистограммы
:
ее площадь для абсолютных частот равна
n,
а для относительных частот равна
единице
.

Отношение
относительной частоты к длине частичного
интервала h
называют плотностью
распределения частоты

на интервале


(рис. 3.5).

Рис. 3.5. Гистограмма
относительных частот

При построении
графика эмпирической функции распределения
для интервального ряда необходимо
учитывать, что функция определена только
на концах интервалов.

Таким образом,
статистическое распределение выборки
можно рассматривать как статистический
аналог для распределения генеральной
совокупности. Из-за случайных колебаний
эти два распределения, как правило, не
будут совпадать, но можно ожидать, что
при большом объеме выборки ее распределение
будет служить приближением для генеральной
совокупности, т.е.

,
если
.

Пример
2.

Получены данные о выработке продукции
30-ю рабочими в отчетном месяце в процентах
к предыдущему месяцу

n

Х
– выработка продукции, %

1-10

125

91

82

93

101

111

109

103

121

90

11-20

79

105

115

95

84

130

104

117

127

107

21-30

85

76

98

104

126

113

98

84

113

123

Необходимо:

  1. составить
    интервальное статистическое распределение;

  2. построить
    гистограмму относительных частот.

Решение

1. Определим величину
частичных интервалов:

Построим 6
непересекающихся интервалов:

[70,5; 81,5), [81,5; 92,5),
[92,5; 103,5),

[103,5; 114,5), [114,5;
125,5), [125,5; 136,5).

Первый интервал
[70,5; 81,5) содержит два значения (76 и 79),
поэтому m1
= 2. Второй
интервал [81,5; 92,5) содержит шесть значений
(82, 84, 84, 85, 90, 91), поэтому m2
= 6 и т.д.
Полученные данные внесем в таблицу
интервального статистического
распределения:

Таблица 3.4

Интервалы

[70,5-

81,5)

[81,5-

92,5)

[92,5-

103,5)

[103,5-

114,5)

[114,5-

125,5)

[125,5-

136,5)

Частоты

2

6

6

8

5

3

2. Для построения
гистограммы вычислим значения
относительных частот wi
и значения плотности распределения
частоты на интервале
:

Таблица 3.5

Интервалы

[70,5-

81,5)

[81,5-

92,5)

[92,5-

103,5)

[103,5-

114,5)

[114,5-

125,5)

[125,5-

136,5)

mi

2

6

6

8

5

3

wi

0,07

0,20

0,20

0,27

0,17

0,10

0,006

0,018

0,018

0,024

0,015

0,009

Изобразим
данные последней строки табл. 3.5 на
графике

(рис. 3.6).

Обведем гистограмму
плавной линией f*(x)
так, чтобы приблизительно были равны
площади, ограниченные гистограммой и
кривой f*(x),
которую называют эмпирической
плотностью распределения относительных
частот
. В
генеральной совокупности ей соответствует
плотность вероятности f(x).

Рис.
3.6. Гистограмма относительных частот

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #


2.2. Интервальный вариационный ряд

Предпосылкой построения интервального вариационного ряда (ИВР) является тот факт, что исследуемая величина  принимает слишком много различных значений . Зачастую ИВР появляется в результате

изучения непрерывной характеристики объектов. Типично – это время, масса, размеры и другие физические величины.

Вспоминаем Константина, который замерял время на лабораторной работе и Фёдора, который взвешивал помидоры.

В таких ситуациях затруднительно либо невозможно применить тот же подход, что для дискретного ряда. Это связано с тем, что ВСЕ варианты  различны (во многих случаях). И

даже если встречаются совпадающие значения, например, 50 грамм и 50 грамм, то связано это с округлением, а фактически значения

всё равно отличаются хоть какими-то микрограммами.

Поэтому здесь используется другой подход, а именно определяется интервал,
в пределах которого варьируются значения , затем этот интервал делится на частичные интервалы (обычно равной длины

) и по каждому частичному интервалу

подсчитываются частоты  (либо ) – количество вариант, которые в него попали.
Если варианта попала на «стык» интервалов, то её относят к старшему интервалу.

Интервальный вариационный ряд  (ИВР) статистической совокупности  – это

упорядоченное множество смежных интервалов и соответствующие им частоты, в сумме равные

объёму совокупности. Дабы не плодить лишних букв и индексов, я никак не обозначил эти

интервалы. Придирчивый читатель, к слову, наверняка заметил, что через  я обозначаю как исходные варианты, так и значения сгруппированного

ряда.

Следует отметить, что исследуемая характеристика не обязана быть непрерывной, и мы как раз начнём с такой задачи:

Пример 6

По результатам исследования цены некоторого товара в различных торговых точках города, получены следующие данные (в денежных

единицах):

Составить вариационный ряд, построить гистограмму частот, гистограмму и полигон относительных частот + бонус:

эмпирическую функцию распределения.

Решение: очевидно, что перед нами выборочная совокупность

объема , и вопрос номер

один: какой ряд составлять – дискретный или интервальный? Заметьте, что в

вопросе задачи ничего не сказано о характере ряда. Строго говоря, цены дискретны и среди них даже есть одинаковые. Однако они

могут быть округлены, да и разброс цен довольно велик. Поэтому здесь целесообразно провести интервальное разбиение.

Начнём с экстремальной ситуации, когда у вас под рукой нет Экселя или другого подходящего программного обеспечения. Только

ручка, карандаш, тетрадь и калькулятор.

Тактика действий похожа на работу с дискретным вариационным рядом. Сначала

окидываем взглядом предложенные числа и определяем примерный интервал, в который вписываются эти значения. «Навскидку» все

значения заключены в пределах от 5 до 11. Далее делим этот интервал на удобные подынтервалы, в данном случае

напрашиваются промежутки единичной длины. Записываем их на черновик:

Теперь начинаем вычёркивать числа из исходного списка и записываем их в соответствующие колонки нашей импровизированной

таблицы:

После этого находим самое маленькое число в левой колонке (минимальное значение) и самое большое число – в правой

(максимальное значение). Тут даже ничего искать не пришлось, честное слово, не нарочно получилось:)
  ден. ед. – не забываем указывать

размерность!

Вычислим размах вариации:
 ден. ед. – длина общего

интервала, в пределах которого варьируется цена.

Теперь его нужно разбить на частичные интервалы. Сколько интервалов рассмотреть? По умолчанию на этот счёт

существует формула Стерджеса: 

, где  – десятичный логарифм* от объёма выборки и
 – оптимальное количество

интервалов, при этом результат округляют до ближайшего левого целого значения.

* есть на любом более или менее приличном калькуляторе.

В нашем случае получаем:  интервалов.

Следует отметить, что правило Стерджеса носит рекомендательный, но не обязательный характер. Нередко в условии

задачи прямо сказано, на какое количество интервалов следует проводить разбиение (на 4, 5, 6, 10 и т.д.), и тогда следует

придерживаться именно этого указания.

Длины частичных интервалов могут быть различны, но в большинстве случаев использует равноинтервальную

группировку:
 – длина частичного интервала. В

принципе, здесь можно было не округлять и использовать длину 0,96, но удобнее, ясен день, 1.

И коль скоро мы прибавили 0,04, то по пяти частичным интервалам получается «перебор»: . Посему от самой малой варианты  отмеряем влево 0,1 влево (половину «перебора») и к

значению 5,7 начинаем прибавлять по ,

получая тем самым частичные интервалы. При этом сразу рассчитываем их середины  (например, ) – они требуются почти во всех тематических задачах:

– убеждаемся в том, что самая большая варианта  вписалась в последний частичный интервал и отстоит от его правого конца на

0,1.

Далее подсчитываем частоты по каждому интервалу. Для этого в черновой таблице обводим значения, попавшие в тот или

иной интервал, подсчитываем их количество и вычёркиваем:

Так, значения из 1-го интервала я обвёл овалами (7 штук) и вычеркнул, значения из 2-го интервала – прямоугольниками (11

штук) и вычеркнул и так далее. Варианта  попала на «стык» интервалов и, согласно озвученному выше правилу, её следует

отнести к последующему интервалу .

В результате получаем интервальный вариационный ряд:

при этом обязательно убеждаемся в том, что ничего не потеряно:
, ОК.

…Да, кстати, все ли представили свой любимый товар, чтобы было интереснее разбирать это длинное решение? J

Точно также как и в дискретном случае, интервальный вариационный ряд можно
(и нужно) изобразить графически. И здесь у нас весьма большое разнообразие. Но сначала добавим в таблицу дополнительные

столбцы и продолжим расчёты:

По каждому интервалу рассчитываем (не тушуемся): плотность частот , относительные частоты  (округляем их до 2 знаков после запятой), а также плотность относительных

частот . Поскольку длина частичного

интервала , то вычисления заметно

упрощаются:

Если интервалы имеют разные длины , то

при нахождении плотностей каждую частоту нужно разделить на длину своего интервала: . Но у нас группировка равноинтервальная, да не

абы какая, а с единичным частичным интервалом. Дело за чертежами. Один за другим:

2.2.1. Гистограммы

2.1.2. Эмпирическая функция распределения

| Оглавление |



Варианты для выполнения работы

I. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Почти все встречающиеся в жизни величины (урожайность сельскохозяйственных растений, продуктивности скота, производительность труда и заработная плата рабочих, объем производства продукции и т.д.) принимают неодинаковые значения у различных членов совокупности. Поэтому возникает необходимость в изучении их изменяемости. Это изучение начинается с проведения соответствующих наблюдений, обследований.

В результате наблюдений получают сведения о численной величине изучаемого признака у каждого члена данной совокупности.

Пример. Имеются данные о размере прибыли 100 коммерческих банков. Прибыль, млн. рублей.

30,2 51,9 43,1 58,9 34,1 55,2 47,9 43,7 53,2 34,9
47,8 65,7 37,8 68,6 48,4 67,5 27,3 66,1 52,0 55,6
54,1 26,9 53,6 42,5 59,3 44,8 52,8 42,3 55,9 48,1
44,5 69,8 47,3 35,6 70,1 39,5 70,3 33,7 51,8 56,1
28,4  48,7 41,9 58,1 20,4 56,3 46,5 41,8 59,5 38,1
41,4 70,4 31,4 52,5 45,2 52,3 40,2 60,4 27,6 57,4
29,3 53,8 46,3 40,1 50,3 48,9 35,8 61,7 49,2 45,8
45,3 71,5 35,1 57,8 28,1 57,6 49,6 45,5 36,2 63,2
61,9 25,1 65,1 49,7 62,1 46,1 39,9 62,4 50,1 33,1
33,3 49,8 39,8 45,9 37,3 78,0 64,9 28,8 62,5 58,7

                 
Из данной таблицы видно, что интересующий нас признак (прибыль банков) меняется от одного члена совокупности к другому, варьирует. Варьирование есть изменяемость признака у отдельных членов совокупности.

Вариационным рядом называется последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке и соответствующих им частот.

Число, показывающее, сколько раз повторяется в данной совокупности каждое значение признака, называется частотой.

Составим ранжированный вариационный ряд (выпишем варианты в порядке возрастания):

20,4 25,1 26,9 27,3 27,6 28,1 28,4 28,8 29,3 30,2
31,4 33,1 33,3 33,7 34,1 34,9 35,1 35,6 35,8 36,2
37,3 37,8 38,1 39,5 39,8 39,9 40,1 40,2 41,4 41,8
41,9 42,3 42,5 43,1 43,7 44,5 44,8 45,2 45,3 45,5
45,8 45,9 46,1 46,3 46,5 47,3 47,8 47,9 48,1 48,4
48,7 48,9 49,2 49,6 49,7 49,8 50,1 50,3 51,8 51,9
52,0 52,3 52,5 52,8 53,2 53,6 53,8 54,1 55,2 55,6
55,9 56,1 56,3 57,4 57,6 57,8 58,1 58,7 58,9 59,3
59,5 60,4 61,7 61,9 62,1 62,4 62,5 63,2 64,9 65,1
65,7 66,1 67,5 68,6 69,8 70,1 70,3 70,4 71,5 78,0

 В нашем случае каждое значение признака (варианта вариационного ряда) повторилось только один раз, т.е. значение частоты для всех вариант равно единице. Перейдем к интервальному вариационному ряду, так как интересующий нас признак принимает дробные, практически не повторяющиеся значения.

Для этого необходимо определить число интервалов (классов) и длину интервала (классного промежутка), после чего произвести разноску, т.е. подсчитать для каждого интервала число вариант, попавших в него.

Количество классов устанавливают в зависимости от степени точности, с которой ведется обработка, и количества объектов в выборке. Считается удобным при объеме выборки (n) в пределах от 30 до 60 вариант распределять их на 6-7 классов, при n от 60 до 100 вариант — на 7-8 классов, при n от 100 и более вариант — на 9-17 классов.

Нужное количество групп также может быть ориентировочно вычислено по формуле Стерджесса:

    [k=1+3,322lgn]

где k — число групп (классов, интервалов) ряда распределения; n — объем выборки.

Можно также использовать выражение:

    [k=sqrt{n}.]

При nle 70 они дают примерно одинаковые результаты.

В рассматриваемом примере о размере прибыли коммерческих банков, n=100. Применяя формулу Стерджесса, получим:

    [k=1+3,322lg100=1+3,322cdot 2=7,644approx 8.]

Однако sqrt{100}=10. Таким образом, число интервалов может быть равно 8, 9, 10 и т.д.

Нахождение нужного количества групп и их размеров часто бывает взаимообусловлено. Для того, чтобы как-то определиться с числом интервалов, найдем размах вариации — разность между наибольшей и наименьшей вариантой:

    [R=x_{max}-x_{min}]

где R — размах вариации,

x_{max} — наибольшее значение варьирующего признака,

x_{min} — наименьшее значение варьирующего признака.

Найдем размах вариации для рассматриваемой задачи:

    [R=78,0-20,4=57,6]

Для того, чтобы найти длину интервала (величину классового промежутка) необходимо разделить размах вариации на число классов и полученную величину округлить таким образом, чтобы было удобно производить сначала разноску, а затем и различные вычисления. Рекомендую округлять до единиц, до которых округлены варианты в исходной таблице, в нашем случае до десятых.

    [happrox frac{R}{k}]

Согласно формуле получаем

    [happrox frac{57,6}{8}=7,2]

Теперь необходимо определиться с началом первого интервала. Для этого можно использовать формулу:

    [x_1approx x_{min}-frac{h}{2}]

    [x_1approx 20,4-frac{7,2}{2}=16,8.]

Замечание. За начало первого интервала можно принять некоторое значение, несколько меньшее x_{min} или само значение x_{min}. Далее в табличном виде я покажу оба варианта.

Прибавив к началу первого интервала (нижней границе) шаг, получим верхнюю границу первого интервала и одновременно нижнюю границу второго интервала. Выполняя последовательно указанные действия, будем находить границы последующих интервалов до тех пор, пока не будет получено или перекрыто x_{max}.

Таким образом, верхняя граница одного интервала одновременно является нижней границей другого интервала. Чтобы не возникало сомнений, в какой интервал отнести варианту, попавшую на границу, условимся относить ее к верхнему интервалу.

Составим теперь рабочую таблицу для построения интервального вариационного ряда и произведем подсчет частот вариант, попавших в тот или иной интервал.

Как и обещал покажу две таблицы построения ряда:

1. Отсчет ведем от x_{min}, т.е. нижняя граница первого интервала совпадает с x_{min}.

Группы банков по размеру прибыли

(границы интервалов)

Количество банков, принадлежащих данной группе

(частоты, n_i)

Накопленные частоты,

S_i

20,4 — 27,6 4 4
27,6 — 34,8 11 15
34,8 — 42 16 31
42 — 49,2 21 52
49,2 — 56,4 21 73
56,4 — 63,6 15 88
63,6 — 70,8 10 98
70,8 — 78 2 100

2. Начало первого интервала определяем с помощью формулы: x_1approx x_{min}-frac{h}{2}.

Группы банков по размеру прибыли

(границы интервалов)

Количество банков, принадлежащих данной группе

(частоты, n_i)

Накопленные частоты,

S_i

16,8 — 24 1 1
24 — 31,2 9 10
31,2 — 38,4 13 23
38,4 — 45,6 17 40
45,6 — 52,8 23 63
52,8 — 60 18 81
60 — 67,2 11 92
67,2 — 74,4 7 99
74,4 — 81,6 1 100

Как мы видим в 1-м случае у нас получилось восемь интервалов, что полностью совпадает с результатом, который нам дала формула Стерджесса. Во втором случае у нас получилось девять интервалов, так как при поиске начала первого интервала пользовались специальной формулой.

Для дальнейшего исследования я буду пользоваться результатами второй таблицы, так как там ярко выражен модальный интервал (одна мода) и медиана практически точно попадает на середину вариационного ряда.

Мы получили интервальный вариационный ряд — упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами попаданий в каждый из них значений величины.

II. Графическая интерпретация вариационных рядов.

№ п/п

Границы интервалов,

[x_{i}; x_{i+1})

Середины интервалов,

x_{i}^{*}=frac{x_i+x_{i+1}}{2}

Частоты интервалов,

n_i

Относительные частоты

W_i=frac{n_i}{n}

Плотность относит. частоты

frac{W_i}{h}

Плотность частоты

frac{n_i}{h}

1 16,8 — 24 20,4 1 0,01 0,001 0,139
2 24 — 31,2 27,6 9 0,09 0,013 1,250
3 31,2 — 38,4 34,8 13 0,13 0,018 1,806
4 38,4 — 45,6 42 17 0,17 0,024 2,361
5 45,6 — 52,8 49,2 23 0,23 0,032 3,194
6 52,8 — 60 56,4 18 0,18 0,025 2,500
7 60 — 67,2 63,6 11 0,11 0,015 1,528
8 67,2 — 74,4 70,8 7 0,07 0,010 0,972
9 74,4 — 81,6 78 1 0,01 0,001 0,139
      sum=100 sum=1    

Строим графики:

График гистограммы частот ischanow.com

График гистограммы плотности частот ischanow.com

График гистограммы относительных частот ischanow.com

График гистограммы плотности относительных частот ischanow.com

График полигона частот ischanow.com

Далее найдем моду вариационного ряда:

    [M_o(X)=x_{M_o}+hfrac{(n_2-n_1)}{(n_2-n_1)+(n_2-n_3)}]

где

x_{M_o} — начало модального интервала;

h — длина частичного интервала (шаг);

n_1 — частота предмодального интервала;

n_2 — частота модального интервала;

n_3 — частота послемодального интервала.

Определим модальный интервал — интервал, имеющий наибольшую частоту. Из таблицы видно, что модальным является интервал (45,6 — 52,8).

    [M_o(X)=45,6+7,2frac{(23-17)}{(23-17)+(23-18)}=]

    [=45,6+7,2cdot frac{6}{6+5}=45,6+3,93=49,5]

Медиана

Для интервального ряда медиана находится по формуле:

    [M_e(X)=x_{M_e}+hfrac{0,5n-S_{M_{e}-1}}{n_{M_e}}]

где

x_{M_e} — начало медианного интервала;

h — длина частичного интервала (шаг);

n — объем совокупности;

S_{M_{e}-1} — накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

n_{M_e} — частота медианного интервала.

Определим медианный интервал — интервал, в котором впервые накопленная частота превышает половину объема выборки.Так как объем выборки n=100, то n/2=50. По таблице найдем интервал, где впервые накопленные частоты превысят это значение. Таким является интервал (45,6 — 52,8).

Получаем,

    [M_e(X)=45,6+7,2frac{0,5cdot 100-40}{23}approx 48,7.]

III. Расчет сводных характеристик выборки.

Для определения x_B, D_{B}, sigma_{B} составим расчетную таблицу. Для начала определимся с ложным нулем С. В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту).

Варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю. В нашем случае С=49,2.

Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h.

Условными называют варианты, определяемые равенством:

    [U_i=frac{(x_i-C)}{h}]

Произведем расчет условных вариант согласно формуле:

    [U_1=frac{20,4-49,2}{7,2}=-4]

    [U_2=frac{27,6-49,2}{7,2}=-3]

    [U_3=frac{34,8-49,2}{7,2}=-2]

    [U_4=frac{42-49,2}{7,2}=-1]

    [U_5=frac{49,2-49,2}{7,2}=0]

    [U_6=frac{56,4-49,2}{7,2}=1]

    [U_7=frac{63,6-49,2}{7,2}=2]

    [U_8=frac{70,8-49,2}{7,2}=3]

    [U_9=frac{78-49,2}{7,2}=4]

N п/п

Середины интервалов,

x_{i}^{*}

Частоты интервалов,

n_i

Условные варианты,

U_i

Произведения частот и условных вариант,

n_icdot U_i

Произведения частот и условных вариант,

n_icdot U_i^2

Произведения частот и условных вариант,

n_icdot U_i^3

Произведения частот и условных вариант,

n_icdot U_i^4

Произведения частот и условных вариант,  

n_icdot (U_i+1)^2

Произведения частот и условных вариант,

n_icdot(U_i+1)^4

1 20,4 1 -4 -4 16 -64 256 9 81
2 27,6 9 -3 -27 81 -243 729 36 144
3 34,8 13 -2 -26 52 -104 208 13 13
4 42 17 -1 -17 17 -17 17 0 0
5 49,2 23 0 0 0 0 0 23 23
6 56,4 18 1 18 18 18 18 72 288
7 63,6 11 2 22 44 88 176 99 891
8 70,8 7 3 21 63 189 567 112 1792
9 78 1 4 4 16 64 256 25 625
    sum=100   sum n_iU_i=-9 sum n_iU_i^2=307 sum n_icdot U_i^3=-69 sum n_icdot U_i^4=2227 sum n_icdot (U_i+1)^2=389 sum n_icdot(U_i+1)^4=3857

    
Контроль:

    [sum n_i U_i^2 + 2sum n_iU_i+n=sum n_i{(U_i+1)}^2]

    [sum n_i U_i^2 + 2sum n_iU_i+n=307+2cdot (-9)+100=389]

    [sum n_i{(U_i+1)}^2=389]

Контроль:

    [sum n_i U_i^4 + 4sum n_iU_i^3+6sum n_iU_i^2+4sum n_iU_i+n=sum n_i{(U_i+1)}^4]

    [sum n_i U_i^4 + 4sum n_iU_i^3+6sum n_iU_i^2+4sum n_iU_i+n=]

    [=2227+4cdot (-69)+6 cdot 307+4cdot (-9)+100=3857]

    [sum n_i{(U_i+1)}^4=3857]

Равенство выполнено, следовательно вычисления произведены верно.

Вычислим условные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков:

    [M_1^{*}=frac{sum n_iU_i}{n}=frac{-9}{100}=-0,09;]

    [M_2^{*}=frac{sum n_iU_i^2}{n}=frac{307}{100}=3,07;]

    [M_3^{*}=frac{sum n_iU_i^3}{n}=frac{-69}{100}=-0,69;]

    [M_4^{*}=frac{sum n_iU_i^4}{n}=frac{2227}{100}=22,27.]

Найдем выборочные среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение :

    [x_{B}=M_1^{*}cdot h+C=-0,09cdot 7,2+49,2=48,552;]

    [D_{B}=(M_2^{*}-{(M_1^{*})}^2)h^2=(3,07-{(-0,09)}^2){7,2}^2approx 158,73.]

    [sigma_{B}=sqrt{D_B}=sqrt{158,73}=12,6.]

Также для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют такие характеристики, как асимметрия и эксцесс.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

    [a_s=frac{m_3}{sigma_B^3}]

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если слева — отрицательна.

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством:

    [e_k=frac{m_4}{sigma_B^4}-3]

где m_4 — центральный эмпирический момент четвертого порядка.

Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Вычисляем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

    [m_3=(M_3^*-3M_1^*M_2^*+2{(M_1^*)}^3)cdot h^3=51,3;]

    [m_4=(M_4^*-4M_3^*M_1^*+6M_2^*{(M_1^*)}^2-3{(M_1^*)}^4)cdot h^4=59580,97;]

Найдем асимметрию и эксцесс:

    [a_s=frac{51,3}{{12,6}^3}=0,026]

    [e_k=frac{59580,97}{{12,6}^4}-3=-0,635]

IV. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.

Проверим генеральную совокупность значений размера прибыли банков по критерию Пирсона chi^2

Правило. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H_o: генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:

    [chi^2_{nabl}=sum frac{ {(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^{'}}]

и по таблице критических точек распределения chi^2, по заданному уровню значимости alpha и числу степеней свободы k=s-3 найти критическую точку chi^2_{kp}(alpha;k), где s — количество интервалов.

Если chi^2_{nabl}<chi^2_{kp} — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если chi^2_{nabl}>chi^2_{kp} — нулевую гипотезу отвергают.

Найдем теоретические частоты n_i^', для этого составим следующую таблицу.

Середины интервалов,

x_{i}^{*}

Частоты интервалов,

n_i

Произведем расчет,

x_{i}^{*}-x_B

Произведем расчет,

V_i=frac{(x_{i}^{*}-x_B)}{sigma_B}

Значения функции Гаусса,

varphi(V_i)

Произведем расчет,

frac{nh}{sigma_B}

Теоретические частоты,

n_i^{'}=57 cdotvarphi(V_i)

20,4 1 -28,152 -2,23 0,0332 57 2
27,6 9 -20,952 -1,66 0,1006 57 6
34,8 13 -13,752 -1,09 0,2203 57 13
42 17 -6,552 -0,52 0,3485 57 20
49,2 23 0,648 0,05 0,3984 57 23
56,4 18 7,848 0,62 0,3292 57 19
63,6 11 15,048 1,19 0,1965 57 11
70,8 7 22,248 1,77 0,0833 57 5
78 1 29,448 2,34 0,0258 57 1
  n=100         sum n_i^{'}=100

   
Вычислим chi^2_{nabl}, для чего составим расчетную таблицу.

N^0 n_i n_i^{'} n_i-n_i^{'} {(n_i-n_i^{'})}^2 frac{{(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^'} n_i^2 frac{n_i^2}{n_i^{'}}
1 1 2 -1 0,5 1 0,5
2 9 6 3 9 1,5 81 13,5
3 13 13 0 0 0 169 13
4 17 20 -3 9 0,45 289 14,45
5 23 23 0 0 0 529 23
6 18 19 -1 1 0,05 324 17,05
7 11 11 0 0 0 121 11
8 7 5 2 4 0,8 49 9,8
9 1 1 0 0 0 1 1
sum 100 100    

Наблюдаемое значение критерия,

chi^2_{nabl}=3,30

  103,30

Контроль:

    [sumfrac{n_i^2}{n_i^{'}}-n=sum frac{{(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^'}]

    [sumfrac{n_i^2}{n_i'}-n=103,3-100=3,3]

    [sum frac{{(n_i-n_i')}^2}{n_i'}=3,3]

Вычисления произведены правильно.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариант) s=9;

    [k=s-3=9-3=6.]

По таблице критических точек распределения chi^2 по уровню значимости alpha = 0,025 и числу степеней свободы k=6 находим chi^2_{kp}(0,025;6)=14,4.

Так как chi^2_{nabl}<chi^2_{kp} — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначительное. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

На рисунке построены нормальная (теоретическая) кривая по теоретическим частотам (зеленый график) и полигон наблюдаемых частот (коричневый график). Сравнение графиков наглядно показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.

График нормальной кривой и полигон наблюдаемых частот

V. Интервальные оценки.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью gamma покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью gamma) математического ожидания (а) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней x_B при известном среднем квадратическом отклонении sigma генеральной совокупности служит доверительный интервал

    [x_B-frac{tsigma}{sqrt{n}}<a<x_B+frac{tsigma}{sqrt{n}},]

где frac{tsigma}{sqrt{n}}=delta — точность оценки, n — объем выборки, t — значение аргумента функции Лапласа phi (t) (см. приложение 2), при котором phi(t)=frac{gamma}{2};

при неизвестном среднем квадратическом отклонении sigma (и объеме выборки n<30)

    [x_B-frac{t_{gamma}cdot S}{sqrt{n}}<a<x_B+frac{t_{gamma}cdot S}{sqrt{n}},]

    [S=sqrt{frac{n}{n-1}D_B}]

где S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, t_{gamma} находят по таблице приложения по заданным n и gamma.

В нашем примере среднее квадратическое отклонение известно, sigma_B=12,6. А также x_B=48,55, n=100, gamma=0,95. Поэтому для поиска доверительного интервала используем первую формулу:

    [x_B-frac{tsigma}{sqrt{n}}<a<x_B+frac{tsigma}{sqrt{n}}]

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения phi(t)=frac{0,95}{2}=0,475. По таблице приложения находим t=1,96. Подставив t=1,96, sigma_B=12,6, x_B=48,55, n=100 в формулу, окончательно получим искомый доверительный интервал:

    [48,55-frac{1,96cdot 12,6}{10}<a<48,55+frac{1,96cdot 12,6}{10}]

    [48,55-2,47<a<48,55+2,47]

    [46,08<a<51,02]

Интервальной оценкой (с надежностью gamma) среднего квадратического отклонения sigma нормально распределенного количественного признака Х по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению S служит доверительный интервал

S(1-q)<sigma<S(1+q),    (при q<1), (*)

0<sigma<S(1+q),      (при q>1),

где q — находят по таблице приложения по заданным n и gamma.

По данным gamma=0,95 и n=100 по таблице приложения 4 найдем q=0,143. Так как q<1, то, подставив S=sqrt{frac{n}{n-1}D_B}=sqrt{frac{100}{99}cdot 158,73}approx 12,66, quad quad q=0,143 в соотношение (*), получим доверительный интервал:

    [12,66(1-0,143)<sigma<12,66(1+0,143)]

    [10,85<sigma<14,47]

Длина – частичный интервал

Cтраница 1

Длины частичных интервалов должны быть настолько малыми, чтобы внутри каждого из них плотность вероятностей f ( t) не слишком сильно менялась; с другой стороны, количество наблюдении в каждом частичном интервале не должно быть слишком малым. Затем проводят плавную кривую у f ( x) таким образом, чтобы площадь, расположенная между крииой и осью абсцисс, как можно меньше отличалась от суммы площадей прямоугольников.
 [1]

Если число точек деления неограниченно возрастает, а длина наибольшего частичного интервала стремится к нулю для всего интервала [ а, Ь ], то то же самое, очевидно, будет выполняться и для интервалов [ а, с ] и [ с, Ь ]; при этом первая сумма стремится к интегралу в пределах от а до с, а вторая – к интегралу в пределах от с до Ь, и мы получаем требуемое равенство.
 [2]

Если число точек деления неограниченно возрастает, а длина наибольшего частичного интервала стремится к нулю для всего интервала [ а, Ь, то то же самое, очевидно, будет выполняться и для интервалов [ а, с ] и [ с, Ь, при этом первая сумма стремится к интегралу в пределах от а но с, а вторая – к интегралу в пределах от с до Ь, и мы получаем требуемое равенство.
 [3]

Это значит, что при построении интегральной суммы разность х – xi 1 уже не является длиной частичного интервала, а отличается от нее знаком.
 [4]

Определенным интегралом называется предел, к которому стремится и-я интегральная сумма ( А) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.
 [5]

Определенным интегралом называется предел, к которому стремится – я интегральная сумма ( А) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.
 [6]

Сформулированная выше замечательная теорема показывает, что для непрерывных функций разница между этими суммами стирается по мере возрастания числа точек деления и убывания длины наибольшего частичного интервала, совсем исчезая в пределе.
 [7]

При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой ( особенно при малом числе интервалов), делают поправку Шепиарда, а именно вычитают из вычисленной дисперсии 1 / 12 квадрата длины частичного интервала.
 [8]

При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой ( особенно при малом числе интервалов), делают поправку Шеппарда, а именно вычитают из вычисленной дисперсии 1 / 12 квадрата длины частичного интервала.
 [9]

Точно эти интервалы определяются в цикле по А. В строке 1020 вычисляется текущее значение верхней границы частичного интервала. После того как найдена длина частичного интервала Н, оператором GOSUB 5000 вызывается подпрограмма для решения системы дифференциальных уравнений.
 [10]

Если этого не предусмотреть, то может так случиться, что ступенчатая фигура не будет неограниченно приближаться к криволинейной трапеции. Тогда ломаная может неограниченно приближаться к дуге А0Ап 1 заданной линии yf ( x), но вовсе не будет приближаться к дуге Ап гАп и постоянная часть трапеции х 1Ап 1АПЬ не будет при этом процессе покрываться нашими фигурами. Таким образом, по площадям этих фигур мы никак не сможем определить площадь трапеции. Если же указать, что длина наибольшего частичного интервала стремится к нулю, то из этого следует, что число л частичных интервалов неограниченно возрастает.
 [11]

Если этого не предусмотреть, то может так случиться, что ступенчатая фигура не будет неограниченно приближаться к криволинейной трапеции. Тогда ломаная может неограниченно приближаться к дуге A0An i заданной линии yf ( x), но вовсе не будет приближаться к дуге Ап гАп и постоянная часть трапеции xn 1An 1Anb не будет при этом процессе покрываться нашими фигурами. Таким образом, по площадям этих фигур мы никак не сможем определить площадь трапеции. Если же указать, что длина наибольшего частичного интервала стремится к нулю, то из этого следует, что число л частичных интервалов неограниченно возрастает.
 [12]

Страницы:  

   1

Добавить комментарий