Длина интервала убывания функции как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Функция убывает, когда первая производная отрицательная, найдём этот промежуток:

$y=left(x^2+3x-39right)e^x;\ y'=left(x^2+3x-39right)'cdot e^x+left(x^2+3x-39right)cdot left(e^xright)'=\ =left(2x+3right)e^x+left(x^2+3x-39right)e^x=\ =e^xleft(x^2+2x+3x+3-39right)=e^xleft(x^2+5x-36right)$

найдём промежутки убывания

$y'=e^xleft(x^2+5x-36right);\ e^xgeq0;\ x^2+5x-36=0;\ D=25+144=169=(pm13)^2;\ x_1=frac{-5-13}{2}=-frac{-18}{2}=-9; x_2=frac{-5+13}{2}=-frac{8}{2}=4;\$

если возьмём ноль, то увидемю что производдная =-36<0, то-есть при [-9;4], данная функция убывает<br>длина промежутка равна(4-(-9)=13)(легко заметить, что арифметический корень с дискриминанта, делённый на первый коэфициент

и есть длина нашего промежутка)

$x_1=frac{-b}{2cdot a}-frac{sqrt{D}}{2cdot a};\ x_2=frac{-b}{2cdot a}+frac{sqrt{D}}{2cdot a};\ Delta x=x_2-x_1=-frac{b}{2a}+frac{sqrt{D}}{2a}+frac{b}{2x}+frac{sqrt{D}}{2a}=\ =frac{sqrt{D}}{a}$

мохинсан_zn
Бакалавр

(11.1k баллов)

31 Март, 18

$y'=(2x+3)e^x+(x^2+3x-39)e^x=e^x(x^2+5x-36)=\\=e^x(x-4)(x+9)$

ф-ция убывает, где производная не больше нуля

т.к. e^x >0 при всех икс, можно на него подулить обе части неравенства и знак не изменится

$(x-4)(x+9) leq 0\xin[-9,4]$

ответ 13

Лотарингская_zn
Кандидат Наук

(30.1k баллов)

31 Март, 18

Источник

Интервалы возрастания и убывания функции

С помощью данного сервиса можно найти интервалы возрастания и убывания функции в онлайн режиме с оформлением решения в Word.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Исследование функции с помощью производной

Определение: Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство: f(x₀)>f(x).

Определение: Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство: f(x₀)<f(x).

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

Найти производную функции f′(x).
Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x³–3x².

Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x²–6x.

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x²–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

`x`	(-∞, 0)	0	(0, 2)	2	(2, +∞)
`f′(x)`	+	0	–	0	+
`f(x)`	возрастает	max	убывает	min	возрастает

f(0) = 0³ – 3*0² = 0

f(2) = 2³ – 3*2² = -4

Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);

точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

Найти производную f′(x).
Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
Найти вторую производную f″(x).
Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f”(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x² – 2x – 3.

Решение: Находим производную: f′(x) = 2x – 2.

Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.

Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: f_min = f(1) = -4.

Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

Источник

Вспомним зависимость между знаком производной и поведением функции:

Знак производной	Поведение функции
Если (displaystyle f^{prime}(x_0)> 0) для любого (displaystyle x_0in (a;, b))	то функция (displaystyle f(x)) возрастает на (displaystyle (a;, b))
Если (displaystyle f^{prime}(x_0)< 0) для любого (displaystyle x_0in (a;, b))	то функция (displaystyle f(x)) убывает на (displaystyle (a;, b))