Длина предпериода как найти

Храброе Александр Игоревич

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ

1.00000

9_ 10 9_ 10 9_ 10 9_ 10 9

С периодическими дробями школьники впервые встречаются достаточно рано. Почти каждый, научившись делить в столбик, делал маленькое открытие: если поделить единицу на тройку, то в частном будут последовательно возникать все новые и новые тройки и этот процесс никогда не закончится. Многим это удавалось как-нибудь для себя объяснить. Кто-то двигался дальше и делил единицу на шестерку и обнаруживал, что повторение начинается только со второй цифры. Вопросы, связанные с периодическими дробями даже входят в школьную программу, но на их обсуждение у учителей обычно не хватает ни времени, ни учебного материала. Надеюсь, что эта статья поможет лучше познакомиться с периодическими дробями и вообще с понятием периодичности. В ней мы расскажем о том, почему возникают периодические дроби, о свойствах, которыми они обладают, и об алгоритмах, помогающих научить машину работать с ними. Все приводимые программы записаны на Паскале с использованием лишь

..если побелить единицу На

3 самых простых конструкции. 0.3333… С одной стороны, это позволяет использовать их просто как записи алгоритмов, с другой стороны, если их набрать на компьютере, добавив стандартное описание переменных, то можно будет сразу посмотреть на них в действии. В дальнейшем из-Г ложении нам понадобятся неко-

торые сведения из элементарной теории чисел. Приведем их кратко, без доказательств. Все подробности читатель может узнать из замечательной книжки И.М. Виноградова «Основы теории чисел».

Определение. Если разность целыгх чисел a и b делится на натуральное число m, то числа a и b называются сравнимыми по модулю m. Это записывается следующим образом: a ° b (mod m).

Определение. Функцией Эйлера j (п) называется количество чисел из множества 0, 1, 2, …, n — 1, взаимно простых с п.

Теорема Эйлера. Если m > 1 и числа a и m взаимно просты, то

a j(m) = 1 (mod m).

Теорема Ферма. Если p — простое число и a не делится на p, то ap-1 ° 1 (mod p).

Определение. Число п называется показателем, к которому принадлежит a по модулю m, если п является наименьшим натуральным числом, для которого имеет место сравнение

an ° 1 (mod m).

Легко показать, что показатель числа а всегда является делителем ф (т).

ПОЧЕМУ ВОЗНИКАЮТ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ

Возьмем несократимую обыкновенную дробь а, у которой знаменатель не Ь

делится ни на 2, ни на 5, а числитель меньше знаменателя. Поделим в столбик числитель на знаменатель, то есть последовательно произведем действия

10а = + Г1

10^ = Ь#2 + г2

10^„-1 = Ч + г„,

где гк, это остатки от деления чисел на Ь, то есть числа, удовлетворяющие условию 0 < гк < Ь. Далее, поскольку а < Ь и гк < Ь, то все #к будут меньше 10 и, следовательно, являются цифрами частного от деления а на Ь.

Предположим, что числа гп и Ь имеют общий делитель ^ Заметим, что d ф 2, d ф 5, поскольку Ь не делится ни на 2 ни на 5. Тогда из равенства 10 г п -1 = Ь^п + гп следует, что гп-1 делится на d, из равенства 10 гп-2 = 4-1 + гп-1 – гп-2 следует что делится на d. Продолжая этот процесс дальше, получим, что и а делится на ^ откуда d = 1. Таким образом, мы получили, что все остатки гп взаимно просты с Ь, поэтому число различных остатков гп не превосходит ф(Ь).

Отсюда мы можем заключить, что в бесконечной последовательности остатков гп обязательно найдутся два равных, причем остатки начнут повторяться не позже чем через ф(Ь) шагов. А исходя из формулы 10гк-1 = Ь^к + гк, можно заключить, что ровно с этого же момента начнут повторяться и цифры #к в десятичном разло-

жении дроби

Ь

Выясним теперь чему равна длина периода. Для этого рассмотрим остатки, получающиеся при последовательном делении чисел 10а, 102а, 103а, …, 10па на Ь. Несложно показать, что они равны г1, г2,

…6- беаса№г&ш мслерабг&ы&Косеии осенленк&б обязательна рлбямх,

г3, …, гп. Когда в этой последовательности впервые получится остаток а, показатель п будет равен длине периода, а дальнейшие остатки будут повторяться:

Гп = a, Гп+1 = 1 Гп+2 = Ъ

и получившаяся десятичная дробь 0,4,14,24,3…4,п4,14,24,3-“4,п будет периодической. Таким образом, число цифр в периоде дро-а

би ь будет равна наименьшему показателю т, для которого 10та — а делится на Ь. Поскольку мы рассматриваем только несократимые дроби, то и число 10т — 1 делится на Ь. Отсюда заключаем, что длина периода равна показателю, к которому принадлежит 10 по модулю Ь. Итак, нами доказана

Теорема. Любая обыкновенная дробь

а

Ь, знаменатель которой не делится ни на 2 ни на 5, будет давать периодическую десятичную дробь. Длина периода этой дроби равна показателю, к которому принадлежит 10 по модулю Ь.

Эта теорема позволяет находить длины периодов дробей, знаменатель которых взаимно прост с 10.

фробеей..

Упражнение 1. Напишите программу, вычисляющую длину периода дроби со знаменателем b. Обратите внимание на то, что вычисляемый показатель п может быть достаточно большим для прямого вычисления 10п. Например, у дроби 1/19 длина периода составляет 18 цифр.

Решение:

k:=1; r:=10;

while r <> 1 do begin r:=(10*r) mod b; k:=k+1; end; write (k);

Упражнение 2. Напишите программу, последовательно выводящую на экран

a

десятичные знаки дроби —.

Решение: write (“0,”); l:=0; r:=1;

while l <> k do begin

write ((10*r) div b); r:=(10*r) mod b; l:=l+1; end;

Упражнение 3. Как нужно изменить алгоритмы из упражнений 1—2, если дроби считаются в системе счисления с основанием q ?

Предположим теперь, что знамена-a

тель дроби — произволен. Тогда b можно

представить в виде 2х • 5 у • B. Обозначим наибольшее из чисел х и у через z и рассмотрим несократимую дробь

…длиНа предпериода ра&На Наибольшему uf чисел x и y.

10 z • a = 2 z- x • 5 z- y • a = A b B B’

знаменатель которой взаимно прост с 10. 10z■a A

Тогда дробь —-— = — даст периодическую

b B десятичную дробь

k1 k2 ••• kz > q.1 q.2 ••• q.n q 1 q.i ■■■ qn •••>

длина периода которой равна показателю, к которому принадлежит 10 по модулю B. При обращении дроби в десятичную получится

к 1 k2 ••• kz q q-2 ••• qn q 1 q 2 ••• qn,

Таким образом, нами доказана Теорема. Любая обыкновенная дробь

a

—, знаменатель которой имеет вид 2х • 5y • B,

будет давать периодическую десятичную дробь. Длина периода этой дроби равна показателю, к которому принадлежит 10 по модулю B, а длина предпериода равна наибольшему из чисел х и у.

Таким образом, для нахождения длины периода и предпериода произвольной несократимой дроби можно сначала выделить из ее знаменателя степени двойки и пятерки, (таким образом найти число B) и, согласно упражнению 1, вычислить показатель, к которому принадлежит 10 по модулю B.

Упражнение 4. Напишите программу, вычисляющую длины периода и пред-периода согласно этой схеме.

Решение:

{Выделение из знаменателя дроби} {наибольшей степени двойки } s:=b mod 2; l:=0;

while s = 0 do begin b:=b div 2; s:=b mod 2; l:=l+1; end;

{Выделение из знаменателя дроби} {наибольшей степени пятерки} s:=b mod 5; l1:=0;

while s = 0 do

begin b:=b div 5; s:=b mod 5; l1:=l1+1; end;

{Вычисление длины периода дроби} {с новым знаменателем} k:=1; r:=10;

while r <> 1 do begin r:=(10*r) mod b; k:=k+1; end;

writeln (k) ; {Длина периода данной} {дроби}

if l1 > l then writeln (l1)

else writeln (l); {Наибольшее из} {чисел l и l1 s длина} {предпериода данной дроби}

Однако получившаяся программа оказалась весьма большой. Попробуем придумать другой способ для нахождения длины периода в десятичной записи обыкновенной дроби. Для этого забудем про то, что он равен показателю 10 по модулю b и вспомним другие его свойства. Мы установили, что повторение остатков rk влечет за собой повторение цифр в десятичном представлении обыкновенной дроби. Также мы выяснили, что в последовательности остатков все периодически повторяющиеся члены различны. Поэтому достаточно найти такое k, что rn+k = rk, где n — произвольное число, большее длины пред-периода. Легко показать, что длина пред-периода не может быть больше знаменателя (можно даже доказать, что она не превосходит n = log2 b = ln b/ln 2 ).

Программа, выполняющая требуемые действия, написанная на Паскале, будет выглядеть так: r:=a;

for l:=0 to round (ln(b)/ln(2)) do

r:=(10*r) mod b; q:=r;

{ q – n-тый член последовательности} {остатков, где n = log2 b} r:=(10*r) mod b; k:=1;

{ r – (n+^-тый член} {последовательности остатков}

while r <> q do begin r:=(10*r) mod b; k:=k+1; end; write (k);

ТЕОРЕМА О ПЕРИОДИЧНОСТИ

И АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ДЛИНЫ ПЕРИОДА

Теорема. Предположим, что M — множество из конечного числа элементов, а f — функция из M в M. Тогда при всех x из M последовательность элементов x, f (x), f ( f (x)), f ( f ( f (x))), начиная с некоторого момента, станет периодичной. Кроме того, если при различных x и y элементы f (x) и f (y) также различны, то период начинается с первого члена.

Давайте докажем это утверждение. Для краткости обозначим x0 = x, x1 = f (x), x2 = f (f (x)) и т. д., n-ый член последовательности будет определяться по формуле xn = f (xn-1). Заметим, что совпадение членов последовательности вызывает совпадение и следующих за ними, а значит, и всех последующих. Таким образом, достаточно показать, что когда-нибудь очередной член последовательности станет равным одному из предыдущих. Но иначе и быть не может, поскольку различных членов последовательности может быть только конечное число, а сама последовательность бесконечна. Здесь мы воспользовались принципом Дирихле. Заодно мы доказали, что последовательность начнет повторяться не позже члена, номер которого равен числу элементов множества M.

Предположим, что при различных x и y элементы f (x) и f (y) различны, но за-

рассмотрим пари последовательных остатков,,.

цикливание началось с члена хк, где к > 1, иными словами, хк = хк+п, но хк-1 Ф хк+п-1. Тогда если взять различные элементы х = хк-1 и у = хк+п-1, то получим, что элементы / (х) = хк и / (у) = хк+п также различны. Противоречие. Теорема о периодичности полностью доказана.

Обычно при использовании теоремы о периодичности для некоторой последовательности хк в качестве множества М приходится использовать не множество возможных значений последовательности хк, а некоторое большее вспомогательное множество. Например, множество остатков при доказательстве периодичности десятичных дробей или пар остатков как в упражнении 6.

Упражнение 5. Выведите из теоремы о периодичности периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби.

Упражнение 6. Докажите, что последовательность остатков от деления чисел Фибоначчи на натуральное число п периодична и длина ее периода не превосходит п2. Напишите программу, вычисляющую длину периода. Напомним, что числа Фибоначчи определяются, исходя из формУл: Р1 = Р2 = 1 = ^п-1 + К*

Решение: Рассмотрим пары (ип, ип+1) последовательных остатков от деления чисел Фибоначчи на п и функцию / заданную на множестве всех пар чисел от 1 до п — 1 и определяемую формулой / (и, V) = (V, -), где число — равно остатку от деления суммы и + V на п. Тогда (ип, ип+1) = /(ип-1, ип). По теореме о периодичности мы заключаем, что, начиная с некоторого момента, пары чисел (ип, ип+1) начнут повторяться, причем последовательность будет чисто периодической.

=1 =2 =1

while (p <> 1) or (q <> 1) do {Пара p, q s n-тый член} {последовательности пар остатков}

begin r:=p;

p:=(q+r) mod n;

q:=r;

{Вычисление новой пары остатков p,q} k:=k+1; end; write (k);

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Предположим, что множество M из теоремы о периодичности является подмножеством множества целых чисел. Построим алгоритм для определения длины периода в последовательности чисел xn. Для этого заметим, что все числа из периода и предпериода последовательности различны. Поэтому, если мы найдем в последовательности равные числа, то расстояние между ними будет кратно периоду. Будем последовательно вычислять пары чисел хк и х2к исходя из формул хк+1 = f (xk) и

2k+2

=f (f (х2к)). Когда окажется хк = х

2к

число к будет кратно периоду. (Приведите пример функции, для которой найденное число к не будет равно периоду). Далее, пос-

ледовательно вычисляя числа х

к+1′

4+2′

найдем наименьшее т, для которого хк = , оно и будет длиной периода после-

к+l

довательности х

к

k p

q {

= 1; = f(a); = f(f(a));

p =

q =x2k }

while p <> q do begin

= f(p); = f(f(q)); = k+1;

p q

k end

{Мы нашли k, такое, что p = xk = x2k,} {поэтому xk входит в периодическую} {часть и длина периода не больше k} m := 1;

q := f(p);

while p <> q do begin

q := f(q); {q = Xk+m}

m:=m+1; end;

{Мы нашли наибольшее m, такое, что} {числа xk, xk+1, …, xk+m-1 различны,} {поэтому период равен m }

Упражнение 7. Приведите пример

функции f, позволяющей вычислять при

помощи описанного алгоритма длину пе-а

риода дроби ь.

Решение: Например, подходит функция f, переводящая число x в остаток от деления числа 10x на b.

Упражнение 8. Обозначим через f (n) сумму k-тых степеней цифр числа n.

а) Докажите, что для любого натурального числа n бесконечная последовательность n, f (n), f (f (n)), f (f (f (n)))… периодична.

б) Докажите, что у этой последовательности может быть сколь угодно длинный предпериод.

в) Напишите программу, при фиксированных k и n вычисляющую длину периода данной последовательности.

Лодсказка. Покажите, что для любого k найдется такое m, что сумма k-тых степеней цифр любого m-значного числа будет состоять из не более чем m знаков.

Упражнение 9. Докажите, что остатки от деления чисел nn на простое числоp образуют чисто периодическую последовательность. Напишите программу, вычисляющую длину периода этой последовательности.

Лодсказка. Из теоремы Ферма следует, что np-1 ° 1 (mod p), откуда nn ° nm ° km (mod p), где k — остаток от деления n на p, а m — остаток от деления n на p — 1. Отсюда следует, что в качестве множества M из теоремы о периодичности можно взять множество пар (k, m), где k принимает значения от 1 до p, а m от 0 до p – 2.

КВАДРАТИЧНЫЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

Определение. Иррациональный корень квадратного уравнения с целыми ко-

“Ирибефи&е пример пл^баол&ющей

при помощи описаЯЛагл алгоритма, флиЯу периода фроби…

эффициентами называется квадратичном иррациональностью. Иными словами квадратичная иррациональность — число, имеющее вид

р + У Р Ч

где числа р и # — целые, а Б — натуральное число, не являющееся точным квадратом.

Определение. бесконечном ценном дробью называется выражение вида

1

ао +-1-

а1 +-1-

а2 +–

а3 + к

где а0 — целое число, а все остальные ап — натуральные числа.

Теорема. Для любого иррационального числа х0 существует разложение в бесконечную цепную дробь.

Мы не будем доказывать эту теорему, а лишь опишем алгоритм построения цепных дробей, отвечающих заданному числу х0. Читатели, интересующиеся доказательством этой теоремы, могут обратиться к книге Хинчина «Цепные дроби» или к книге Бухштаба «Теория чисел».

Для простоты предположим, что х0 > 1. Обозначим через а0 целую часть х и

возьмем х = —1— > 1. Поскольку х0 ир-

Х0 — а0

рационально, то х1 также будет иррацио-

^есканегной цепком уро&ш нальным числом, большим 1. Положим

a1 = [x1]* и x =

1

x2, тогда x2 — ир-

а1

рациональное число, большее 1. Продолжим этот процесс далее, то есть выполним последовательно операции 1

Х0 = а0 +

X = а1 +

xi ‘ J_

Х2 1_

Хз

x = а + –

n n

Хи-

ао [ x0

#2 [ x2

= [ xn ].

Если при помощи полученной последовательности натуральных чисел а0, а1, а2, … составить цепную дробь

1

а1 +-

1

а2 +-

1

(1)

то она будет равна x0

Теорема Лагранжа. Всякая квадратичная иррациональность дает в разложении периодическую цепную дробь. И обратно, всякая периодическая цепная дробь является разложением некоторой квадратичной иррациональности.

Упражнение 10**. Выведите теорему Лагранжа из теоремы о периодичности.

Лодсказка. Предположим, что х0 является корнем уравнения ах2 + Ьх + с = 0. Покажите, что числа хк из алгоритма разложения являются корнями квадратных уравнений вида Ак х2 + Вк х + Ск = 0, где все Ак и Ск не превосходят 2|а х0| + |а| + |Ь| и удовлетворяют тождеству Вк2 — 4АкСк = = Ь2 — 4ас. Откуда следует, что различных чисел в последовательности {хк} — конечное число.

Упражнение 11*. Напишите программу, вычисляющую длину периода и находящую сам этот период для цепной дроби, построенной для квадратичной иррациональности вида лТо , где Б — натуральное число, не являющееся точным квадратом.

Лодсказка. Числа ак и хк, участвующие в алгоритме построения цепной дроби можно определить исходя из формул (докажите это!):

[xk], xu =

b +VD k

где первые два члена последовательностей {Ьк} и {ск} определяются по формулам

‘1=

b2 #1С1

‘1 и С1

= D —

c2 = 1 — a12c1 + 2a1b1, а остальные удовлет-

bn+1 = OA, — bn и

“^апиииЛе программу, ё-игисл&ющую fyMiMf периода

воряют соотношениям

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

c„+1 = c„-1 — 0,4 + 2 aA.

Вывод этих формул, разнообразные примеры разложений чисел в цепные дроби и нахождение этих разложений для чисел специального вида, а также множество интересных вопросов, близких к настоящей статье рассматривается в книге Вацлава Серпинского «Элементарная теория чисел» (Waclaw Sierprcski «Elementary

Квадратные скобки, как обычно, обозначают целую часть числа.

ао +

а3 + к

theory of numbers»), к сожалению, не переведенной на русский язык.

Упражнение 12**. Напишите программу, вычисляющую длину периода цепной дроби, построенной для данной квадратичной иррациональности, заданной при помощи трех натуральных чисел p, q и D по формуле

p + VD .

q

Проверить правильность разложений квадратичных иррациональностей в цепную дробь уже не так просто, как правильность разложений рациональных чисел в десятичную дробь, поэтому приведем несколько таких разложений. Они могут пригодиться для проверки правильности работы программы.

л/7 = (2; 1,1,1, 4) длина периода 4; л/41 = (6; 2, 2,12) длина периода 3; л/925 = (30; 2, 2, 2, 2, 60) длина периода 5;

л/2081 = (45; 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 90)

длина периода 11;

1 + 413 = (1; 1, 6,1,1,1) длина периода 5;

Запись X = (¿0; ¿1, ¿2, ¿3, ¿4, к, Ь„ ) соответствует цепной дроби (1), где числа ат при т > п определяются по периодичности, то есть ак+п = ак при к = 1, 2, …, п.

© Наши авторы, 2004. Our authors, 2004.

Храброе Александр Игоревич, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры анализа СПбГУ.

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Сумма цифр периода в форуме Интересные задачи участников форума MHP	Human	1	384	15 янв 2016, 00:18
Тотал периода баскетбола в форуме Теория вероятностей	_Alina_	3	166	26 ноя 2019, 10:34
Функция распределения периода маятника в форуме Теория вероятностей	luminoforest	1	296	27 мар 2020, 02:59
Определение периода ряда фурье в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования	Slambersd	12	381	26 май 2019, 20:37
Вычисление периода дифракционной решетки в форуме Оптика и Волны	Silver	0	962	15 май 2016, 09:58
Доверительный интервал длительности периода в форуме Теория вероятностей	kanunnikovaoa	8	567	06 июн 2014, 00:41
У какого элемента четвертого периода — хрома или селена в форуме Химия и Биология	renat 77	0	979	22 май 2013, 14:55
Найти длину в форуме Геометрия	marinaqwert	5	168	21 окт 2019, 21:29
Найти значение бесконечной цепной дроби в форуме Теория чисел	Login V	1	376	13 фев 2017, 16:39
Как найти производную дроби, где в числителе произведение? в форуме Дифференциальное исчисление	illiuhaWIN	4	249	23 дек 2019, 18:03

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Любое
рациональное число может быть записано
в виде конечной или бесконечной
периодической дроби в любой m-ичной
позиционной системе счисления. Вm-ичной
записи числа

A
=
= ,

где 0 < A
< 1, повторяющаяся
последовательность цифр а₁…а_k
называется периодом, а расположенная
перед ней после запятой последовательность
b₁…b_l
– предпериодом. Длина периода и
предпериода – это число цифр в них.
Дробь называется чисто периодической,
если предпериод в ней отсутствует.

Теорема
9.1.Если у рационального числа,
записанного в виде несократимой дроби,
знаменательbвзаимно
прост с основанием системыm,
тоАзаписывается в виде чисто
периодическойm-ичной
дроби, длина периодаk
которой есть порядок числаmпо модулюb.

Если
знаменатель дроби не взаимно прост с
основанием системы m,
то домножаем числитель на такую степеньm, чтобы после сокращения
со знаменателем в знаменателе осталось
число, взаимно простое сm.
Эта степень и есть длина предпериода.
Если при этом в знаменателе останется
1, тоm-ичная дробь
будет конечной. Если знаменатель будет
больше 1, то длина периода определяется
с помощью теоремы 9.1. по получившейся
дроби.

Пример
9.1. Найти длину предпериода и периода
при разложении числав
14-ричную дробь.

Решение.
Имеем (36, 14) = 2 > 1. Поэтому производим
преобразования:

.

Заключаем,
что длина предпериода равна 2. Для
нахождения длины периода вычисляем
порядок O(14 mod
9). Имеем (9)
= 6, поэтому искомый порядок есть делитель
числа 6. Проверяем последовательно эти
делители:

14¹5 (mod 9);

14²5² 25-2(mod 9);

14³=
14²14(-2)5
-10-1(mod 9);

14⁶

(-1)²

1(mod 9).

Следовательно,
длина периода равна 6.

Упражнение9.1.
Найдите длину предпериода и периода
при разложении числаAвm-ичную дробь:

а)
,m= 15; б),m= 14; в),m= 12.

Задания к контрольной работе

В
качестве a и b
возьмите соответственно предпоследнюю
и последнюю цифры номера зачетной
книжки.

1.
Разложите на простые множители число
1501 + 30(a + b).

2.
Найдите НОД(150 + a, 85 +b) и его линейное
представление.

3.
Запишите в виде цепной дроби число
.

4.
Сверните цепную дробь: [2; a+ 1, 10 –b, 2].

5.
Переведите число из одной системы в
другую:
;.

6.
Вычислите функцию Эйлера (20
+ 10a+b).

7.
Решите сравнения: а) (45 + a)х11 +b(mod 73);

б) 14х3 +b(mod (16 + 2a));в)
14х2 +b(mod
(16 + 2a)).

8. Найдите первообразный корень по
модулю 13, постройте таблицу индексов
по этому модулю и решите с помощью нее
сравнения:

а)
(27 + b)х
 12
(mod 13);

б)
(а +
3)х¹⁰
 12 –
b (mod
13);

в)
(а +
3)х¹⁰
 1 +
b (mod
13).

9.
Найдите длину предпериода и периода
при разложении числа
в 14-ричную дробь.

Л и т е р а т у р а:

1. Куликов
   Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., «Высшая
   школа», 1979.

2. Кудреватов
   Г.А. Сборник задач по теории чисел. М.,
   «Просвещение», 1970.

Содержание

1.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 3

2.
НОД и НОК 3

3.
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 5

4.
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 6

5.
ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 7

6.
СРАВНЕНИЯ 7

7.
РЕШЕНИЕ СРАВНЕНИЙ 9

8.
ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ 11

9.
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ 13

Учебное
издание

Решение задач по
алгебре для 3 курса ОЗО факультета
математики и информатики

Составитель

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #