Добротность осциллятора как найти – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как
видно из формулы (21), добротность
определяется собственной частотой ₀
и активной
составляющей импеданса 
(сопротивлением среды). Получим еще одно
выражение для добротности осциллятора,
непосредственно связанное с зависимостью
поглощения энергии осциллятором от
частоты вынуждающей силы.

Предварительно
определим энергию, передаваемую
вынуждающей силой осциллятору, за
единицу времени. За период осциллятор
получает энергию, определяемую выражением
(17*) (см § 2.8).
За единицу времени энергия, передаваемая
осциллятору (мощность P,
передаваемая осциллятору), равна:

P
=
=

=

=

, (23)

т.к. 
=

и cos
=
=

(см.
рис. 14).
Импеданс минимален при условии
(т.е. при=₀).При этом
условии 
= 
и
осциллятору
передается максимальная мощность. При

= ₀
наблюдается
резонансное поглощение энергии.
Резонансная
мощность поглощения
имеет вид:

P_р
=
.
(24)

Напомним, при
условии 
= ₀
наблюдаем
резонанс скорости (см
§ 2.7, рис. 19).
Таким образом, при максимальной скорости
осциллятора (при резонансе скорости)
наблюдается максимальное поглощение
энергии (резонанс мощности поглощения),
передаваемое осциллятору внешней
вынуждающей силой. На рисунке
22 приведена
кривая зависимости мощности поглощения
от частоты вынуждающей силы (23). На
рисунке частоты ₁и ₂соответствуют
мощности поглощения, которая равна
половине резонансной мощности.

Покажем, что
добротность осциллятора можно выразить
отношением: Q
=
.
Попутно заметим, разность частот (₂₁)
определяет
остроту
резонансной кривой
(или, как говорят, остроту
резонансного максимума).

Частоты ₁и ₂
находим из условия
=

=
.
Отсюда следует, что при частотах ₁и ₂
имеем равенство:
²
= 2².
Из равенства
=
2²
получим:

= 
.

При ₂
>₁:

=
+
и
=
.

Исключив из этих
уравнений жесткость k,
получим:

₂₁
=
.

Подставим полученное
значение разности частот в формулу
добротности (21):

Q
===.
(25)

Разность частот
(₂₁)
называют частотной
шириной поглощения

Итак, по
остроте резонансной кривой поглощения
можно судить о добротности колебательной
системы: чем
острее резонанс, т.е. чем меньше частотная
ширина поглощения (₂₁),
тем добротнее осциллятор. Например,
добротность кварцевого резонатора,
используемого в прецизионных генераторах
радиочастотного диапазона, достигает
значений ~10⁶.
У таких резонаторов при ₀
= 1МГц ширина частоты
поглощения ~ 1Гц.

При частотах
вынуждающей силы ₁и
₂
осциллятор поглощает в единицу времени
энергию, равную половине резонансной
мощности поглощения при ₀.
Определим значения амплитуды скорости
на частотах ₁и
₂
и сравним их с резонансной амплитудой
скоростью V_p_..

Амплитуда скорости
определяется выражением: V
==
X
(см. уравнение14).
Резонансная скорость (15):
V_р.
=
=

.
Так как
=
+
и
=

то при частотах ₁и ₂
импеданс имеет вид: 
=
=
.

Отсюда следует,
что при частотах ₁и
₂
амплитудное значение скорости:

V
==
=.
(26)

Величина≈
0,707. Интервал(₂₁)
на уровне 0,7
называют еще частотной
шириной пропускания
колебательной
системы по скорости
(рис. 23).
Именно в интервале этих частот вынуждающей
силы колебательная система отвечает
на внешнее воздействие заметной
скоростью. Если частота вынуждающей
силы F
окажется вдали от интервала (₂₁),
то колебательная
система практически не реагирует на
такое внешнее воздействие.

Словарь – основные
понятия теории колебаний
(к главе 2)

Понятие	Содержание понятия
Состояние физической системы	 это некоторая физическая ситуация, реализованная в физической системе. Состояние системы определяется физическими величинами, характеризующими систему. Состояние известно, если известны все эти физические величины. Изменение состояния выражается в изменении динамических переменных системы со временем.
Классификация физических величин в контексте понятия состояния физической системы	1. Параметры физической системы. Параметры характеризуют собственные свойства системы и считаются неизменными при изменении состояния системы. Примером параметров являются масса m, заряд q, разного рода коэффициенты (например, коэффициент трения ). 2. Динамические переменные физической системы определяют состояние системы. Изменение состояния и выражается в изменении этих динамических переменных. Примерами динамических переменных являются координаты (x,y,z), скорость v, ускорение a, сила F , импульс p, энергия E, напряженность электрического поля E, индукция магнитного поля B и т.п.
Периодические колебания динамической переменной системы	Колебание динамической переменной s(t), при котором значение переменной повторяется через равные промежутки времени T , т.е. если s(t) = s(t+nT) для любого значения t, где n = 1, 2, 3 …)
Гармонические колебания	Колебания, совершаемые по закону синуса (косинуса): s(t) = A cos [(t)], где (t) – фаза колебания динамической переменной s(t).
Осциллятор	Колебательная система (как материальный объект), у которой динамические переменные изменяются по некоторому периодическому закону.
Гармонический осциллятор	Колебательная система (как материальный объект), у которой динамические переменные изменяются по синусоидальному закону.
Свободные колебания без трения	Колебания осциллятора, совершаемые только под действием возвращающей силы, возникающей в самом осцилляторе при выведении его из состояния равновесия.
Квазиупругая возвращающая сила	Силы вида F =  kx вне зависимости от природы силы
Период свободных колебаний T	Минимальный промежуток времени, через который значение колеблющейся динамической переменной повторяется вновь
Частота свободных колебаний 	Число колебаний в единицу времени
Амплитуда свободных колебаний	Максимальное значение колеблющейся динамической переменной
Уравнение гармонического колебания динамической переменной	Уравнение колебания динамической переменной осциллятора (например, уравнение x(t) = A cos(t + )), описывающего функциональную зависимость переменной от времени
Динамическое уравнение колебания	Дифференциальное уравнение, раскрывающее причинно-следственные связи в колебательной системе, которые определяют вид колебания, т.е. уравнение колебания
Динамическое уравнение свободных колебаний без трения	Уравнение вида + x = 0 (или в компактной форме записи: ).
Решение динамического уравнения свободных колебаний без трения	x = A cos (₀t + )
Собственная частота колебательной системы (осциллятора)	Частота, определяемая собственными свойствами колебательной системы. Например: собственная частота математического маятника ; собственная частота пружинного маятника= ; собственная частота колебательного контура = .
Динамическое уравнение затухающих колебаний	Уравнение вида (или в компактной форме записи
Решение динамического уравнения затухающих колебаний	x(t) = Ae^^^t cos (^/t + )
Амплитуда затухающих колебаний	Амплитуда затухающих колебаний Ae^^^t уменьшается со временем, где A – начальная амплитуда,  – коэффициент затухания
Частота ^/ и период T затухающих колебаний	^/ = , T = .
Смысл коэффициента затухания 	Коэффициент затухания  равен обратной величине того промежутка времени , за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e  2,7 раз:  =
Время затухания (время релаксации) 	Промежуток времени, через которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e  2,7 раз
Логарифмический декремент затухания 	 = T
Число колебаний N_e за время затухания 	Число колебаний, по завершении которых амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e  2,7 раз
Добротность осциллятора Q	Добротность Q является характеристикой быстроты уменьшения энергии осциллятора при затухающих колебаниях. Добротность может быть выражена в разных формах: Q = =  N_e; Q =  ;Q ==.
Динамическое уравнение вынужденных колебаний	(или в компактной форме записи: )
Гармоническая вынуждающая сила	Вынуждающая сила вида F = F₀ cost.
Уравнение установившегося вынужденного колебания	x(t) = Хcos (t  )
Амплитуда смещения вынужденного колебания	Х = =
Резонанс смещения	X_р. = ==
Импеданс колебательной системы (осциллятора)	Импеданс пружинного маятника  = , импеданс колебательного контура Z = .
Резонанс скорости смещения	V_р. = = = .
Мощность поглощения колебательной системой	P = =
Резонанс мощности поглощения	P_р =
Частотная ширина поглощения мощности по уровню P_p/2	₂₁ = .
Частотная ширина осциллятора по скорости по уровню V_р/	₂₁ = .

1Число динамических переменных,
характеризующих физическую систему,
ничем не ограничено. Однако для задания
состояния системы достаточно знать
только некоторый минимальный набор
динамических переменных. Например,
состояние механической системы в данный
момент времени известно, если известны
координаты и скорости объектов
механической системы. Эти динамические
переменные называютсяпеременными
состояния. Другие динамические
переменные могут быть (если это
необходимо) рассчитаны по уравнениям
связи. Например, если скоростьv
задана, то автоматически известна
и кинетическая энергиюmv²/2,
известен импульсp
= mv(параметр – массаm– считаются заданным). Аналогично,
состояние электромагнитной системы
известно, если известны напряженность
электрического поляE
и индукция магнитного поляB.
Заряды и материальные константы среды
как параметры считаются заданными.
Состояние термодинамической системы
характеризуется температуройT,
внутренней энергией U,
давлениемp, энтропиейS, множеством различных
термодинамических потенциалов. Однако
состояние термодинамической системы
можно задать двумя переменными, например,
температурой и энтропией системы.
Остальные переменные могут быть
рассчитаны.

Соседние файлы в папке ТФП_Учебники

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор.

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) — система, которая при выведении её из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x:

${displaystyle F=-kx}$ ,

где k — постоянный коэффициент.

Если F — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Свободные колебания системы груз—пружина без затухания.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди немеханических аналогов гармонического осциллятора можно выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

Свободные колебания консервативного гармонического осциллятора[править | править код]

Уравнение и его решения[править | править код]

Пусть x — смещение материальной точки относительно её положения равновесия, а F — действующая на точку возвращающая сила любой природы вида

${displaystyle F=-kx}$ ,

где k = const. Тогда, используя второй закон Ньютона, можно записать ускорение как

${displaystyle a=-{frac {k}{m}}x}$ .

Обозначая ${omega _{0}}^{2}=k/m$ и заменяя a на вторую производную от координаты по времени ${ddot x}$ , имеем

${displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}$ .

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Величину $omega_0$ называют угловой частотой. (Угловая частота измеряется в радианах за секунду. Чтобы перейти к частоте, выражающейся в герцах, надо разделить значение угловой частоты на $2pi$ .)

Будем искать решение этого уравнения в виде^[1]

${displaystyle x(t)=Asin left(omega t+varphi right)}$ .

Здесь $A$ — амплитуда, $omega$ — частота колебаний, $varphi$ — начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение и получаем:

${displaystyle {ddot {x}}(t)=-Aomega ^{2}sin(omega t+varphi )}$ ,

${displaystyle -Aomega ^{2}sin(omega t+varphi )+omega _{0}^{2}Asin(omega t+varphi )=0}$ .

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что материальная точка покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t. Таким образом, остаётся условие для частоты колебаний:

$-omega ^{2}+omega _{0}^{2}=0,$

$omega =pm omega _{0}.$

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе здесь знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

Общее решение уравнения записывается в виде:

$x(t)=Asin left(omega _{0}t+varphi right),$

где $A$ и $varphi$ — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям.

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Простое гармоническое движение[править | править код]

Простое гармоническое движение. На этой анимированной картинке по вертикальной оси отложена координата частицы (

x в формуле), а по горизонтальной оси отложено время (

t).

Движение, совершаемое консервативным гармоническим осциллятором, носит название простого гармонического движения. Это движение не является ни вынужденным, ни затухающим.

Оно периодическое: тело колеблется с частотой ω₀ около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же, как и предыдущее; период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными.

Учитывая, что $omega_0 = 2pi f_0$ , получим

${displaystyle f_{0}={frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {k}{m}}}}$ ,

и, поскольку ${displaystyle T_{0}=1/f_{0}}$ , где $T_{0}$ — период колебаний,

${displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {frac {m}{k}}}}$ .

Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями — координатой и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Положение, скорость и ускорение простого гармонического движения на фазовой плоскости

Используя приёмы дифференциального исчисления, можно получить скорость и ускорение материальной точки как функции времени:

${displaystyle v(t)={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=Aomega _{0}cos(omega _{0}t+varphi )}$ ,

${displaystyle a(t)={frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-Aomega _{0}^{2}sin(omega _{0}t+varphi )}$ .

Кинетическая энергия записывается в виде

${displaystyle K={frac {1}{2}}mv^{2}(t)={frac {1}{2}}kA^{2}cos ^{2}(omega _{0}t+varphi )}$ ,

а потенциальная энергия составляет

${displaystyle U={frac {1}{2}}kx^{2}(t)={frac {1}{2}}kA^{2}sin ^{2}(omega _{0}t+varphi )}$ .

Тогда получается, что полная энергия

${displaystyle E={frac {1}{2}}kA^{2}}$

имеет постоянное значение. Это отражает «консервативность» осциллятора, то есть отсутствие энергетических потерь.

Простое гармоническое движение можно рассматривать как математическую модель различных видов движения, таких, например, как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Примеры осцилляторов[править | править код]

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие;
возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Ниже представлено несколько примеров.

Горизонтальная система груз—пружина

Положение, скорость и ускорение гармонического осциллятора

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз—пружина, в которой груз присоединён к пружине и находится на горизонтальной поверхности. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил и он находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется и с её стороны будет действовать сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз—пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:

${displaystyle F=-kx}$ ,

где k имеет вполне конкретный смысл — это коэффициент жёсткости пружины.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Если нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение является периодическим.

Вертикальная система груз—пружина

Простое гармоническое движение, показанное одновременно в реальном пространстве и в фазовом пространстве. Real Space — реальное пространство; Phase Space — фазовое пространство; velocity — скорость; position — положение (позиция).

В случае вертикально подвешенного на пружине груза, наряду с силой упругости, действует сила тяжести, то есть суммарно сила составит

${displaystyle F=-kx-mg}$ .

Если сделать замену переменной, чтобы оперировать не величиной $x$ , а величиной ${displaystyle X=x+mg/k}$ , то уравнение движения примет вид, идентичный случаю горизонтальной геометрии, только для переменной $X$ .

Колебания будут происходить с той же частотой ${displaystyle omega _{0}={sqrt {k/m}}}$ . Однако, если в горизонтальном случае равновесию отвечало состояние недеформированной пружины, то в вертикальном варианте пружина в равновесии будет растянута. Зависимости частоты от величины ускорения свободного падения $g$ при этом нет; $g$ влияет лишь на сдвиг положения равновесия ${displaystyle mg/k}$ .

Измерения частоты (или периода) колебаний груза на пружине используются в устройствах для определения массы тела — так называемых массметрах, применяемых на космических станциях, когда весы не могут функционировать из-за невесомости.

Универсальное движение по окружности

Движение по кругу и гармоническое движение

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерную проекцию универсального движения по окружности.

Если объект движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса r, центром которой является начало координат плоскости x − y, то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω.

Груз как простой маятник

Простое гармоническое движение маятника без затухания.

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ, даётся формулой

${displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {frac {ell }{g}}}}$ .

где g — ускорение свободного падения. Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от g, поэтому, при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

${displaystyle -ell mgsin theta =I{ddot {theta }}}$ ,

где I — момент инерции; в данном случае I = m ℓ ². Небольшие углы реализуются в условиях, когда амплитуда колебаний значительно меньше длины стержня. Наличие минуса отражает тот факт, что сила стремится приблизить тело к положению равновесия.

Когда угол θ мал, можно считать, что sin θ ≈ θ, и выражение принимает вид:

${displaystyle -ell mgtheta =I{ddot {theta }}}$ ,

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ, а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

Свободные колебания гармонического осциллятора с затуханием[править | править код]

Уравнение и его решения[править | править код]

При рассмотрении осциллятора с затуханием за основу берётся модель консервативного осциллятора, в которую добавляется сила вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и прямо пропорциональна этой скорости.
Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

${displaystyle F=-kx-alpha v.}$

Используя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

${displaystyle {ddot {x}}+2gamma {dot {x}}+omega _{0}^{2}x=0.}$

Здесь введены обозначения:

Решение распадается на три случая.

При малом трении ( $gamma <omega _{0}$ ) общее решение записывается в виде:

${displaystyle x(t)=Ae^{-gamma t}sin(omega _{f}t+varphi ),}$

где $omega _{f}={sqrt {omega _{0}^{2}-gamma ^{2}}}$ — частота свободных колебаний.

Затухание $gamma =omega _{0}$ называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

${displaystyle x(t)=(A+Bt)e^{-gamma t}.}$

При сильном же трении $gamma >omega _{0}$ решение выглядит следующим образом:

${displaystyle x(t)=Ae^{-beta _{1}t}+Be^{-beta _{2}t},}$

где ${displaystyle beta _{1,2}=gamma pm {sqrt {gamma ^{2}-omega _{0}^{2}}}.}$

Движение при наличии затухания[править | править код]

Характер движения затухающего осциллятора зависит от постоянной затухания $gamma$ . Помимо указанной постоянной, затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой $Q$ . По определению, добротность равна:

${displaystyle Q={frac {omega _{0}}{2gamma }}.}$

Чем выше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

Критическое затухание $gamma =omega _{0}$ примечательно тем, что именно при таком затухании осциллятор быстрее всего оказывается в положении равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы стрелка успокаивалась максимально быстро для считывания его показаний.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; теоретически, со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность, меньшая или равная 0,5, соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной частотой колебаний их амплитуда устанавливается примерно в $Q$ раз больше, чем при возбуждении с той же интенсивностью на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в $e$ раз, умноженному на $pi$ .

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

Время жизни колебаний (оно же время затухания, оно же время релаксации) τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

$tau =1/gamma .$

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя, формально, свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону: $d=operatorname {ln}(x_{{{text{max}};n}}/x_{{{text{max}};n+1}}).$ Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Замечание о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора[править | править код]

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением, когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.

См. также[править | править код]

Коэффициент фазовой синхронизации
Добротность
Нормальные колебания
Нормальные волны
Ангармонический осциллятор
Параметрический осциллятор
Квантовый гармонический осциллятор
Вынужденные колебания
Затухающие колебания
Автоколебания
Система «хищник-жертва»
Теория хаоса
Простое гармоническое движение
Маятник Капицы

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие

Источник

Файл:Simple harmonic oscillator.gif

Груз на пружине, совершающий незатухающие гармонические колебания – простейший гармонический осциллятор

В классической механике, гармонический осциллятор — это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы ${displaystyle F}$ , пропорциональной смещению ${displaystyle x}$ (согласно закону Гука):

${displaystyle F=-kx,}$

где ${displaystyle k}$ — положительная константа, описывающая жёсткость системы.

Если ${displaystyle F}$ — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постояной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами смещения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

Свободные колебания

Консервативный гармонический осциллятор

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы ${displaystyle m}$ , закреплённый на пружине жесткостью ${displaystyle k}$ .

Пусть ${displaystyle x}$ — это смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

${displaystyle F=-kx,}$

Используя второй закон Ньютона, запишем

${displaystyle a=-{frac {k}{m}}x,}$

Обозначая ${displaystyle {omega _{0}}^{2}=k/m}$ и заменяя ускорение ${displaystyle a}$ на вторую производную от координаты по времени ${displaystyle {ddot {x}}}$ , напишем:

${displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}$

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент ${displaystyle omega _{0}}$ называют собственной частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду. Чтобы перевести её в циклическую частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на ${displaystyle 2pi }$ )

Будем искать решение этого уравнения в виде:

${displaystyle x(t)=Asin left(omega t+varphi right)}$

Здесь ${displaystyle A}$ — амплитуда, ${displaystyle omega }$ — частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), ${displaystyle varphi }$ — начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение.

${displaystyle {ddot {x}}(t)=-Aomega ^{2}sin(omega t+varphi )}$

${displaystyle -Aomega ^{2}sin(omega t+varphi )+omega _{0}^{2}Asin(omega t+varphi )=0}$

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени ${displaystyle t}$ . И остаётся условие на частоту колебаний:

${displaystyle -omega ^{2}+omega _{0}^{2}=0}$

${displaystyle omega =pm omega _{0}}$

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

Файл:ComplexSinInATimeAxe.gif

движение по кругу и движение гармоническое

Общее решение уравнения записывается в виде:

${displaystyle x(t)=Asin left(omega _{0}t+varphi right)}$ ,

где амплитуда ${displaystyle A}$ и начальная фаза ${displaystyle varphi }$ — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).

Кинетическая энергия записывается в виде

${displaystyle T={frac {1}{2}}mleft({frac {dx}{dt}}right)^{2}={frac {1}{2}}kA^{2}sin ^{2}(omega _{0}t+varphi )}$ .

и потенциальная энергия есть

${displaystyle U={frac {1}{2}}kx^{2}={frac {1}{2}}kA^{2}cos ^{2}(omega _{0}t+varphi )}$

тогда полная энергия имеет постоянное значение

${displaystyle E={frac {1}{2}}kA^{2}}$

Затухающий гармонический осциллятор

Основная статья: Затухающие колебания

Взяв за основу ту же модель, добавим в нее силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости.
Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

${displaystyle F=-kx-alpha v,}$

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

${displaystyle {ddot {x}}+2gamma {dot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}$

Здесь введено обозначение: ${displaystyle 2gamma ={frac {alpha }{m}}}$ . Коэффициент ${displaystyle gamma }$ носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

При малом трении ( ${displaystyle gamma <omega _{0}}$ ) общее решение записывается в виде:

${displaystyle x(t)=Ae^{-gamma t}sin(omega _{f}t+varphi )}$ , где ${displaystyle omega _{f}={sqrt {omega _{0}^{2}-gamma ^{2}}}}$ — частота свободных колебаний.

Затухание ${displaystyle gamma =omega _{0}}$ называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

${displaystyle x(t)=(A+Bt)e^{-gamma t}}$

При сильном же трении ${displaystyle gamma >omega _{0}}$ решение выглядит следующим образом:

${displaystyle x(t)=Ae^{-beta _{1}t}+Be^{-beta _{2}t}}$ , где ${displaystyle beta _{1,2}=-gamma pm {sqrt {gamma ^{2}-omega _{0}^{2}}}}$

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдет до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой ${displaystyle Q}$ . По определению, добротность равна:

${displaystyle Q={frac {omega _{0}}{2gamma }}}$

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в ${displaystyle Q}$ раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в ${displaystyle e}$ раз, умноженному на ${displaystyle pi }$ .

В случае колебательного движения затухание еще характеризуют такими параметрами, как:

${displaystyle tau =1/gamma }$

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

Вынужденные колебания

Основная статья: Вынужденные колебания

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Вожможно также воздействие трением — это когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.

Литература

Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие.

См. также

Q-фактор
Нормальные колебания
Ангармонический осциллятор
Параметрический осциллятор
Квантовый гармонический осциллятор
Вынужденные колебания
Затухающие колебания
Автоколебание
Система «хищник-жертва»

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Гармонический осциллятор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор.

[math]displaystyle{ F = -k x }[/math],

где k — постоянный коэффициент.

Свободные колебания системы груз—пружина без затухания.

Свободные колебания консервативного гармонического осциллятора

Уравнение и его решения

[math]displaystyle{ F = -k x }[/math],

где k = const. Тогда, используя второй закон Ньютона, можно записать ускорение как

[math]displaystyle{ a = -frac{k}{m}x }[/math].

Обозначая [math]displaystyle{ {omega_0}^2 = k/m }[/math] и заменяя a на вторую производную от координаты по времени [math]displaystyle{ ddot x }[/math], имеем

[math]displaystyle{ ddot x + omega_0^2 x = 0 }[/math].

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Величину [math]displaystyle{ omega_0 }[/math] называют циклической частотой. (Имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах за секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в герцах, надо разделить на [math]displaystyle{ 2 pi }[/math].)

Будем искать решение этого уравнения в виде^[1]

[math]displaystyle{ x(t) = A sinleft(omega t + varphiright) }[/math].

Здесь [math]displaystyle{ A }[/math] — амплитуда, [math]displaystyle{ omega }[/math]— частота колебаний, [math]displaystyle{ varphi }[/math] — начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение и получаем:

[math]displaystyle{ ddot x (t) = -A omega^2 sin(omega t + varphi) }[/math],

[math]displaystyle{ -A omega^2 sin(omega t + varphi) + omega_0^2 A sin(omega t + varphi) = 0 }[/math].

[math]displaystyle{ -omega^2 + omega_0^2 = 0, }[/math]

[math]displaystyle{ omega = pm omega_0. }[/math]

Общее решение уравнения записывается в виде:

[math]displaystyle{ x(t) = A sinleft(omega_0 t + varphiright), }[/math]

где [math]displaystyle{ A }[/math] и [math]displaystyle{ varphi }[/math] — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям.

Простое гармоническое движение

x в формуле), а по горизонтальной оси отложено время (

t).

Учитывая, что [math]displaystyle{ omega_0 = 2pi f_0 }[/math], получим

[math]displaystyle{ f_0 = frac{1}{2pi}sqrt{frac{k}{m}} }[/math],

и, поскольку [math]displaystyle{ T_0 = 1/f_0 }[/math], где [math]displaystyle{ T_0 }[/math] — период колебаний,

[math]displaystyle{ T_0 = 2pisqrt{frac{m}{k}} }[/math].

Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

Положение, скорость и ускорение простого гармонического движения на фазовой плоскости

[math]displaystyle{ v(t) = frac{mathrm{d} x}{mathrm{d} t} = Aomega_0 cos(omega_0 t+varphi) }[/math],

[math]displaystyle{ a(t) = frac{mathrm{d}^2 x}{mathrm{d}t^2} = – A omega_0^2 sin( omega_0 t+varphi) }[/math].

Кинетическая энергия записывается в виде

[math]displaystyle{ K = frac{1}{2} m v^2(t) = frac{1}{2} k A^2 cos^2(omega_0 t + varphi) }[/math],

а потенциальная энергия составляет

[math]displaystyle{ U = frac{1}{2} k x^2(t) = frac{1}{2} k A^2 sin^2(omega_0 t + varphi) }[/math].

Тогда получается, что полная энергия

[math]displaystyle{ E = frac{1}{2} k A^2 }[/math]

Примеры осцилляторов

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие;
возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Ниже представлено несколько примеров.

Горизонтальная система груз—пружина

Положение, скорость и ускорение гармонического осциллятора

[math]displaystyle{ F = -kx }[/math],

где k имеет вполне конкретный смысл — это коэффициент жёсткости пружины.

Если нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение является периодическим.

Вертикальная система груз—пружина

[math]displaystyle{ F = -kx – mg }[/math].

Если сделать замену переменной, чтобы оперировать не величиной [math]displaystyle{ x }[/math], а величиной [math]displaystyle{ X = x+mg/k }[/math], то уравнение движения примет вид, идентичный случаю горизонтальной геометрии, только для переменной [math]displaystyle{ X }[/math].

Колебания будут происходить с той же частотой [math]displaystyle{ omega_0=sqrt{k/m} }[/math]. Однако, если в горизонтальном случае равновесию отвечало состояние недеформированной пружины, то в вертикальном варианте пружина в равновесии будет растянута. Зависимости частоты от величины ускорения свободного падения [math]displaystyle{ g }[/math] при этом нет; [math]displaystyle{ g }[/math] влияет лишь на сдвиг положения равновесия [math]displaystyle{ mg/k }[/math].

Универсальное движение по окружности

Движение по кругу и гармоническое движение

Груз как простой маятник

Простое гармоническое движение маятника без затухания.

[math]displaystyle{ T_0 = 2 pi sqrt{frac{ell}{g}} }[/math].

[math]displaystyle{ -ell m g sintheta=I ddottheta }[/math],

Когда угол θ мал, можно считать, что sin θ ≈ θ, и выражение принимает вид:

[math]displaystyle{ -ell m g theta=I ddottheta }[/math],

Свободные колебания гармонического осциллятора с затуханием

Уравнение и его решения

[math]displaystyle{ F = -k x – alpha v. }[/math]

Используя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

[math]displaystyle{ ddot x + 2 gamma dot x + omega_0^2 x = 0. }[/math]

Здесь введены обозначения:

[math]displaystyle{ 2 gamma = alpha/m }[/math]. Коэффициент [math]displaystyle{ gamma }[/math] носит название постоянной затухания. Он имеет размерность частоты.
[math]displaystyle{ omega_0 = sqrt{ k over m } }[/math]. Величину [math]displaystyle{ omega_0 }[/math] называют собственной частотой системы. Она тоже имеет размерность частоты.

Решение распадается на три случая.

При малом трении ([math]displaystyle{ gamma lt omega_0 }[/math]) общее решение записывается в виде:

[math]displaystyle{ x(t) = A e^{-gamma t} sin(omega_f t + varphi), }[/math]

где [math]displaystyle{ omega_f = sqrt{omega_0^2 – gamma^2} }[/math] — частота свободных колебаний.

Затухание [math]displaystyle{ gamma = omega_0 }[/math] называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

[math]displaystyle{ x(t) = (A + B t)e^{-gamma t}. }[/math]

При сильном же трении [math]displaystyle{ gamma gt omega_0 }[/math] решение выглядит следующим образом:

[math]displaystyle{ x(t) = A e^{-beta_1 t} + B e^{-beta_2 t}, }[/math]

где [math]displaystyle{ beta_{1,2}=gamma pm sqrt{gamma^2 – omega_0^2}. }[/math]

Движение при наличии затухания

Отклик линейного осциллятора с затуханием на ступенчатое возмущение при 3 разных степенях затухания [math]displaystyle{ mu }[/math]:
[math]displaystyle{ mu= omega_1 = omega_0 sqrt{1-zeta^2} }[/math];
[math]displaystyle{ zeta = 1/2Q }[/math];
[math]displaystyle{ Q }[/math] — добротность.
Нормированное время в единицах [math]displaystyle{ tau_n = 1/(zeta omega_0) }[/math]).

Характер движения затухающего осциллятора зависит от постоянной затухания [math]displaystyle{ gamma }[/math]. Помимо указанной постоянной, затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой [math]displaystyle{ Q }[/math]. По определению, добротность равна:

[math]displaystyle{ Q = frac{omega_0}{2 gamma}. }[/math]

Чем выше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

Критическое затухание [math]displaystyle{ gamma = omega_0 }[/math] примечательно тем, что именно при таком затухании осциллятор быстрее всего оказывается в положении равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной частотой колебаний их амплитуда устанавливается примерно в [math]displaystyle{ Q }[/math] раз больше, чем при возбуждении с той же интенсивностью на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в [math]displaystyle{ e }[/math] раз, умноженному на [math]displaystyle{ pi }[/math].

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

Время жизни колебаний (оно же время затухания, оно же время релаксации) τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

[math]displaystyle{ tau=1 / gamma. }[/math]

Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону: [math]displaystyle{ d = operatorname{ln} ( x_{text{max} ; n} / x_{text{max} ; n+1} ). }[/math] Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Замечание о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора

См. также

Коэффициент фазовой синхронизации
Добротность
Нормальные колебания
Нормальные волны
Ангармонический осциллятор
Параметрический осциллятор
Квантовый гармонический осциллятор
Вынужденные колебания
Затухающие колебания
Автоколебания
Система «хищник-жертва»
Теория хаоса
Простое гармоническое движение
Маятник Капицы

Примечания

↑ Решение приведённого дифференциального уравнения можно записать как с помощью функции синуса:

[math]displaystyle{ x(t) = Asin(omega t +varphi) }[/math],

так и через косинус:

[math]displaystyle{ x(t) = Acos(omega t + varphi) }[/math].

Оба варианта верны, поскольку известно общее равенство cos θ = sin(π/2 — θ). Используя тригонометрические соотношения, можно записать

[math]displaystyle{ Acos(omega t +varphi) = Acos(varphi)cos(omega t)-Asin(varphi)sin(omega t), }[/math]

и таким образом

[math]displaystyle{ acos(omega t) + bsin(omega t) }[/math]

также является верным решением при соответствующим образом выбранных постоянных a и b.

Литература

Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие

Источник

Затухающий гармонический осциллятор

Взяв за основу ту же модель, добавим в нее силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент γ носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

При сильном же трении γ > ω₀ решение выглядит следующим образом:

, где

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой Q. По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в Q раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, умноженному на π.

В случае колебательного движения затухание еще характеризуют такими параметрами, как:

Время жизни колебаний, оно же время затухания, оно же время релаксации. τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону. . Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Коэффициент затухания

величина, характеризующая скорость затухания колебаний

Закон сохранения энергии — основной закон природы, заключающийся в том, что энергия изолированной (замкнутой) системы сохраняется во времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую. Закон сохранения энергии встречается в различных разделах физики и проявляется в сохранении различных видов энергии. Например, в классической механике закон проявляется в ]] закон сохранения энергии называется первым началом термодинамики и говорит

Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то правильнее называть его не законом, а принципом сохранения энергии.

Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

f — частота колебаний
W — энергия, запасённая в колебательной системе
P_d — рассеиваемая мощность.

Обратимый процесс (то есть равновесный) — термодинамический процесс, который может проходить как в прямом, так и в обратном направлении, проходя через одинаковые промежуточные состояния, причем система возвращается в исходное состояние без затрат энергии, и в окружающей среде не остается макроскопических изменений.

Обратимый процесс можно в любой момент заставить протекать в обратном направлении, изменив какую-либо независимую переменную на бесконечно малую величину.

Обратимые процессы дают наибольшую работу. Большую работу от системы вообще получить невозможно. Это придает обратимым процессам теоретическую важность. На практике обратимый процесс реализовать невозможно. Он протекает бесконечно медленно, и можно только приблизиться к нему.

Следует отметить, что термодинамическая обратимость процесса отличается от химической обратимости. Химическая обратимость характеризует направление процесса, а термодинамическая — способ его проведения.

понятие равновесного состояния и обратимого процесса играют большую роль в термодинамике. Все количественные выводы термодинамики применимы только к равновесным состояниям и обратимым процессам.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней силы, меняющейся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы.

Но это далеко не полное определение явления резонанса. Для более детального восприятия этой категории необходимы некоторые факты из теории дифференциальных уравнений и математического анализа. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений известна проблема собственных векторов и собственных значений. Резонанс в динамической системе, описываемой дифференциальными уравнениями (и не только ими), формально наступает, когда проблема собственных значений приводит к кратным собственным числам. При этом в математическом аспекте не очень существенно, являются ли собственные числа комплексными или действительными. В физическом аспекте явление резонанса обычно связывают только с колебательными динамическими системами. Наиболее ярко понятие явления резонанса развито в современной теории динамических систем. Примером является известная теория Колмогорова-Арнольда-Мозера. Центральная проблема этой теории — вопрос сохранения квазипериодического или условно-периодического движения на торе (теорема КАМ). Эта теорема дала мощный толчок к развитию современной теории нелинейных колебаний и волн. В частности, стало ясно, что резонанс может и не наступить, хоть собственные числа совпадают или близки. Напротив, резонанс может проявиться в системе, где никакие собственные числа не совпадают, а удовлетворяют лишь определенным резонансным соотношениям или условиям синхронизма.

теплова́я маши́на

машина (тепловой двигатель, тепловой насос и др.), в которой осуществляется преобразование теплоты в работу или работы в теплоту. В основе действия тепловой машины лежит круговой процесс (цикл термодинамический), совершаемый рабочим телом (газом, водяным паром и др.). Если при осуществлении цикла на одних его участках теплота подводится к рабочему телу, а на других отводится (при более низкой температуре), то рабочее тело совершает работу, равную (для идеальной тепловой машины) разности количеств подведённой и отведённой теплоты.

Цикл Карно́ — идеальный термодинамический цикл. Тепловая машина Карно, работающая по этому циклу, обладает максимальным КПД из всех машин, у которых максимальная и минимальная температуры осуществляемого цикла совпадает соответственно с максимальной и минимальной температурами цикла Карно.

КПД тепловой машины Карно

Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя при изотермическом расширении, равно

Аналогично, при изотермическом сжатии рабочее тело отдало холодильнику

Отсюда коэффициент полезного действия тепловой машины Карно равен

Из последнего выражения видно, что КПД тепловой машины Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника. Кроме того, из него следует, что КПД может составлять 100 % только в том случае, если температура холодильника равна абсолютному нулю. Это невозможно, но не из-за недостижимости абсолютного нуля (этот вопрос решается только третьим началом термодинамики, учитывать которое здесь нет необходимости), а из-за того, что такой цикл или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм.

Можно показать, что КПД любой тепловой машины, работающей по циклу, отличному от цикла Карно, будет меньше КПД тепловой машины Карно, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (cN•m), футо-фунт (ft•lbf), дюйм-фунт (lbf•in) и дюйм-унция (ozf•in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние до оси которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние до оси которого 6 метров. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы!

Теплоемкость идеального газа – это отношение тепла, сообщенного газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.

Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний

КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ. ОПТИКА

КОЛЕБАНИЯ

Лекция 1

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний

Колебание – один из самых распространённых процессов в природе и технике. Колебания – это процессы, повторяющиеся во времени. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведённых часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Звук – это колебания давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряжённости электрического и магнитного поля, свет – это тоже электромагнитные колебания. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровней морей и океанов, вызываемые притяжением луны и т.д.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и др. Несмотря на такое многообразие, все колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

Первыми учёными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей и Христиан Гюйгенс. Галилей установил независимость периода колебаний от амплитуды. Гюйгенс изобрёл часы с маятником.

Любая система, которая, будучи слегка выведена из положения равновесия, совершает устойчивые колебания, называется гармоническим осциллятором. В классической физике такими системами являются математический маятник в пределах малых углов отклонения, груз в пределах малых амплитуд колебаний, электрический контур, состоящий из линейных элементов ёмкости и индуктивности.

Гармонический осциллятор можно считать линейным, если смещение от положения равновесия прямо пропорционально возмущающей силе. Частота колебаний гармонического осциллятора не зависит от амплитуды. Для осциллятора выполняется принцип суперпозиции – если действуют несколько возмущающих сил, то эффект их суммарного действия может быть получен как результат сложения эффектов от действующих сил в отдельности.

Гармонические колебания описываются уравнением (рис.1.1.1)

(1.1.1)

где х -смещение колеблющейся величины от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, равная величине максимального смещения, – фаза колебаний, определяющая смещение в момент времени , – начальная фаза, определяющая величину смещения в начальный момент времени, – циклическая частота колебаний.

Время одного полного колебания называется периодом, , где – число колебаний, совершенных за время .

Частота колебаний определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, она связана с циклической частотой соотношением , тогда период .

Скорость колеблющейся материальной точки

. (1.1.2)

Таким образом, скорость и ускорение гармонического осциллятора также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает по фазе смещение на , а ускорение – на (рис.1.1.2).

Из сопоставления уравнений движения гармонического осциллятора (1.1.1) и (1.1.2) следует, что , или

. (1.1.3)

Это дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением гармонического осциллятора. Его решение содержит два постоянные а и , которые определяются заданием начальных условий

Отсюда .

Если периодически повторяющийся процесс описывается уравнениями, не совпадающими с (1.1.1), он н6азывается ангармоническим. Система, совершающая ангармонические колебания, называется ангармоническим осциллятором.

1.1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний

В природе очень распространены малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения равновесия. Если система, выведенная из положения равновесия, предоставлена себе, то есть на неё не действуют внешние силы, то такая система будет совершать свободные незатухающие колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором её потенциальная энергия имеет минимум (q – обобщённая координата системы). Отклонение системы от положения равновесия приводит к возникновению силы , которая стремится вернуть систему обратно. Значение обобщённой координаты, соответствующей положению равновесия, обозначим , тогда отклонение от положения равновесия

Будем отсчитывать потенциальную энергию от минимального значения . Примем Полученную функцию разложим в ряд Маклорена и оставим первый член разложения, имеем: о

где . Тогда с учётом введённых обозначений:

, (1.1.4)

С учётом выражения (1.1.4) для силы, действующей на систему, получаем:

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения системы имеет вид: ,

, (1.1.5)

Выражений (1.1.5) совпадает с уравнением (1.1.3) свободных гармонических колебаний при условии, что

, (1.1.6)

и имеет два независимых решения: и , так что общее решение:

, или

где

Из формулы (1.1.6) следует, что частота определяется только собственными свойствами механической системы и не зависит от амплитуды и от начальных условий движения.

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени можно определить в виде вещественной части комплексного выражения , где A=Xe-iα– комплексная амплитуда, её модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент – с начальной фазой.

1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы

Колебания груза на пружине

Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости. Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3). Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:

где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени , – смещение от положения равновесия.

Поместим начало отсчета координаты в положение равновесия системы. В этом случае .

Если пружину растянуть на величину х, после чего отпустить в момент времени t=0, то уравнение движения груза согласно второму закону Ньютона примет вид -kx =ma, или , и

(1.1.6)

Это уравнение совпадает по виду с уравнением движения (1.1.3) системы, совершающей гармонические колебания, его решение будем искать в виде:

. (1.1.7)

Подставим (1.17) в (1.1.6), имеем: то есть выражение (1.1.7) является решением уравнения (1.1.6) при условии, что

Если в начальный момент времени положение груза было произвольным, то уравнение движения примет вид:

Рассмотрим, как меняется энергия груза, совершающего гармонические колебания в отсутствие внешних сил (рис.1.14). Если в момент времени t=0 грузу сообщить смещение х=А, то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).

На груз действует сила F= -kx, стремящаяся вернуть его в положение равновесия, поэтому груз движется с ускорением и увеличивает свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию. Эта сила сокращает смещение груза х, потенциальная энергия груза убывает, переходя в кинетическую. Система «груз – пружина» замкнутая, поэтому её полная энергия сохраняется, то есть:

. (1.1.8)

В момент времени груз находится в положении равновесия (точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна . Максимальную скорость груза найдём из закона сохранения энергии (1.1.8):

За счёт запаса кинетической энергии груз совершает работу против упругой силы – и пролетает положение равновесия. Кинетическая энергия постепенно переходит в потенциальную. При груз имеет максимальное отрицательное смещение –А, кинетическая энергия Wk=0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силы F= -kx. Далее движение происходит аналогично.

Маятники

Под маятником понимают твёрдое тело, которое совершает под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают физический и математический маятники.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной материальной точке.

Математическим маятником, например, является шарик на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ, который образует нить с вертикалью (рис.1.15). При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент внешних сил (силы тяжести) : , где m – масса, – длина маятника

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия (аналогично квазиупругой силе) и направлен противоположно смещению φ, поэтому в формуле стоит знак «минус».

Уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид: Iε= ,

Будем рассматривать случай малых колебаний, поэтому sin φ ≈φ, обозначим ,

имеем: , или , и окончательно

Это уравнение гармонических колебаний, его решение:

Частота колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести, и не зависит от массы маятника. Период равен:

Если колеблющееся тело нельзя представить, как материальную точку, то маятник называют физическим (рис.1.1.6). Уравнение его движения запишем в виде:

В случае малых колебаний , или =0 , где . Это уравнение движения тела, совершающего гармонические колебания. Частота колебаний физического маятника зависит от его массы, длины и момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Обозначим . Величина называется приведённой длинной физического маятника. Это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (О’). Если маятник подвесить в центре качания, то приведённая длина и период колебаний будут теми же, что и в точке О. Таким образом, точка подвеса и центр качания обладают свойствами взаимности: при переносе точки подвеса в центр качения прежняя точка подвеса становится новым центром качения.

Математический маятник, который качается с таким же периодом, как и рассматриваемый физический, называется изохронным данному физическому маятнику.

1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний

Сложение одинаково направленных колебаний можно производить методом векторных диаграмм. Любое гармоническое колебание можно представить в виде вектора следующим образом. Выберем ось х с началом отсчета в точке О (рис.1.1.7)

Из точки О построим вектор , который составляет угол с осью х. Пусть этот вектор поворачивается с угловой скоростью . Проекция вектора на ось Х равна:

то есть она совершает гармонические колебания с амплитудой а.

Рассмотрим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой циклической малой , заданные векторами и . Смещения по оси Х равны:

результирующий вектор имеет проекцию и представляет собой результирующее колебание (рис.1.1.8), по теореме косинусов Таким образом, сложение гармонических колебаний производится сложением векторов.

Проведем сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть материальная точка совершает два взаимно перпендикулярных колебания частотой :

Сама материальная точка при этом будет двигаться по некоторой криволинейной траектории.

Из уравнения движения следует: ,

. (1.1.9)

Из уравнения (1.1.9) можно получить уравнение эллипса (рис.1.1.9):

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

1. Разность фаз колебаний α= 0. При этом т.е. или Это уравнение прямой, и результирующее колебание происходит вдоль этой прямой с амплитудой (рис.1.1.10).

2. Если разность фаз то уравнение (1.1.9) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, При материальная точка движется по окружности, уравнение которой (рис.1.1.11).

3. Если частоты колебаний неодинаковы, то материальная точка описывает фигуры Лиссажу (рис.1112).

Рассмотрим сложение колебаний одного направления, частоты которых мало отличаются друг от друга. В этом случае результирующее движение можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Пусть частота одного колебания , второго . Амплитуды обоих колебаний одинаковы и равны а. Начальные фазы равны нулю. В таком случае уравнения колебаний имеют вид:

Сложим эти выражения:

(1.1.10)

График функции х(t) представлен на рис. 1.1.13. Множитель меняется гораздо медленнее, чем , поэтому (1.1.10) можно рассматривать как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого меняется по некоторому периодическому закону

Частота изменения амплитуды – частота биений – равна разности частот складываемых колебаний .

Энергия колебаний

Смещение колеблющейся точки от положения равновесия, описывается уравнением:

ее ускорение равно второй производной от смещения по времени тогда сила, действующая на колеблющуюся точку, по второму закону Ньютона равна

– то есть сила пропорциональна смещению х и направлена против смещения к положению равновесия. Эта сила называется возвращающей силой. В случае груза на пружине возвращающей силой является сила упругости, в случае математического маятника – составляющая силы тяжести.

Возвращающая сила по характеру подчиняется закону Гука F= -kx, где

– коэффициент возвращающей силы. Тогда потенциальная энергия колеблющейся точки равна:

(постоянную интегрирования выбирают равной нулю, чтобы при х=0 энергия Wn=0).

где , тогда

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, и в случае свободных колебаний без трения сохраняется (рис.1.1.15). Когда материальная точка совершает колебания, кинетическая энергия переходит в потенциальную, и наоборот. В крайних точках (х = ±А) скорость , кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия равна потенциальной:

Таким образом, полная механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия (х=0) потенциальная энергия переходит в кинетическую:

В промежуточных точках полная энергия равна

а скорость

На рисунке 1.1.16 приведена кривая потенциальной энергии , горизонтальная линия соответствует полной энергии. Расстояние от этой линии до кривой равно кинетической энергии. Движение ограничено значениями х, заключёнными в пределах от –А до +А.

Средние за период значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы и равны , так что средняя полная энергия системы равна полной энергии системы ( средние значения ).

АНГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения – это язык физики

Дифференциальные уравнения второго порядка

ДУ второго порядка часто встречаются в физике: закон Ньютона, уравнение Шредингера, диффузия.

restart:
E2:=diff(y(t),t$2)=-g;
S2:=dsolve(,y(t));

Это очевидный результат.

Заметьте несколько деталей.

Для ввода начальных условий для производной от y применена D(y) , что означает dy/dt ( D – это общий символ производной для Maple), затем добавили (0) , чтобы сказать, что производная вычислена при t=0 . Это означает, что diff и D – это производные, но между ними есть тонкое различие, которое надо понимать. Оно обсуждено в разделе о производных (см. D и diff ). Поэтому или запоминайте синтаксис команды dsolve (выше), или запомните, где его легко найти. Кроме того, учтите, что применяемая в пакете Physics команда diff может давать другой результат – см. описание команд пакета Physics.

Это второе знаменитое ДУ второго порядка.

Maple решает его в общем виде с произвольными константами:

Предупреждение: эта форма решения опасна, поскольку нет гарантии, что при каждом запуске рабочего листа с командой dsolve в таком виде получим на выходе _C1 с синусом и _C2 с косинусом. В Maple есть собственная логика такого выбора, которая даже для более простых ДУ кажется случайной. Поэтому не давайте Maple выбирать, делайте это сами. Для этого скопируйте решение мышкой в новую строку и выберите неизвестные коэффициенты, например избавьтесь от неудобного y(t)= , заменив его естественным присвоением:

Теперь каждый раз расчет величин A и B будет срабатывать одинаково, потому что «насильственно» установлено, что A – с синусом, а B – с косинусом.

Если константы определяются начальными условиями, есть форма команды dsolve , которая будет определять их автоматически. Например, нужно решить ДУ E3 с начальными условиями y(0) = 1 и dy/dt(0) = 2. Тогда пишем:

Применим assign , чтобы Maple дал выражение для y(t) :

Теперь построим график решения:

Не работает. Рамка есть, но нет функции. И нет догадок, что не так. Для отладки надо бы подставить несколько значений t в y(t) . Но вспомним, что y(t) выглядит как выражение, но не совсем им является, и что подстановка значений для t запустит его. Рассмотрим y(t) с этой точки зрения и прикинем, можно ли увидеть, что не так:

Команда plot даст численные значения t , но ведь просто включено в выражение и не имеет численного значения. Это и есть ошибка: мы не задали численные значения !

OК, теперь сделаем так:

Решение этой задачи было достаточно легким. Но так же легко Maple решает и более сложные задачи.

Усложним условия и рассмотрим

Поставим в гармонический осциллятор затухание (демпфер), для чего добавим силу затухания в виде где τ – характеристическое время затухания. Новое уравнение движения теперь выглядит так:

и мы получаем общее решение:

Где же тогда появятся синусы и косинусы? Проблема в том, что Maple не знает, насколько велики и τ. Подумаем с точки зрения физического смысла. Пусть естественная частота порядка 2π, тогда период N = 2π/ = 1 с. Теперь пусть осциллятор (подразумеваем – маятник) находится в моторном масле при 50 градусах ниже нуля. Тогда характеристическое время затухания 0.05 с (трение столь велико, что движение остановится за 0.05 с). Интуиция должна подсказать, что если толкнуть маятник назад и освободить его, то ожидается некоторое покачивание, т. е. маятник медленно проплывет к своему вертикальному положению и останется в нем. Посмотрим, что скажет Maple:

OK, Maple согласен с интуицией.

Теперь изменим затухание и представим, что произойдет, если нагреть масло или использовать вместо него WD-40 (жидкая смазка) или, может быть, воздух. Маятник начнет колебаться с малым затуханием. Например, если τ = 20, то Maple дает:

Теперь он колеблется дольше и медленно затухает. Но какое чудо в решении превратило экспоненту в синусы и косинусы? Вспомним формулу Эйлера:
т. е. в экспоненте константы стали комплексными, поэтому решение перешло от распада к колебаниям.

Это поднимает вопрос о величине τ, при которой происходит переход от чистого затухания к затухающим колебаниям. Посмотрите на общий вид решения и увидите, что в экспонентах есть квадратный корень Если аргумент под корнем положителен, то оба фундаментальных решения в сумме есть затухающие экспоненты, и получаем затухание. Если аргумент под корнем отрицателен, то результат комплексный и экспонента комплексная, т. е. это синусы и косинусы, тогда получаем колебания. Переход между двумя режимами происходит, если квадратный корень = 0, т. е. когда τ = 1/(2). Этот особый случай называется критическим затуханием.

Пусть Maple решит задачу о гармоническом осцилляторе с затуханием для случая критического затухания при = 1 и нарисует график функции y(t) для t = 0..20 при начальных условиях y(0) = 1 и dy/dt(0) = 0. График будет выглядеть в точности как для осциллятора с затуханием при полном отсутствии намеков на то, что это точно граница между затуханием и колебаниями. Для проверки этого увеличьте τ на 2 % и снова постройте график. Растяните окно вниз, чтобы можно было видеть, что y(t) становится немного отрицательным, показывая начало колебаний (нужны очень серьезные размеры окна).

Примените Maple, чтобы получить общие решения ДУ второго порядка:

(a) ,

(b) ,

[spoiler title=”источники:”]

http://allrefrs.ru/3-11150.html

http://mmlab2.uginfo.sfedu.ru/chapters/ch7/chapter7_3.html

[/spoiler]

Источник

Свободные колебания консервативного гармонического осциллятора[править | править код]

Уравнение и его решения[править | править код]

Простое гармоническое движение[править | править код]

Примеры осцилляторов[править | править код]

Свободные колебания гармонического осциллятора с затуханием[править | править код]

Уравнение и его решения[править | править код]

Движение при наличии затухания[править | править код]

Замечание о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Свободные колебания

Консервативный гармонический осциллятор

Затухающий гармонический осциллятор

Вынужденные колебания

Литература

См. также

Свободные колебания консервативного гармонического осциллятора

Уравнение и его решения

Простое гармоническое движение

Примеры осцилляторов

Свободные колебания гармонического осциллятора с затуханием

Уравнение и его решения

Движение при наличии затухания

Замечание о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора

См. также

Примечания

Литература

Затухающий гармонический осциллятор

Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения второго порядка

Вам также может понравиться

Как найти инстаграм человека зная номер

Как найти исследовательский вопрос

Ошибка 429 too many requests как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ