Дробное число по модулю как найти

One can perform arithmetic of fractions mod $,m,$ as long as all fractions $,a/b,$ have denominator $,b,$ coprime to $,m,,$ since then, by Bezout, $,b,$ is invertible mod $,m,$ so the fraction has the unique denotation $,x = a/b = ab^{-1}$ (the unique solution of $,bx = a).,$ The usual rules of fraction arithmetic remain true (as long as one restricts to such fractions), e.g. from a prior answer:

Hint $, {rm mod} 13!: dfrac{41}7 equiv dfrac{28}7 equiv 4 $ by $ 41equiv 41!-!13 equiv 28$

Alternatively $, dfrac{41}{7}equivdfrac{(-2)(-1)}{-6}equiv dfrac{-2}{-2}dfrac{12}3equiv 4 $ by $ begin{eqnarray}41&&!!equiv 2\ 7 &&!!equiv -6end{eqnarray}$

Alternatively $, dfrac{41}{7}equiv dfrac{2}7equiv dfrac{4}{14}equiv dfrac{4}1 $ by Gauss’s Algorithm.

Such twiddling (adding/subtracting the modulus from numerator or denominator till things divide or factor nicely) works quite well for small numbers. For larger numbers one can invert the denominator by the Extended Euclidean Algorithm, or Gauss’s algorithm if the modulus is prime.

Beware $ $ The use of fractions in modular arithmetic is valid only when the denominator is invertible, i.e. coprime to the modulus. Otherwise the quotient need not be unique, for example mod $rm:10,:$ $rm:4,xequiv 2:$ has solutions $rm:xequiv 3,8,:$ so the “fraction” $rm:x equiv 2/4pmod{10},$ cannot designate a unique solution of $,4xequiv 2.,$ Indeed, the solution is $rm:xequiv 1/2equiv 3pmod 5,,$ which requires canceling $,2,$ everywhere, i.e. from the modulus too, since $rm:10:|:4x-2iff5:|:2x-1.:$

Generally the grade-school rules of fraction arithmetic apply universally (i.e. in all rings) where the denominators are invertible. This fundamental property will be clarified conceptually when one learns in university algebra about the universal properties of fractions rings and localizations.

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Вычисление дробей по модулю целого числа

izebit	Вычисление дробей по модулю целого числа 22.05.2011, 13:00
22/05/11 1	Столкнулся с проблемой вычисления дроби по модулю целого числа, например 1/2 mod 23. Разъясните пожалуйста, как это посчитать

ИСН	Re: Вычисление дробей по модулю целого числа 22.05.2011, 13:08
Заслуженный участник 18/05/06 13415 с Территории	Никак, пока Вы не определите, что понимаете под этим. Один из вариантов – это 12, потому что

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

7 * (4/11) mod 10 =?

7 * (4/11) = 28/11,

6 ответов

Лучший ответ

    7  4/11 mod 10 = ((7  4) mod 10)(11−1 mod 10) mod 10
    = (28 mod 10)(1 mod 10) mod 10
    = (8)(1) mod 10
    = 8 mod 10

from fractions import Fraction
from math import fmod

print (fmod(Fraction(28, 11), 10))

Операция сложения по модулю

Важной
операцией в информатике является
сложение по модулю. Это операция
арифметического сложения, при котором
единица переноса в старший разряд, если
таковая образуется при поразрядном
сложении, отбрасывается. Обычно при
выполнении этой операции конкретизируют,
о каком модуле идет речь, например, по
модулю 10,
или по модулю 2, или по модулю 16. Обозначается
эта операция

.

Таблица
сложения двоичных чисел по модулю 2
приведена ниже (обозначения строк и
столбцов соответствуют слагаемым):

	0	1
0	0	1
1	1	0

Обратите
внимание, при сложении по модулю 1+1=0
!

Перевод дробных чисел

Что бы перевести дробное
необходимо выполнять следующие действия:

• последовательно умножать
  данное число и получаемые дробные части
  произведений на основание новой системы
  до тех пор, пока дробная часть произведения
  не станет равной нулю или не будет
  достигнута требуемая точность
  представления числа в новой системе
  счисления;

• полученные целые части
  произведений, являющиеся цифрами числа
  в новой системе счисления, привести в
  соответствие с алфавитом новой системы
  счисления;

• составить дробную часть
  числа в новой системе счисления, начиная
  с целой части первого произведения.

Рассмотрим пример в
общем виде:

Пусть X
– правильная дробь, которую нужно
перевести в Q
– ичную систему.

Так как X
< 1, то число X
в Q
– ичной системе можно представить в
виде

X
= b_-1Q^-1
+ b_-2Q^-2
+ . . . + b_–m
Q^–m
+ . . . , где b_i
– искомые коэффициенты Q
– ичного разложения числа X.

Для определения b_i
умножим левую и правую часть на число
Q
пользуясь правилами Р – ичной арифметики,
тогда

XQ
= b_-1
+ b_-2Q^-1
+ . . . + b_–m
Q^–m+1
+ . . .

Приравнивая полученные
целые и дробные части получим

[xQ]
= b_-1

{XQ}
= b_-2Q^-1
+ . . . + b_–m
Q^–m+1
+ . . .

Таким образом коэффициент
b
-1 в разложении определяется соотношением

[xQ]
= b_-1

Положим

X₁
= b_-2Q^-1
+ . . . + b_–m
Q^–m+1
+ . . .

Тогда X₁
будет правильной дробью и для определения
b_-2
можно применить туже самую процедуру.

Если принять, что X₀
= X
, то перевод дроби с использованием Р –
ичной арифметики осуществляется по
следующим рекуррентным соотношениям:

b-(i+1) = [XiQ],

X_i+1
=
{XiQ}, i = 0, 1, 2, …

Процесс продолжается
до тех пор, пока не будет получено X_i+1
= 0 или не будет
достигнута требуемая точность изображения
числа. Точность определяется количеством
цифр учитываемых после запятой.

Internet
ресурсы по данной теме:

• http://comp-science.hut.ru/Progr/Syst_Sch.html

• http://www.ctc.msiu.ru/materials/Book1/1_intro/01_inform/060_chisl/index.html

34

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #