Двугранные углы при основании пирамиды как найти

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})

Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)

( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

Типичными линейными параметрами любой пирамиды являются длины сторон ее основания, высота, боковые ребра и апофемы. Тем не менее существует еще одна характеристика, которая связана с отмеченными параметрами, – это двугранный угол. Рассмотрим в статье, что он собой представляет и как его находить.

Пространственная фигура пирамида

Каждый школьник хорошо представляет, о чем идет речь, когда слышит слово “пирамида”. Геометрически построить ее можно так: выбрать некоторый многоугольник, затем зафиксировать точку в пространстве и соединить ее с каждым углом многоугольника. Получившаяся объемная фигура будет пирамидой произвольного типа. Многоугольник, который ее образует, называется основанием, а точка, с которой соединены все его углы, является вершиной фигуры. Ниже на рисунке схематически показана пятиугольная пирамида.

Видно, что ее поверхность образована не только пятиугольником, но и пятью треугольниками. В общем случае число этих треугольников будет равно количеству сторон многоугольного основания.

Двугранные углы фигуры

Когда рассматриваются геометрические задачи на плоскости, то любой угол образован двумя пересекающимися прямыми, или отрезками. В пространстве же к этим линейным углам добавляются двугранные, образованные пересечением двух плоскостей.

Если отмеченное определение угла в пространстве применить к рассматриваемой фигуре, то можно сказать, что существует два вида двугранных углов:

• При основании пирамиды. Он образован плоскостью основания и любой из боковых граней (треугольником). Это означает, что углов при основании у пирамиды n, где n – число сторон многоугольника.
• Между боковыми сторонами (треугольниками). Количество этих двугранных углов также составляет n штук.

Заметим, что первый тип рассматриваемых углов строится на ребрах основания, второй тип – на боковых ребрах.

Как рассчитать углы пирамиды?

Линейный угол двугранного угла является мерой последнего. Вычислить его непросто, поскольку грани пирамиды, в отличие от граней призмы, пересекаются не под прямыми углами в общем случае. Надежнее всего проводить расчет значений двугранных углов с использованием уравнений плоскости в общем виде.

В трехмерном пространстве плоскость задается следующим выражением:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Где A, B, C, D – это некоторые действительные числа. Удобством этого уравнения является то, что первые три отмеченных числа являются координатами вектора, который перпендикулярен заданной плоскости, то есть:

n¯ = [A; B; C]

Если известны координаты трех точек, принадлежащих плоскости, то, взяв векторное произведение двух векторов, построенных на этих точках, можно получить координаты n¯. Вектор n¯ называется направляющим для плоскости.

Согласно определению, двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен линейному углу между их направляющими векторами. Предположим, что мы имеем две плоскости, нормальные векторы которых равны:

n₁¯ = [A₁; B₁; C₁];

n₂¯ = [A₂; B₂; C₂]

Для вычисления угла φ между ними можно воспользоваться свойством произведения скалярного, тогда соответствующая формула принимает вид:

φ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|))

Или в координатной форме:

φ = arccos(|A₁*A₂ + B₁*B₂ + C₁*C₂|/(√(A₁² + B₁²+C₁²)*√(A₂² + B₂² + C₂²)))

Покажем, как использовать изложенную методику расчета двугранных углов при решении геометрических задач.

Углы правильной пирамиды четырехугольной

Предположим, что имеется правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 10 см. Высота фигуры равна 12 см. Необходимо вычислить, чему равны двугранные углы при основании пирамиды и для ее боковых сторон.

Поскольку заданная в условии задачи фигура является правильной, то есть обладает высокой симметрией, то все углы при основании равны друг другу. Также являются одинаковыми углы, образованные боковыми гранями. Чтобы вычислить необходимые двугранные углы, найдем направляющие векторы для основания и двух боковых плоскостей. Обозначим длину стороны основания буквой a, а высоту h.

Рисунок выше показывает четырехугольную правильную пирамиду. Выпишем координаты точек A, B, C и D в соответствии с введенной системой координат:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Теперь найдем направляющие векторы для плоскостей основания ABC и двух боковых сторон ABD и BCD в соответствии с изложенной в пункте выше методикой:

Для ABC:

AB¯ = (0; a; 0); AC¯ = (-a; a; 0); n₁¯ = [AB¯*AC¯] = (0; 0; a²)

Для ABD:

AB¯ = (0; a; 0); AD¯ = (-a/2; a/2; h); n₂¯ = [AB¯*AD¯] = (a*h; 0; a²/2)

Для BCD:

BC¯ = (-a; 0; 0); BD¯ = (-a/2; -a/2; h); n₃¯ = [BC¯*BD¯] = (0; a*h; a²/2)

Теперь остается применить соответствующую формулу для угла φ и подставить значения стороны и высоты из условия задачи:

Угол между ABC и ABD:

(n₁¯*n₂¯) = a⁴/2; |n₁¯| = a²; |n₂¯| = a*√(h² + a²/4);

φ = arccos(a⁴/2/(a²*a*√(h² + a²/4))) = arccos(a/(2*√(h² + a²/4))) = 67,38^o

Угол между ABD и BDC:

(n₂¯*n₃¯) = a⁴/4; |n₂¯| = a*√(h² + a²/4) ; |n₃¯| = a*√(h² + a²/4);

φ = arccos(a⁴/(4*a²*(h²+a²/4)) = arccos(a²/(4*(h²+a²/4))) = 81,49^o

Мы вычислили значения углов, которые требовалось найти по условию задачи. Полученные при решении задачи формулы можно использовать для определения двугранных углов четырехугольных правильных пирамид с любыми значениями a и h.

Углы треугольной правильной пирамиды

На рисунке ниже дана пирамида, основанием которой является правильный треугольник. Известно, что двугранный угол между боковыми сторонами является прямым. Необходимо вычислить площадь основания, если известно, что высота фигуры равна 15 см.

Двугранный угол, равный 90^o, на рисунке обозначен как ABC. Решить задачу можно, применяя изложенную методику, однако в данном случае поступим проще. Обозначим сторону треугольника a, высоту фигуры – h, апофему – h_b и боковое ребро – b. Теперь можно записать следующие формулы:

S = 1/2*a*h_b;

b² = h_b² + a²/4;

b² = h² + a²/3

Поскольку два боковых треугольника в пирамиде являются одинаковыми, то стороны AB и CB равны и являются катетами треугольника ABC. Обозначим их длину x, тогда:

x = a/√2;

S = 1/2*b*a/√2

Приравнивая площади боковых треугольников и подставляя апофему в соответствующее выражение, имеем:

1/2*a*h_b = 1/2*b*a/√2 =>

h_b = b/√2;

b² = b ²/2 + a²/4 =>

b = a/√2;

a²/2 = h² + a²/3 =>

a = h*√6

Площадь равностороннего треугольника рассчитывается так:

S = √3/4*a² = 3*√3/2*h²

Подставляем значение высоты из условия задачи, получаем ответ: S = 584,567 см².

В геометрии для изучения фигур используют две важные характеристики: длины сторон и углы между ними. В случае пространственных фигур к этим характеристиками добавляются двугранные углы. Рассмотрим, что это такое, а также опишем методику определения этих углов на примере пирамиды.

Понятие о двугранном угле

Каждый знает, что две пересекающиеся прямые образуют некоторый угол с вершиной в точке их пересечения. Этот угол можно измерить с помощью транспортира или воспользоваться тригонометрическими функциями для его вычисления. Образованный двумя прямыми угол называется линейным.

Вам будет интересно:Географическая справка: площадь России в кв. км

Теперь представим, что в трехмерном пространстве имеется две плоскости, которые пересекаются по прямой. Они изображена на рисунке.

Двугранным углом называется угол между двумя пересекающимися плоскостями. Так же как и линейный, он измеряется в градусах или радианах. Если к какой-либо точке прямой, по которой плоскости пересекаются, восстановить два перпендикуляра, лежащих в этих плоскостях, то угол между ними будет искомым двугранным. Определить этот угол проще всего, если воспользоваться уравнениями плоскостей в общем виде.

Уравнение плоскостей и формула для угла между ними

Уравнение любой плоскости в пространстве в общем виде записывается так:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Здесь x, y, z – это координаты точек, принадлежащих плоскости, коэффициенты A, B, C, D – некоторые известные числа. Удобство этого равенства для вычисления двугранных углов заключается в том, что оно в явном виде содержит координаты направляющего вектора плоскости. Будем обозначать его n¯. Тогда:

n¯ = (A; B; C).

Вектор n¯ перпендикулярен плоскости. Угол между двумя плоскостями равен углу между их направляющими векторами n1¯ и n2¯. Из математики известно, что угол, образованный двумя векторами, однозначно определяется из их скалярного произведения. Это позволяет записать формулу для вычисления двугранного угла между двумя плоскостями:

φ = arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1¯| × |n2¯|)).

Если подставить координаты векторов, то формула запишется в явном виде:

φ = arccos (|A1 × A2 + B1 × B2 + C1 × C2| / (√(A12 + B12 + C12) × √(A22 + B22 + C22))).

Знак модуля в числителе используется, чтобы определить только острый угол, поскольку двугранный угол всегда меньше или равен 90o.

Пирамида и ее углы

Пирамидой называют фигуру, которая образована одним n-угольником и n треугольниками. Здесь n – целое число, равное количеству сторон многоугольника, который является основанием пирамиды. Данная пространственная фигура является многогранником или полиэдром, поскольку она состоит из плоских граней (сторон).

Двугранные углы многогранника-пирамиды могут быть двух типов:

• между основанием и боковой стороной (треугольником);
• между двумя боковыми сторонами.

Если рассматривается пирамида правильная, то названные углы для нее определить несложно. Для этого по координатам трех известных точек следует составить уравнение плоскостей, а затем воспользоваться приведенной в пункте выше формулой для угла φ.

Ниже приведем пример, в котором покажем, как найти двугранные углы при основании пирамиды четырехугольной правильной.

Четырехугольная правильная пирамида и угол при ее основании

Предположим, что дана правильная пирамида с квадратным основанием. Длина стороны квадрата равна a, высота фигура составляет h. Найдем угол между основанием пирамиды и ее боковой стороной.

Поместим начало координатной системы в центр квадрата. Тогда координаты точек A, B, C, D, показанных на рисунке, будут равны:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

D = (0; 0; h).

Рассмотрим плоскости ACB и ADB. Очевидно, что направляющий вектор n1¯ для плоскости ACB будет равен:

n1¯ = (0; 0; 1).

Для определения направляющего вектора n2¯ плоскости ADB поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, которые ей принадлежат, например, AD¯ и AB¯, затем, вычислим их векторное произведение. Его результат даст координаты n2¯. Имеем:

AD¯ = D – A = (0; 0; h) – (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B – A = (a/2; a/2; 0) – (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n2¯ = [AD¯ × AB¯] = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a2/2).

Поскольку умножение и деление вектора на число не изменяет его направления, то преобразуем полученный n2¯, разделив его координаты на -a, получим:

n2¯ = (h; 0; a/2).

Мы определили направляющие вектора n1¯ и n2¯ для плоскостей основания ACB и боковой стороны ADB. Остается воспользоваться формулой для угла φ:

φ = arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1¯| × |n2¯|)) = arccos (a / (2 × √h2 + a2/4)).

Преобразуем полученное выражение и перезапишем его так:

φ = arccos (a / √(a2 + 4 × h2)).

Мы получили формулу для двугранного угла при основании для правильной четырехугольной пирамиды. Зная высоту фигуры и длину ее стороны, можно рассчитать угол φ. Например, для пирамиды Хеопса, сторона основания которой составляет 230,4 метра, а начальная высота равнялась 146,5 метра, угол φ будет равен 51,8o.

Определить двугранный угол для четырехугольной правильной пирамиды также можно с помощью геометрического метода. Для этого достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой h, половиной длины основания a/2 и апофемой равнобедренного треугольника.

§ 14. Пирамида

14.1. Определение пирамиды и её элементов

Определение. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 95, 96).

Многоугольник называется основанием пирамиды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды, их общая вершина — вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания, называются боковыми рёбрами пирамиды.

Пирамиду с основанием АВСDЕ и вершиной Р обозначают PABCDE.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник.

На рисунке 96 изображена четырёхугольная пирамида PABCD, у которой: четырёхугольник ABCD — основание пирамиды; точка Р — вершина пирамиды; отрезки РA, РВ, PC, PD — боковые рёбра пирамиды; отрезки АВ, ВС, CD, DA — стороны (рёбра) основания пирамиды; отрезок РО — высота пирамиды; треугольники РАВ, РВС, PCD, PDA — боковые грани пирамиды.

У n-угольной пирамиды имеется (n + 1) вершин, 2n рёбер и (n + 1) граней. Диагоналей пирамида не имеет. В пирамиде различают плоские углы при её вершине и двугранные углы при её рёбрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.

Треугольную пирамиду (рис. 97) называют также тетраэдром («тетраэдр» по-гречески означает «четырёхгранник»). Тетраэдр — это многогранник с наименьшим числом граней. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид.

Любую пирамиду можно разбить на некоторое число тетраэдров, а любой выпуклый многогранник — на некоторое число пирамид. Для этого достаточно, например, взять любую точку внутри данного многогранника и соединить её отрезками со всеми его вершинами. Такое разбиение часто используется при нахождении объёмов многогранников.

14.2. Некоторые виды пирамид

Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

Доказательство. а) Пусть отрезок РО — высота пирамиды PABCDEF, все рёбра которой составляют с плоскостью основания угол ϕ (рис. 98). Тогда прямоугольные треугольники РОА, POB, POC, POD, РОЕ и POF, имея общий катет РО, равны между собой (по катету и острому углу ϕ). Из равенства этих треугольников следует: ОА = OВ = ОС = OD  = OE = OF, т. е. вершины основания пирамиды равноудалены от основания О её высоты РО. Это означает, что точка О — центр окружности, описанной около основания ABCDEF данной пирамиды.

б) Из ОА = OВ = ОС = OD = ОЕ = OF следует, что боковые рёбра РА, РВ, PC, PD, РЕ, PF пирамиды равны, как наклонные, имеющие равные проекции, т. е. РА = РВ = PC = PD  = РЕ = PF. Что и требовалось доказать. ▼

Вы самостоятельно можете доказать обратные утверждения.

1. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около её основания, то: а) все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

2. Если все боковые рёбра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью её основания равные между собой углы.

Также имеет место следующее утверждение.

Если высота пирамиды пересекает её основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в её основание.

Доказательство. Пусть РО — высота пирамиды PABCDE, боковые грани которой образуют с плоскостью основания пирамиды двугранные углы, равные ϕ (рис. 99).

Проведём высоты РН1, РH2, РН3, PH4, РH5 боковых граней.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем OH1 ⟂ AB, OH2 ⟂ BC, OH3 ⟂ CD, OH4 ⟂ DE, OH5 ⟂ EA, следовательно, ∠OH1P  = ∠ OH2P = ∠ OH3P = ∠ OH4P  = ∠ OH5P = ϕ. Поэтому △ OH1P  = △ OH2P = △ OH3P = △ OH4P  = △ OH5P (как прямоугольные с общим катетом OP и острым углом ϕ). Из равенства этих треугольников следует ОН1  = OH2 = OH3 = ОН4 = ОН5, т. е. точка О — основание высоты РО пирамиды — равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE. Это означает, что точка O является центром окружности, вписанной в основание ABCDE данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

Самостоятельно докажите обратное утверждение.

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.

Перечислим ещё несколько часто встречающихся в задачах видов пирамид.

• Пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани (рис. 100).

• Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высотой такой пирамиды служит боковое ребро, общее для этих граней (рис. 101).

• Пирамида, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней (рис. 102).

14.3. Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого основания.

Из определения следует алгоритм построения изображения правильных пирамид, что, в свою очередь, доказывает существование таких пирамид.

Для построения изображения правильной пирамиды достаточно построить изображение соответствующего правильного многоугольника (основания пирамиды) и его центра. Затем из построенного центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и выбрать на этом перпендикуляре (в качестве вершины пирамиды) любую точку, отличную от центра многоугольника. Соединив отрезками прямых эту точку со всеми вершинами многоугольника, получим изображение правильной пирамиды.

На рисунке 103, а, б, в построены изображения правильных пирамид: а) треугольной; б) четырёхугольной; в) шестиугольной.

Правильные пирамиды обладают замечательным свойством.

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Доказательство. Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду РА1А2…An. Пусть точка O — центр n-угольника A1A2A3…An; отрезок РО — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (рис. 104).

Так как центр правильного многоугольника является центром окружности, описанной около этого многоугольника, то ОА1 = OA2 = OA3 = … = OAn (как радиусы описанной окружности). Тогда равны боковые рёбра пирамиды, как наклонные к плоскости её основания, имеющие равные проекции, т. е. PA1 = PA2 = PA3 = … = PAn.

Таким образом, имеем:

РА1 = РA2 = … = PAn (как боковые рёбра);

A1A2 = A2A3 = … = AnA1 (как стороны правильного n-угольника).

Следовательно, треугольники PA1A2, РA2A3, …, PAnA1 являются равнобедренными и по третьему признаку равенства треугольников равны между собой.

Это свойство правильной пирамиды можно доказать при помощи поворота пирамиды вокруг оси, содержащей её высоту.

Так как точка О — центр правильного n-угольника A1A2A3…An, лежащего в основании правильной пирамиды PA1A2…An, РО — перпендикуляр к плоскости её основания, то при вращении данной пирамиды вокруг оси ОР на угол, равный (где k = 1, 2, 3, …, n), происходит самосовмещение этой пирамиды: вершины основания пирамиды отображаются на его же вершины (основание совмещается с самим собой); вершина Р (как точка оси вращения) отображается на себя. Следовательно, боковые рёбра пирамиды отображаются на боковые рёбра, а боковые грани пирамиды — на её боковые грани. А так как вращение вокруг прямой — движение, то все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, а грани являются равными равнобедренными (почему?) треугольниками. Утверждение доказано. ▼

Следствием доказанного выше является утверждение.

Все боковые рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.

Докажите это предложение самостоятельно.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к ребру её основания, называется апофемой пирамиды. На рисунке 104 отрезок РН — одна из апофем пирамиды.

Все апофемы правильной пирамиды равны вследствие равенства всех её боковых граней.

Имеют место признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все её боковые рёбра равны; б) все её боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Докажите это самостоятельно.

 ЗАДАЧА (2.245). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол α. Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и пересекающая её. Найти площадь сечения.

Дано: PABCD — правильная пирамида (рис. 105); РО — высота пирамиды, РО = h; ∠ OPF = α.

Найти: SADKM.

Решение. Первый способ. Пусть отрезок EF — средняя линия основания пирамиды. Тогда AD ⟂ EF, AD ⟂ PF ⇒ АD ⟂ (РEF) ⇒ (PEF) ⟂ (ADP) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Поэтому прямая PF является ортогональной проекцией прямой РO на плоскость ADP. Значит, ∠ OPF — угол между высотой PO и боковой гранью ADP пирамиды: ∠ OPF = α.

Далее имеем: AD ⟂ (PEF), ВС || AD ⇒ ВC ⟂ (PEF) ⇒ прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости PEF. Поэтому если FL ⟂ РЕ (в плоскости PEF), то BС ⟂ FL. Тогда FL ⟂ ВС, FL ⟂ PE ⇒ FL ⟂ (BCP) ⇒ (ADL) ⟂  (ВCР) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей); при этом (ADL) ∩ (ВСР) = МK, МK || AD, так как плоскости ВСР и АDL проходят через параллельные прямые ВС и AD. Значит, сечение ADKM — трапеция, у которой FL — высота (почему?), откуда

Sсеч = •FL.

Найдём AD, МK и FL.

В △ OPF (∠ POF = 90°):

OF = OP•tg α = h•tg α; PF =  =  = PE.

Поэтому

EF = 2FO = 2h•tg α = ВС.

В плоскости PEF получаем:

FL ⟂ РЕ, РО ⟂ EF ⇒ ∠ EFL = ∠ OPE = α.

Тогда в △ ЕFL: FL = ЕF•cos α = 2h•tg α•cos α = 2hsin α;

в △ PLF (∠ PLF = 90°, ∠ PFL = 90° – 2α):

PL = PF•sin (90° – 2α) = PF•cos 2α = .

Так как MK | | BC, то △ МKР ∾ △ ВСР, откуда

Таким образом,

AD = EF = 2h•tg α, FL = 2h•sin α, MK = 2h•tg α•cos 2α.

Тогда

Замечание. Отрезок MK можно найти следующим образом. Сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MK параллельно основанию пирамиды, является квадрат MKD1A1 (см. рис. 105). F1 = A1D1 ∩ PF. У этого квадрата LF1 = MK. Найдём F1L.

В треугольнике LFF1 имеем ∠ FLF1 = α (LF1 || EF),

∠ F1FL = ∠ OFP – ∠ OFL = (90° – α) – α = 90° – 2α;

∠ FF1L = 180° – ∠ OFF1 = 90° + α. Тогда по теореме синусов

Значит, MK = LF1 = 2h•tg α•cos 2α.

Второй способ.  Пусть точки M1, K1, L1 — ортогональные проекции на плоскость основания соответственно точек М, K, L (рис. 105, 106). Так как плоскости АСР, BDP и EFP перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то ортогональными проекциями прямых PC, РВ и РЕ на эту плоскость являются соответственно прямые АС, BD и EF. Следовательно, M1 ∈ BD, K1 ∈ AC, L1 ∈ EF, причём четырёхугольник ADK1M1 — равнобедренная трапеция.

Таким образом, трапеция ADK1M1 — ортогональная проекция сечения ADKM. Это означает, что SADKM = . Найдём . Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и M1K1 || AD, то OL1 = L1K1, OF = FD. Значит,

 = •L1F = •FL1 = .

Тогда

SADKM =  =  = 4h2•sin2 α•cos α.

Ответ: 4h2•sin2 α•cos α.

14.4.Площади боковой и полной поверхностей пирамиды

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. В этой связи различают боковую и полную поверхности пирамиды, а также их площади.

Площадью боковой поверхности пирамиды (обозначают Sбок) называется сумма площадей всех её боковых граней: Sбок = S1 + S2 + … + Sn, где S1, S2, …, Sn — площади боковых граней пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды (обозначают Sполн) называется сумма площадей всех её граней, т. е. сумма площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности.

Из определения следует: Sполн = Sбок + Sосн.

О площади боковой поверхности правильной пирамиды имеет место следующая теорема.

Теорема 18. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Доказательство. PA1A2…An — правильная пирамида, a — длина её апофемы (рис. 107).

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, у которых основаниями являются стороны правильного n-угольника A1A2…An, а высоты равны апофеме пирамиды, т. е.

РE1 = РE2 = PE3 = … = PEn = a.

Тогда

где Р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана. ▼

Теорема 19. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ϕ и высота пересекает основание, то Sбок = .

Доказательство. Пусть отрезок PO — высота пирамиды РA1A2A3…An, все боковые грани которой образуют с плоскостью основания углы, равные ϕ (рис. 108); отрезки PH1, PH2, …, PHn — высоты боковых граней. Тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) OH1 ⟂ A1A2, OH2 ⟂ A2A3, …, OHn ⟂ AnA1. Значит,

Так как точка О является центром круга, вписанного в основание пирамиды (почему?), то эта точка лежит внутри n-угольника A1A2A3…An. Поэтому n-угольник A1A2…An является объединением непересекающихся треугольников A1OA2, A2OA3, …, AnOA1. Эти треугольники являются ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды её соответствующих боковых граней. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:

Сложив почленно эти равенства, получим Sосн = Sбок•cos ϕ, откуда Sбок = . Теорема доказана. ▼

Так как все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (пусть величина этих углов равна ϕ, см. рис. 107), то для площади боковой поверхности и площади основания правильной пирамиды также справедлива формула

Sбок = .

14.5. Свойства параллельных сечений пирамиды

Если плоскость α параллельна основанию пирамиды и пересекает её, то в сечении пирамиды получается некоторый многоугольник (рис. 109).

Теорема 20. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательство. 1) Пусть сечением пирамиды PABCD плоскостью α, параллельной плоскости β её основания, является четырёхугольник A1B1C1D1 (см. рис. 109).

Проведём высоту РО данной пирамиды и обозначим O1 = РО ∩ α.

Рассмотрим гомотетию с центром Р, при которой плоскость основания данной пирамиды отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание ABCD пирамиды на её параллельное сечение — многоугольник А1В1С1D1, при этом вершины А, В, С, D основания пирамиды — на вершины соответственно A1, B1, C1, D1, а точку O — на точку O1 (почему?).

Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

 =  =  =  =  = k, (*)

где k — коэффициент гомотетии . Это означает, что параллельное сечение пирамиды делит её рёбра и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то многоугольник A1B1C1D1, являющийся параллельным сечением пирамиды, подобен её основанию ABCD.

Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии, а k = РO1 : РО, где РO1 и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

SA1B1C1D1 : SABCD = k2 = : PO2.

Теорема доказана. ▼

Следствие. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая её, отсекает пирамиду, подобную данной.

14.6. Усечённая пирамида

Плоскость α, параллельная основанию пирамиды PABCD и пересекающая её, делит эту пирамиду на два многогранника: пирамиду РA1B1C1D1 и многогранник ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 109).

Многогранник ABCDA1B1C1D1 (рис. 110) называют усечённой пирамидой. Грани ABCD и A1B1C1D1, лежащие в параллельных плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усечённой пирамиды, остальные грани — её боковыми гранями. Так как нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды гомотетичны (т. 20), то все её боковые грани — трапеции.

Таким образом, усечённой пирамидой называется часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и параллельным ему сечением.

У n-угольной усечённой пирамиды 2n вершин, 3n рёбер, (n + 2) грани и n(n – 3) диагоналей.

Высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усечённой пирамиды. На рисунке 110 отрезки О1О, B1K — высоты усечённой пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена из правильной пирамиды (рис. 111).

Из теоремы 20 следует, что основания правильной усечённой пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций, соединяющие середины их оснований, называются апофемами усечённой пирамиды. Все её апофемы равны между собой.

Отрезок OO1, соединяющий центры оснований правильной усечённой пирамиды, является её высотой.

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её боковых граней.

Для правильной усечённой пирамиды имеет место

Теорема 21. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему.

Для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. В результате получим формулу Sбок = •h, где Р1, P2 — периметры нижнего и верхнего оснований усечённой пирамиды, h — её апофема.

Проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Полная поверхность усечённой пирамиды — это объединение её оснований и боковой поверхности, поэтому для усечённой пирамиды

Sполн = Sбок + S1 + S2,

где S1 и S2 — площади большего и меньшего оснований этой пирамиды.

Для усечённой пирамиды, у которой все двугранные углы при рёбрах большего основания равны ϕ, справедливо: Sбок = . (Для вывода этой формулы достаточно учесть следующий факт: если R и r — радиусы окружностей, вписанных соответственно в большее и меньшее основания данной пирамиды, то S1 = 0,5•P1•R, S2 = 0,5•P2•r, cos ϕ = , где h — высота боковой грани этой пирамиды.)

14.7. Объём пирамиды

Лемма. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство. Пусть пирамиды РАВС и P1A1B1C1 имеют высоты, равные H, и равновеликие основания с площадью S; их объёмы — соответственно V1 и V2. Докажем, что V1 = V2.

Расположим пирамиды РАВС и P1A1B1C1 так, чтобы их основания лежали в одной плоскости, а сами пирамиды были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 112). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований и пересекающая первую пирамиду, пересекает и вторую, причём по теореме о параллельных сечениях пирамиды площади этих сечений равны. Следовательно, на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих пирамид. Лемма доказана. ▼

Теорема 22. Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Пусть А1AВC — данная треугольная пирамида с вершиной A1 и основанием ABC (рис. 113). Дополним эту пирамиду до треугольной призмы ABCA1B1C1 с тем же основанием, одним из боковых рёбер которой является боковое ребро АA1 данной пирамиды. Это означает, что высота призмы равна высоте данной пирамиды.

Призма АВCA1B1C1 является объединением трёх треугольных пирамид с общей вершиной A1: A1ABC, A1BB1C1 и A1BCC1. Основания BB1C1 и BCC1 пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 равны, а высота у них общая. Значит, по лемме эти пирамиды имеют равные объёмы.

Будем считать точку В вершиной пирамиды A1BB1C1, a △ A1B1C1 — её основанием. Тогда эта пирамида равновелика пирамиде А1AВС, так как у них общая высота, а основания АВС и A1B1C1 равновелики (как основания призмы). Таким образом, призма ABCA1B1C1 является объединением трёх равновеликих пирамид, одной из которых является данная пирамида A1ABC. Это означает, что объём V пирамиды A1АВС составляет одну треть объёма призмы ABCA1B1C1, т. е. V =  Socн•Н, где Н — длина высоты призмы. Но построенная призма и данная пирамида имеют общую высоту, длина которой равна Н, следовательно, объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле

V =  Sосн•H,

где Н — длина высоты данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

На рисунке 114 изображены треугольная призма ABCDEF и составляющие её три равновеликие треугольные пирамиды ABDF, ABCF и BDEF.

Для вычисления объёма n-угольной пирамиды PA1A2…An (рис. 115) разобьём её основание A1A2…An диагоналями A1A3, A1A4, …, A1An – 1 на треугольники с общей вершиной A1. Тогда данная пирамида разбивается в объединение пирамид PA1A2A3, PA1A3A4, …, PA1An – 1An с общей вершиной Р и общей высотой, которая равна высоте данной пирамиды. Основаниями этих пирамид являются треугольники разбиения основания данной пирамиды. Это означает (свойство 2 объёмов), что объём V пирамиды PA1A2…An равен сумме объёмов V1, V2, …, Vn – 2 треугольных пирамид соответственно PA1A2A3, PA1A3A4, …, PA1An – 1An.

Пусть длина высоты пирамиды равна Н, площадь её основания — S, а площади треугольников разбиения этого основания равны S1, S2, …, Sn – 2. Это означает, что S1 + S2 + … + Sn – 2 = S. Тогда получаем:

V = V1 + V2 + … + Vn – 2 =  H(S1 + S2 + … + Sn – 2) =  S•H.

Таким образом, объём любой пирамиды вычисляется по формуле

V = Sосн•H,

где Sосн — площадь основания, Н — длина высоты пирамиды.

Итак, доказана теорема.

Теорема 23. Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. ▼

14.8. Об объёме тетраэдра

У тетраэдра за основание можно принять любую его грань, на каждую из которых можно провести высоту тетраэдра из вершины, противоположной этой грани. Поэтому для объёма V одного и того же тетраэдра имеют место соотношения

V =  S1•h1 =  S2•h2 =  S3•h3 =  S4•h4,

где Sk и hk (k = 1, 2, 3, 4) — площадь грани и длина опущенной на неё высоты. Эти соотношения часто используют при решении задач.

Заметим, что не в любом тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной точке (для сравнения — все три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке). Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим.

Интересен также тетраэдр (рис. 116, а), все грани которого равны. Такой тетраэдр называется равногранным. Его развёрткой является остроугольный треугольник (рис. 116, б).

Докажите самостоятельно, что в равногранном тетраэдре:

—скрещивающиеся рёбра попарно равны;

—все высоты равны;

—сумма плоских углов трёхгранного угла при каждой вершине тетраэдра равна 180°;

—двугранные углы при скрещивающихся рёбрах тетраэдра равны.

Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр A1C1BD. Проведём через каждое его ребро плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведённые шесть плоскостей при пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDA1В1C1D1 (рис. 117), параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 которого содержат скрещивающиеся рёбра А1C1 и BD данного тетраэдра. Тогда расстояние между основаниями АВСD и А1В1С1D1 полученного параллелепипеда равно длине его высоты и равно расстоянию между скрещивающимися рёбрами А1C1 и BD данного тетраэдра.

Этот параллелепипед можно разбить на пять тетраэдров — данный тетраэдр A1С1ВD и ещё четыре тетраэдра: A1ABD; ВВ1A1C1; C1CBD; DD1A1C1. Объём каждого из четырёх последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD, т. е. шестой части объёма V полученного параллелепипеда.

Таким образом,

где ϕ — угол между диагоналями АС и BD параллелограмма ABCD. А так как AC || A1C1, то величина угла между скрещивающимися диагоналями A1С1 и BD тетраэдра А1С1BD также равна ϕ.

Мы получили: объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся рёбер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти рёбра.

Отметим ещё несколько очевидных и менее очевидных свойств тетраэдров, связанных с их объёмами.

1. Объёмы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания.

2. Объёмы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равные трёхгранные углы, относятся, как произведения длин рёбер, образующих эти углы.

Используя рисунок 118, вы сможете легко доказать третье утверждение.

14.9. Объём усечённой пирамиды

Теорема 24. Объём усечённой пирамиды, у которой площади оснований равны S1 и S2, а высота — Н, вычисляется по формуле

V = H(S1 +  + S2).

Доказательство. Пусть дана усечённая пирамида (рис. 119), у которой S1 > S2, а высота OO1 = H. Дополним эту пирамиду до полной пирамиды с вершиной Р. Объём V данной усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и дополнительной пирамид.

Если длина высоты PO1 дополнительной пирамиды равна x, то высота PO полной пирамиды равна H + x.

Выразим х через S1, S2 и Н. По теореме 20 (o площадях параллельных сечений пирамиды) имеем

S1 : S2 = (H + x)2 : x2 ⇒ :  = (H + x) : x ⇒

⇒

x = .

Поэтому для объёма V усечённой пирамиды находим

что и требовалось доказать. ▼