Единичный вектор как его найти

Единичный вектор как его найти



1.5.5. Как найти единичный вектор?

Единичный вектор – это вектор, длина которого в ортонормированном базисе равна единице. Таковыми являются сами

координатные векторы  и ,  и противоположно направленные им векторы, например:

То, что их длина равна единице, элементарно видно не только по чертежам, но и по формулам .

А теперь рассмотрим произвольный вектор  либо

 и поставим задачу найти

единичный вектор , коллинеарный исходному. Таких векторов будет два. Чтобы найти сонаправленный единичный вектор нужно каждую координату вектора  разделить на его длину:
 либо ,
или, что то же самое – умножить каждую координату вектора   на . То

есть, деление – это частный случай умножения (осознаём и привыкаем). Противоположно направленный единичный

вектор очевиден:
 либо

Задача 10

Найти единичные векторы, коллинеарные векторам а) , б) . Выполнить проверку.

Решение: а) вычислим длину вектора  и найдём

сонаправленный единичный вектор:
, от иррациональности в знаменателе (корня) тут

обычно не избавляются. Проверка состоит в нахождении длины полученного вектора:
, что и требовалось проверить.
Второй вектор очевиден: , как очевидна и его

длина .

Ответ:

Потребность найти единичный вектор возникает не только в геометрических задачах, и поэтому обязательно прорешайте пункт б)

самостоятельно.

1.5.6. Деление отрезка в данном отношении

1.5.4. Действия с векторами в координатах

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Единичный вектор

Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.

i — единичный вектор оси абсцисс;

j — единичный вектор оси ординат;

k — единичный вектор оси аппликат.

i⊥j⊥k, i=j=k=1

В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:

i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)

Единичные векторы являются некомпланарными.

Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.

a=xi+уj+zk

где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Единичный вектор определяется по формуле:

Дан вектор а = (1; 2; -2)

Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а

Находим длину вектора a

затем вычисляем единичный вектор e

Векторное произведения единичных векторов

Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус» . Смотрите схему 1.

На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов

Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.

Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).

iхj=k

Пример 2
Найти векторное произведение jхi.

Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.5 / 5. Количество оценок: 4

Вектор: определение и основные понятия

Определение вектора

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом – точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

рис. 2

Сонаправленные вектора

рис. 3

Противоположно направленные вектора

рис. 4

Компланарные вектора

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Единичные векторы: характеристики, как получить, примеры

Содержание:

В единичные векторы – это те, модуль, величина или размер которых равны числовому значению. Единичные векторы полезны для указания направления других неединичных векторов.

Помните, что векторы – это математические объекты, которые математически представляют физические величины, зависящие от направления, такие как сила, скорость, ускорение и другие.

Независимо от физической величины, с которой они связаны, единичные векторы лишены единиц измерения, и их размер всегда равен 1, чистому числу.

Например, скорость частицы, движущейся со скоростью 3 м / с в положительном направлении декартовой оси X, обозначается: v = (3 м / с) я, где жирным шрифтом обозначены векторные величины. В этом примере модуль v составляет 3 м / с, а модуль единичного вектора я равно 1 (без единиц).

Модуль, направление и смысл

Учитывая, насколько важно установить ориентацию этих величин для того, чтобы узнать их влияние, векторы имеют три важные характеристики: величину или модуль, связанный с размером вектора, направление и смысл. При представлении векторной величины необходимо четко указать эти аспекты.

Теперь единичный вектор может иметь любое направление и любое значение, но величина всегда должна быть равна 1.

Единичные векторы используются для обозначения конкретного направления в пространстве или на плоскости. Если, например, нам нужно работать со всеми силами, которые действуют вдоль горизонтальной оси, то единичный вектор в этом направлении помогает нам отличать эти силы от других, направленных в другом направлении.

А чтобы отличить их от неединичных векторов, в печатных буквах обычно используется жирный шрифт, а сверху ставится каретка, например:

Характеристики единичного вектора

Математически единичный вектор:

Итак, мы можем установить, что:

-Модуль единичного вектора всегда равен 1, не имеет значения, является ли это силой, скоростью или другим вектором.

-Унитарные векторы имеют определенное направление, а также смысл, например единичный вектор в вертикальном направлении, который может иметь смысл вверх или вниз.

-Единичные векторы имеют точку происхождения. Когда она представлена ​​декартовой системой координат, эта точка совпадает с началом системы: (0,0), если это плоскость, или (0,0,0), если вектор находится в трехмерном пространстве.

-Также с единичными векторами вы можете выполнять все операции сложения, вычитания и умножения векторов, которые выполняются с использованием обычных векторов. Следовательно, можно умножать единичный вектор на скаляр, а также выполнять точечное произведение и кросс-произведение.

-С помощью единичного вектора в определенном направлении могут быть выражены другие векторы, которые также ориентированы в этом направлении.

Единичные векторы в пространстве

Чтобы выразить любой вектор в пространстве или на плоскости, можно использовать набор единичных векторов, перпендикулярных друг другу, которые образуют ортонормированный базис. Каждое из трех предпочтительных направлений пространства имеет собственный единичный вектор.

Вернемся к примеру сил, направленных по горизонтальной оси. Это ось абсцисс, которая имеет две возможности: вправо и влево. Предположим, у нас есть единичный вектор на оси x, направленный вправо, который мы можем обозначить любым из следующих способов:

Любой из них действителен. Теперь предположим, что сила F1 величиной 5 Н вдоль этой оси и направленной вправо такую ​​силу можно выразить как:

Если бы сила была направлена ​​вдоль оси x, но в противоположном направлении, то есть влево, то для установления этой разницы можно было бы использовать отрицательный знак.

Например, сила величиной 8 Н, расположенная по оси x и направленная влево, будет выглядеть так:

А для векторов, которые не направлены вдоль декартовых осей, также есть способ представить их в терминах ортогональных единичных векторов, используя их декартовы компоненты.

Как получить / рассчитать единичный вектор?

Чтобы вычислить единичный вектор в направлении любого произвольного вектора v, применяется следующая формула:

Это модуль или величина вектора v, квадрат которого рассчитывается так:

Произвольный вектор через единичный вектор

В качестве альтернативы вектор v можно выразить так:

То есть произведение его модуля и соответствующего единичного вектора. Именно это и было сделано ранее, когда говорилось о силе величиной 5 Н, направленной вдоль положительной оси x.

Графическое представление

Графически это видно на этом изображении, где вектор v он синего цвета, а соответствующий единичный вектор в его направлении – красным.

В этом примере вектор v его величина больше, чем у единичного вектора, но объяснение справедливо, даже если это не так. Другими словами, у нас могут быть векторы, которые, например, в 0,25 раза больше единичного вектора.

Примеры единичных векторов

Перпендикулярные единичные векторы i, j и k

Как мы видели ранее, перпендикулярные единичные векторы я, j Y k они очень полезны для представления любого другого вектора на плоскости или в пространстве, а также для выполнения векторных операций. В терминах этих векторов произвольный вектор v представлен как:

v = vИкся + vYj + vzk

Где VИкс, vY и Vz – прямоугольные компоненты вектора v, которые являются скалярами – жирным шрифтом они не выделяются в печатном тексте.

Закон Кулона

Единичные векторы часто появляются в физике. Вот, например, закон Кулона, который количественно описывает взаимодействие двух точечных электрических зарядов.

В нем говорится, что сила F Притяжение или отталкивание между указанными зарядами пропорционально их произведению, обратно пропорционально квадрату расстояния, которое их разделяет, и направлено в направлении единичного вектора, соединяющего заряды.

Этот вектор обычно представлен:

А закон Кулона в векторной форме выглядит так:

Упражнение решено

Найдите единичный вектор в направлении вектора v = 5я + 4j -8kв условных единицах.

Решение

Применяется определение единичного вектора, данное выше:

Но сначала мы должны вычислить модуль вектора, который, поскольку он состоит из трех компонентов, определяется:

|v| 2 = (5) 2 + (4) 2 + (-8) 2 = 25 + 16 + 64 = 105

Поэтому модуль v это:

Искать единичный вектор просто:

Что в конечном итоге приводит нас к следующему:

v = 0.488 я + 0.390 j – 0.781 k

Ссылки

  1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
  2. Бедфорд, 2000. А. Инженерная механика: Статика. Эддисон Уэсли.
  3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
  4. Джамбаттиста, А. 2010. Физика. 2-й. Эд. Макгроу Хилл.
  5. Резник, Р. (1999). Физический. Том 1. 3-е изд. На испанском языке. Compañía Editor Continental S.A. de C.V.

Кинезический язык: понятие, характеристики, типы, примеры

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/vector-definition/

http://ru1.warbletoncouncil.org/vectores-unitarios-9631

[/spoiler]

Источник


Download Article

Learn how to calculate a unit vector and pass your math test with flying colors


Download Article

  • Unit Vector Formula

    • |

  • How to Calculate a Unit Vector

    • |

  • Vectors

    • |

  • Unit Vectors

    • |

  • Magnitude

    • |

  • Example Problems

    • |

  • Solutions

At some point in your algebra course, you might have to learn about vectors, including unit vectors and magnitude. While your teacher or tutor may have taught a whole class on calculating a unit vector, you might still have some questions about the process. That’s why we’ve broken it down for you, below! Check out our guide to finding a unit vector, including a refresher on what vectors are and the formula for calculating magnitude, so you can ace your next pop quiz.

Things You Should Know

  1. Image titled Use a Diary Step 1

    The formula to find unit vector is {displaystyle {widehat {v}}={tfrac {v}{|v|}}}. You can calculate the unit vector {displaystyle {widehat {v}}} of any vector by dividing the vector by its magnitude {displaystyle |v|}. For instance, to calculate the unit vector of vector a, you would follow this equation: {displaystyle {widehat {a}}={tfrac {a}{|a|}}}.[1]

    2. Advertisement

  1. Image titled Find a Topic for Your Research Paper Step 11

    1

  2. 2

    Divide the vector by its magnitude. Once you’ve determined the magnitude of the vector, take the vector and divide it by its magnitude. So if vector a is {displaystyle (3,4)}, then a = {displaystyle {tfrac {(3,4)}{5}}} = ({displaystyle {tfrac {3}{5}}}, {displaystyle {tfrac {4}{5}}}). The unit vector, then, is ({displaystyle {tfrac {3{widehat {i}}}{5}}+{tfrac {4{widehat {j}}}{5}}}).[3]

    3. Advertisement

  1. A vector is an object that contains both direction and magnitude. A vector is represented as a line on the Cartesian coordinate system, and it is denoted as a set of numbers representing its relationship to the x-axis (the vertical line on the graph) and the y-axis (the horizontal line). A vector’s magnitude refers to the size of the vector and is represented by a line with an arrow on the end. The length of the line denotes the length of the vector, while the direction of the arrow denotes the direction of the vector. Vectors possess both a starting point (the tail) and an ending point (the head, where the arrow is).[4]

  1. A unit vector is a vector with a magnitude of 1. Unit vectors, also called direction vectors, are used to describe the direction of a given vector—or, the angle the vector makes on an x-axis. Unit vectors are marked with a cap symbol, which looks like a little arrow pointing upward: ^.[5]

    2. Advertisement

  1. The magnitude is the length or size of the vector. A vector’s magnitude, also called its norm, denotes its length on an x-axis (or the vertical line on the graph on which the vector appears), giving it numeric value. The magnitude on summarizes the length of the vector on the x-axis, y-axis (the horizontal line), and z-axis. Magnitude is denoted as 2 vertical lines, one on each side of the vector: {displaystyle |v|}. To calculate the magnitude of a given vector with the direction of the x-axis, y-axis, or z-axis, follow the Pythagorean Theorem: add the squares of the vector’s direction ratios. Then, calculate the square root of that sum.[6]

    • The magnitude of {displaystyle {widehat {i}}} would be {displaystyle |i|}, the magnitude of {displaystyle {widehat {j}}} would be {displaystyle |j|}, and the magnitude of {displaystyle {widehat {k}}} would be {displaystyle |k|}.
    • To find the magnitude of vector A, where A = {displaystyle ai+bj+ck} (and where i, j, and k represent the x-axis, y-axis, and z-axis, respectively), use the following equation: {displaystyle |A|} = √{displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2})}.
    • For example, if a=1 and {displaystyle b=2} and c=3, then {displaystyle A=1^{2}+2^{2}+3^{2}}, and {displaystyle |A|} = √{displaystyle (1^{2}+2^{2}+3^{2})} = √9 = 3. Thus, the magnitude of vector A would be 3 units.

  1. 1

    Given vector a = {displaystyle 2{widehat {i}}} + {displaystyle 2{widehat {j}}} + {displaystyle 1{widehat {k}}}, find {displaystyle {widehat {a}}}.

  2. 2

    Given vector a = {displaystyle 4{widehat {i}}} + {displaystyle 3{widehat {j}}}, find {displaystyle {widehat {a}}}.

    3. Advertisement

  1. Image titled Write Movie Scripts Step 3

    1

    Answer #1: {displaystyle {widehat {a}}}={displaystyle {tfrac {2{widehat {i}}}{3}}+{tfrac {2{widehat {j}}}{3}}+{tfrac {1{widehat {k}}}{3}}}. In this problem, we’re asked to find the unit vector of a 3-dimensional vector; hence, the inclusion of the z-axis in the equation. To find the unit vector, we identified the magnitude of the vector and then divided the vector by its magnitude:[7]

  2. Image titled Forget a Bad Dream Step 5

    2

    3. Advertisement

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,141 times.

Did this article help you?

Get all the best how-tos!

Sign up for wikiHow’s weekly email newsletter

Subscribe

You’re all set!

Источник

Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.

Единичный вектор

i — единичный вектор оси абсцисс;

j — единичный вектор оси ординат;

k — единичный вектор оси аппликат.

i⊥j⊥k,  i=j=k=1

В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:

i(1;0;0);j(0;1;0); k(0;0;1);

Замечание 1

Единичные векторы являются некомпланарными.

Замечание 2

Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.

a=xi+уj+zk

где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Единичный вектор определяется по формуле:

Единичный вектор формула

Пример

Дан вектор а = (1; 2; -2)

Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а

Решение

Находим длину вектора a

$left| {vec a} right| = sqrt {{1^2} + {2^2} + {{left( { — 2} right)}^2}}  = 3$

затем вычисляем единичный вектор e

$vec e = left( {frac{1}{3};frac{2}{3}; — frac{2}{3}} right)$

Векторное произведения единичных векторов

Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус». Смотрите схему 1.

схема 1

Схема 1

На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов

  i×i=0      i×j=k        i×k=-j 

  j×i=-k     j×j=0        j×k=i 

  k×i=j      k×j=-i       k×k=0

Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.

Единичные векторы (орты) рисунок

  Решение 
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2)  Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3)  Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).

iхj=k

Пример 2
Найти векторное произведение jхi.

  Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k  -левую).
jхi = −k

20655


Источник

Два единичных вектора на плоскости

Единичный вектор, или орт[1], — вектор нормированного пространства, длина которого равна единице. Единичные вектора используются, в частности, для задания направлений в пространстве. Множество единичных векторов образует единичную сферу.

Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с крышкой: {mathbf {{hat {v}}}}.

Единичный вектор {mathbf {{hat {v}}}} (нормированный вектор), коллинеарный с заданным mathbf{v} , определяется по формуле

{mathbf {{hat {v}}}}={frac {{mathbf {v}}}{|{mathbf {v}}|}}

где {displaystyle {|mathbf {v} |}} есть длина (скалярная величина) вектора mathbf{v}.

В качестве базисных часто выбираются именно единичные векторы, так как это упрощает вычисления. Такие базисы называют нормированными. В том случае, если эти векторы также ортогональны, такой базис называется ортонормированным базисом.

См. также[править | править код]

  • Единичный отрезок

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Большая советская энциклопедия
Источник

Добавить комментарий