Единичный вектор как найти координаты



1.5.5. Как найти единичный вектор?

Единичный вектор – это вектор, длина которого в ортонормированном базисе равна единице. Таковыми являются сами

координатные векторы  и ,  и противоположно направленные им векторы, например:

То, что их длина равна единице, элементарно видно не только по чертежам, но и по формулам .

А теперь рассмотрим произвольный вектор  либо

 и поставим задачу найти

единичный вектор , коллинеарный исходному. Таких векторов будет два. Чтобы найти сонаправленный единичный вектор нужно каждую координату вектора  разделить на его длину:
 либо ,
или, что то же самое – умножить каждую координату вектора   на . То

есть, деление – это частный случай умножения (осознаём и привыкаем). Противоположно направленный единичный

вектор очевиден:
 либо

Задача 10

Найти единичные векторы, коллинеарные векторам а) , б) . Выполнить проверку.

Решение: а) вычислим длину вектора  и найдём

сонаправленный единичный вектор:
, от иррациональности в знаменателе (корня) тут

обычно не избавляются. Проверка состоит в нахождении длины полученного вектора:
, что и требовалось проверить.
Второй вектор очевиден: , как очевидна и его

длина .

Ответ:

Потребность найти единичный вектор возникает не только в геометрических задачах, и поэтому обязательно прорешайте пункт б)

самостоятельно.

1.5.6. Деление отрезка в данном отношении

1.5.4. Действия с векторами в координатах

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Единичный вектор

Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.

i — единичный вектор оси абсцисс;

j — единичный вектор оси ординат;

k — единичный вектор оси аппликат.

i⊥j⊥k, i=j=k=1

В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:

i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)

Единичные векторы являются некомпланарными.

Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.

a=xi+уj+zk

где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Единичный вектор определяется по формуле:

Дан вектор а = (1; 2; -2)

Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а

Находим длину вектора a

затем вычисляем единичный вектор e

Векторное произведения единичных векторов

Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус» . Смотрите схему 1.

На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов

Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.

Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).

iхj=k

Пример 2
Найти векторное произведение jхi.

Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.5 / 5. Количество оценок: 4

Вектор: определение и основные понятия

Определение вектора

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом – точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

рис. 2

Сонаправленные вектора

рис. 3

Противоположно направленные вектора

рис. 4

Компланарные вектора

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Единичные векторы: характеристики, как получить, примеры

Содержание:

В единичные векторы – это те, модуль, величина или размер которых равны числовому значению. Единичные векторы полезны для указания направления других неединичных векторов.

Помните, что векторы – это математические объекты, которые математически представляют физические величины, зависящие от направления, такие как сила, скорость, ускорение и другие.

Независимо от физической величины, с которой они связаны, единичные векторы лишены единиц измерения, и их размер всегда равен 1, чистому числу.

Например, скорость частицы, движущейся со скоростью 3 м / с в положительном направлении декартовой оси X, обозначается: v = (3 м / с) я, где жирным шрифтом обозначены векторные величины. В этом примере модуль v составляет 3 м / с, а модуль единичного вектора я равно 1 (без единиц).

Модуль, направление и смысл

Учитывая, насколько важно установить ориентацию этих величин для того, чтобы узнать их влияние, векторы имеют три важные характеристики: величину или модуль, связанный с размером вектора, направление и смысл. При представлении векторной величины необходимо четко указать эти аспекты.

Теперь единичный вектор может иметь любое направление и любое значение, но величина всегда должна быть равна 1.

Единичные векторы используются для обозначения конкретного направления в пространстве или на плоскости. Если, например, нам нужно работать со всеми силами, которые действуют вдоль горизонтальной оси, то единичный вектор в этом направлении помогает нам отличать эти силы от других, направленных в другом направлении.

А чтобы отличить их от неединичных векторов, в печатных буквах обычно используется жирный шрифт, а сверху ставится каретка, например:

Характеристики единичного вектора

Математически единичный вектор:

Итак, мы можем установить, что:

-Модуль единичного вектора всегда равен 1, не имеет значения, является ли это силой, скоростью или другим вектором.

-Унитарные векторы имеют определенное направление, а также смысл, например единичный вектор в вертикальном направлении, который может иметь смысл вверх или вниз.

-Единичные векторы имеют точку происхождения. Когда она представлена ​​декартовой системой координат, эта точка совпадает с началом системы: (0,0), если это плоскость, или (0,0,0), если вектор находится в трехмерном пространстве.

-Также с единичными векторами вы можете выполнять все операции сложения, вычитания и умножения векторов, которые выполняются с использованием обычных векторов. Следовательно, можно умножать единичный вектор на скаляр, а также выполнять точечное произведение и кросс-произведение.

-С помощью единичного вектора в определенном направлении могут быть выражены другие векторы, которые также ориентированы в этом направлении.

Единичные векторы в пространстве

Чтобы выразить любой вектор в пространстве или на плоскости, можно использовать набор единичных векторов, перпендикулярных друг другу, которые образуют ортонормированный базис. Каждое из трех предпочтительных направлений пространства имеет собственный единичный вектор.

Вернемся к примеру сил, направленных по горизонтальной оси. Это ось абсцисс, которая имеет две возможности: вправо и влево. Предположим, у нас есть единичный вектор на оси x, направленный вправо, который мы можем обозначить любым из следующих способов:

Любой из них действителен. Теперь предположим, что сила F₁ величиной 5 Н вдоль этой оси и направленной вправо такую ​​силу можно выразить как:

Если бы сила была направлена ​​вдоль оси x, но в противоположном направлении, то есть влево, то для установления этой разницы можно было бы использовать отрицательный знак.

Например, сила величиной 8 Н, расположенная по оси x и направленная влево, будет выглядеть так:

А для векторов, которые не направлены вдоль декартовых осей, также есть способ представить их в терминах ортогональных единичных векторов, используя их декартовы компоненты.

Как получить / рассчитать единичный вектор?

Чтобы вычислить единичный вектор в направлении любого произвольного вектора v, применяется следующая формула:

Это модуль или величина вектора v, квадрат которого рассчитывается так:

Произвольный вектор через единичный вектор

В качестве альтернативы вектор v можно выразить так:

То есть произведение его модуля и соответствующего единичного вектора. Именно это и было сделано ранее, когда говорилось о силе величиной 5 Н, направленной вдоль положительной оси x.

Графическое представление

Графически это видно на этом изображении, где вектор v он синего цвета, а соответствующий единичный вектор в его направлении – красным.

В этом примере вектор v его величина больше, чем у единичного вектора, но объяснение справедливо, даже если это не так. Другими словами, у нас могут быть векторы, которые, например, в 0,25 раза больше единичного вектора.

Примеры единичных векторов

Перпендикулярные единичные векторы i, j и k

Как мы видели ранее, перпендикулярные единичные векторы я, j Y k они очень полезны для представления любого другого вектора на плоскости или в пространстве, а также для выполнения векторных операций. В терминах этих векторов произвольный вектор v представлен как:

v = v_Икся + v_Yj + v_zk

Где V_Икс, v_Y и V_z – прямоугольные компоненты вектора v, которые являются скалярами – жирным шрифтом они не выделяются в печатном тексте.

Закон Кулона

Единичные векторы часто появляются в физике. Вот, например, закон Кулона, который количественно описывает взаимодействие двух точечных электрических зарядов.

В нем говорится, что сила F Притяжение или отталкивание между указанными зарядами пропорционально их произведению, обратно пропорционально квадрату расстояния, которое их разделяет, и направлено в направлении единичного вектора, соединяющего заряды.

Этот вектор обычно представлен:

А закон Кулона в векторной форме выглядит так:

Упражнение решено

Найдите единичный вектор в направлении вектора v = 5я + 4j -8kв условных единицах.

Решение

Применяется определение единичного вектора, данное выше:

Но сначала мы должны вычислить модуль вектора, который, поскольку он состоит из трех компонентов, определяется:

|v| 2 = (5) 2 + (4) 2 + (-8) 2 = 25 + 16 + 64 = 105

Поэтому модуль v это:

Искать единичный вектор просто:

Что в конечном итоге приводит нас к следующему:

v = 0.488 я + 0.390 j – 0.781 k

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
2. Бедфорд, 2000. А. Инженерная механика: Статика. Эддисон Уэсли.
3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
4. Джамбаттиста, А. 2010. Физика. 2-й. Эд. Макгроу Хилл.
5. Резник, Р. (1999). Физический. Том 1. 3-е изд. На испанском языке. Compañía Editor Continental S.A. de C.V.

Кинезический язык: понятие, характеристики, типы, примеры

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/vector-definition/

http://ru1.warbletoncouncil.org/vectores-unitarios-9631

[/spoiler]

Вектор, имеющий начальную точку А и конечную точку В, обозначается [overrightarrow{A B}](рис. 1).

Правило нахождения координат вектора

Отложим от начала системы координат два единичных вектора, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора [bar{i}] должно совпадать с осью [O x], а направление вектора [bar{j}] с осью [O y].

Векторы  [bar{i}, bar{j}] — рассматриваемые векторы называются векторами координат или ортами. Эти векторы образуют базис поверхности. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости.

Обозначение: базис обычно пишется в круглых скобках, внутри которых в строгом порядке перечисляются векторы.

Любой вектор плоскости выражается по формуле нахождения координат вектора:

[vec{v}=v_{1} cdot vec{i}+v_{2} cdot vec{j}]

Где числа в этом базисе называются векторными координатами. Но само выражение называется векторным разложением.

Как выразить вектор через его координаты

Чтобы выразить вектор [overrightarrow{A B}(a, b)], где [Aleft(x_{1} ; y_{1}right)], а [Bleft(x_{2} ; y_{2}right)], сначала вычислим разницу между абсциссами [x], чтобы получить [a], затем вычислим разницу между ординатами [y], чтобы получить [b]:

[overrightarrow{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)]

---

Пример 1 

Найти координаты [overrightarrow{A B}] при значении координат точек [A(3 ; 2), B(6 ; 9)].

Решение:

Горизонтальное расстояние равно разнице между абсциссами [x], т.е. 6−3=3. Вертикальное расстояние равно разнице между ординатами [y], где 9−2=7.

Поэтому мы можем обозначить вектор от А до В как:

[overrightarrow{A B}=(3 ; 7)]

Нахождение координат вектора в пространстве

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь все почти так же, как на плоскости, но будет добавлена ​​только одна дополнительная координата.

Любой вектор в пространстве выражается следующим образом:

[vec{v}=v_{1} cdot vec{i}+v_{2} cdot vec{j}+v_{3} cdot vec{k}], где координаты вектора (числа) в заданном базисе.

---

Пример 2

Нужно найти вектор, соединяющий точку А (начало) с координатами (4, 5, 6) с точкой В (конец) с координатами (10, 11, 12).

Решение:

Вектор направлен из точки А в точку В и может быть обозначен как [overrightarrow{A B}]. Таким образом:

[overrightarrow{A B}=(10-4) ;(11-5) ;(12-6)=(6 ; 6 ; 6)]

Как записать вектор на основе единичных векторов

Если мы перейдем от начальной точки к конечной точке [Cleft(x_{y} ; y_{1}right) Dleft(x_{2} ; y_{2}right)], это описывает вектор, который представляет собой смещение на расстояние в направлении [overrightarrow{C D}left(x_{2}-x_{1}right) x] затем с расстояния в направлении [left(y_{2}-y_{1}right) y].

Мы можем обозначить этот вектор двумя способами:

[overrightarrow{C D}=left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}right)] или [overrightarrow{C D}=left(x_{2}-x_{1}right) i+left(y_{2}-y_{1}right) vec{j}]

---

Пример 3

Выразить вектор в виде суммы единичных векторов.

Зная, что каждый квадрат сетки имеет длину 1, представим вектор [overrightarrow{A B}] как [a vec{i}+b vec{j}].

Решение:

Из точки [A](начало), мы перемещаем единицы в горизонтальном направлении (которое представляет собой вектор), затем мы перемещаем единицы в вертикальном направлении (что представляет собой вектор), чтобы перейти к точке [B+2(2 vec{i}) u+3(3 vec{j})].

Вектор [overrightarrow{A B}] что представляет собой прямое движение от [A] к [B] , тогда равна сумме этих единичных векторов.

Как результат: [overrightarrow{A B}=2 vec{i}+3 vec{j}=(2,3)].

Использование векторов и позволяет описать вектор в соответствии с количеством шагов по горизонтали и вертикали длиной 1, которые необходимо сделать, чтобы пройти от начала до конца. Обратите внимание, что отрицательные коэффициенты представляют движение влево или вниз соответственно.

Например, приведенный выше вектор, представляющий смещение на -2 единицы в направлении и на -3 единицы в направлении [overrightarrow{A B}=(-2 ;-3) x y] или [(-2 vec{i})+(-3 vec{j})].

[overrightarrow{A B}=-2 vec{i}-3 vec{j}]

Координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка начала вектора не совпадает с началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. На оси [O_{x y}] заданы координаты точек вектора, где [Aleft(x_{a} ; y_{a}right)] и [Bleft(x_{b} y_{b}right)]. Найти координаты [overrightarrow{A B}].

Зная формулу сложения векторов, имеем [overrightarrow{O A}+overrightarrow{A B}=overrightarrow{O B}], следует: [overrightarrow{A B}=overrightarrow{O B}-overrightarrow{O A}].

[overrightarrow{O A}] и [overrightarrow{O B}] радиус-векторы точек А и В, следовательно, координаты точек: [overrightarrow{O A}=left(x_{a}, y_{a}right), overrightarrow{O B}=left(x_{b} ; y_{b}right)].