Всего: 15 1–15
Добавить в вариант
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Найдите тангенс угла AOB.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Найдите тангенс угла AOB. Сторона одной клетки равна 1.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и 
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла.
Всего: 15 1–15
Один из типов задач в задании 3 – это задачи на нахождение углов.
На клетчатой решетке изображен угол, величину которого надо найти.
Это могут быть самые разнообразные углы:
Методы вычисления могут быть разные.
Принцип большинства заданий – найти прямоугольный треугольник и вычислить у него стороны и найти угол используя синус или косинус или тангенс (в зависимости от задания)
Если необходимо найти тангенс тупого угла, то в начале находим тангенс смежного острого угла и применяем формулу приведения (в ответе появится минус). Напомню, что синус тупого и острого угла имеет один и тот же знак, а вот косинус, так же как и тангенс, тупого и острого угла имеет противоположные знаки.
Если так не получается, то начинаем искать отрезки, треугольники и вычислять стороны. Применять свойство равнобедренных треугольников или теорему косинусов.
Если совсем непонятно, что делать, то встройте угол в прямоугольник и посчитайте все стороны и решение придет
Мы рассмотрели один из типов задач. Главное, поймите принцип, а тогда решите любую задачу.
Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.
Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Итак, рассмотрим задание:
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях )
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ. Решение задачи: найти тангенс угла (на клетках).
несколько способов решения одной задачи.pptx
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов
решения одной задачи
Шишкина Л. В.
учитель математики
МБОУ СОШ №24
хутора Болгов
Усть-Лабинского района
Краснодарского края
Задача: Найдите тангенс угла АОВ
Задача: Найдите тангенс угла АОВ.
Размер клетки 11.
Используем систему координат х y
Используем систему координат
х
y
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Используем определения и формулы тригонометрии
Используем определения и формулы тригонометрии
Используем теорему Пифагора и обратную ей теорему
Используем теорему Пифагора и обратную ей теорему
Используем понятие площади и формулы площади треугольника
Используем понятие площади и формулы площади треугольника
Несколько способов решения одной задачи
Аналогичные задачи.
Аналогичные задачи.
Несколько способов решения одной задачи
х y
х
y
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Порешаем сами?
Порешаем сами?
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
Введите ваш emailВаш email
6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Вычисление синуса, косинуса и тангенса угла треугольника
В прямоугольном треугольнике:
(blacktriangleright) Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: [{large{sin alpha =
dfrac{a}{c}}}]
(blacktriangleright) Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: [{large{cos alpha =
dfrac{b}{c}}}]
(blacktriangleright) Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: [{large{mathrm{tg}, alpha
= dfrac{a}{b}}}]
(blacktriangleright) Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему: [{large{mathrm{ctg},
alpha =dfrac{b}{a}}}]
Важные формулы:
[{large{begin{array}{|lcl|} hline sin^2 alpha+cos^2 alpha
=1&qquad& mathrm{tg}, alpha cdot mathrm{ctg}, alpha
=1\ &&\
mathrm{tg}, alpha=dfrac{sin alpha}{cos
alpha}&&mathrm{ctg}, alpha
=dfrac{cos alpha}{sin alpha}\&&\
hline
end{array}}}]
[begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline & phantom{000}, 0^circ phantom{000}& phantom{000},
30^circ phantom{000} &
phantom{000}, 45^circ phantom{000} & phantom{000}, 60^circ phantom{000}
& phantom{000}, 90^circ phantom{000}\[1ex]
hline sin & 0 ½&frac{sqrt2}2&frac{sqrt3}2 & 1\[1ex]
hline cos & 1 & frac{sqrt3}2&frac{sqrt2}2½ & 0\[1ex]
hline mathrm{tg} & 0 & frac{sqrt3}3&1&sqrt3 & text{не сущ.}\[1ex]
hline mathrm{ctg}& text{не сущ.} &sqrt3&1&frac{sqrt3}3 & 0\[1ex]
hline
end{array}]
Задание
1
#612
Уровень задания: Легче ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle C = 90^{circ}), (sin {angle BAC} = dfrac{2}{3}). Найдите (AC), если (AB = 6sqrt{5}).
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда [dfrac{BC}{AB} = dfrac{2}{3}qquadRightarrowqquad BC = dfrac{2}{3}AB = 4sqrt{5}.]
По теореме Пифагора (AC^2 = AB^2 – BC^2 = 36cdot 5 – 16cdot 5 = 20cdot 5 = 10^2), тогда (AC = 10).
Ответ: 10
Задание
2
#2098
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дан прямоугольный треугольник (ABC), причем (angle C=90^circ). Известно, что (cos angle B=dfrac13), (AB=9). Найдите (BC).
По определению косинуса [cosangle B=dfrac{BC}{AB}=dfrac13 quad
Leftrightarrow quad BC=dfrac13cdot AB=dfrac13cdot 9=3]
Ответ: 3
Задание
3
#2099
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дан треугольник (ABC), причем (angle C=90^circ). Найдите длину его гипотенузы, если (AC=8, cos angle A=dfrac45).
По определению косинуса [cos angle A=dfrac{AC}{AB}=dfrac45
quad Leftrightarrow quad AB=ACcdot dfrac54=10]
Ответ: 10
Задание
4
#3320
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Большее основание равнобедренной трапеции равно (34). Боковая сторона равна (14). Синус острого угла равен (dfrac{2sqrt{10}}7). Найдите меньшее основание.
Проведем (BHperp AD). Из (triangle ABH): [dfrac{2sqrt{10}}7=sinangle A=dfrac{BH}{AB}quadRightarrowquad
BH=4sqrt{10}] Тогда по теореме Пифагора [AH=sqrt{14^2-(4sqrt{10})^2}=6] Так как (AH=0,5(AD-BC)), то (BC=AD-2AH=34-12=22).
Ответ: 22
Задание
5
#3305
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC) угол (C=90^circ), (CH) – высота, (AB=13), (mathrm{tg},angle A=0,2). Найдите (AH).
Так как по определению из (triangle ABC): [dfrac{BC}{AC}=mathrm{tg},angle A=dfrac 15] то можно принять (BC=x), (AC=5x). Следовательно, по теореме Пифагора [BC^2+AC^2=AB^2quadRightarrowquad x^2+(5x)^2=13^2quadRightarrowquad
x^2=dfrac{13}2] Из (triangle AHC): [cos angle A=dfrac{AH}{AC}] Из (triangle ABC): [cos angle A=dfrac{AC}{AB}] Следовательно: [dfrac{AH}{AC}=dfrac{AC}{AB}quadRightarrowquad
AH=dfrac{AC^2}{AB}=dfrac{(5x)^2}{13}=dfrac{25}2=12,5]
Ответ: 12,5
Задание
6
#3306
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC) угол (C=90^circ), (CH) – высота, (AB=26), (mathrm{tg},angle B=5). Найдите (AH).
По определению из (triangle ABC): [dfrac{AC}{BC}=mathrm{tg},angle B=dfrac 51] Следовательно, можно принять (AC=5x), (BC=x). Тогда по теореме Пифагора (x^2+(5x)^2=26^2), откуда (x=sqrt{26}).
Тогда [sinangle B=dfrac{AC}{AB}=dfrac5{sqrt{26}}] По свойству прямоугольного треугольника (angle B=angle HCA). Следовательно, из (triangle HCA): [dfrac5{sqrt{26}}=sin angle HCA=dfrac{AH}{AC}quadRightarrowquad
AH=25]
Ответ: 25
Задание
7
#3307
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC) угол (C=90^circ), (AB=17), (mathrm{tg},angle A=0,25). Найдите высоту (CH).
По определению из (triangle ABC): [dfrac{BC}{AC}=mathrm{tg},angle A=dfrac 14] Следовательно, можно принять (AC=4x), (BC=x). Тогда по теореме Пифагора (x^2+(4x)^2=17^2), откуда (x=sqrt{17}).
Так как площадь прямоугольного треугольника (ABC), с одной стороны, равна (0,5CHcdot AB), а с другой стороны, равна (0,5BCcdot AC), то [CHcdot AB=BCcdot ACquadRightarrowquad CH=dfrac{4x^2}{AB}=4]
Ответ: 4
Уметь оперативно и правильно решать задачи ЕГЭ на вычисление элементов многоугольника необходимо всем выпускникам вне зависимости от того, базовый или профильный уровень экзамена они сдают. Причем этой теме традиционно посвящается несколько заданий. Поэтому, если учащийся рассчитывает получить достойные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то ему обязательно стоит уделить внимание задачам, в которых требуется найти синус, косинус и тангенс угла треугольника.
Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете восполнить пробелы в знаниях и отточить необходимый навык. Весь теоретический и практический материал составлен и изложен таким образом, чтобы все выпускники могли без особых затруднений справляться с задачами ЕГЭ, в которых требуется вычислить тангенс, синус или косинус угла треугольника.
Основные моменты
Первое, что нужно сделать при решении подобных задач в ЕГЭ, – вспомнить, что такое тангенс, косинус и синус угла треугольника. Далее рекомендуется следовать такому алгоритму:
- Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который требуется найти.
- Определяем известные элементы и выявляем тригонометрическую функцию, которая их связывает.
- Записываем получившееся соотношение и применяем подходящую формулу.
Научившись правильно выполнять упражнения на вычисление элементов многоугольника, а также, например, по теме «Окружность, описанная около многоугольника», которые представлены в данном разделе образовательного портала «Школково», вы сможете закрепить материал и без труда справляться с подобными заданиями на аттестационном экзамене.
УСТАЛ? Просто отдохни
