Эквивалентное уравнение как найти

Понимание эквивалентных уравнений в алгебре

Понимание эквивалентных уравнений в алгебре – Науки

Содержание:

Эквивалентные уравнения – это системы уравнений, которые имеют одинаковые решения. Выявление и решение эквивалентных уравнений – ценный навык не только на уроках алгебры, но и в повседневной жизни. Взгляните на примеры эквивалентных уравнений, как решить их для одной или нескольких переменных и как вы можете использовать этот навык за пределами классной комнаты.

Ключевые выводы

• Эквивалентные уравнения – это алгебраические уравнения, которые имеют одинаковые решения или корни.
• Добавление или вычитание одного и того же числа или выражения к обеим сторонам уравнения дает эквивалентное уравнение.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число дает эквивалентное уравнение.

Линейные уравнения с одной переменной

В простейших примерах эквивалентных уравнений нет переменных. Например, эти три уравнения эквивалентны друг другу:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Признать, что эти уравнения эквивалентны, – это здорово, но не особенно полезно. Обычно задача эквивалентного уравнения просит вас решить для переменной, чтобы убедиться, что она такая же (та же корень) как одно в другом уравнении.

Например, следующие уравнения эквивалентны:

В обоих случаях x = 5.Откуда нам это знать? Как вы решите это для уравнения «-2x = -10»? Первый шаг – узнать правила эквивалентных уравнений:

• Добавление или вычитание одного и того же числа или выражения к обеим сторонам уравнения дает эквивалентное уравнение.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число дает эквивалентное уравнение.
• Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень или получение одного и того же нечетного корня приведет к эквивалентному уравнению.
• Если обе части уравнения неотрицательны, возведение обеих сторон уравнения в одну четную степень или получение одного и того же четного корня даст эквивалентное уравнение.

пример

Применяя эти правила на практике, определите, эквивалентны ли эти два уравнения:

• х + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Чтобы решить эту проблему, вам нужно найти «x» для каждого уравнения. Если «x» одинаково для обоих уравнений, то они эквивалентны. Если «x» отличается (т.е. уравнения имеют разные корни), то уравнения не эквивалентны. Для первого уравнения:

• х + 2 = 7
• x + 2-2 = 7-2 (вычитая обе части на одно и то же число)
• х = 5

Для второго уравнения:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1-1 = 11-1 (вычитая обе части на одно и то же число)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (разделив обе части уравнения на одно и то же число)
• х = 5

Итак, да, два уравнения эквивалентны, потому что x = 5 в каждом случае.

Практические эквивалентные уравнения

Вы можете использовать эквивалентные уравнения в повседневной жизни. Это особенно полезно при покупках. Например, вам нравится определенная рубашка. Одна компания предлагает рубашку за 6 долларов с доставкой за 12 долларов, в то время как другая компания предлагает рубашку за 7,50 долларов с доставкой за 9 долларов. Какая рубашка имеет лучшую цену? Сколько рубашек (может быть, вы хотите подарить друзьям) вам придется купить, чтобы цена была одинаковой для обеих компаний?

Чтобы решить эту проблему, пусть x будет числом рубашек. Для начала установите x = 1 для покупки одной рубашки. Для компании №1:

• Цена = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 $

• Цена = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 $

Итак, если вы покупаете одну рубашку, вторая компания предлагает более выгодную сделку.

Чтобы найти точку, в которой цены равны, оставьте «x» числом рубашек, но приравняйте два уравнения друг к другу. Чтобы узнать, сколько рубашек вам нужно купить, решите для “x”:

• 6х + 12 = 7,5х + 9
• 6x – 7,5x = 9-12 (вычитая одинаковые числа или выражения с каждой стороны)
• -1,5х = -3
• 1,5x = 3 (деление обеих сторон на одно и то же число, -1)
• x = 3 / 1,5 (деление обеих сторон на 1,5)
• х = 2

Если вы покупаете две рубашки, цена будет одинаковой, независимо от того, где вы ее купите. Вы можете использовать ту же математику, чтобы определить, какая компания предлагает вам более выгодную сделку с крупными заказами, а также рассчитать, сколько вы сэкономите, используя одну компанию по сравнению с другой. Видите ли, алгебра полезна!

Эквивалентные уравнения с двумя переменными

Если у вас есть два уравнения и две неизвестные (x и y), вы можете определить, эквивалентны ли два набора линейных уравнений.

Например, если вам даны уравнения:

Вы можете определить, эквивалентна ли следующая система:

Чтобы решить эту проблему, найдите «x» и «y» для каждой системы уравнений. Если значения совпадают, то системы уравнений эквивалентны.

Начнем с первого подхода. Чтобы решить два уравнения с двумя переменными, выделите одну переменную и подставьте ее решение в другое уравнение. Чтобы изолировать переменную “y”:

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15–12 лет
• x = – (15 – 12y) / 3 = -5 + 4y (подставьте “x” во втором уравнении)
• 7x – 10y = -2
• 7 (-5 + 4лет) – 10лет = -2
• -35 + 28–10 лет = -2
• 18лет = 33
• у = 33/18 = 11/6

Теперь вставьте «y» обратно в любое уравнение, чтобы найти «x»:

Проработав это, вы в конечном итоге получите x = 7/3.

Чтобы ответить на вопрос, вы мог примените те же принципы ко второму набору уравнений, чтобы решить для «x» и «y», чтобы обнаружить, что да, они действительно эквивалентны. В алгебре легко увязнуть, поэтому неплохо проверить свою работу с помощью онлайн-программы для решения уравнений.

Однако умный ученик заметит, что две системы уравнений эквивалентны без каких-либо сложных вычислений. Единственная разница между первым уравнением в каждом наборе состоит в том, что первое в три раза больше второго (эквивалентного). Второе уравнение точно такое же.

Уравнения эквивалентности кратко и понятно

На практике при изменении условий выплат денежных сумм принцип финансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. Для краткосрочных контрактов процесс приведения, как правило, осуществляется на основе простых ставок. [c.128]

Для каждой конкретной ситуации получается свое уравнение эквивалентности, а в некоторых простых случаях можно обойтись и без него. [c.128]

Этот же результат можно получить, и не пользуясь формулой (49), а составив для данной конкретной ситуации уравнение эквивалентности, руководствуясь принципом финансовой эквивалентности. В соответствии с этим принципом величина платежа Р0 должна быть такой, что, получив через 3 месяца ( о = 0,25 года) Р0 и инвестировав эту сумму под простую процентную ставку г = 0,4, кредитор через время i – о мог бы получить сумму Р = 80 тыс. руб. Таким образом, получим уравнение [c.130]

Решение. При решении задач такого типа пользуются уравнением эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к той же дате. Причем приведение осуществляется путем дисконтирования к болте ранней дате или путем наращения величины соответствующего платежа, если эта дата относится к будущему. [c.132]

Решение. За дату приведения примем 12 апреля – время выплаты 16 тыс. руб. Для лучшего понимания вида уравнения эквивалентности в данном случае укажем явным образом порядковые номера в году представленных в контракте дат 12 апреля – 102 1 сентября – 244 20 мая – 140 10 июля – 191 1 августа – 213. Обозначая остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности [c.136]

Решение. Для пояснения существа дела покажем вначале, как в данном случае можно составить уравнение эквивалентности для определения срока консолидированного платежа. Как и при использовании простой процентной ставки, в этой ситуации для определения срока по консолидированного платежа осуществляют дисконтирование всех сумм по простой учетной ставке на начальный момент (в примере – 15 марта) и затем приравнивают приведенную стоимость консолидированного платежа к. сумме приведенных стоимостей исходных платежей. Решая полученное уравнение относительно и0, находят искомый срок. [c.138]

Воспользуемся таким уравнением эквивалентности для решения рассматриваемого примера. Выберем в качестве момента приведения начальный момент времени. В этом случае уравнение эквивалентности примет вид [c.163]

В качестве момента приведения можно было выбрать любой момент времени. Так, если взять 4 года 6 месяцев, то уравнение эквивалентности примет вид [c.163]

Как и в случае простых процентов, при любой замене платежей в условиях использования сложных процентов должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, соблюдение которого обосновывается составлением соответствующего уравнения эквивалентности. Согласно этому уравнению сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. [c.249]

Что можно сказать о моменте приведения при составлении уравнения эквивалентности, решающего задачу замены платежей в случае использования сложных процентов Верны ли аналогичные выводы для случая простых процентов [c.250]

Обратим внимание, что такой же результат получим, выбрав в качестве момента приведения любой другой момент времени. Пусть, например, в качестве момента приведения выбрано начало шестого года (т.е. конец пятого года). В этом случае уравнение эквивалентности примет вид [c.257]

Выбирая за дату приведения момент заключения финансового соглашения, запишем уравнение эквивалентности [c.258]

Для нахождения эквивалентных ставок составляют уравнения эквивалентности по следующим правилам. Рассматривается результат инвестирования капитала Р на срок и лет [c.108]

На основе равенства двух выражений можно составить уравнения эквивалентности для различных вариантов. Так, приравнивая наращенные суммы при различных схемах начисления простых и сложных процентов [c.109]

Р (1 + ш), S = Р (1 + /с)и, получим уравнение эквивалентности [c.109]

Для различных вариантов начисления сложных процентов используем следующее уравнение эквивалентности [c.109]

Это уравнение эквивалентно следующему [c.74]

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. [c.103]

Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности, приравнивая формулы (3.1) и (3.6) [c.105]

Поскольку финансовые результаты обеих операций должны быть равны, составляем следующее уравнение эквивалентности [c.106]

Эквивалент. Закон эквивалентов

Материалы портала onx.distant.ru

Эквивалент. Закон эквивалентов

Эквивалент – реальная или условная частица вещества Х, которая в данной кислотно-основной реакции или реакции обмена эквивалентна одному иону водорода Н + (одному иону ОН — или единичному заряду), а в данной окислительно- восстановительной реакции эквивалентна одному электрону.

Фактор эквивалентности f_экв(X) – число, показывающее, какая доля реальной или условной частицы вещества Х эквивалентна одному иону водорода или одному электрону в данной реакции, т.е. доля, которую составляет эквивалент от молекулы, иона, атома или формульной единицы вещества.

Наряду с понятием “количество вещества”, соответствующее числу его моль, используется также понятие количество эквивалентов вещества.

Закон эквивалентов: вещества реагируют в количествах, пропорциональных их эквивалентам. Если взято n(экв₁) моль эквивалентов одного вещества, то столько же моль эквивалентов другого вещества n(экв₂) потребуется в данной реакции, т.е.

При проведении расчетов необходимо использовать следующие соотношения:

1. Молярная масса эквивалента вещества X равна его молярной массе, умноженной на фактор эквивалентности:

2. Количество эквивалентов вещества X определяется делением его массы на молярную массу эквивалента:

3. Объём моль-эквивалента газа Х при н.у. равен молярному объёму газа, умноженному на фактор эквивалентности:

4. Молярная масса эквивалента сложного вещества равна сумме молярных масс эквивалентов составляющих это вещество атомов (ионов).

5. Молярная масса эквивалента оксида равна молярной массе эквивалента элемента плюс молярная масса эквивалента кислорода.

6. Молярная масса эквивалента гидроксида металла равна молярной массе эквивалента металла плюс молярная масса эквивалента гидроксила, например:

М[½Са(ОН)₂] = 20 + 17 = 37 г/моль.

7. Молярная масса эквивалента сульфата металла равна молярной массе эквивалента металла плюс молярная масса эквивалента SO₄ 2- , например,

М(½ СаSO₄) = 20 + 48 = 68 г/моль.

Эквивалент в кислотно-основных реакциях

На примере взаимодействия ортофосфорной кислоты со щелочью с образованием дигидро-, гидро- и среднего фосфата рассмотрим эквивалент вещества H₃PO₄.

Эквивалент NaOH соответствует формульной единице этого вещества, так как фактор эквивалентности NaOH равен единице. В первом уравнении реакции молярное соотношение реагентов равно 1:1, следовательно, фактор эквивалентности H₃PO₄ в этой реакции равен 1, а эквивалентом является формульная единица вещества H₃PO₄.

Во втором уравнении реакции молярное отношение реагентов H₃PO₄ и NaOH составляет 1:2, т.е. фактор эквивалентности H₃PO₄ равен 1/2 и её эквивалентом является 1/2 часть формульной единицы вещества H₃PO₄ .

В третьем уравнении реакции количество веществ реагентов относятся друг к другу как 1:3. Следовательно, фактор эквивалентности H₃PO₄ равен 1/3, а её эквивалентом является 1/3 часть формульной единицы вещества H₃PO₄.

Таким образом, эквивалент вещества зависит от вида химического превращения, в котором принимает участие рассматриваемое вещество.

Следует обратить внимание на эффективность применения закона эквивалентов: стехиометрические расчёты упрощаются при использовании закона эквивалентов, в частности, при проведении этих расчётов отпадает необходимость записывать полное уравнение химической реакции и учитывать стехиометрические коэффициенты. Например, на взаимодействие без остатка 0,25 моль-экв ортофосфата натрия потребуется равное количество эквивалентов вещества хлорида кальция, т.е. n(1/2CaCl₂) = 0,25 моль.

Эквивалент в окислительно-восстановительных реакциях

Фактор эквивалентности соединений в окислительно-восстановительных реакциях равен:

где n – число отданных или присоединенных электронов.

Для определения фактора эквивалентности рассмотрим три уравнения реакций с участием перманганата калия:

В результате получаем следующую схему превращения KMnO₄.

в кислой среде: Mn +7 + 5e = Mn +2

в нейтральной среде: Mn +7 + 3e = Mn +4

в щелочной среде: Mn +7 + 1e = Mn +6

Схема превращений KMnO₄ в различных средах

Таким образом, в первой реакции f_экв(KMnO₄) = 1/5, во второй – f_экв(KMnO₄) = 1/3, в третьей – f_экв(KMnO₄) = 1.

Следует подчеркнуть, что фактор эквивалентности дихромата калия, реагирующего в качестве окислителя в кислой среде, равен 1/6:

Примеры решения задач

Задача 1. Определить фактор эквивалентности сульфата алюминия, который взаимодействует со щелочью.

Решение. В данном случае возможно несколько вариантов ответа:

Задача 2. Определить факторы эквивалентности Fe₃О₄ и KCr(SO₄)₂ в реакциях взаимодействия оксида железа с избытком хлороводородной кислоты и взаимодействия двойной соли KCr(SO₄)₂ со стехиометрическим количеством щёлочи КОН с образованием гидроксида хрома (III).

Задача 3. Определить факторы эквивалентности и молярные массы эквивалентов оксидов CrО, Cr₂О₃ и CrО₃ в кислотно-основных реакциях.

CrО₃ – кислотный оксид. Он взаимодействует со щёлочью:

Молярные массы эквивалентов рассматриваемых оксидов равны:

М_экв(CrО) = 68(1/2) = 34 г/моль,

Задача 4. Определить объём 1 моль-экв О₂, NH₃ и H₂S при н.у. в реакциях:

V_экв(NH₃) = 22,4× 1/3 = 7,47 л – в первой реакции.

V_экв(NH₃) = 22,4× 1/5 = 4,48 л – во второй реакции.

В третьей реакции для сероводорода V_экв(H₂S)=22,4 1/6 = 3,73 л.

Задача 5. 0,45 г металла вытесняют из кислоты 0,56 л (н.у.) водорода. Определить молярную массу эквивалента металла, его оксида, гидроксида и сульфата.

Задача 6. Рассчитать массу перманганата калия, необходимую для окисления 7,9 г сульфита калия в кислой и нейтральной средах.

f_экв(K₂SО₃) = 1/2 (в кислой и нейтральной среде).

В кислой среде М_экв(KMnO₄) = 158·1/5 = 31,6 г/моль, m(KMnO₄) = 0,1·31,6 = 3,16 г.

В нейтральной среде М_экв (KMnO₄) = 158·1/3 = 52,7 г/моль, m(KMnO₄) = 0,1·52,7 =5,27 г.

Задача 7. Рассчитать молярную массу эквивалента металла, если оксид этого металла содержит 47 мас.% кислорода.

Выбираем для расчётов образец оксида металла массой 100 г. Тогда масса кислорода в оксиде составляет 47 г, а масса металла – 53 г.

В оксиде: n_экв (металла) = n_экв(кислорода). Следовательно:

53:М_экв(Ме) = 47:(32·1/4). В результате получаем М_экв(Ме) = 9 г/моль.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Молярная масса эквивалента металла равна 9 г/моль. Рассчитать молярную массу эквивалента его нитрата и сульфата.

Ответ: 71 г/моль; 57 г/моль.

2.2. Молярная масса эквивалента карбоната некоторого металла составляет 74 г/моль. Определить молярные массы эквивалентов этого металла и его оксида.

Ответ: 44 г/моль; 52 г/моль.

2.3. Рассчитать объём 1 моля эквивалента сероводорода (н.у.), который окисляется до оксида серы (IV).

Ответ: 3,73 л.

2.4. Определить молярную массу эквивалента Ni(OH)Cl в реакциях:

Ni(OH)Cl + NaOH = Ni(OH)₂ + NaCl.

Ответ: 55,6 г/моль; 111,2 г/моль.

2.5. При взаимодействии 4,8 г неизвестного металла и 13 г цинка с соляной кислотой выделяется одинаковый объём водорода. Вычислить молярные массы эквивалентов металла, его оксида и его хлорида.

Ответ: М_{Э(металла)}=12 г/моль; М_{Э(оксида)}=20 г/моль, М_{Э(хлорида)}=47,5 г/моль.

2.6. Рассчитать молярные массы эквивалентов металла и его гидроксида, если хлорид этого металла содержит 79,7 мас.% хлора, а молярная масса эквивалента хлора равна 35,5 г/моль.

Ответ: М_{Э(металла)}=9 г/моль; М_{Э(оксида)}=26 г/моль.

2.7. Какой объём 0,6 М раствора H₂O₂ пойдёт на окисление 150 мл 2н. раствора FeSO₄ в реакции:

Ответ: 250 мл.

2.8. Определить объём хлора (н.у), необходимый для окисления 100 мл 0,5н раствора K₂MnO₄.

Ответ: 0,56 л.

2.9. 0,66 г кислоты требуются для нейтрализации 10 мл 1М раствора КОН. Найти молярные массы эквивалентов кислоты и ее кальциевой соли в обменной реакции.

Ответ: М_{Э(кислоты)}=66 г/моль; М_Э(соли)=85 г/моль.

2.10. Бромид металла в результате обменной реакции полностью переведен в сульфат, при этом масса уменьшилась в 1,47 раз. Найти молярную массу эквивалента металла. Определить какой это металл.

Ответ: М_{Э(металла)}=20 г/моль; Са.

[spoiler title=”источники:”]

http://economy-ru.info/info/169223/

http://chemege.ru/ekvivalent-zakon-ekvivalentov/

[/spoiler]

Содержание

• Линейные уравнения с одной переменной
• Пример
• Практические эквивалентные уравнения
• Эквивалентные уравнения с двумя переменными

Эквивалентные уравнения – это системы уравнений, которые имеют одинаковые решения. Выявление и решение эквивалентных уравнений – ценный навык не только на уроках алгебры, но и в повседневной жизни. Взгляните на примеры эквивалентных уравнений, как решить их для одной или нескольких переменных и как вы можете использовать этот навык за пределами классной комнаты.

Ключевые выводы

• Эквивалентные уравнения – это алгебраические уравнения, которые имеют одинаковые решения или корни.
• Добавление или вычитание одного и того же числа или выражения к обеим сторонам уравнения дает эквивалентное уравнение.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число дает эквивалентное уравнение.

Линейные уравнения с одной переменной

В простейших примерах эквивалентных уравнений нет переменных. Например, эти три уравнения эквивалентны друг другу:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Признать, что эти уравнения эквивалентны, – это здорово, но не особенно полезно. Обычно в эквивалентной задаче уравнения вам предлагается решить для переменной, чтобы убедиться, что она такая же (та же корень) как одно в другом уравнении.

Например, следующие уравнения эквивалентны:

• х = 5
• -2x = -10

В обоих случаях x = 5. Откуда мы это знаем? Как решить это уравнение «-2x = -10»? Первый шаг – узнать правила эквивалентных уравнений:

• Добавление или вычитание одного и того же числа или выражения к обеим сторонам уравнения дает эквивалентное уравнение.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число дает эквивалентное уравнение.
• Возведение обеих сторон уравнения в одну и ту же нечетную степень или получение одного и того же нечетного корня приведет к эквивалентному уравнению.
• Если обе части уравнения неотрицательны, возведение обеих сторон уравнения в одну четную степень или получение одного и того же четного корня даст эквивалентное уравнение.

Пример

Применяя эти правила на практике, определите, эквивалентны ли эти два уравнения:

• х + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Чтобы решить эту проблему, вам нужно найти «x» для каждого уравнения. Если «x» одинаково для обоих уравнений, то они эквивалентны. Если «x» отличается (т.е. уравнения имеют разные корни), то уравнения не эквивалентны. Для первого уравнения:

• х + 2 = 7
• x + 2-2 = 7-2 (вычитая обе части на одно и то же число)
• х = 5

Для второго уравнения:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1-1 = 11-1 (вычитая обе части на одно и то же число)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (разделив обе части уравнения на одно и то же число)
• х = 5

Итак, да, два уравнения эквивалентны, потому что x = 5 в каждом случае.

Практические эквивалентные уравнения

Вы можете использовать эквивалентные уравнения в повседневной жизни. Это особенно полезно при покупках. Например, вам нравится определенная рубашка. Одна компания предлагает рубашку за 6 долларов с доставкой за 12 долларов, в то время как другая компания предлагает рубашку за 7,50 долларов с доставкой за 9 долларов. Какая рубашка имеет лучшую цену? Сколько рубашек (может быть, вы хотите подарить друзьям) вам придется купить, чтобы цена была одинаковой для обеих компаний?

Чтобы решить эту проблему, пусть x будет числом рубашек. Для начала установите x = 1 для покупки одной рубашки. Для компании №1:

• Цена = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 $

Для компании №2:

• Цена = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 $

Итак, если вы покупаете одну рубашку, вторая компания предлагает более выгодную сделку.

Чтобы найти точку, в которой цены равны, оставьте «x» числом рубашек, но приравняйте два уравнения друг к другу. Чтобы узнать, сколько рубашек вам нужно купить, решите для “x”:

• 6х + 12 = 7,5х + 9
• 6x – 7,5x = 9-12 (вычитая одинаковые числа или выражения с каждой стороны)
• -1,5х = -3
• 1,5x = 3 (деление обеих сторон на одно и то же число, -1)
• x = 3 / 1,5 (деление обеих сторон на 1,5)
• х = 2

Если вы покупаете две рубашки, цена будет одинаковой, независимо от того, где вы ее купите. Вы можете использовать ту же математику, чтобы определить, какая компания предлагает вам более выгодную сделку с более крупными заказами, а также рассчитать, сколько вы сэкономите, используя одну компанию по сравнению с другой. Видите ли, алгебра полезна!

Эквивалентные уравнения с двумя переменными

Если у вас есть два уравнения и две неизвестные (x и y), вы можете определить, эквивалентны ли два набора линейных уравнений.

Например, если вам даны уравнения:

• -3x + 12y = 15
• 7x – 10 лет = -2

Вы можете определить, эквивалентна ли следующая система:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Чтобы решить эту проблему, найдите «x» и «y» для каждой системы уравнений. Если значения совпадают, то системы уравнений эквивалентны.

Начнем с первого подхода. Чтобы решить два уравнения с двумя переменными, выделите одну переменную и подставьте ее решение в другое уравнение. Чтобы изолировать переменную “y”:

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15–12 лет
• x = – (15 – 12y) / 3 = -5 + 4y (подставьте “x” во втором уравнении)
• 7x – 10 лет = -2
• 7 (-5 + 4лет) – 10лет = -2
• -35 + 28–10 лет = -2
• 18лет = 33
• у = 33/18 = 11/6

Теперь вставьте «y» обратно в любое уравнение, чтобы найти «x»:

• 7x – 10 лет = -2
• 7х = -2 + 10 (11/6)

Проработав это, вы в конечном итоге получите x = 7/3.

Чтобы ответить на вопрос, вы мог примените те же принципы ко второму набору уравнений, чтобы решить для «x» и «y», чтобы обнаружить, что да, они действительно эквивалентны. В алгебре легко увязнуть, поэтому неплохо проверить свою работу с помощью онлайн-программы для решения уравнений.

Однако умный ученик заметит, что две системы уравнений эквивалентны без каких-либо сложных вычислений. Единственная разница между первым уравнением в каждом наборе состоит в том, что первое в три раза больше второго (эквивалентного). Второе уравнение точно такое же.

Эквивалентное уравнение – это уравнение с математическим равенством между двумя математическими выражениями, называемыми членами, в которых появляются известные элементы или данные, и неизвестные или неизвестные элементы, связанные математическими операциями.

Значения уравнения должны быть образованы числами, коэффициентами s или константами; Подобно переменным или сложным объектам, таким как векторы или функции, новые элементы должны состоять из других уравнений системы или какой-либо другой процедуры решения функции.

Эквивалентными системами уравнений являются те, которые имеют одинаковые решения или корни, хотя и с разным числом уравнений. Когда мы добавляем или вычитаем равное количество (не неизвестное количество), мы получим эквивалентную систему (которая передается от одного члена другому члену), добавляя то, что осталось, или вычитая то, что оно добавляет, мы применяем одно из правил эквивалентности в системы уравнений-

Кроме того, если мы продолжим умножать или делить два члена, которые принадлежат уравнению системы, на число, отличное от нуля, результирующая система будет эквивалентна (то есть то, что умножается на одного члена, идет на деление другого члена и наоборот) Далее рассмотрим несколько примеров:

х – у + 2z = -2 х – у + 2z = -2

3x -4y + 2z = 3 -y – 4z = 9

2x -2y + 3z = 2 4y – z = 6

Уравнение эквивалентно, если вы добавляете или вычитаете одно и то же значение для двух членов:

х + 3 = -2

х + 3 – 3 = -2 – 3

х = -5

Уравнение также эквивалентно, если оба члена делятся или умножаются на одну и ту же сумму :

5x + 10 = 15

(5х + 10): 5 = 15: 5

х + 2 = 3

х + 2 -2 = 3 -2

х = 1

Другим критерием, который следует принимать во внимание, будет следующий, например, когда мы добавляем или вычитаем из него уравнение, мы также получаем эквивалентную систему.

Если в одной системе уравнений одно уравнение представлено как пропорциональное другому или линейная комбинация других, возможно, устраняя его, и полученная система будет эквивалентна исходной, по этой причине выгодно удалить лишние уравнения, которые мы можем легко идентифицировать, например, те, которые являются нулевыми, пропорциональными или линейными комбинациями среди других:

2x + y – 3z = -2 2x + y – 3z = -2

2x – 4y + 2z = 3 2x – 4y + 2z = 3

6x + 3y – 9z = -6 4x + 2y – 3z = 2

4x + 2y – 3z = 2

Эквивалентные уравнения (или равносильные уравнения)

уравнения с одними и теми же неизвестными, множества решений которых совпадают

Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!

1. Напиши термин
2. Выбери определение из предложенных или загрузи свое
3. Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины с помощью удобных и приятных
   карточек

Уравне́ние — равенство вида

,

где чаще всего в качестве выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи — например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и другие.

Решение уравнения[править | править код]

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней), или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).

Равносильные уравнения[править | править код]

Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.

Третье важное свойство задаётся теоремой: если функции заданы над областью целостности, то уравнение

эквивалентно совокупности уравнений

.

Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений, и позволяет находить корни первого уравнения в два приёма, решая каждый раз более простые уравнения.

Основные свойства[править | править код]

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

1. в любой части уравнения можно раскрыть скобки;
2. в любой части уравнения можно привести подобные слагаемые;
3. к обеим частям уравнения можно прибавить или вычесть одно и то же выражение;
4. любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный (это просто другая формулировка предыдущего пункта);
5. обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойства 3 существует ограничение: в случае прибавления или вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения, содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же выражение, содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Следствие уравнения и посторонние корни[править | править код]

Уравнение

называется следствием уравнения

,

если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.

Пример[править | править код]

Уравнение при возведении обеих частей в квадрат даёт уравнение , или . Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить; оно имеет два корня и .

При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество . При подстановке другого корня получается неправильное утверждение . Таким образом, второй корень нужно отбросить как посторонний.

Виды уравнений[править | править код]

Различают алгебраические уравнения, уравнения с параметрами, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ существования и количества корней в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения не выше четвёртой степени: линейное, квадратное, кубическое уравнения и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнения, в которые входят трансцендентные функции, называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют вычислительные (численные) методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения.

Алгебраические уравнения[править | править код]

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

где  — многочлен от переменных , которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена обычно берутся из некоторого поля , и тогда уравнение называется алгебраическим уравнением над полем . Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена .

Например, уравнение

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Линейные уравнения[править | править код]

• в общей форме:
• в канонической форме:

Квадратные уравнения[править | править код]

где  — свободная переменная, , ,  — коэффициенты, причём .

Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называют первым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом при , называется свободным членом этого уравнения. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент : , где , а . Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Для нахождения корней квадратного уравнения в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражение .

1) если	2) если	3) если
то корней два, и для их отыскания используют формулу	то корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях, или о корне кратности 2), и он равен	то корней на множестве действительных чисел нет.

Графиком квадратичной функции в прямоугольных координатах является парабола. Она пересекает ось абсцисс в точках, соответствующих корням квадратного уравнения .

Кубические уравнения[править | править код]

Для графического анализа кубического уравнения в прямоугольных координатах используется кубическая парабола.

Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду

,

поделив его на и подставив в него замену . При этом коэффициенты будут равны:

,

.

Уравнение четвёртой степени[править | править код]

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, и следовательно, имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, и следовательно, имеет глобальный максимум.

Иррациональные и рациональные уравнения[править | править код]

• Рациональное уравнение – это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение , деление , а также возведение в степень целого числа.
• Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

Системы линейных алгебраических уравнений[править | править код]

Система уравнений вида:

(1)

Здесь  — количество уравнений, а  — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной. Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. Решение системы — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему обращает все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Уравнения с параметрами[править | править код]

Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

Пример нелинейного уравнения с параметром:

где  — независимая переменная,  — параметр.

Трансцендентные уравнения[править | править код]

Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:

• – тригонометрическое уравнение;
• – логарифмическое уравнение ;
• – показательное уравнение .

Более строгое определение таково: трансцендентное уравнение — это уравнение вида , где функции и являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

Функциональные уравнения[править | править код]

Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Например:

• функциональному уравнению

где  — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана ζ.

• Следующим трём уравнениям удовлетворяет гамма-функция; она является единственным решением этой системы трёх уравнений:

(формула дополнения Эйлера).

• Функциональное уравнение

где , , , являются целыми числами, удовлетворяющими равенству , то есть , определяет как модулярную форму порядка k.

Дифференциальные уравнения[править | править код]

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция , имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на

• обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента:

или ,

где  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной ; штрих означает дифференцирование по .

• и дифференциальные уравнения в частных производных, в которых входящие функции зависят от многих переменных:

,

где  — независимые переменные, а  — функция этих переменных.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Примеры уравнений[править | править код]

См. также[править | править код]

• Диофантово уравнение
• Линейное уравнение
• Квадратное уравнение
• Решение какого-либо уравнения построением
• Система уравнений
• Переменная

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Бекаревич А. Н. Уравнения в школьном курсе математики. — Минск: Нар. асвета, 1968. — 152 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.

Ссылки[править | править код]

• Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
• Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
• Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
• EqWorld — Мир математических уравнений — содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.