Эластичность функции как найти по графику

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Эластичность функции
2. Определение и свойства эластичности функций
3. Свойства эластичности функции
4. Эластичность спроса относительно цены
5. Эластичность предложения относительно цены

Эластичность функции

В экономических исследованиях приросты тех или иных показателей, характеризующих экономические процессы, чаще всего выражают в процентах к базовым значениям. Поэтому и изменение величин, которые связаны с ними функциональной зависимостью, также выражают в процентах. Для этого используют понятие эластичности функции, которое выражается через производную функции.

Определение и свойства эластичности функций

Пусть задана функция y = f (x). Если аргумент x получил приращение Δx и при этом функция y получила приращение Δy, то  называют относительным приращением аргумента, а — относительным приращением функции.

Определение. Предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если существует, называется эластичностью функции.

Обозначают эластичность функции y = f (x) относительно переменной x   E_x(y). То есть,

Итак, если в точке x функция имеет производную, то эластичность определяется формулой  
Эластичность выражает приближенный процент приращения функции, который соответствует 1 % приращения аргумента.

Пример. Найти эластичность функции  y = x² – 4 x +7  и вычислить ее при x = 1,  x = 2,  x = 5.

Решение.

Итак, если x  вырастет на 1 % с 1 до 1,01, то y снизится на 0,5 %. Если x вырастет на 1 % с 2 до 2,02, то значение переменной y практически не изменится. Если x вырастет на 1 % с 5 до 5,05, то y вырастет на 2,5 %.

Свойства эластичности функции

ТЕОРЕМА 1. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичности сомножителей:
E_x (U ⋅ V) = E_x (U) + E_x (V).

Доказательство. По определению эластичности

ТЕОРЕМА 2. Эластичность частного двух функций равна разности показателей эластичности делимого и делителя:

Доказательство. По определению эластичности

Эластичность спроса относительно цены

В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса и предложения.

Пусть p цена одного изделия, а Q — количество изделий, произведенных и проданных через некоторое время, что определяет спрос. Величина Q зависит от цены, т. е. Q является функцией от p: Q = f (p).

Пусть приращение цены Δp вызывает приращение ΔQ. тогда относительные приращения цены и спроса будут соответственно     и   
Отношение   показывает относительное изменение спроса, если цена изделия возросла на 1 %.

Эластичностью спроса относительно цены называется предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при условии, что приращение цены стремится к нулю.

Эластичность спроса относительно цены приближенно определяет, как меняется спрос на данное изделие, если его цена возрастает на 1 %.

Так, например, если рост цены на 5 % вызывает падение спроса на 8 %, то эластичность будет  
Если эластичность спроса η = –0,5, то 10 % роста стоимости товара вызывает падение спроса на (–0,5) 10% = –5%.

Определение. Если процент изменения спроса больше процента изменения цены (η < 1), то спрос называют эластичным, если процент изменения спроса меньше процента изменения цены (-1 < η < 0), то спрос называют не эластичным, а если процент изменения спроса равен проценту изменения цены (η = 1), то спрос называют нейтральным.

Пример. Установлено, что количество произведенных и проданных изделий Q по цене p определяется по формуле Q = 10000 – 500p (0 < p < 20). Определить, при какой цене спрос эластичный, нейтральный, не эластичный.

Решение. Эластичность спроса относительно цены

Спрос будет эластичным, если η < –1,  Отсюда, учитывая, что 20 – p > 0, имеем      p > 20 – p;   2 p > 20;   p > 10.   Итак, спрос эластичен при цене  10 < p < 20 (руб.).

Спрос нейтральный при цене p = 10 (руб.). Спрос будет не эластичный, когда -1 < η < 0.

Итак, спрос не эластичный при цене меньшей 10 руб. за изделие.

Пример 2. Установить связь между доходом предприятия и эластичностью спроса от цены.

Решение. Доход определяется как произведение стоимости каждого изделия на количество произведенных и проданных изделий Q :   D (Q) = p⋅ Q.

Найдем маржинальный доход, учитывая, что Q есть функция от p.

Если η ≤ –1, то 1 + η < 0, а   И поэтому доход падает при росте p, когда спрос эластичен.
Если –1 < η < 0, то 1 + η > 0,   а    
То есть функция D (Q) дохода растет с ростом цены p,  когда спрос не эластичный.

Эластичность предложения относительно цены

Понятие эластичности можно применять и к другим функциям экономического содержания.

Рассмотрим понятие эластичности предложения S в зависимости от цены товара p. Под предложением понимают количество некоторого товара, который предлагается на продажу за единицу времени. Как правило, предложение какого-либо товара является возрастающей функцией цены. Но бывают случаи, когда предложение повышается со снижением цены. Величина S является функцией от цены товара. То есть, S = S (p).

Пусть Δp — приращение цены, а ΔS — соответствующее приращение предложения. Тогда относительные приращения цены и предложения будут соответственно   и  .
Эластичностью предложения относительно цены называется предел отношения относительного приращения предложения к относительному приращению цены при условии, что приращение цены стремится к нулю.

Эластичность предложения относительно цены приближенно определяет процент приращения предложения на 1 % приращения цены.

Пример 3. Функция предложения некоторого товара   . Определить эластичность предложения при цене p = 2.

Эта страница — подборка. Общая информация о подборках: http://iloveeconomics.ru/blogs/id3/1081.

---

Общая идея всех эластичностей:
$text{эластичность функции}approxfrac{text{процентное изменение функции}}{text{процентное изменение аргумента}}$

Точечная эластичность дифференцируемой функции

Пусть f — некоторая дифференцируемая¹ функция одной переменной, определённая на множестве неотрицательных чисел и принимающая неотрицательные значения.

Рассмотрим некоторую точку $x>0$, такую что $f(x)>0$.

Точечная эластичность функции f в точке x обозначается $Ef(x)$ и по определению равна следующей величине: $f'(x)frac{x}{f(x)} $

Ту же самую величину можно записать по-другому: $$Ef(x)=mathop{lim }limits_{Delta xto 0} frac{frac{Delta f}{f(x)} }{frac{Delta x}{x} },$$
где $Delta f=f(x+Delta x)-f(x)$

(Константы x и f(x) выносятся за знак предела, и таким образом из второй формулы получаем первую).

Если в данной точке x такой предел существует, значит, при небольших $Delta x$ мы можем записать: $Ef(x)approx frac{Delta f/f}{Delta x/x} $. То есть эластичность функции в некоторой точке x приближённо показывает отношение процентного изменения функции к процентному изменению аргумента при небольших значениях $Delta x$ (подробнее о процентных изменениях можно почитать в главе 3 «Про размерности и проценты».

Упражнения:

Эластичность линейной функции
• График эластичности линейного спроса
• График эластичности линейного предложения
• Когда линейный спрос эластичен?
• Геометрический смысл эластичности
• Сравнение эластичностей линейных спросов при заданной цене

Эластичности произведения и частного функций и их применения

• Эластичности произведения и частного
• Эластичность и возрастание функции
• Эластичность спроса и возрастание выручки
• График спроса и возрастание выручки
• Эластичность и возрастание среднего значения
• Когда AC возрастает
• Как определить эластичность по графику

Эластичность суммы

• Эластичности суммы и разности
• Эластичности рыночного и индивидуальных спросов

Прочее

• Эластичность функции Q(P)=AP^b
• (*) Все функции с постоянной эластичностью

Другие виды эластичности

Рассматривается функция Q(P).

Эластичность перехода из точки $P_{1} $ в точку $P_{2} $:

[E=frac{Delta Q/Q_{1} }{Delta P/P_{1} } =frac{Q_{2} -Q_{1} }{P_{2} -P_{1} } frac{P_{1} }{Q_{1} } ]
Т.е. эластичность перехода из точки $P_1$ в точку $P_2$ буквально равна величине $frac{text{процентное изменение функции}}{text{процентное изменение аргумента}} $.
Термин «эластичность перехода» не является распространённым. В школьных учебниках и задачниках эту величину часто называют тем же термином «точечная эластичность», как и ту, что определяется через производную.

• Эластичность перехода линейной функции

Дуговая эластичность:
[E=frac{Delta Q/(Q_{1} +Q_{2} )}{Delta P/(P_{1} +P_{2} )} =frac{Q_{2} -Q_{1} }{P_{2} -P_{1} } frac{P_{1} +P_{2} }{Q_{1} +Q_{2} } ]

• Эластичность перехода и дуговая эластичность
• Выручка и зоопарк эластичностей
• Связь выручки, точечной и дуговой эластичностей
• (*) Постоянная дуговая эластичность. Advanced

Точечная эластичность функции нескольких переменных

Если функция f зависит от нескольких переменных, то нужно указывать, по какой переменной мы считаем эластичность. Например, если функция спроса на некоторый товар зависит от цены этого товара и от дохода покупателя, т.е. $Q_{d} =f(P,I)$, то мы можем посчитать две эластичности: эластичность спроса по цене и эластичность спроса по доходу. Отличие только в том, что в определении используется частная производная (что это такое — см. ниже):

Эластичность спроса по цене:$E_{P} f(P,I)=f_{P}^{‘} (P,I)frac{P}{f(P,I)} $, где $f_{P}^{‘} (P,I)$ — (частная) производная функции f по цене.

Эластичность спроса по доходу:$E_{I} f(P,I)=f_{I}^{‘} (P,I)frac{I}{f(P,I)} $, где $f_{I}^{‘} (P,I)$ — (частная) производная функции f по доходу.

Что такое частная производная

Пусть задана функция $f$ нескольких переменных (обозначим их число буквой n). Набор из n чисел $x_{1} ,x_{2} ,…,x_{n} $ определяет значение функции: $f(x_{1} ,x_{2} ,…,x_{n} )$. Если позволить меняться только одной переменной (например, первой), а все остальные переменные зафиксировать на некотором уровне (например, $x_{2} =8,x_{3} =0.5,…$), то фактически получится функция одной переменной. Производная этой получившейся функции — это и есть то, что называется частной производной функции $f$ по данной переменной (в нашем примере — по первой переменной). Интерпретация: если нарисовать график функции f в зависимости от этой переменной (при фиксированных значениях остальных переменных), то угловой коэффициент касательной к этому графику в некоторой точке $x_{1} $ равен частной производной функции f «в точке» $x_{1} ,x_{2} ,…,x_{n} $. Естественно, если мы поменяем значения какой-либо из фиксированных переменных (например, вместо $x_{2} =8$ поставим $x_{2} =8.5$), то весь этот график может изменить свою форму, в частности, может поменяться наклон в тех или иных точках $x_{1} $. Таким образом, частная производная функции f по первой переменной зависит не только от значения первой переменной, но и от значений остальных переменных. Это отражается и в обозначении: например, если спрос задаётся формулой $Q_{d} =f(P,I)$, то частная производная функции спроса по доходу обозначается $f_{I}^{‘} (P,I)$.

---

¹ Дифференцируемая — имеющая производную. Подробнее: глава 2 «Функции».

---

Лекция 4. Эластичность и ее свойства.

Эластичности элементарных функций

         Изучение различных экономических вопросов, таких, как определение динамики спроса населения на данный товар при изменении его цены или при изменении доходов населения, исследование диапазона взаимозаменяемости ресурсов производства, определение эффективности тех или иных затрат, прогнозирование изменения прибыли предприятия или фирмы под воздействием различных факторов и решение многих других проблем, приводит к необходимости выяснения на сколько процентов изменится одна величина, если другая увеличилась на 1%.

         Характеристика, дающая ответ на поставленный вопрос, называется эластичностью соответствующей функции.

         Приступим к построению этого показателя. Пусть аргумент  функции  получил приращение . Тогда значение функции изменится на величину

.

         Приращения  называют абсолютными приращениями аргумента  и функции соответственно. Составим относительные приращения переменных  и выразим их в процентах.

         Величина  указывает, на сколько процентов изменилось значение аргумента, а  дает соответствующее изменение значения функции.

         Отношение  показывает, на сколько процентов в среднем меняется (увеличивается или уменьшается) значение функции, когда значение аргумента возрастает на 1% (увеличивается от  до ).

Рекомендуемые материалы

         Это отношение будет характеризовать поведение функции  в данной точке тем точнее, чем меньше . Пусть  неограниченно убывает. Вычислим предел указанного отношения при условии .

                    (3)

         Отношение  не зависит от изменения . Оно играет роль постоянной и может быть вынесено за знак предела.

         Определение.  Предел отношения относительного приращения функции  к соответствующему относительному приращению аргумента  при условии, что абсолютное приращение аргумента  стремится к нулю, называется эластичностью функции  по переменной  и обозначается символом

                                                               (4)

                Если функция  дифференцируема в точке , то

и формула (4) принимает вид

или

                                           (5)

         Из (3) следует, что эластичность  показывает, на сколько процентов изменится значение функции при увеличении независимой переменной на 1% (с  до ).

         Формулу (5) можно переписать в виде

Это означает, что для функции выпуска  эластичность равна отношению предельной производительности ресурса к его средней производительности.

Пример 17.

         Эластичность данной функции вычисляется по формуле

         При  показатель эластичности равен 0.6. Это означает, что при увеличении  с 2 до 2.02 значение функции возрастает примерно на 0.6%. Если , то . Следовательно, увеличение  с 0 до 0.01 практически не меняет значения функции.

Пример 18. .

         Здесь

         При  показатель эластичности равен нулю. При увеличении  с 1 до 1.01 значении функции практически не меняется. Если , то . Увеличение значения  с 2 до 2.02 приводит к уменьшению значения функции на 4 %.

Свойства эластичности

1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х. .

.

2. Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины:

.

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле:

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле:

Эластичности элементарных функций

1. Эластичность степенной функции у=х^a постоянна и равна показателю степени a: Е_х(х^a) = a.

2. Эластичность показательной функции у=а^х пропорциональна х:

3. Эластичность линейной функции  

         Если график линейной функции имеет отрицательный наклон (а<0), то эластичность функции меняется от нуля к точке y_m пересечения графиком оси у до минус бесконечности (-¥) в точке пересечения оси х, проходя через значение (-1) в средней точке.

Таким образом, хотя прямая имеет постоянный наклон, её эластичность зависит не только от наклона, но и от того, в какой точке х мы её находим (рис.10). Функция с бесконечной эластичностью во всех точках называется совершенно эластичной, с нулевой эластичностью во всех точках – совершенно неэластичной.

Задания для самостоятельной работы

1. Используя свойства эластичности, найдите , если:

а) ,                            б) ,           в) ,

г) ,                   д) ,           е) .

Лекция 5. Виды эластичностей в экономике

Рассмотрим основные виды эластичностей.

1.Эластичность спроса по цене (прямая)

показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию. Если ценовая эластичность спроса по абсолютной

величине больше единицы, то спрос называют эластичным (совершенно эластичным при бесконечно большой величине эластичного спроса). Если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине меньше единицы, то спрос называют неэластичным (совершенно неэластичным при нулевой эластичности спроса).

И, наконец, если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине равна единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью.

2.Эластичность спроса по доходу

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителей этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует нормальные (качественные) товары, а отрицательная величина – малоценные (некачественные) товары

Так, высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли по доходу имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

3. Перекрестная эластичность спроса по цене

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на одно благо при изменении цены на другое благо (замещающее или дополняющее его в потреблении) на один процент. Положительный знак перекрестной эластичности спроса по цене свидетельствует о замещаемости благ, а отрицательный – о дополняемости.

4.Ценовая эластичность ресурсов

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-нибудь ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.

5.Эластичность замещения одного ресурса другим

характеризующая необходимое изменение (в процентах) величины одного ресурса (например, капитала) при изменении количества другого ресурса (например, труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не изменился.

         Рассмотрим подробнее эластичность спроса относительно цены. Изучается зависимость спроса  на товар от цены  на него.

         Предположим, что цены на аналогичные товары, доходы потребителей и структура их потребностей – постоянные величины. Тогда зависимость спроса от цены можно описать с помощью функции

.

       Во многих экономических исследованиях необходимо установить не величину спроса при каждом конкретном уровне цены, а характер изменения спроса при определенном изменении цены. В этом случае находят эластичность спроса относительно цены. В наших обозначениях

         Эластичность спроса относительно цены определяет, на сколько процентов изменится спрос на товар, если цена на него увеличится на 1%. Так как в большинстве случаев спрос является убывающей функцией цены и

,

то, чтобы избежать отрицательных чисел, в этих случаях при изучении эластичности принимают

         Знак «-» показывает, что спрос уменьшается при увеличении цены.

       Пример 19. Если функция спроса линейная:

,

то

При  имеем . Это означает, что увеличении цены на 1% спрос падает на %. При , показатель эластичности равен 1. Увеличение цены с 5 до 0.05 приводит к уменьшению спроса на 1%. При  спрос уменьшается на 9%.

       Пример 20. Для  (– постоянная, ) показатель эластичности равен 1 при любом уровне цены.

       Действительно,

.

         Если спрос обратно пропорционален цене, то при любой цене увеличение ее на 1% влечет за собой уменьшение спроса также на 1 %.

Определение. Говорят, что спрос эластичен, если повышению цены на 1% соответствует снижение спроса более чем на 1%, т.е. ; спрос нейтрален, если ; спрос неэластичен, если .

В примере 19 спрос нейтрален при ; при – неэластичен и для – эластичен. Для функции  спрос нейтрален при любой цене.

Другими словами, спрос на товар эластичен, если небольшое изменение цены товара вызывает значительные изменения величины спроса на него. В обратной ситуации, когда изменение цены ведет к сравнительно небольшому изменению величины спроса, последний является неэластичным. Примерами товаров с эластичным спросом могут служить, например, яблоки, помидоры, персики и т.п. При росте цен на них покупательский спрос может переключиться на другие виды овощей и фруктов. При определенном уровне цен покупатели могут полностью отказаться, например, от употребления фруктов или заменить их соками и другими консервами. В то же время спрос на товары первой необходимости (лекарства, обувь, электричество, газ, телефон), на вещи, цена которых малоощутима для семейного бюджета (карандаш, зубная паста, крем для обуви) и труднозаменяемые товары (электрические лампочки, хлеб, бензин) является неэластичным.

Исследуем динамику выручки при различных видах спроса.

Общие расходы населения на данный товар (выручка от его продажи) при цене  составляют

.

Предельная выручка равна

,

или

.

         а) Если спрос эластичен, т.е. , то

и с повышением цены выручка от продажи снижается.

         б) При нейтральном спросе ()

,

и выручка практически не зависит от цены.

         В этом случае  (– постоянная) и

.

         Следовательно, в случае нейтрального взноса его размер пропорционален цене (см. пример 20).

         в) При неэластичном спросе () выручка увеличивается с ростом цены, так как в этом случае .

         Из сказанного видно, что знание эластичности спроса на данный товар позволяет прогнозировать направление изменения суммы выручки под влиянием роста или снижения цены. Очевидно, каждой фирме выгодно, чтобы спрос на ее продукцию был как можно более эластичным, ибо в такой ситуации существует возможность назначать сравнительно высокие цены.

         Значит, фирма должна прилагать все усилия к поддержанию спроса на ее товар на достаточно высоком уровне. Достижению этой цели способствуют хорошее качество продукции, четко организованное обслуживание потребителей, высокое качество рекламы

         Пример 21. Известно, что эластичность спроса на товар составляет 0.4. Определим, как изменится доход от реализации товара, если цену на него увеличить на 5%.

         При эластичности  увеличение цены на 1% вызывает уменьшение спроса на 0.4%. Увеличение цены на 5% способствует уменьшению спроса на . Цена выросла на 5% и стала равной 1.05, где – старая цена. Если – спрос, соответствующий цене , то 0.98– величина спроса при цене 1.05.

         Выручка от реализации товара по цене  составляла  денежных единиц. После увеличения цены выручка возросла приблизительно на 3%. При неэластичном спросе (0.4<1) увеличение цены приводит к возрастанию выручки.

         Эластичность предложения определяется аналогично эластичности спроса:

                            (6)

         Для дифференцируемой функции  формула (5) принимает вид

                                           (7)

или

.                                         (8)

         В отличии от формулы (5), выражающей эластичность спроса, в (7) и (8) отсутствует знак «-». Это связано с тем, что с ростом рыночной цены на товар предложение этого товара обычно растет. Каждому предпринимателю выгодно реализовать свою продукцию по более высокой цене. Поэтому – возрастающая функция и .

         Равенство (8) означает, что эластичность предложения равна отношению предельного предложения к среднему.

         Предложение также может быть эластичным и неэластичным.

         Определение. Предложение называется эластичным, если , неэластичным, если , и нейтральным, если .

         Например, фирма решила пригласить на работу дополнительное количество разнорабочих и квалифицированных наладчиков для скорейшего ввода в строй новой автоматической линии. Чтобы увеличить предложение услуг, руководство фирмы объявило об увеличении заработной платы на 1000 рублей в месяц. Если в городе много безработных, студентов, малооплачиваемых трудящихся, то такая надбавка к семейному бюджету может оказаться для них существенной, и предложение услуг в качестве разнорабочего будет эластичным по цене. Однако едва ли много квалифицированных, а следовательно и высокооплачиваемых наладчиков согласиться сменить место работы из-за такой прибавки к зарплате. Транспортные расходы, моральный ущерб, необходимость хотя бы частичной переквалификации для работы с новым для них оборудованием не окупятся дополнительной суммой в 1000 рублей. Здесь предложение услуг едва ли окажется эластичным по цене.

         Пример 22. Пусть зависимость предложения  от цены  описывается формулой

.

         а) , т.е. – возрастающая функция цены.

         б) – функция вогнутая, темп изменения предложения постоянный.

         в)  Предложение эластично по цене.

         Зависимость между спросом на товар и его ценой (а значит, и вид соответствующей кривой) в значительной степени определятся полезностью товара. На вид функции предложения в первую очередь оказывают влияние издержки производства.

         Определение. Цена, при которой величина спроса равняется величине предложения, называется равновесной (или ценой равновесия).

         В точке М величина спроса равна величине предложения, – цена равновесия (рис.1).

         Пример 23. – функция спроса, – функция предложения. Из уравнения  найдем цену равновесия

,

отсюда

или

 и .

Следовательно, цена равновесия .

Задания для самостоятельной работы

1. Спрос  и предложение  изменяются по следующим законам:

2. Найдите цену, при которой спрос совпадает с предложением (цену равновесия). Рассчитайте эластичность спроса при этой цене. Постройте графики спроса и предложения.

3. Формула

выражает зависимость спроса от цены. Определите, при каких значениях  спрос эластичен, нейтрален, неэластичен. Как зависит выручка от изменения цены? Сопоставьте с критериями эластичности.

4. Функция спроса имеет вид . Постройте график функции. Определите при каких значениях  спрос эластичен, нейтрален, неэластичен.

5. Определите, на сколько процентов приблизительно изменится выручка от реализации товара. Если эластичность спроса равна , а цена на товар увеличена на %:

а) %;

б) %;

в) %.

Лекция 6. Многофакторные производственные функции, эластичности

Определение. Функция  независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами  производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется -факторной производственной функцией – ПФ (функцией выпуска)

.                                  (9)

         Если (9) выражает зависимость объема выпускаемой данным предприятием продукции от затрат ресурсов , запасы которых ограничены, то, очевидно, допустимыми можно считать значения , удовлетворяющие следующей системе неравенств:

где – запасы i-го ресурса (в стоимостном или натуральном выражении).

Не нарушая общности рассуждений, в дальнейшем будем рассматривать лишь функции двух независимых переменных.

При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объём производственных фондов К. Национальный доход Y выступает в роли результата деятельности экономики:

Y=F(K,L).

В математических моделях функционирования  отдельного предприятия, цеха, участка и т.д. Y обозначает объем выпускаемой данным экономическим объектом продукции.

Формальные свойства производственных функций

Производственная функция f(x₁, x₂) определена при х₁≥0, х₂≥0. ПФ должна удовлетворять ряду (для каждой конкретной ПФ – своему) свойств:

1. ;

;

2. ;

3. ;

;

4. .

Свойство 1 означает, что без ресурсов нет выпуска, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска.

Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет, и что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет.

Свойство 3 означает что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает. Если выполнены условия 3, то график Г ПФ есть поверхность, расположенная в неотрицательном ортанте  трехмерного пространства Ох₁х₂у и выпуклая вверх. Вообще геометрический образ ПФ должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой горкой, крутизна которой убывает, если точка (х₁, х₂) уходит в плоскости Ох₁х₂ на «северо-восток».

Свойство 4 означает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени p>0. При p>1 с ростом масштаба производства в t раз (число t>1), т.е. с переходом от вектора х к вектору tx, объем выпуска возрастает в t^p (>t) раз, т.е. имеет рост эффективности производства от роста масштаба производства. При p<1 имеем падание эффективности производства от роста масштаба производства. При p=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства – в английской терминологии constant returns to scale).

Для ПФКД  свойства 1-4 выполняются.

Для ЛПФ   свойства 1 (при ) и свойство 4 не выполняются.

Множество (линия) l_q уровня  (0<q – действительное число) ПФ  называется изоквантой ПФ. Иными словами, линия уровня q – это множество точек, в котором ПФ постоянна и равна q.

Различные наборы  и  затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте l_q (т.е. ), дают один и тот же объем выпуска q. Изокванта есть линия, расположенная в неотрицательном ортанте  двумерной плоскости Ох₁х₂.

Функция Кобба-Дугласа, функция с постоянными пропорциями

Функция Кобба-Дугласа имеет вид:

.

При  результат функционирования экономического объекта

.

К такому же выводу приходим и при , т.е. оба ресурса абсолютно необходимы.

Если K и L увеличить в λ раз, то в такое же количество раз возрастает и Y.

Действительно,

.

Эта функция находит широкое применение в моделях долгосрочного прогнозирования.

Функцию с постоянными пропорциями

выбирают тогда, когда один из ресурсов производства резко дефицитен, а второй избыточен.

Убедимся в том, что в этой функции реализуются предположения о свойствах производственных функций.

1. Если  или ,

и

.

2. Предположим, что  и . Тогда

и

.

К такому же результату придем, если . В процессе производства, описываемом функцией вида (9), следует использовать ресурсы в постоянной пропорции (16). Уровень выпуска возрастает в λ раз лишь при одновременном увеличении затрат обоих ресурсов в такое же число раз. Отношение  задает рациональную пропорцию между K и L.

Предельные (маржинальные) и средние значения

производственной функции

Пусть  – ПФ. Дробь

называется средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: .

Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД  для средних производительностей  и  основного капитала и труда были использованы  соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых  и .

Пусть  – ПФ. Ее первая частная производная

называется предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: .

Обозначим символами  и  ;

 соответственно, приращение переменной  и соответствующее ей частное приращение ПФ f(x). При малых  имеем приближенное равенство

.

Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат  i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину  (т.е. ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин, т.е.  и . Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания экономического смысла ППФ. С другими предельными величинами следует поступать аналогичным образом.

Пример 24. 1). Для ПФКД  найти в явном виде , ,  и .

Решение задачи. Имеем:

; ;

; ;

; .

Для ПФ  (не только для ПФКД) неравенства

,

(т.е. предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса) обычно выполняются.

2). Для ЛПФ  найти в явном виде А₁, А₂, М₁ и М₂.

Решение задачи. Имеем:

; ,

, ,

; .

Пусть  – ПФ, . Отношение предельной производительности  i-го ресурса к его средней производительности  называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства) (ЭФМ). Символика:

.

Сумма  называется эластичностью производства.

Поскольку при малом приращении  имеем приближенное равенство

(крайнее правое выражение есть отношение двух относительных величин  и ), поскольку  (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Пояснение выражения , содержащего предельную величину , с помощью выражения, содержащего конечное приближение  этой предельной величины, является ключевым в понимании экономической сути частной эластичности выпуска по i-му ресурсу.

Пример 25. 1). Выписать в явном виде для ПФКД выражения для Е₁, Е₂ и Е_х.

Решение задачи. Имеем:

, ,

.

2). Для ЛПФ  выписать в явном виде выражения для Е₁, Е₂ и Е_х.

Решение задачи. Имеем:

; ;

.

Пусть  – ПФ, . Предельной нормой замены (замещения) i-го ресурса (фактора производства) j-м (аббревиатура: ПНЗФ и символика: R_ij) называется выражение

                                                        (10)

при постоянной у.

Обратим внимание на то, что i – номер заменяемого ресурса, j – номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) i-ого  ресурса (фактора производства) j-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но не менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.

Пусть выпуск у является постоянным (т.е. все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда первый полный дифференциал dy ПФ  тождественно равен нулю:

(здесь dx₁, dx₂ – дифференциалы переменных x₁, x₂), откуда, выражая первый дифференциал dx_j, получим ():

,                                                                  (11)

откуда, поделив на dx_i, получим

.                                                        (12)

На основании (10), (11) и (12) имеем:

                                            (13)

Отметим, что строгий вывод формулы (13) опирается в действительности на теорему о неявной функции, формулировка которой в настоящем пособии не приводится.

Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство

.

Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Найдите значения функций при  заданных значениях независимых переменных:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задача 2. Определите, как изменится значение функции

если  и

а) К увеличить на 3 единицы;

б) L уменьшить на 1 единицу;

в) К увеличить в 2 раза при неизменном значении другой переменной;

А если затраты обоих ресурсов одновременно

г) уменьшить в 4 раза;

д) увеличить в 3 раза;

е) увеличить на 3 единицы?

Вместе с этой лекцией читают “1 Цели, задачи и содержание ГЗК”.

Задача 3. Процесс производства описывается с помощью степенной функции выпуска

:

а) как следует изменить затраты К, чтобы компенсировать уменьшение L на 50% (Уровень выпуска при этом сохраняется)

б) на сколько процентов уменьшатся затраты К при увеличении L на 25%?

в) как изменится выпуск, если затраты обоих ресурсов увеличить в 2 раза (уменьшить в 3 раза)?

г) во сколько раз надо увеличить затраты L, чтобы компенсировать уменьшение К в 4 раза?

Спрос и предложение

Сегодня практически любой развитой стране мира свойственна рыночная экономика, при которой вмешательство государства минимально или вовсе отсутствует. Цены на товары, их ассортимент, объемы производства и продажи — все это складывается стихийно в результате работы рыночных механизмов, важнейшие из которых это закон спроса и предложения. Поэтому рассмотрим хотя бы сжато основные понятия экономической теории в этой области: спрос и предложение, их эластичность, кривая спроса и кривая предложения, а также факторы их определяющие, рыночное равновесие.

Спрос: понятие, функция, график

Очень часто приходится слышать (видеть), что такие понятия как спрос и величина спроса смешивают, считая их синонимами. Это неправильно — спрос и его величина (объем) совершенно разные понятия! Рассмотрим их по отдельности.

Спрос (англ. «Demand») — платежеспособная потребность покупателей в определенном товаре при определенном уровне цен на него.

Величина спроса (объем спроса) — количество товаров, которое покупатели желают и могут приобрести по данной цене.

Итак, спрос — это потребность покупателей в некотором товаре, обеспеченная их платежеспособностью (то есть у них есть деньги, чтобы удовлетворить свою потребность). А величина спроса — конкретное количество товаров, которое покупатели хотят и могут (у них есть на это деньги) купить.

Пример: Даша хочет яблок и у нее есть деньги на их покупку — это спрос. Даша идет в магазин и покупает 3 яблока, потому что она хочет купить именно 3 яблока и у нее достаточно денег на эту покупку — это величина (объем) спроса.

Различают следующие виды спроса:

• индивидуальный спрос — отдельного конкретного покупателя;
• общий (совокупный) спрос — всех покупателей имеющихся на рынке.

Спрос, зависимость между его величиной и ценой (а также другими факторами) можно выразить математически, в виде функции спроса и кривой спроса (графическая интерпретация).

Функция спроса — закон зависимости величины спроса от различных факторов оказывающих на него влияние.

Кривая спроса — графическое выражение зависимости величины спроса на некоторый товар от цены на него.

В простейшем случае функция спроса представляет собой зависимость его величины от одного ценового фактора:

где: Q_D — величина спроса на данный товар;

P — цена на данный товар.

Графическое выражение этой функции (кривая спроса) — прямая линия с отрицательным углом наклона. Описывает такую кривую спроса обычное линейное уравнение:

где: Q_D — величина спроса на данный товар;

P — цена на данный товар;

a — коэффициент задающий смещение начала линии по оси абсцисс (X);

b — коэффициент задающий угол наклона линии (отрицательное число).

Но, в реальности, конечно все намного сложнее и на величину спроса влияет не только цена, но и многие неценовые факторы. В этом случае функция спроса приобретает следующий вид:

где: Q_D — величина спроса на данный товар;

P_X — цена на данный товар;

P₁..P_n — цена на другие взаимосвязанные товары (заменители, дополнители);

I — доход покупателей;

E — ожидания покупателей относительно роста цен в будущем;

N — количество возможных покупателей в данном регионе;

T — вкусы и предпочтения покупателей (привычки, следование моде, традициям и пр.);

Графически такую кривую спроса можно представить в виде дуги, но это опять же упрощение — в реальности график спроса может иметь любую самую причудливую форму.

Таким образом, факторы влияющие на спрос:

1. Ценовой фактор спроса — цена на данный товар;
2. Неценовые факторы спроса:
   • наличие взаимосвязанных товаров (заменителей, дополнителей);
   • уровень доходов покупателей (их платежеспособность);
   • количество покупателей в данном регионе;
   • вкусы и предпочтения покупателей;
   • ожидания покупателей (относительно роста цен, будущих потребностей и пр.);
   • иные факторы.

Закон спроса

Для понимания рыночных механизмов очень важно знать базовые законы рынка, к числу которых относится закон спроса и предложения.

Закон спроса — при росте цены на товар, спрос на него снижается, при прочих неизменных факторах, и наоборот.

Математически закон спроса означает наличие между величиной спроса и ценой обратной зависимости.

С обывательской точки зрения закон спроса полностью логичен — чем ниже цена на товар, тем привлекательнее его покупка и тем большее количество единиц товара будет куплено.

Но, как это ни странно, бывают парадоксальные ситуации, при которых закон спроса дает сбой и действует в обратную сторону. Это проявляется в том, что величина спроса растет по мере роста цены! Примерами могут служить эффект Веблена или товары Гиффена.

Закон спроса имеет теоретическое обоснование. В его основе лежат следующие механизмы:

1. Эффект дохода — стремление покупателя приобрести большее количество данного товара при снижении цены на него, при этом не уменьшая объема потребления других товаров.

2. Эффект замещения — готовность покупателя при снижении цены на данный товар отдать предпочтение именно ему, отказавшись от других более дорогостоящих товаров.

3. Закон убывающей предельной полезности — по мере потребления данного товара каждая его дополнительная единица будет приносить все меньшее удовлетворение (продукт «приедается»). Поэтому потребитель будет готов продолжать покупать данный товар только при снижении его цены.

Таким образом, изменение цены (ценового фактора) приводит к изменению величины спроса. Графически это выражается в перемещении по кривой спроса.

Воздействие иных (неценовых) факторов приводит к сдвигу кривой спроса — изменению спроса. При росте спроса график смещается вправо и вверх, при снижении спроса — влево и вниз. Рост называется — расширение спроса, снижение — сужение спроса.

Эластичность спроса

При росте цены на товар, величина спроса на него уменьшается. При снижении цены — увеличивается. Но это происходит по-разному: в одних случаях незначительное колебание уровня цен может вызвать резкий рост (падение) спроса, в других изменение цены в очень широких пределах практически никак не повлияет на спрос. Степень такой зависимости, чувствительности величины спроса к изменению цены или других факторов называется эластичностью спроса.

Эластичность спроса — степень изменения величины спроса при изменении цены (или другого фактора) в ответ на изменение цены или другого фактора.

Числовой показатель, отражающий степень подобного изменения — коэффициент эластичности спроса.

Соответственно, эластичность спроса по цене показывает насколько изменится объем спроса при изменении цены на 1%.

Дуговая эластичность спроса по цене — применяется, когда нужно вычислить примерную эластичность спроса между двумя точками на дуговой кривой спроса. Чем более выпуклой будет дуга спроса, тем выше будет погрешность определения эластичности.

где: E_P D — эластичность спроса по цене;

P₁ — первоначальная цена на товар;

Q₁ — первоначальная величина спроса на товар;

P₂ — новая цена;

Q₂ — новая величина спроса;

ΔP — приращение цены;

ΔQ — приращение величины спроса;

P_ср. — средняя цены;

Q_ср. — средняя величина спроса.

Точечная эластичность спроса по цене — применяется тогда, когда задана функция спроса и есть значения исходной величины спроса и уровня цены. Характеризует относительное изменение величины спроса при бесконечно малом изменении цены.

где: dQ — дифференциал величины спроса;

dP — дифференциал цены;

P₁, Q₁ — значение цены и величины спроса в анализируемой точке.

Эластичность спроса можно рассчитать не только по цене, но например, по доходу покупателей, а также по другим факторам. Существует и перекрестная эластичность спроса. Но мы не будем здесь настолько глубоко рассматривать эту тему, ей будет посвящена отдельная статья.

В зависимости от абсолютного значения коэффициента эластичности различают следующие виды спроса (виды эластичности спроса):

• Совершенно неэластичный спрос или абсолютная неэластичность (|E| = 0). При изменении цены величина спроса практически не меняется. Близкими примерами могут служить товары первой необходимости (хлеб, соль, лекарства). Но в реальности нет товаров с совершенно неэластичным спросом на них;
• Неэластичный спрос (0 ГРАФИК

Предложение: понятие, функция, график

Теперь поговорим о другом рыночном явлении, без которого невозможен спрос, его неразлучном спутнике и противоборствующей силе — предложении. Здесь также следует различать само предложение и его величину (объем).

Предложение (англ. «Supply») — способность и готовность продавцов продать товар по данной цене.

Величина предложения (объем предложения) — количество товаров, которое продавцы желают и могут продать по данной цене.

Различают следующие виды предложения:

• индивидуальное предложение — конкретного отдельного продавца;
• общее (совокупное) предложение — всех продавцов присутствующих на рынке.

Функция предложения — закон зависимости величины предложения от различных факторов оказывающих на него влияние.

Кривая предложения — графическое выражение зависимости величины предложения на некоторый товар от цены на него.

Упрощенно функция предложения представляет собой зависимость его величины от цены (ценового фактора):

где: Q_S — величина предложения на данный товар;

P — цена на данный товар.

Кривая предложения в этом случае — прямая линия с положительным углом наклона. Описывает эту кривую предложения следующее линейное уравнение:

где: Q_S — величина предложения на данный товар;

P — цена на данный товар;

c — коэффициент задающий смещение начала линии по оси абсцисс (X);

d — коэффициент задающий угол наклона линии.

Функция предложения, в ее более сложной форме учитывающей влияние и неценовых факторов, представлена ниже:

где: Q_S — величина предложения;

P_X — цена данного товара;

P₁..P_n — цены других взаимосвязанных товаров (заменителей, дополнителей);

R — наличие и характер производственных ресурсов;

K — применяемые технологии;

C — налоги и дотации;

X — природно-климатические условия;

В этом случае кривая предложения будет иметь форму дуги (хотя это опять же упрощение).

Таким образом, факторы влияющие на предложение:

1. Ценовой фактор — цена на данный товар;
2. Неценовые факторы:
   • наличие товаров-дополнителей и товаров-заменителей;
   • уровень развития технологий;
   • количество и доступность необходимых ресурсов;
   • природные условия;
   • ожидания продавцов (производителей): социальные, политические, инфляционные;
   • налоги и дотации;
   • тип рынка и его емкость;
   • прочие факторы.

Закон предложения

Закон предложения — при росте цены на товар, предложение на него увеличивается, при прочих неизменных факторах, и наоборот.

Математически закон предложения означает, что между величиной предложения и ценой существует прямая зависимость.

Закон предложения, также как и закон спроса, очень логичен. Естественно, что любой продавец (производитель) стремится подать свой товар по более высокой цене. Если уровень цен на рынке повышается — продавцам выгодно продавать больше, если снижается — нет.

Изменение цены на товар приводит к изменению величины предложения. На графике это проявляется движением по кривой предложения.

Изменение неценовых факторов приводит к сдвигу кривой предложения (изменению самого предложения). Расширение предложения — сдвиг кривой предложения вправо и вниз. Сужение предложения — сдвиг влево и вверх.

Эластичность предложения

Предложении, как и спрос, может находиться в различной степени зависимости от изменения цены и других факторов. В этом случае говорят об эластичности предложения.

Эластичность предложения — степень изменения величины предложения (количества предлагаемых товаров) в ответ на изменение цены или другого фактора.

Числовой показатель, отражающий степень такого изменения — коэффициент эластичности предложения.

Соответственно, эластичность предложения по цене показывает насколько изменится величина предложения при изменении цены на 1%.

Формулы для расчета дуговой и точечной эластичности предложения по цене (Eps) полностью аналогичны формулам для спроса.

Виды эластичности предложения по цене:

• абсолютно неэластичное предложение (|E| = 0). Изменение цены совершенно не влияет на величину предложения. Это возможно в краткосрочном периоде;
• неэластичное предложение (0 Рыночное равновесие графически выражается пересечением графиков спроса (D) и предложения (S) в одной точке. Этой точке рыночного равновесия соответствуют: P_E — равновесная цена, и Q_E — равновесный объем.

Есть разные теории и подходы объясняющие как именно устанавливается рыночное равновесие. Самые известные — подход Л. Вальраса и А. Маршалла. Но это, также как паутинообразная модель равновесия рынка продавца и рынка покупателя — тема для отдельной статьи.

Если очень кратко и упрощенно, то механизм рыночного равновесия можно объяснить следующим образом. В точке равновесия все (и покупатели, и продавцы) довольны. Если одна из сторон получает преимущество (отклонение рынка от точки равновесия в ту или другую сторону), другая сторона будет недовольна и первой из сторон придется пойти на уступки.

Например: цена выше равновесной. Продавцам выгодно продавать товар по более высокой цене и предложение повышается, возникает избыток товаров. А покупатели будут недовольны ростом цены на товар. Вдобавок конкуренция высокая, предложение избыточно и продавцам, чтобы реализовать товар придется снизить цену, пока она не придет к равновесному значению. При этом снизится и объем предложения до равновесного объема.

Или другой пример: объем предлагаемых на рынке товаров меньше равновесного объема. То есть на рынке дефицит товаров. В таких условиях покупатели готовы заплатить большую цену за товар, чем та по которой он продается в данный момент. Это побудит продавцов увеличивать объемы предложения с одновременным повышением цены. В итоге цена и объем спроса/предложения придут к равновесному значению.

По сути это была иллюстрация к теориям рыночного равновесия Вальраса и Маршалла, но как уже говорилось, более подробно рассмотрим их в другой статье.

1. Галяутдинов Р. Р. Обзорные лекции для подготовки к госэкзаменам по специальности “Экономика и управление на предприятии”. 2012.

© Копирование любых материалов статьи допустимо только при указании прямой индексируемой ссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.

Закон спроса и предложения

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Что такое спрос

Спрос в экономике — это желание купить товар или услугу. Спрос — один из ключевых факторов рыночного ценообразования.

Изобразим понятие спроса на графике, где P — цена, а Q — объем спроса.

Величина спроса — это объем (количество) товара или услуги определенного вида, который покупатели готовы приобрести в течение определенного периода при определенном уровне цены на этот товар.

Цена спроса — максимальная цена, по которой покупатель готов приобрести товар или услугу.

Платежеспособный спрос — это возможность приобрести товар покупателями.

Спрос может изменяться под воздействием одного или нескольких факторов. Рассмотрим ценовые и неценовые факторы спроса.

Факторы, влияющие на спрос:

полезность и необходимость товара;

ожидания изменения цены;

уровень доходов населения;

наличие товара на рынке;

предложение альтернативных товаров и их цены;

Спрос может изменяться: увеличиваться или уменьшаться. Графически изменение спроса можно показать через изменение положения кривой спроса.

Увеличение спроса можно показать, переместив кривую вправо, дальше от осей координат. Это выглядит так:

Движение кривой влево, ближе к осям координат, означает уменьшение спроса. Вот так:

Теперь покажем изменение величины спроса на графике.

Изменение величины спроса графически отображается не сдвигом всей кривой, а движением по кривой спроса (D), то есть перемещением, например, из точки D1 в D2. Можно заметить закономерность: чем дороже товары или услуги, тем меньше желающих их приобрести.

Например, если цена Р₁ высокая, значит, количество товаров, которые купили по такой цене — Q₁, небольшое. При этом по невысокой цене Р₂ количество покупок Q₂ значительно выше.

Что такое предложение

Предложение — это желание продать товары, которые произвели и представили на продажу в конкретный отрезок времени. Объем предложения при этом зависит от объема производства.

Предложение товара будет расти, если у него высокая маржинальность, то есть производитель получает большой доход от каждой единицы проданной продукции. Например, себестоимость товара составляет 120 рублей, а продают его за 1000 рублей.

Цена предложения — это минимальная цена продавцов.

Перечислим факторы, которые влияют на величину предложения:

ожидания по будущей цене и потребности товара;

цены на аналогичные товары;

Рассмотрим график изменения величины предложения.

Изменение величины предложения выражается в движении кривой предложения (S) из позиции точки S₁ к S₂ при неизменности факторов предложения. В этом случае мы учитываем ценовой фактор, а другие рассматриваем как неизменные. Можно заметить закономерность: чем дороже товары или услуги, тем больше желающих по такой цене их продать.

Поможем закрепить новый материал на курсах по обществознанию в онлайн-школе Skysmart.

Что такое закон спроса и предложения

Закон спроса и предложения отражает взаимозависимость между количеством товаров и услуг и объемом спроса и предложения на них.

Закон спроса

Повышение цен может привести к снижению величины спроса, а снижение цен — к ее увеличению.

Закон предложения

Чем выше цена товара, тем больше величина его предложения. Чем ниже цена товара, тем меньше величина его предложения

Спрос определяется платежеспособной потребностью покупателей, а предложение — совокупностью товаров, которые предлагают продавцы или производители.

Рынок — это огромная система, участников которой называют покупателями и продавцами. На рынке все заинтересованы в обмене товаров и услуг. Есть разные рынки, при этом принципы закона работают одинаково: чем больше спрос, тем выше цены. Но со временем предложение становится больше, что может привести к снижению цены.

Функции спроса и предложения:

пропорциональное развитие производства;

рыночное регулирование цен;

отражение общественных отношений;

Что значит эластичность спроса и эластичность предложения

Эластичность спроса — это показатель, который выражает колебания спроса, которые возникают от изменения цен на товары или услуги. При этом важный факт — чем эластичнее спрос, тем выше цена, которая может быть установлена на товар.

Виды эластичности спроса:

Эластичный спрос — если при изменении цены спрос на товар сильно меняется, такой спрос на товар считается эластичным.

Неэластичный спрос — если при изменении цены спрос на товар значительно не меняется, то спрос называют неэластичным.

Абсолютно эластичный спрос — когда есть только одна цена, при которой потребители будут покупать товар. Изменение цены может привести к нулевому или неограниченному спросу.

Абсолютно неэластичный спрос — вне зависимости от изменения цены спрос остается на прежнем уровне.

Эластичность предложения — это показатель, который воспроизводит изменения совокупного предложения с ростом цен. Эластичность предложения отражает чувствительность предложения товаров на изменения их цен.

Виды эластичности предложения:

Неэластичное предложение — предложение существенно не меняется при изменении цены. Например, рынок рыбы. Так как товар портится, его нужно продать. К концу срока годности уже не важно, по какой цене.

Эластичное предложение — при изменении цены предложение существенно изменяется. Свойственно товарам длительного хранения.

Абсолютно неэластичное предложение — как бы ни менялась цена, предложение будет постоянно на одном уровне.

Абсолютно эластичное предложение — существует только одна цена, по которой товар будет предлагаться на рынке. Любое изменение цены приводит к полному отказу от производства либо к неограниченному увеличению предложения.

Эластичность спроса и предложения показывает, насколько изменится цена при изменении предложения.

Формула эластичности

E = [(Q 1 – Q 2 )/[1/2 × (Q 1 + Q 2 )] ] / [ (P 2 – P 1 )/[1/2 × (P 1 + P 2 )] ]

Q1 — спрос в начале;

Q2 — спрос в следующий момент времени;

P1 — цена в начале;

P2 — цена в следующий момент времени.

Например, цена изделия равна 50, спрос — 300. При росте цены до 54 спрос сокращается до 270. Тогда эластичность спроса рассчитывается так:

E = ((270 – 300) / 285) / ((54 – 50) / 52) = -0,1052 / 0,07692 = -1,367

Что такое рыночное равновесие спроса и предложения

Есть теория, при которой свободные рыночные отношения могут уравновесить спрос и предложение без сильного вмешательства государства и прочих факторов. Именно это явление называют рыночным равновесием.

Рыночное равновесие — это момент, когда спрос равен предложению.

Равновесная цена — цена, которая соответствует точке рыночного равновесия.

Типы рыночного равновесия:

• Мгновенное — когда возрастает спрос, при этом производители не могут увеличить предложение. Тогда равновесие устанавливается через повышение цены до момента установления рыночного равновесия.
• Краткосрочное — когда при повышении спроса предложение повышается через дополнительную загрузку производственных мощностей.
• Долгосрочное — когда происходит расширение производственных мощностей или создаются новые предприятия по производству товара.

Большая часть экономик в мире работают при соблюдении принципов свободного рыночного регулирования, то есть без вмешательства государства.

Рыночная экономика — это механизм взаимодействия товарооборотов между собой, который основан на частной собственности, товарно-денежных отношениях, свободе выбора и конкуренции.

Вместе с тем, достигнуть рыночное равновесие можно за счет слишком высокой цены. Например, некоторые отрасли экономики могут испытать сильный спад, кризис, а другие перепроизводство. Поэтому государство предпринимает меры, чтобы сгладить переходные процессы для равновесия спроса и предложения.

Какие действия может предпринять государство для проблемных отраслей:

Снизить налог на прибыль.

Уменьшить ставки по кредиту.

Ввести льготы, субсидии.

Графически пересечение кривых спроса и предложения можно отметить точкой А, которая и будет точкой равновесия. Это компромисс между желаниями и возможностями потребителя и производителя.

Это значит, что товар или услуга реализовывается по равновесной цене, то есть цене, по которой покупатель готов купить, а продавец готов продать товар или оказать услугу.

Эластичность функции

Содержание:

Эластичность функции

В экономических исследованиях приросты тех или иных показателей, характеризующих экономические процессы, чаще всего выражают в процентах к базовым значениям. Поэтому и изменение величин, которые связаны с ними функциональной зависимостью, также выражают в процентах. Для этого используют понятие эластичности функции, которое выражается через производную функции.

Определение и свойства эластичности функций

Пусть задана функция y = f (x). Если аргумент x получил приращение Δx и при этом функция y получила приращение Δy, то называют относительным приращением аргумента, а — относительным приращением функции.

Определение. Предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если существует, называется эластичностью функции.

Обозначают эластичность функции y = f (x) относительно переменной x E_x(y). То есть,

Итак, если в точке x функция имеет производную, то эластичность определяется формулой
Эластичность выражает приближенный процент приращения функции, который соответствует 1 % приращения аргумента.

Пример. Найти эластичность функции y = x 2 – 4 x +7 и вычислить ее при x = 1, x = 2, x = 5.

Решение.

Итак, если x вырастет на 1 % с 1 до 1,01, то y снизится на 0,5 %. Если x вырастет на 1 % с 2 до 2,02, то значение переменной y практически не изменится. Если x вырастет на 1 % с 5 до 5,05, то y вырастет на 2,5 %.

Свойства эластичности функции

ТЕОРЕМА 1. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичности сомножителей:
E_x (U ⋅ V) = E_x (U) + E_x (V).

Доказательство. По определению эластичности

ТЕОРЕМА 2. Эластичность частного двух функций равна разности показателей эластичности делимого и делителя:

Доказательство. По определению эластичности

Эластичность спроса относительно цены

В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса и предложения.

Пусть p цена одного изделия, а Q — количество изделий, произведенных и проданных через некоторое время, что определяет спрос. Величина Q зависит от цены, т. е. Q является функцией от p: Q = f (p).

Пусть приращение цены Δp вызывает приращение ΔQ. тогда относительные приращения цены и спроса будут соответственно и
Отношение показывает относительное изменение спроса, если цена изделия возросла на 1 %.

Эластичностью спроса относительно цены называется предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при условии, что приращение цены стремится к нулю.

Эластичность спроса относительно цены приближенно определяет, как меняется спрос на данное изделие, если его цена возрастает на 1 %.

Так, например, если рост цены на 5 % вызывает падение спроса на 8 %, то эластичность будет
Если эластичность спроса η = –0,5, то 10 % роста стоимости товара вызывает падение спроса на (–0,5) 10% = –5%.

Определение. Если процент изменения спроса больше процента изменения цены (η 0, имеем p > 20 – p; 2 p > 20; p > 10. Итак, спрос эластичен при цене 10 0, а
То есть функция D (Q) дохода растет с ростом цены p, когда спрос не эластичный.

Эластичность предложения относительно цены

Понятие эластичности можно применять и к другим функциям экономического содержания.

Рассмотрим понятие эластичности предложения S в зависимости от цены товара p. Под предложением понимают количество некоторого товара, который предлагается на продажу за единицу времени. Как правило, предложение какого-либо товара является возрастающей функцией цены. Но бывают случаи, когда предложение повышается со снижением цены. Величина S является функцией от цены товара. То есть, S = S (p).

Пусть Δp — приращение цены, а ΔS — соответствующее приращение предложения. Тогда относительные приращения цены и предложения будут соответственно и .
Эластичностью предложения относительно цены называется предел отношения относительного приращения предложения к относительному приращению цены при условии, что приращение цены стремится к нулю.

Эластичность предложения относительно цены приближенно определяет процент приращения предложения на 1 % приращения цены.

Пример 3. Функция предложения некоторого товара . Определить эластичность предложения при цене p = 2.

Решение.

Если p = 2, то
Следовательно, при цене p = 2 увеличение ее на 1 % вызовет увеличение предложения на 0,2 %.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/obshestvoznanie/zakon-sprosa-i-predlojeniya

http://natalibrilenova.ru/elastichnost-funktsii/

[/spoiler]