Если даны точки как найти координаты вектора

Содержание:

• Формула
• Примеры нахождения координат вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline {A B}$, если заданы координаты его начала и конца,
необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно
координаты $Aleft(x_{A} ; y_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B}right)$, то координаты вектора $overline {A B}$ вычисляются по формуле:

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты
$Aleft(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}right)$ соответственно, то координаты вектора
$overline {A B}$ вычисляются по следующей формуле:

Примеры нахождения координат вектора

Читать дальше: как найти направляющие косинусы вектора.

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

• Нахождение координат вектора

• Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

Для плоских задач	AB = {Bx – Ax; By – Ay}
Для трехмерных задач	AB = {Bx – Ax; By – Ay; Bz – Az}
Для n-мерных векторов	AB = {B1 – A1; B2 – A2; … Bn – An}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB_x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB_y + A_y = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .

Векторы i → и j → называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; – 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .

Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → – O A → .

O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .

По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → – O A → = x b – x a , y b – y a .

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , – 3 ) , B ( – 4 , – 1 ) .

Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , – 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: A B → = ( – 4 – 2 , – 1 – ( – 3 ) ) = ( – 6 , 2 ) .

Ответ: O A → = ( 2 , – 3 ) , A B → = ( – 6 , – 2 ) .

Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) . Найти координаты конца A B → .

Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b – 3 , y b – 5 , z b – 7 ) .

По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) .

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b – 3 = 2 y b – 5 = 0 z b – 7 = – 2

Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5

Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .

1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора. Таким образом, для противоположно направленного вектора формулы запишутся так:

Задача 1

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения важного момента, не поленюсь:

И момент здесь таков:
в чём различие между координатами точек и координатами векторов?

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат (единичные векторы тут вообще ни при чём). Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании мы легко можем переобозначить его через и отложить от какой-нибудь другой точки плоскости. Следует отметить, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .
Записи координат точек и координат вектора формально одинаковы, но смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

Задача 2

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно…. Не пропускаем! Решаем письменно и «от руки»! Чертежи делать не нужно (коль скоро, не требовалось). Решения и ответы в конце книги.

Для проверки вычислений удобно использовать Геометрический калькулятор, приложенные к данному курсу. Дабы избежать нелепых ошибок а-ля «2 + 2 = 5». А подобные «затмения» бывают. Даже у профессоров. Отвлёкся – и студентка сбежала 🙂

Как найти вектор по точкам

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_ <1>; y_<1>right)$ и конца $Bleft(x_ <2>; y_<2>right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть

Чтобы найти координаты вектора $overline$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_ <1>; y_ <1>; z_<1>right)$ и $Bleft(x_ <2>; y_ <2>; z_<2>right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Задание. Даны точки $A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline$ и $overline$

Решение. Для вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом. Тогда координаты вектора $overline$ равны

Для вектора точка $B$ является началом, а точка $A$ – концом. Тогда координаты вектора $overline$ равны

Ответ. $overline=(-2 ; 2), overline=(2 ;-2)$

Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов $overline$, $overline$, $overline$

Решение. Для искомого вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом. Тогда координаты вектора $overline$ соответственно равны:

$$overline=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$

Для вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $C$ – концом. Тогда его координаты соответственно равны

Для вектора $overline$ точка $B$ является началом, а точка $C$ – концом. Его координаты равны

Ответ. $overline=(2 ; 4 ; 1), overline=(-1 ; 1 ; 0,5), overline=(-3 ;-3 ;-0,5)$

[spoiler title=”источники:”]

http://mathter.pro/angem/1_5_1_kak_nayti_vektor_po_dvum_tochkam.html

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_0.php

[/spoiler]

Онлайн калькулятор для нахождения координат вектора на плоскости по двум или по трём точкам в пространстве.

Чтобы узнать координаты вектора в плоскости (i,j) или найти координаты вектора в пространстве (i,j,k), необходимо произвести ряд однотипных вычислений на основе координат точек его начала и конца.

Предположим, нам дана точка начала вектора A с координатами (1;2) и точка конца вектора с координатами B(3;5). Для того чтобы рассчитать координаты самого вектора необходимо отнять координату начала от координаты конца вдоль каждой оси.
[ bar{i}=x_{2}-x_{1}=3-1=2 ]
[ bar{j}=y_{2}-y_{1}=5-2=3 ]

Таким образом, координатами вектора становятся (2;3), причем порядок расположения координат строго соблюдается. Аналогично происходит, если отталкиваться от координат в пространстве (x,y,z).
[ A(0;3;1) ]
[ B(2;2;1) ]
[ bar{i}=x_{2}-x_{1}=2-0=2 ]
[ bar{j}=y_{2}-y_{1}=2-3=-1 ]
[ bar{k}=z_{2}-z_{1}=1-1=0 ]
Координаты вектора: [ = (2,-1,0) ]