Фаза колебаний как найти угол

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

• амплитуда,
• период,
• частота,
• циклическая частота,
• фаза,
• начальная фаза.

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac{1}{c} right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large  displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).

(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

• Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
• Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

• Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):

[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

• Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

• В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».

Примечания:

1. Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
2. На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

( large varphi_{01}) – для первого процесса и,

( large varphi_{02}) – для второго процесса.

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} —  varphi_{02} }]

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

• Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

[large boxed{ T cdot N = t }]

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

• Период и частота колебаний связаны так:

[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]

(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.

• Количество и частота колебаний связаны формулой:

[large boxed{ N = nu cdot t}]

• Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]

(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

• Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

• Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]

• Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Фаза незатухающих гармонических колебаний, формула

Гармонические колебания — это колебание проекции точки двигающейся равномерно по окружности на прямую.

Если построить график отклонения точки от нуля в зависимости от угла поворота точки по окружности получится график функции синус, или синусоида.

Угол поворота точки по окружности при равномерном вращении пропорционален времени. Соответственно фаза гармонического колебания это угол, соответствующий времени.

Для любых колебаний отклонение у, мгновенная скорость u и мгновенное ускорение a являются функциями времени t, а также фазы φ поскольку φ = ωt.

При определении фазы необходимо учитывать начальную фазу φ₀, т. е. значение фазы в начальный момент (t = 0).

Если

то выполняется соотношение

[
φ = ωt + φ_0 = 2πf t + φ_0
]

Найти, вычислить фазу колебаний по формуле (1) через круговую частоту ω

Найти, вычислить фазу колебаний по формуле (1) через линейную частоту f

Фаза незатухающих гармонических колебаний	стр. 538

( 1 оценка, среднее 5 из 5 )

Гармоническое колебание это простейшее периодическое колебание, при котором смещение х меняется со временем по закону синуса (или косинуса).

Что такое гармоническое колебание

Это периодически повторяющееся движение, при котором тело отклоняется от некоторого среднего положения то в одну, то в другую сторону, называется колебательным движением; этот вид движения весьма распространен в природе.

Оно свойственно частицам вещества: атомам и молекулам, с колебательным движением частиц среды связаны звуковые явления, оно лежит в основе многих электрических явлении, например переменного тока, электрических колебаний, электромагнитных волн и т. п.

Изучение колебательного движения начнем с наиболее простого случая — механических колебаний. При этом обратим главное внимание на колебательное движение таких тел, которые имеют только одно положение устойчивого равновесия.

Если такое тело выведено из положения равновесия внешней силой, то оно под действием внутренних сил возвращается в него постепенно путем многократных колебаний около этого положения.

Такое колебательное движение могут совершать, например ножки камертона, натянутая струна, любое свободно подвешенное тело (качели, маятник) и т. п.

При колебательном движении положение тела в каждый данный момент времени определяется расстоянием его от среднего положения, которое называется смещением, а также направлением движения.

Весьма распространенным видом колебательного движения является простое, или гармоническое, колебание.

Оно происходит под действием силы, прямо пропорциональной смещению и направленной к положению равновесия.

Характерным признаком гармонического колебания является изменение смещения во времени по закону синуса или косинуса.

Пример гармонического колебания

В качестве примера рассмотрим свободное колебание горизонтального пружинного маятника (рис. 2, а).

Маятник состоит из тела С, подвешенного к стойке АВ, с помощью тяги АС и упорного стержня ВС, которые могут свободно поворачиваться вокруг оси стойки.

Такая подвеска полностью уравновешивает силу тяжести тела С при любом его положении. 

С обеих сторон к телу С прикреплены пружины F, закрепленные в неподвижной раме Е. При отклонении тела С от среднего положения одна из пружин растягивается. Сила F, с которой пружина действует на тело, прямо пропорциональна его смещению s и направлена в сторону, обратную смещению:

F = — ks,

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств пружины, а знак минус указывает, что действие силы обратно направлению смещения.

Если отклонить тело С из среднего положения и затем представить действию упругих сил пружин, то оно будет совершать колебательное движение: возвратившись под действием силы пружин к среднему положению, тело по инерции пройдет его и отклонится в противоположную сторону; достигнув максимального отклонения, тело под действием силы пружин снова возвратится в исходное сложение, по инерции пройдет его в обратном направлении и т. д.

Как характеризуются колебательные движения

Колебательное движение, в том числе и гармоническое колебание, характеризуются:

1. Наибольшим смещением или амплитудой колебания
2. Периодом колебания или временем, в течение которого совершается одно полное колебание.

Период колебания Т измеряется в секундах. Вместо периода колебание можно характеризовать частотой v. Частота колебаний— это величина, обратная периоду v = 1/Т.

Иначе, частота — это число колебаний, которое тело совершает в течение 1 сек. Размерность частоты 1/сек или сек^-1. Практически частота измеряется в единицах, называемых герц (гц).

Герц — это частота, при которой за 1 сек происходит одно полное колебание. В герцах измеряют частоту колебаний любой природы.

Изучение колебаний

Гармоническое колебание удобно изучать, например, с помощью модели. На горизонтальном диске А, который вращается с постоянной скоростью, укреплен на стержне маленький шарик N.

Шарик совершает равномерное движение по окружности. Рассмотрим движение, которое совершает точка п, являющаяся проекцией шарика N на любой из диаметров окружности.

В качестве проекции шарика на диаметр окружности можно рассматривать его тень, отбрасываемую на экран Э, установленный рядом с диском перпендикулярно направлению световых лучей. При вращении диска тень шарика на экране будет совершать колебательное движение.

Составим уравнение для этого движения, которое связывает между собой смещение s, амплитуду а и период Т (или частоту v) колебания и таким образом позволяет определить величину и знак смещения в любой заданный момент времени.

Рассмотрим положение точек N и п в какой-либо момент времени t (рис. 3). Соединим точку N с центром окружности. Радиус ON совершает вращательное движение с угловой скоростью:

ω = 2π/Т ,

где Т — есть период обращения. За начало отсчета времени t = 0 примем момент, когда точка N находится на горизонтальном диаметре, а точка п соответственно — в центре окружности. Тогда угол φ, пройденный радиусом ON за время t, будет:

φ = ωt = 2πt/Т

Из треугольника ONn (угол при вершине которого равен углу φ как угол имеющий параллельные стороны) следует, что On = ON sin φ, где On — смещение s точки п в момент времени t, ON—радиус окружности или амплитуда а колебания. Подставляя эти значения, получим:

s = a sin φ = a sin ωt.

Смещение изменяется от времени по закону синуса, следовательно, точка п совершает гармоническое колебание. Уравнению можно придать также и несколько иной вид:

s = a sin(2πt/Т) = a sin 2πvt

Величина, находящаяся под знаком синуса, т. е.

φ = ωt = 2πvt = 2πt/Т

называется фазой колебания и измеряется в градусах или радианах. Величину ω = 2πv = 2πt/Т входящую в выражение для фазы колебания, называют круговой частотой гармонического колебания.

Что такое фаза колебания

Фаза колебания есть величина, характеризующая состояние колебательного процесса в каждый заданный момент времени.

Зная фазу колебания и его амплитуду, можно для любого момента времени определить величину и знак смещения, т. е. определить положение колеблющегося тела.

Имея в виду, что определенным частям периода соответствуют определенные величины фазы колебания, можно, зная эти величины и найдя соответствующие им синусы углов, определить величину смещения в долях амплитуды а.

Можно построить график, соответствующий уравнению гармонического колебания. График показывает изменение смещения s тела (откладывается по оси ординат) от времени t, которое отложено по оси абсцисс.

По форме график является синусоидой (рис. 4) и может быть построен, пользуясь данными таблицы.

График колебания

График колебания можно получить также и путем непосредственной записи движения тела на равномерно движущейся бумажной ленте.

Например, к телу С нашего горизонтального маятника можно прикрепить воронку с мелким песком, а под ним расположить лист смазанной клеем белой бумаги, который равномерно передвигается в направлении, перпендикулярном направлению колебаний (см. рис. 2, а). 

Тогда песочная струйка запишет на бумаге кривую (см. рис. 2, б), ординаты которой соответствуют смещениям маятника в различные последующие моменты времени.

Полученная таким образом кривая совпадает по характеру с графиком (рис. 4). В обоих случаях кривые изображают колебание, развернутое по времени: каждая точка кривой является концом ординаты, изображающей смещение тела в последующие, равномерно расположенные по горизонтальной оси моменты времени.

В первом случае это получается в результате движения ленты, во втором — это обеспечивается в самом процессе построения графика.

Амплитуда гармонических колебаний

Энергия Е тела, совершающего гармоническое колебание, состоит из кинетической и потенциальной, которые в процессе колебания периодически переходят одна в другую.

В момент наибольшего смещения скорость тела на мгновение делается равной нулю и вся энергия тела является потенциальной:

Е=Е_П.

По мере движения тела к положению равновесия скорость его увеличивается и потенциальная энергия постепенно переходит в кинетическую.

При прохождении телом положения равновесия скорость его максимальна и вся энергия переходит в кинетическую: 

Е=Е_К.

Определим эту энергию. рассмотренной модели гармонического колебания (см. рис. 2) наибольшая скорость υ_m точки п при прохождении среднего положения равняется скорости υ движения точки N по окружности, так как в этот момент скорости этих точек параллельны и одинаковы по величине.

Эта скорость υ_m = 2πа/Т, где а — амплитуда колебания или радиус окружности, а Т — период колебания. Поэтому для энергии Е тела с массой т, совершающего гармоническое колебание, можно написать следующее выражение:

Е =Е_к = (mυ²m)/2

Подставляя значение скорости υ_m, получаем:

Е = (mυ²m)/2 = m/2((2πa/T)²) = 2π²ma²v²

Энергия тела, совершающего гармоническое колебание, прямо пропорциональна массе тела, квадрату амплитуды и квадрату частоты.

Пример амплитуды гармонических колебаний

Рассмотрим колебание тела, которое началось на промежуток времени t₀ раньше момента начала отсчета времени (обычно время t₀ выражают в долях периода Т колебания).

В этом случае к началу отсчета времени тело уже имеет смещение s₀, как это показано на графике рис. 5, а. Смещению s₀ соответствует фаза колебания φ₀, которая называется начальной фазой, и по общему правилу может быть представлена так:

φ₀ = ωt0 = (2πt₀)/T = 2πvt₀

Составим уравнение для данного колебания. Угол φ‘, определяющий положение радиуса точки N в момент времени t, будет φ‘=φ + φ₀. где φ₀—угол, соответствующий начальной фазе колебания (величина постоянная), а φ — угол, образуемый при движении точки N и прямо пропорциональный промежутку времени t: φ=ωt.

Тогда, рассуждая аналогично предыдущему случаю (см. рис 3), можно написать:

s = a sin (ωt + φ₀) = a sin (2π/T) ((t+ t₀)) = a sin 2πv (t+ t₀).

График колебания, описываемый этим уравнением, изображен на рис. 5, а.

Рассуждая аналогично, можно убедиться, что если колебание началось на промежуток времени t₀ позже начала отсчета времени, то его уравнение будет иметь вид:

s = a sin (ωt — φ₀) = a sin (2π/T) ((t — t₀)) = a sin 2πv (t — t₀).

Его график изображен на рис. 5, б.

Если два колебания одинаковой частоты начинаются одновременно, то говорят, что они имеют одинаковую фазу или что они находятся в фазе.

Если сопоставляются два колебания одинаковой частоты, начавшиеся не одновременно, то говорят, что они имеют разность фаз или сдвиг фазы φ_1-2, соответствующий разнице во времени t_1-2 между началами колебания (рис. 5, в).

При этом одно из них называют опережающим (или наоборот, запаздывающим) по фазе относительно другого.

Про два колебания, разность фаз у которых составляет π или 180°, говорят, что они находятся в противофазе.

Связь между гармоническим колебанием и равномерным движением по окружности

Представим себе произвольную точку D, равномерно вращающуюся по окружности радиуса А против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω рад/с (рис. ). Уравнение движения точки D примет вид

φ = φ₀ + ωt,

где φ — угол поворота подвижного радиуса 0D относительно неподвижного OK, а φ₀— начальное значение угла φ в момент времени t = 0.

В то время как точка D вращается по окружности от К к L и снова к K, проекция точки D на диаметр MN — точка D’ — движется вдоль отрезка МN от одного из его концов к другому и обратно, совершая колебательное движение.

Обозначим расстояние 0D’ через х. Тогда уравнение движения точки D’можно записать в виде

х = A sin φ = A sin (ωt + φ₀).

Если в момент времени t = 0 начальное значение угла φ₀ = 0, то уравнение движения точки D’ примет вид

х = A sin φ = A sin ωt.

Функция sin ωt является простейшей периодической функцией от времени, значит точка D’ совершает периодические колебания.

Если на оси ординат откладывать значения смещения х, а на оси абсцисс время t, то можно получить график гармонического колебания, который представляет собой синусоиду.

Поскольку sin φ меняется в пределах от +1 до —1, то смещение х точки D’ от центра колебаний 0 находится в пределах:

—A≤x≤A.

Максимальная величина этого смещения |х|макс = A называется амплитудой колебания.

Затухающие и незатухающие колебания

Колебания, происходящие с неизменной амплитудой, называются незатухающими. Колебания, происходящие с уменьшающейся амплитудой, называются затухающими.

Чтобы поддерживать незатухающие колебания, необходимо создать такой механизм, который за одно полное колебание точки сообщит ей дополнительно столько энергии, сколько потеряно точкой за это же время на преодоление трения, сопротивления и т. п.

Аргумент ωt стоящий под знаком синуса, называется фазой колебания. Величина со, характеризующая угловую скорость вращения точки D, называется циклической частотой гармонического колебания точки D’.

Время, в течение которого тело совершает одно полное колебание (время между двумя последовательными прохождениями точки через положение равновесия в одном и том же направлении), называется периодом полного колебания Т.

Время движения колеблющегося тела от положения равновесия до максимального отклонения и обратно до положения равновесия называется периодом простого колебания. Период простого колебания равен половине периода полного колебания.

Циклическая частота со связана с периодом Т и обычной частотой v (v — число колебаний за единицу времени) такими соотношениями

ω = 2π/Т

но 

v = 1/Т,

тогда

ω = 2πv.

Частота v измеряется в герцах. 1 Гц равен 1 колебанию в секунду. Фазу колебания φ можно записать в виде

φ = ωt = (2π/T)t.

Фаза показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебания.

Статья на тему Гармоническое колебание