Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 20 мая 2021 года; проверки требуют 16 правок.
| Магнитная индукция | |
|---|---|
 |
|
| Размерность | MT−2I−1 |
| Единицы измерения | |
| СИ | Тл |
| СГС | Гс |
| Примечания | |
| Векторная величина |
| Классическая электродинамика |
|---|
 |
| Электричество · Магнетизм |
|
Электростатика Закон Кулона |
|
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа |
|
Электродинамика Векторный потенциал |
|
Электрическая цепь Закон Ома |
|
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля |
| См. также: Портал:Физика |
Магни́тная инду́кция — векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля, а именно характеристикой его действия на движущиеся заряженные частицы и на обладающие магнитным моментом тела.
Стандартное обозначение: ; единица измерения в СИ — тесла (Тл), в СГС — гаусс (Гс) (связь: 1 Тл = 104 Гс).
Величина магнитной индукции фигурирует в ряде важнейших формул электродинамики, включая уравнения Максвелла.
Для измерения магнитной индукции используются магнитометры-тесламетры. Также она может быть найдена расчётным путём — в статической ситуации для этого достаточно знать пространственное распределение токов.
Вектор в общем случае зависит от координат рассматриваемой точки и времени 
. Он не инвариантен относительно преобразований Лоренца и изменяется при смене системы отсчёта.
Физический смысл[править | править код]
Магнитная индукция — это такой вектор, что сила Лоренца 
, действующая со стороны магнитного поля[1] на заряд 
, движущийся со скоростью 
, равна
![{displaystyle {vec {F}}=q^{*}left[{vec {v}}times {vec {B}}right]}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%200%200'%3E%3C/svg%3E)
- (по величине ).
![{displaystyle {vec {F}}=q^{*}left[{vec {v}}times {vec {B}}right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eaf19b61520d51d208329c484d386ffbf8e9977)
Косым крестом обозначено векторное произведение, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (вектор перпендикулярен им обоим и направлен по правилу левой руки).
Также магнитная индукция может быть определена[2] как отношение максимального механического момента сил, действующих на рамку с током, помещённую в предполагаемое однородным (на расстояниях порядка размера рамки) магнитное поле, к произведению силы тока 
в рамке на её площадь. Момент сил зависит от ориентации рамки и достигает максимального значения при каких-то определённых углах. Звёздочка у символа указывает на то, что заряд или ток являются «пробными», то есть используемыми именно для регистрации поля, в отличие от тех же величин без звёздочки.
Магнитная индукция выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля 
.
Способы расчёта[править | править код]
Общий случай[править | править код]
В общем случае расчёт магнитной индукции проводится совместно с расчётом электрической составляющей электромагнитного поля посредством решения системы уравнений Максвелла:
- ,
где 
— магнитная постоянная, 
— магнитная проницаемость, 
— диэлектрическая проницаемость, а 
— скорость света в вакууме. Через 
обозначена плотность заряда (Кл/м3) и через 
плотность тока (А/м2).
Магнитостатика[править | править код]
В магнитостатическом пределе[3] расчёт магнитного поля может быть выполнен с использованием формулы Био—Савара—Лапласа. Вид этой формулы несколько различен для ситуаций, когда поле создаётся текущим по проводу 
током 
и когда оно создаётся объёмным распределением тока:
- .
В магнитостатике эта формула играет ту же роль, что закон Кулона в электростатике. Формула позволяет вычислить магнитную индукцию в вакууме. Для случая магнитной среды необходимо использовать уравнения Максвелла (без слагаемых с производными по времени).
Если заранее очевидна геометрия поля, помогает теорема Ампера о циркуляции магнитного поля[4] (эта запись является интегральной формой уравнения Максвелла для 
в вакууме):
- .
Здесь 
— произвольная поверхность, натянутая на выбранный замкнутый контур 
.
- Простые примеры
Вектор магнитной индукции прямого провода с током на расстоянии 
от него составляет
- ,
где 
— единичный вектор вдоль окружности, по оси симметрии которой проложен провод. Предполагается, что среда однородна.
Вектор магнитной индукции прямого внутри соленоида с током и числом витков на единицу длины 
равен
- ,
где 
— единичный вектор вдоль оси соленоида. Здесь также предполагается однородность магнетика, которым заполнен соленоид.
Связь с напряжённостью[править | править код]
Магнитная индукция и напряжённость магнитного поля связаны через соотношение
- ,
где — магнитная проницаемость среды (вообще говоря, это тензорная величина, но в большинстве реальных случаев её можно считать скаляром, то есть просто константой конкретного материала).
Основные уравнения[править | править код]
Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в большое число уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, — это электростатика.
Некоторые из уравнений:
- из которого следуют выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле,
- Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:
- (это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).
- Выражение для плотности энергии магнитного поля
- .
- Оно входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля, и в лагранжиан электромагнитного поля, и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).
Типичные значения[править | править код]
| объект |  , Тл |
объект | , Тл
|
|---|---|---|---|
| магнитоэкранируемая комната | 10-14 | солнечное пятно | 0,15 |
| межзвёздное пространство | 10-10 | небольшой магнит (Nd-Fe-B) | 0,2 |
| магнитное поле Земли | 5*10-5 | большой электромагнит | 1,5 |
| 1 см от провода с током 100 А | 2*10-3 | сильный лабораторный магнит | 10 |
| небольшой магнит (феррит) | 0,01 | поверхность нейтронной звезды | 108 |
Примечания[править | править код]
См. также[править | править код]
- Векторный потенциал
- Уравнения Максвелла
- Электромагнитное поле
- Тензор электромагнитного поля
- Напряжённость магнитного поля
Индукция магнитного поля
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 127.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 127.
Проводник с электрическим током всегда порождает магнитное поле. Для его описания используются различные величины, одной из которых является индукция. Рассмотрим это понятие подробнее.
Индукция магнитного поля
Обнаружить магнитное поле можно по действию на движущиеся заряды или на проводник с током. При этом можно видеть, что направление возникающей силы зависит от направления электрического тока.
Таким образом, можно ввести силовую характеристику магнитного поля – векторную величину индукции магнитного поля $overrightarrow B$. Модуль этой величины будет характеризовать силу, с которой магнитное поле действует на ток (интенсивность), а векторный характер – направление.
Направление магнитной индукции
Магнитные силы, как и любые другие силы, имеют направление. Для его определения служат специальные правила.
Правило буравчика
Согласно этому правилу, если направление поступательного движения острия буравчика при ввинчивании совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращательного движения буравчика в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля.
Правило обхвата правой рукой
Приведенное правило зачастую недостаточно понятно из-за того, что буравчик в современном мире используется нечасто. Поэтому гораздо удобнее применять правило охвата правой рукой: если большой палец правой руки указывает направление тока, то остальные пальцы будут показывать направление магнитных линий.
Данное правило удобнее еще и потому, что его можно применять и для определения направления магнитной индукции катушки с током, в этом случае четыре пальца направляются вдоль витков катушки, в направлении тока в них, а большой палец укажет направление вектора магнитной индукции. То есть, большой палец в обоих случаях указывает на прямую линию, а остальные пальцы – на охватывающую.
Модуль магнитной индукции
Закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на проводник с током, был открыт А.Ампером. Согласно этому закону, сила, действующая на проводник, пропорциональна силе тока в проводнике, его длине и модулю магнитной индукции:
$$F=I{big|overrightarrow Bbig|}Δlthinspace sinthinspacealpha$$
Максимальная сила соответствует перпендикулярному расположению линий магнитной индукции и тока. Зная эту силу, можно получить формулу индукции магнитного поля:
$$B={F_{max}over IΔl}$$
Из этой же формулы можно получить единицу измерения магнитной индукции – Тесла:
$$Тл={Нover А×м}$$,
то есть, индукция силой 1 тесла – эта индукция, которая действует на проводник с силой тока 1 Ампер длинной 1 метр с силой 1 Ньютон.
1 Тл – это очень сильное магнитное поле. Обычное магнитное поле Земли имеет значение около 0,05 мТл. Индукция поля бытового магнита из защелок составляет около 5 мТл. Самое сильное магнитное поле, с которым может столкнуться обычный человек – это сила поля МРТ-томографа. Здесь значение индукции может доходить до 3 Тл !
Что мы узнали?
Индукция магнитного поля – это векторная величина, характеризующую интенсивность поля. Чем выше индукция, тем с большей силой поле действует на проводник с током. Направление магнитной индукции определяется правилом буравчика или правилом обхвата правой руки.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка доклада
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 127.
А какая ваша оценка?
Магнитная индукция
Магнитная индукция — это силовая характеристика магнитного поля в выбранной точке пространства. Она определяет силу, с которой магнитное поле воздействует на заряженную частицу, что движется внутри него. Магнитная индукция считается фундаментальной характеристикой магнитного поля (как напряжённость для электрического поля).
Магнитная индукция описывает магнитную силу (вектор) на тестовом объекте (например, на куске железа) в каждой точке пространства. Простыми словами: если естественный магнит поднести к магнитным веществам (таким, как железо, никель, кобальт и т. д.), это вызовет в них магнитные свойства, которые называются “магнитной индукцией”. Магнитная индукция используется для создания искусственных магнитов.
Магнитная индукция также называется плотностью магнитного потока.
Магнитная индукция измеряется:
- в системе СИ единицей тесла (Тл),
- в системе СГС единицей гаусс (Гс).
Соотношение между Тл и Гс: 1 Тл = 10 000 Гс.
Магнитная индукция — это векторная величина и обозначается буквой B со стрелочкой:
Индукция (от лат. inducere — вводить, наведение) — производство токов в цепи под действием магнита или другого тока.
Формулы вычисления магнитной индукции
Формула магнитной индукции:
Где:
- B — индукция магнитного поля (в Тл)
- Mmax — максимальный крутящий момент магнитных сил, приложенных к рамке (в Нм)
- l — длина проводника (в м)
- S — площадь рамки (в м²)
Другие формулы, где встречается B
Эти формулы также можно использовать для её расчёта.
Сила Ампера:
Где:
- Fa — сила Ампера (в Н — ньютон)
- I — сила тока (в А — ампер)
- B — индукция магнитного поля (в Тл)
- L — длина проводника (в м)
- α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости или др.; измеряется в рад. или град.)
Сила Лоренца:
Где:
- Fл — сила Лоренца (в Н — ньютон)
- q — заряд частицы (в Кл — кулон)
- v — скорость (в м/с)
- B — индукция (в Тл)
- α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости, или др.; измеряется в рад. или град.))
Магнитный поток:
Где:
- Ф — магнитный поток (в Вб – вебер)
- B — индукция (в Тл)
- S — площадь рамки (в м²)
- α — угол между вектором В и одним из направлений (силы тока, скорости, или др.; измеряется в рад. или град.))
Электромагнитная индукция и магнитная индукция: какая между ними разница?
Электромагнитная индукция — это производство электродвижущей силы, создаваемой в результате относительного движения между магнитным полем и проводником.
Магнитная индукция может производить постоянный магнит, но может и не производить.
Электромагнитная индукция создаёт ток, но таким образом, что этот созданный ток противодействует изменению магнитного поля.
В электромагнитной индукции используются магниты и электрические цепи, а в магнитной индукции используются только магниты и магнитные материалы.
Узнайте также про:
- Магнитное поле,
- Магнитное поле Земли,
- Уравнения Максвелла
- Напряженность электрического поля.
Часто бывает, что задачу не удается решить из-за того, что под рукой нет нужной формулы. Выводить формулу с самого начала – дело не самое быстрое, а у нас на счету каждая минута.
Ниже мы собрали вместе основные формулы по теме «Электричество и Магнетизм». Теперь, решая задачи, вы сможете пользоваться этим материалом как справочником, чтобы не терять время на поиски нужной информации.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Магнетизм: определение
Магнетизм – это взаимодействие движущихся электрических зарядов, происходящее посредством магнитного поля.
Поле – особая форма материи. В рамках стандартной модели существует электрическое, магнитное, электромагнитные поля, поле ядерных сил, гравитационное поле и поле Хиггса. Возможно, есть и другие гипотетические поля, о которых мы пока что можем только догадываться или не догадываться вовсе. Сегодня нас интересует магнитное поле.
Магнитная индукция
Так же, как заряженные тела создают вокруг себя электрическое поле, движущиеся заряженные тела порождают магнитное поле. Магнитное поле не только создается движущимися зарядами (электрическим током), но еще и действует на них. По сути магнитное поле можно обнаружить только по действию на движущиеся заряды. А действует оно на них с силой, называемой силой Ампера, о которой речь пойдет позже.
Прежде чем мы начнем приводить конкретные формулы, нужно рассказать про магнитную индукцию.
Магнитная индукция – это силовая векторная характеристика магнитного поля.
Она обозначается буквой B и измеряется в Тесла (Тл). По аналогии с напряженностью для электрического поля Е магнитная индукция показывает, с какой силой магнитное поле действует на заряд.
Кстати, вы найдете много интересных фактов на эту тему в нашей статье про теорию магнитного поля и интересные факты о магнитном поле Земли.
Как определять направление вектора магнитной индукции? Здесь нас интересует практическая сторона вопроса. Самый частый случай в задачах – это магнитное поле, создаваемое проводником с током, который может быть либо прямым, либо в форме окружности или витка.
Для определения направления вектора магнитной индукции существует правило правой руки. Приготовьтесь задействовать абстрактное и пространственное мышление!
Если взять проводник в правую руку так, что большой палец будет указывать на направление тока, то загнутые вокруг проводника пальцы покажут направление силовых линий магнитного поля вокруг проводника. Вектор магнитной индукции в каждой точке будет направлен по касательной к силовым линиям.
Сила Ампера
Представим, что есть магнитное поле с индукцией B. Если мы поместим в него проводник длиной l, по которому течет ток силой I, то поле будет действовать на проводник с силой:
Это и есть сила Ампера. Угол альфа – угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике.
Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы в ладонь входили линии магнитной индукции, а вытянутые пальцы указывали бы направление тока, отставленный большой палец укажет направление силы Ампера.
Сила Лоренца
Мы выяснили, что поле действует на проводник с током. Но если это так, то изначально оно действует отдельно на каждый движущийся заряд. Сила, с которой магнитное поле действует на движущийся в нем электрический заряд, называется силой Лоренца. Здесь важно отметить слово «движущийся», так на неподвижные заряды магнитное поле не действует.
Итак, частица с зарядом q движется в магнитном поле с индукцией В со скоростью v, а альфа – это угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции. Тогда сила, которая действует на частицу:
Как определить направление силы Лоренца? По правилу левой руки. Если вектор индукции входит в ладонь, а пальцы указывают на направление скорости, то отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца. Отметим, что так направление определяется для положительно заряженных частиц. Для отрицательных зарядов полученное направление нужно поменять на противоположное.
Если частица массы m влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, то она будет двигаться по окружности, а сила Лоренца будет играть роль центростремительной силы. Радиус окружности и период обращения частицы в однородном магнитном поле можно найти по формулам:
Взаимодействие токов
Рассмотрим два случая. Первый – ток течет по прямому проводу. Второй – по круговому витку. Как мы знаем, ток создает магнитное поле.
В первом случае магнитная индукция провода с током I на расстоянии R от него считается по формуле:
Мю – магнитная проницаемость вещества, мю с индексом ноль – магнитная постоянная.
Во втором случае магнитная индукция в центре кругового витка с током равна:
Также при решении задач может пригодиться формула для магнитного поля внутри соленоида. Соленоид – это катушка, то есть множество круговых витков с током.
Пусть их количество – N, а длина самого соленоилда – l. Тогда поле внутри соленоида вычисляется по формуле:
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Магнитный поток и ЭДС
Если магнитная индукция – векторная характеристика магнитного поля, то магнитный поток – скалярная величина, которая также является одной из самых важных характеристик поля. Представим, что у нас есть какая-то рамка или контур, имеющий определенную площадь. Магнитный поток показывает, какое количество силовых линий проходит через единицу площади, то есть характеризует интенсивность поля. Измеряется в Веберах (Вб) и обозначается Ф.
S – площадь контура, альфа – угол между нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура и вектором В.
При изменении магнитного потока через контур в контуре индуцируется ЭДС, равная скорости изменения магнитного потока через контур. Кстати, подробнее о том, что такое электродвижущая сила, вы можете почитать в еще одной нашей статье.
По сути формула выше – это формула для закона электромагнитной индукции Фарадея. Напоминаем, что скорость изменения какой-либо величины есть не что иное, как ее производная по времени.
Для магнитного потока и ЭДС индукции также справедливо обратное. Изменение тока в контуре приводит к изменению магнитного поля и, соответственно, к изменению магнитного потока. При этом возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует изменению тока в контуре. Магнитный поток, который пронизывает контур с током, называется собственным магнитным потоком, пропорционален силе тока в контуре и вычисляется по формуле:
L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью, который измеряется в Генри (Гн). На индуктивность влияют форма контура и свойства среды. Для катушки с длиной l и с числом витков N индуктивность рассчитывается по формуле:
Формула для ЭДС самоиндукции:
Энергия магнитного поля
Электроэнергия, ядерная энергия, кинетическая энергия. Магнитная энергия – одна из форм энергии. В физических задачах чаще всего нужно рассчитывать энергию магнитного поля катушки. Магнитная энергия катушки с током I и индуктивностью L равна:
Объемная плотность энергии поля:
Конечно, это не все основные формулы раздела физики «электричество и магнетизм», однако они часто могут помочь при решении стандартных задач и расчетах. Если же вам попалась задача со звездочкой, и вы никак не можете подобрать к ней ключ, упростите себе жизнь и обратитесь за решением в сервис студенческой помощи.
Свойством поля магнитного в любой его точке с позиции силы выступает вектор магнитной индукции [overrightarrow{mathrm{B}}].
Вектор индукции магнитного поля: главные понятия
Рассмотрим определение вектора индукции магнитного поля. Индукцию определяют как предел отношения F силы, воздействующий на магнитное поле, на ток [text { Idl }] к произведению элементарного тока [text { I }] со значением элемента проводника [text { dl }]. Другими словами, магнитная индукция действует по направлению перпендикулярно [perp] по направлению тока (или по-другому к элементу проводника [text { dl }Rightarrow] из (1), а также вектор магнитной индукции поля перпендикулярен [perp] к направлению силы, которая действует с магнитного поля.
Вектор магнитной индукции однородного поля и неоднородного
Если [overrightarrow{mathrm{B}}=mathrm{const}], то поле является однородным. Если оно не изменяется с течением времени, то про него говорят, что поле постоянное.
Вектор индукции магнитного поля: важные формулы
Важно!
Формула с векторами преобразуется в модульную форму, потому что векторы задают направление, а модульная форма — значения, которые необходимы для решения задачи.
Формула
Модуль вектора индукции однородного поля находят следующим образом:
[mathrm{B}=frac{mathrm{M}_{max }}{mathrm{P}_{mathrm{m}}}].
где [mathrm{M}_{max }] — вращающий момент в максимуме действует на контур с элементарным током, помещенный в магнитное поле, где в данном случае [mathrm{P}_{mathrm{m}}=mathrm{I} cdot mathrm{S}] — магнитный момент контура (S — площадь определенного контура).
Модуль вектора индукции магнитного поля: производные формулы
Есть еще формулы для определения модуля магнитной индукции. Она определяется как отношение силы в максимуме [mathrm{F}_{max }], которое реагирует на проводник длины (при этом L= 1 м) к силе элементарного тока [text { I }] в проводнике:
[B=frac{F_{max }}{I cdot L}]
В вакууме модуль индукции будет равен:
[mathrm{B}=mu 0 cdot mathrm{H}]
Чтобы найти вектор индукции через силу Лоренца, следует преобразовать формулу: [overrightarrow{mathrm{F}}=mathrm{q} cdot[overrightarrow{mathrm{V}} times overrightarrow{mathrm{B}}]] (Крестом обозначается произведение векторов)
[vec{F}=B cdot q cdot v cdot sin alpha]
[B=frac{F}{sin alpha cdot q v}]
В данном случае угол α — это угол между вектором индукции и скорости. Стоит отметить, что направление силы Лоренца [overrightarrow{mathrm{F}}] перпендикулярно [perp] каждому вектору, направлено по правилу Буравчика. Под символом q подразумевается заряд в магнитном поле.
Интересно
В СИ единицей модуля магнитной индукции принимается 1 Тесла (кратко — Тл), где [1 Tл=frac{H}{Aм}]
Как определяется направление вектора индукции магнитного поля?
За направление вектора индукции магнитного поля [overrightarrow{mathrm{B}}] используют направление, в котором устанавливается под воздействием поля утвердительного нормали к току с контору. Другими словами объясняют так: вектор идет в направление поступательного перемещения правого винта при вращении по направлению передвижения тока внутри контура.
Вектор индукции [overrightarrow{mathrm{B}}] обладает направлением, которое начинается со стрелки южного полюса [text { S }] (она свободна передвигается в поле) к полюсу северному [text { N }].
Магнитное поле возникает из-за электрических зарядов (элементарными токами), движущиеся в нем.
Для того чтобы определить направление вектора магнитной индукции в проводнике с элементарным током, используют правило правой руки (Буравчика). Они формулируются так:
- Для катушки с током: 4 согнутых пальца руки, которые обхватывают катушку, направляют по течению току. В это время оставленный большой палец на [90^{circ}] указывает на направление магнитной индукции [overrightarrow{mathrm{B}}] в середине катушки.
- Для прямого проводника с элементарным током: большой палец руки, который оставляется на [90^{circ}], направить по течению элементарного тока. В это время 4 согнутых пальца, которые держат проводник, показывают сторону, куда направлена индукция магнитного поля.
Задания по теме
Разберем примеры, в которых будет задействована данная формула и свойства.
Пример 1
Условие задачи:
Проводник представлен в квадратной форме. Каждая из сторон равна d. В данный момент по нему проходит элементарный ток силы I. Найдите индукцию магнитного поля в месте, где диагонали квадрата пересекаются.
Решение задачи следующее:
Сделаем рисунок, в котором плоскость совпадает с плоскостью проводника. Изобразим направление вектора индукции магнитного поля.
В данной точке О получаются проводники с элементарным током, которые расположены прямолинейно и вектор магнитной индукции поля перпендикулярен плоскости. Направления напряжености полей определяется в соответствием с правилом правого винта,то есть перпендикулярны плоскости изображения. Поэтому сумму векторов по принципу суперпозиции надо заменить на алгебраический вид. Получим следующее выражение: B=B1+B2+B3+B4
Из симметричности рисунка можно увидеть, что модули вектора индукции магнитного поля одинаковы. Получаем следующее: B=4B1
В разделе физике «Электромагнетизм» использовали одну из формул, чтобы рассчитать модуль индукции прямолинейного проводника с элементарным током.
Чтобы формула подошла к данной задачи, ее применяют в следующем виде:
[mathrm{B}_{1}=frac{mathrm{I} cdot mu_{0}}{4 mathrm{pi b}}(cos alpha-cos beta)]
углы α и β, которые отмечены на рисунке:
[beta=pi-alpha rightarrow cos beta=cos (pi-alpha)=-cos alpha]
Используем формулу [B_{1}=frac{I cdot mu_{0}}{4 pi b}(cos alpha-cos beta)] и преобразуем с применением тригонометрического свойства:
[mathrm{B}_{1}=frac{mathrm{I} cdot mu_{0}}{2 mathrm{pi b}} cdot cos alpha]
Поскольку у нас квадратная форма, то следует заметить следующее:
[mathrm{b}=mathrm{d} 2, alpha=frac{pi}{4} rightarrow cos alpha=frac{sqrt{2}}{2}]
Возьмем выведенные формулы и получим конечное выражение, то есть:
[mathrm{B}=4 cdot frac{mathrm{I} cdot mu_{0}}{pi mathrm{d}} cdot frac{sqrt{2}}{2}=frac{2 sqrt{2}}{pi mathrm{d}} cdot mathrm{I} cdot mu_{0}]
Ответ: [mathrm{B}=frac{2 sqrt{2}}{pi mathrm{d}} cdot mathrm{I} cdot mu_{0}]
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Пример 2
Условие задачи:
Бесконечно проводник с элементарным током (I) согнут под 90 градусов, который изображен на рисунке. Найдите вектор магнитной индукции однородного поля в точке А.
Решение задачи:
В точке А получается из двух частей проводника, то есть:
[overrightarrow{mathrm{B}}=mathrm{B}_{mathrm{II}}+mathrm{B}_{perp}]
Теперь посмотрим горизонтальный участок, где расположена точка А. Данная область проводника с элементарным током формирует поле в этой точке. Вектор индукции магнитного поля [mathrm{B}_{mathrm{II}}] равен нулю, потому что в А все углы между с радиус-векторами и с элементарным током равны π.
Следовательно, произведение векторов [[mathrm{d} vec{ l } vec{r}]] и поток вектора индукции магнитного поля в законе Био-Савара-Лапласа будет равен нулю:
[overrightarrow{mathrm{B}}=frac{mu_{0}}{4 pi} oint frac{mathrm{I}[mathrm{d} vec{l} vec{r}]}{mathrm{r}^{3}}]
В этом случае [vec{r}] — радиус-вектор, который идет от элемента [mathrm{Idvec{l}}] к точке А, в которой находится индукция магнитного поля [overrightarrow{mathrm{B}}].
Индукция бесконечного проводника в точке А была бы равна:
[mathrm{B}^{prime}=frac{mu_{0}}{2 pi} frac{mathrm{I}}{mathrm{b}}]
Но так как полу бесконечный проводник, то следуя из принципа суперпозиции, получается следующее выражение для проводника магнитной индукций равна:
[mathrm{B}=mathrm{B}_{perp}=frac{1}{2} mathrm{~B}^{prime}=frac{mu_{0}}{Pi} frac{mathrm{I}}{mathrm{b}}]
Ответ: [mathrm{B}=frac{mu_{0}}{pi} frac{mathrm{I}}{mathrm{b}}]
