Физика как найти толщину слоя

2016-11-27   

Определить толщину слоя жидкости, разлитой па горизонтальной плоскости. Краевой угол $theta$, плотность жидкости $rho$, поверхностное натяжение $sigma$.

Решение:

Рассмотрим условие равновесия мысленно выделенного тонкого слоя жидкости, разрез которого на рисунке заштрихован. Толщину слоя (в направлении, перпендикулярном рисунку) обозначим через $l$. Для краткости атмосферное давление не учитываем.

Кроме изображенных на рисунке сил поверхностного натяжения $F_{1}$ и $F_{2}$ и силы давления $N$ со стороны соседних частей жидкости, на выделенный объем действуют силы давления, перпендикулярные плоскости рисунка, а также сила давления со стороны горизонтальной поверхности. Эти последние силы направлены перпендикулярно оси х, так что их проекции на ось х равны нулю.

Запишем условие равновесия выделенного объема в проекции на ось х:

$-F_{1} cos theta + F_{2} – N = 0$. (1)

Для сил поверхностного натяжения имеем:

$F_{1} = F_{2} = sigma l$. (2)

Силу давления $N$ на площадь $l cdot N$ можно рассчитать, используя зависимость давления в жидкости от глубины $h$ от верхней поверхности жидкости $P = rho gh$. Поскольку зависимость линейная,

$N = frac{1}{2} cdot rho g H cdot Hl$ (3)

( $frac{1}{2} rho gH$ — среднее давление).

Подставляя (2,3) в (1), после несложных преобразований получим:

$H = sqrt{ 2 frac{ sigma ( 1 – cos theta)}{ rho g}} – 2 sin frac{ theta}{2} sqrt{ frac{ sigma}{ rho g}}$.

Видно, что при $theta = 0$ (полное смачивание) $H = 0$, то есть жидкость растечется по поверхности. При $theta = pi$ (полное несмачивание) $H$ максимальна.

Учет атмосферного давления сводится к тому, что на выделенный объем справа налево и слева направо будут действовать одинаковые силы $P_{0} lH$ ($P_{0}$ — атмосферное давление), друг друга компенсирующие. Таким образом, проведенное решение остается в силе.