Форму как найти высоту

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Для решения многих геометрических задач требуется найти высоту заданной фигуры. Эти задачи имеют прикладное значение. При проведении строительных работ определение высоты помогает вычислить необходимое количество материалов, а также определить, насколько точно сделаны откосы и проемы. Часто для построения выкроек требуется иметь представление о свойствах геометрических фигур.

У многих людей, несмотря на хорошие оценки в школе, при построении обычных геометрических фигур возникает вопрос о том, как найти высоту треугольника или параллелограмма. Причем определение высоты треугольника является самым сложным. Это происходит потому, что треугольник может быть острым, тупым, равнобедренным или прямоугольным. Для каждого из видов треугольников существуют свои правила построения и расчета.

Как найти высоту треугольника, в котором все углы острые, графическим способом

Если все углы у треугольника острые (каждый угол в треугольнике меньше 90 градусов), то для нахождения высоты необходимо сделать следующее.

1. По заданным параметрам выполняем построение треугольника.
2. Введем обозначения. А, В и С будут вершинами фигуры. Углы, соответствующие каждой вершине – α, β, γ. Противолежащие этим углам стороны – a, b, c.
3. Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины угла к противоположной стороне треугольника. Для нахождения высот треугольника проводим построение перпендикуляров: из вершины угла α к стороне a, из вершины угла β к стороне b и так далее.
4. Точку пересечения высоты и стороны a обозначим H1, а саму высоту h1. Точка пересечения высоты и стороны b будет H2, высота соответственно h2. Для стороны c высота будет h3, а точка пересечения H3.

Далее для каждого вида треугольника будем использовать те же обозначения сторон, углов, высот и вершин треугольников.

Высота в треугольнике с тупым углом

Теперь рассмотрим, как найти высоту треугольника, если один угол тупой (больше 90 градусов). В этом случае высота, проведенная из тупого угла, будет внутри треугольника. Остальные две высоты будут находиться за пределами треугольника.

Пусть в нашем треугольнике углы α и β будут острыми, а угол γ – тупой. Тогда для построения высот, выходящих из углов α и β, надо продолжить противоположные им стороны треугольника, чтобы провести перпендикуляры.

Как найти высоту равнобедренного треугольника

У такой фигуры есть две равные стороны и основание, при этом углы, находящиеся при основании, также являются равными между собой. Это равенство сторон и углов облегчает построение высот и их вычисление.

Сначала нарисуем сам треугольник. Пусть стороны b и c, а также углы β, γ будут соответственно равными.

Теперь проведем высоту из вершины угла α, обозначим ее h1. Для равнобедренного треугольника эта высота будет одновременно биссектрисой и медианой.

Далее построим две другие высоты: h2 для стороны b и угла β, h3 для стороны c и угла γ. Эти высоты будут равными по длине.

Для основания можно сделать только одно построение. Например, провести медиану – отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника и противоположную сторону, основание, для нахождения высоты и биссектрисы. А для вычисления длины высоты для двух других сторон можно построить только одну высоту. Таким образом, чтобы графически определить, как вычислить высоту равнобедренного треугольника, достаточно найти две высоты из трех.

Как найти высоту прямоугольного треугольника

У прямоугольного треугольника определить высоты намного проще, чем у других. Это происходит потому, что сами катеты составляют прямой угол, а значит, являются высотами.

Для построения третьей высоты, как обычно, проводится перпендикуляр, соединяющий вершину прямого угла и противоположную сторону. В итоге для того, чтобы узнать, как найти высоту треугольника в данном случае, требуется только одно построение.

Нахождение высоты по площади и основаниям

Чтобы вычислить площадь S трапеции мы используем формулу:

[S=frac{((a+b) times h)}{2}]

Здесь h — высота трапеции, а сегменты a и b являются ее основаниями.

Можем найти h:

[h=frac{2 times S}{(a+b)}]

Нахождение высоты, зная площадь и среднюю линию

Мы используем формулу, с помощью которой можно рассчитать площадь трапеции:

S = m × h,   

Здесь h — это высота трапеции, m — ее средняя линия.

Можем найти h:

[h=frac{S}{m}], будет ответом.

Высота прямоугольной трапеции

Трапецию, одна из боковых сторон которой перпендикулярна основаниям, называют прямоугольной трапецией.

Таким образом, рассмотрим подобную трапецию ABCD, где AD — высота, AC — диагональ, DC-основание. Мы используем теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике ADC квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов его сторон — катетов AB и BC.

Тогда мы сможем написать:

AC² = AD² + DC².

AD — это катет треугольника, сторона трапеции и, одновременно, ее высота. Так как отрезок перпендикулярен основаниям. Длина катета будет находиться как:

[A D=sqrt{left(A C^{2}-D C^{2}right)}]

Таким образом, у нас есть формула, которая поможет при вычислении найти высоту трапеции AD.

Нахождение высоты через стороны

Существует еще один способ найти высоту — через стороны. Помимо высоты в трапеции стоит провести также ее диагональ, которая образует треугольник с прямым углом и даст возможность найти высоты несколькими различными способами через различные треугольники.

Если выразить все длины сторон таких треугольников через стороны трапеции и привести подобные слагаемые, то получится следующая формула:

[mathrm{h}=sqrt{C^{2}-left(frac{(a-b)^{2}+e^{2} d^{2}}{2(a-b)}right)^{2}}]

Трапецией принято называть выпуклую четырёхугольную четырехугольник с парой параллельных и двумя не
параллельными сторонами. Отрезки, которые создают параллельные прямы называются «основанием
трапеции», две других стороны играют роль «боковой стороны трапеции». Средняя линия трапеции будет
соединять два центра боковых сторон.

Как найти высоту при помощи боковой стороны и прилегающего угла при основании

Для вычисления высоты трапеции через боковую сторону и прилегающий угол при основании нужно
воспользоваться нижеприведенной формулой:

h = a · sin α

где h — это искомая высота трапеции, a — известная боковая сторона, sin α — угол
при основании.

Пример. Чтобы разобраться с применением формулы, давайте рассмотрим пример. Дана
некая трапеция. Нам известно, что боковая сторона равна 10 сантиметрам, а прилегающих угол
составляет 30 гр. Нам нужно найти высоту данной трапеции. Для решения у нас есть вся нужная
информация и формула выше. Подставляем значения в формулу: h = a · sin, h = 10 · sin 30, h = 10 · 1/2, h = 5 см

Как найти высоту трапецию при помощи длины основания и площади трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через известные длины основания и площадь, нужно воспользоваться
формулой:

h = (2S) / (a + b)

где h — это искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, a и b — длины
обеих оснований.

Пример. Закрепим на примере: Нам известно, что в трапеции АВСD основания a и b равны
5 и 10 сантиметров. Площадь фигуры равна 30 квадратных сантиметров. Для решения нужно
воспользоваться формулой. h = (2S) / (a + b), h = (2 х 30) / (5 + 10), h = 60 /15, h = 4 см.
Высота трапеции равна 4 см.

Как найти высоту при помощи диагоналей, углу между диагоналями и средней линией трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через среднюю линию, известные диагонали и угол между ними, нужно
прибегнуть к применению выведенной формулы:

h = ((D x d) / (2m)) x sin (α)

где h — это искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, m — средняя
линия, sin(α) — угол между диагоналями.

Пример. Закрепим на примере: Дана трапеция с диагоналями 5 и 12 сантиметров.
Известно, что средняя линия фигуры равна 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов. Применив
формулу выше, мы сможем с легкостью найти высоту трапеции. h = ((D x d) / (2m)) x sin (α), h = ((5 x 12) / (2 х 6)) x sin (30), h = (60 /12) x 0.5, h = 2.5 см.
Высота трапеции равна 2.5 см.

Как найти высоту при помощи средней линии и площади трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через площадь и среднюю линию воспользуемся выведенной формулой:

h = (2S) / m

где h — это искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, а m — средняя
линия.

Пример. Закрепим на примере: Площадь произвольной трапеции составляет 30 квадратных
сантиметров. Средняя линия фигуры равна 5 см. Нужно найти высоту по формуле. h = (2S) / m, h = (2 х 30) / 5, h = 60 / 5, h = 12 см. 12
см – высота трапеции.

Как найти высоту при помощи известного основания, диагоналей трапеции и угла между диагоналями

Для нахождения высоты трапеции при помощи известного основания, диагонали и углу между диагоналями
используют нижеприведенную формулу:

h = ((Dd) / (a + b)) x sin (α)

где h — это искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, a и b — длины
обеих оснований, sin(α) — угол между диагоналями.

Пример. Закрепим на примере: В трапеции ABCD диагонали равны 10 см каждая. Известно,
что сумма основ фигура равна 20 см. Угол, созданный между диагоналями – 30 градусов. Нужно найти
высоту. Для этого нужно воспользоваться выше предоставленной формулой. h = ((Dd) / (a+b)) x sin (α), h = ((10 х 10) / (20)) x sin (30), h = 5 x sin (30), h = 2.5 см.
Высота трапеции равна 2.5 см

Можно выделить 2 разновидности трапеции:

1. Трапеция, в которой одна из боковых сторон лежит под перпендикулярным углом с обеими основами
   называется прямоугольной.
2. Трапеции с равными боковыми сторонами называется равнобедренной.

Высотой трапеции принято называть отрезок, которой показывает самое короткое расстояние между верхним
и нижним основанием фигуры. Существует большое количество математических задач разного уровня
сложности, для решения которых активно применяют высоту. Стоит разобраться со всеми возможными
формулами, которые используются для нахождения высоты трапеции.