Формула герона как найти радиус – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Фигура	Рисунок	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

где p — полупериметр,

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула:

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Если без иррациональности в знаменателе, то

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

[spoiler title=”источники:”]

http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolrost.htm

Радиус описанной около треугольника окружности

[/spoiler]

Источник

Формулы вычисления радиуса описанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
Примеры задач

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Треугольник abc с описанной вокруг окружностью с радиусом R

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник с описанной вокруг окружностью

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Формула расчета радиуса описанной около равностороннего треугольника окружности

Равносторонний треугольник c описанной вокруг окружностью

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Источник

Теорема: Если а, b с — стороны треугольника, р — полупериметр, р=(a+b+c)/2, r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника, то:

формула

Доказательство.

Пусть а, b, с — длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC (рисунок).

Доказательство

Проведем высоту CC₁ и обозначим х длину отрезка АС₁. Тогда ВС₁=с-х. По теореме Пифагора получаем:

доказательство

Решим это уравнение и найдем х:

вывод формулы

Тогда:

Формула Герона

Данная формула называется формулой Герона.

Герон Александрийский (I в.) — древнегреческий ученый, который работал в Александрии. Математические работы Герона являются энциклопедией античной практической математики.

Источник

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника $S$ по длинам его сторон $a,b,c$ :

${displaystyle S={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ ,

где $p$ — полупериметр треугольника: ${displaystyle p={tfrac {1}{2}}cdot (a+b+c)}$ .

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство 1 (тригонометрическое):

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой

h, разделяющей основание

c на

d и (c − d).

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a² = h² + (c − d)² и b² = h² + d² — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a² − b² = c² − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

${displaystyle d={frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}$

Для высоты h у нас было равенство h² = b² − d², в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:

${displaystyle {begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-left({frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}right)^{2}={frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\&={frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\end{aligned}}}$

Замечая, что ${displaystyle b+c-a=2p-2a}$ , $a+b+c=2p$ , $a+b-c=2p-2c$ , ${displaystyle a-b+c=2p-2b}$ , получаем:

${displaystyle {begin{aligned}h^{2}&={frac {2(p-a)cdot 2pcdot 2(p-c)cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}end{aligned}}}$

Используя основное равенство для площади треугольника ${displaystyle S={frac {ch}{2}}}$ и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:

${displaystyle {begin{aligned}S={sqrt {{frac {c^{2}}{4}}cdot {frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}}}={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}end{aligned}}}$

ч.т.д.

Вариации и обобщения[править | править код]

Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде^[1]:

$-16S^{2}={begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0end{vmatrix}}={begin{vmatrix}a&b&c&0\b&a&0&c\c&0&a&b\0&c&b&aend{vmatrix}}$

Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера^[en] для вычисления гиперобъёма симплекса.

через длины высот $h_{a}$ , $h_{b}$ и $h_{c}$ и полусумму их обратных величин $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ ^[3]:

$S^{-1}=4{sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}$ ;

через углы треугольника $alpha$ , $beta$ и $gamma$ , полусумму их синусов ${displaystyle s=(sin alpha +sin beta +sin gamma )/2}$ и диаметр описанной окружности ${displaystyle D={tfrac {a}{sin alpha }}={tfrac {b}{sin beta }}={tfrac {c}{sin gamma }}}$ ^[4]:

$S=D^{2}{sqrt {s(s-sin alpha )(s-sin beta )(s-sin gamma )}}.$

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

$S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$ ,

где $p={frac {a+b+c+d}{2}}$ — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель^[5]:

$S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}$

где:

${displaystyle {begin{aligned}a&={sqrt {xYZ}}\b&={sqrt {yZX}}\c&={sqrt {zXY}}\d&={sqrt {xyz}}\X&=(w-U+v),(U+v+w)\x&=(U-v+w),(v-w+U)\Y&=(u-V+w),(V+w+u)\y&=(V-w+u),(w-u+V)\Z&=(v-W+u),(W+u+v)\z&=(W-u+v),(u-v+W)end{aligned}}}$ .

где $theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}}$ — полупериметр.

Примечания[править | править код]

↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. Архивная копия от 5 сентября 2015 на Wayback Machine From MathWorld–A Wolfram Web Resource.
↑ Benyi, Arpad, “A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
↑ Mitchell, Douglas W., “A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, ” Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., “A Heron-type area formula in terms of sines, ” Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1] Архивная копия от 27 июня 2013 на Wayback Machine, pp. 16-17.
↑ Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132

Литература[править | править код]

§ 258 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
Николаев Н. О площади треугольника // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron’s Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора