Формула как найти косинус угла треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править код]

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha , противолежащим стороне ,
справедливо соотношение:

${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha .}$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними^[1]

Доказательства[править | править код]

Классическое доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

откуда

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

$h^{2}=b^{2}-(bcos alpha )^{2}qquad qquad qquad (1)$

$h^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}qquad qquad (2)$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

$b^{2}-(bcos alpha )^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}$

или

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha$

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma$

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
$a^{2}=(bcos {a}-c)^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}cos ^{2}{a}-2bccos {a}+c^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a})+c^{2}-2bccos {a}$
Так как
$cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a}=1$ (основное тригонометрическое тождество), то
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos {a}$
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
${displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2cdot ACcdot AB}$

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha }$
где a, b, c — длины соответствующих векторов

Следствия[править | править код]

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

$cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

В частности,

Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде^[2]:

$a^{2}=(b+c)^{2}-4cdot bcdot ccdot cos ^{2}(alpha /2)$

$a^{2}=(b-c)^{2}+4cdot bcdot ccdot sin ^{2}(alpha /2)$

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

$1+cos alpha =2cdot cos ^{2}(alpha /2)$

$1-cos alpha =2cdot sin ^{2}(alpha /2)$

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Для других углов[править | править код]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

${displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }$

${displaystyle b^{2} =a^{2}+c^{2}-2accos beta }$

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

${displaystyle alpha =arccos left({frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}right)}$

${displaystyle beta =arccos left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}right)}$

${displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right)}$

История[править | править код]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.^[3]^:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править код]

Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):

$AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Пусть в евклидовом пространстве задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
$leftVert {vec {a}}-{vec {b}}rightVert ^{2}=leftVert {vec {a}}rightVert ^{2}+leftVert {vec {b}}rightVert ^{2}-2({vec {a}},{vec {b}})$

Для четырёхугольников[править | править код]

Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B-2accos omega -2bccos angle C$

, где

— угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B+2accos(angle A+angle D)-2bccos angle C$

Формула справедлива и для тетраэдра, под

подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами

зная все ребра тетраэдра:

${displaystyle cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}$

Где

пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

${displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}$

Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы[править | править код]

${displaystyle S_{i}S_{j}cos angle A={frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0\end{vmatrix}}}$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится $d_{ij}$ или $d_{ji}$ .

A — угол между гранями $S_{i}$ и $S_{j}$ , $S_{i}$ -грань, находящаяся против вершины i, $d_{ij}$ – расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править код]

Решение треугольников
Скалярное произведение
Соотношение Бретшнайдера
Теорема косинусов для трёхгранного угла
Теорема о проекциях
Теорема Пифагора
Сферическая теорема косинусов
Теорема котангенсов
Теорема синусов
Теорема тангенсов
Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции

Примечания[править | править код]

↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
↑ ¹ ² Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература[править | править код]

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.

Источник

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Подставим значения всех сторон:

Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Записываем ответ:

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Источник

Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Формула косинуса:

a² = b² + c² – 2b.c.cosα
b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
c² = a² + b² – 2a.b.cosγ

Например:

Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.

Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:

b = 12 см

c = 8 см

cos α = cos 120º = – 1/2 (это значение можно найти в таблицах)

a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)

a² = 144 + 64 – (–96)

a² = 304

a = √304

a ≈ 17,436

Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.

Формула:

Либо

Например:

сторона c = 6

сторона b = 7

сторона a = 8

Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.

Решение:

Будем использовать эту версию формулы:

cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8

= (36 + 64 − 49) / 96

= 51 / 96

= 0,53125

= cos¯¹(0,53125)

≈ 57,9°

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.

Доказательство теоремы косинусов

Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C

1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a.cos C.

2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:

DA = b − a.cosC

3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:

sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.

4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²

5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²

6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C

6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC

7. Выносим за скобки “a²”: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC

8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C

Q.E.D.

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

две его стороны равны;
углы при основании равны.

Рассмотрим пример:

Используем формулу теоремы косинусов

a² = b² + c² – 2b.c.cosα

Подставляем все известные:

x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º

x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)

x² ≈ √226,048

x ≈ 15,035.

Теорема синусов

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:

Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.

Источник

Определение косинуса угла

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

В случае с рисунком, описанным выше: cos⁡α=bccosalpha=frac{b}{c}

Задача 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.

Решение

Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

62+b2=1026^2+b^2=10^2

36+b2=10036+b^2=100

b2=64b^2=64

b=8b=8

Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:

cos⁡α=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8

Ответ

0.8

Задача 2

Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.

Решение

Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:

P=a+b+cP=a+b+c

25=9+4+c25=9+4+c

c=12c=12

При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:

cos⁡α=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82

Ответ

0.820.82

Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Источник

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла alpha , называется противолежащим (по отношению к углу alpha ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла alpha , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.$

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.$

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin $displaystyle alpha = frac{a}{c}$	sin ${}^2 alpha +$ cos $displaystyle {}^2 alpha =1$	$alpha + beta = 90 ^{circ}$
cos $displaystyle alpha = frac{b}{c}$	1+tg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha}$	cos = sin
tg $displaystyle alpha = frac{a}{b}$	1+ctg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha}$	sin = cos
ctg $displaystyle alpha = frac{b}{a}$		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa $90^{circ}$ .
С одной стороны, $sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, $cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, $cos left( 90^{circ}-A right) = sin A$ .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем $displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 ,$ то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: $1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }.$ Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, $1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.$

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от $0^{circ}$ до $90^{circ}$ .

	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}$
sin	0	$displaystyle frac{1}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$
cos		$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{1}{2}$	0
tg	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$			−
ctg	−			$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$	0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .$

Из этих равенств следует, что $displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} ,$ т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, $displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1},$ т. е. cos А = cos A_1, и $displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1},$ т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{circ}$ , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике ABC угол равен $90^{circ}$ , AB=5 , $sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}$ .

Найдите .

Решение:

$sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.$

Отсюда

$BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.$

Найдем AC по теореме Пифагора.

$AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.$

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A $displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.$

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А $displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.$

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда $AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.$

cos⁡ А $displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;$

tg A $displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.$

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A= $displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .$

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A $displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17},$ $displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} ,$ $displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.$

По теореме Пифагора получим

$a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;$

$displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;$

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен AC = 4, tg A = $displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} .$ Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A $displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},$

$displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}},$ $displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},$

$AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.$

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = $displaystyle frac{1}{5} .$ Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = $displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} ,$ тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

$displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}},$ тогда $displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.$

(по двум углам), следовательно $displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} ,$ откуда

$displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.$

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A = $displaystyle frac{1}{6} .$

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = $displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6},$ тогда $displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} ,$ c = АВ = 18.

sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = cos⁡ B = $displaystyle frac{1}{6} .$

Рассмотрим BHC:

${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}$ = $displaystyle frac{1}{6} ,$ получим $displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},$

тогда BH = $displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2}$ = 0,5,

AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BC = 3, cos A = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.$

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=$ sin В = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6},$

а для ВНС: sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}$ , откуда СН = $displaystyle frac{BC cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},$

По теореме Пифагора найдем ВН:

$BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=$

$=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.$

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

${CH}^2=AH cdot BH,$ тогда $AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.$

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ =

Рассмотрим BHC : ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}.$

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= $sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,$

тогда ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28,$ а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = cos A = $displaystyle frac{b}{c}$ = $displaystyle frac{AC}{AB}$ =

тогда tg A = $displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB,$ который найдем из BHC:

$ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.$

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, tg A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= $displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.$

Для BHC: $ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3}$ , значит $displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3},$ СН = $displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.$

Для АHC: tg A= $displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ то $displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ AH = $displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$

Из СВН имеем cos В = $displaystyle frac{HB}{BC}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда ВС = $displaystyle frac{3 cdot HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.$

В АВС имеем sinA = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда AВ = $displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

$HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=$

sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5},$ получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5},$ то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора ${AC}^2+{BC}^2= {AB}^2,$ получим ${(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2$
${25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,$

${16x}^2= {20}^2,$

$x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,$
х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит $displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB}$ или $displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,$

k = $displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} ,$ тогда $displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5},$ АС = $displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15$ ; $displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5},$ АВ = $displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.$

3-й способ.

${CH}^2=AH cdot HB$ (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда ${12}^2=AH cdot 16,$ АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)}$ =

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = $sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}$ =

cos C = $displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: sin А = $displaystyle frac{BC}{AC}$ = cos C = $displaystyle frac{3}{5}.$

Для АНВ: sin А = $displaystyle frac{BH}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ то $displaystyle frac{24}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ АВ = $displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.$

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.$

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = $displaystyle frac{7}{25}.$

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А = $displaystyle frac{CE}{AC},$

значит $displaystyle frac{7}{25}$ = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: $AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};$

$AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.$

Площадь прямоугольного треугольника равна S = $displaystyle frac{1}{2}ab,$

поэтому $S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.$

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, $angle AKC=angle ACB=90{}^circ$ ),

значит sin $angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.$

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=$

Тогда sin $angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.$

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = $displaystyle frac{12}{13}.$ Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = $displaystyle frac{1}{2}AB=36.$

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = $displaystyle frac{AH}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13},$ то есть $displaystyle frac{36}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13}$ АС = $displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.$

По теореме Пифагора ${AH}^2+{CH}^2={AC}^2,$ тогда

$CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=$

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ sin A = $displaystyle frac{11}{14},$ AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = $displaystyle frac{BC}{AB}=$ $displaystyle frac{11}{14},$ то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора $AC^2+{BC}^2={AB}^2;$

${(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;$

${(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;$

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${sin}^2A+{cos}^2A=1;$

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

По определению cos A = $displaystyle frac{AC}{AB},$ значит $displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

Так как АС=10 то $displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14},$ откуда АВ = $displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}}$ = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = $displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3},$ а катет ВО = $displaystyle frac{1}{2}BD =2.$

Поэтому tg $alpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}},$ откуда $alpha =30{}^circ .$

$angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .$

Ответ: ${60}^circ,$ ${120}^circ,$ ${60}^circ,$ ${120}^circ .$

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ или с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ катет, лежащий напротив угла в $30^{circ}$ , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ угол А равен 30 ${}^circ,$ АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла ${30}^circ,$ имеем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ =

В BHC: $angle BHC=90{}^circ ,; angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно, ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ BC = $displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.$

По теореме Пифагора найдем НС:

$HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=$

$=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.$

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, АВ = 2, $angle A=30{}^circ .$ Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30 ${}^circ$ ),

$angle A=30{}^circ ,$ то $angle B=60{}^circ .$

Из ВСН: $angle BHC=90{}^circ , angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно,

ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ ВС = $displaystyle frac{1}{2}.$

АН = АВ — НВ = 2 – $displaystyle frac{1}{2}$ = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Формулировка[править | править код]

Доказательства[править | править код]

Следствия[править | править код]

Для других углов[править | править код]

История[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Для четырёхугольников[править | править код]

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Симплексы[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

Следствие верхней части формулы cos α

Доказательство теоремы косинусов

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

Теорема синусов

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Вам также может понравиться

Как найти сколько рублей скидка

Как найти друзей в поход

Как найти объем куба калькулятор

Добавить комментарий Отменить ответ