Никита К.
2 октября 2018 · 41,5 K
Маркетолог и аналитик. Степень магистра по анализу статистических данных.
Люблю море… · 5 окт 2018
Обозначим углы как n.
Для того, чтобы узнать количество сторон воспользуемся формулой, т.е. ∑ (сумма) углов = (кол-во углов-2)*180
∑ углов равна a*n. а – угол правильного многоугольника с количеством углов n
Итого: 108*n=(n-2)*180
108n=180n-360
Получается, что n=5. Значит сторон – 5
21,6 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Книги, звери и еда – это хобби навсегда. · 2 окт 2018
Сумма углов n-угольника равна 180*(n-2), в то же время сумма углов правильного n-угольника равна a*n, где a – угол правильного n-угольника. Составляем уравнение
180*(n-2) = 108*n, откуда n = 5.
5,8 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Интересы часто менялись, поэтому во многих областях знаний что-то знаю:) · 5 окт 2018
Пусть количество углов будет n. Известно, что сумма всех углов = (n-2)*180.
Тогда:
108*n = (n-2)*180
108n = 180n – 360
360 = 72n
n = 5
Получается пятиугольник. Читать далее
4,1 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Есть специальная формула для вычисления сторон многоугольника Сумма всех углов = (количество углов-2)*180
Получается 108*n=(n-2)*180 108n=180n-360 Следовательно, n=5
3,1 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Люблю фентези и фантастику во всех проявлениях. From Siberia with love. · 6 окт 2018
так как все углы равны, то каждый угол можно вычислить по формуле:
180(n-2)/n, где n – число сторон или углов
108=180(n-2)/n
108n=180n-360
360=180n-108n
360=72n
n=5 Читать далее
2,9 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Как вычислить сколько сторон у выпуклого многоугольника если известна сумма углов:
картофель
Ученик
(21),
на голосовании
2 года назад
Суммы углов:
А) 2700 градусов
б) 4500 градусов
В) 7200 градусов
Голосование за лучший ответ
Алексей Бак
Знаток
(296)
2 года назад
Раздели на 180 и прибавь 2
картофельУченик (21)
2 года назад
спасибо)
НатУша
Искусственный Интеллект
(197625)
2 года назад
Сумма углов = 180 (n-2), где n — число сторон (углов)
Вот из этой формулы находи n
Например, сумма углов 2700 гр
2700 = 180 (n – 2)
2700 : 180 = n – 2
15 = n – 2
n = 15 + 2 = 17
17 сторон
картофельУченик (21)
2 года назад
спасибо)
Похожие вопросы
Как найти стороны многоугольника
В самом широком определении многоугольником можно назвать любую замкнутую ломаную линию. Вычислять длины сторон такой геометрической фигуры по одной общей формуле невозможно. Если уточнить, что многоугольник является выпуклым, то появятся некоторые общие для всего класса фигур параметры (например, сумма углов), но для общей для всех формулы нахождения длин сторон их тоже будет недостаточно. Если сузить определение еще больше и рассмотреть только правильные выпуклые многоугольники, то появится возможность вывести несколько общих для всех таких фигур формул вычисления сторон.
Инструкция
По определению правильным называется многоугольник, длины всех сторон которого одинаковы. Поэтому, зная их суммарную длину – периметр – (P) и общее число вершин или сторон (n), разделите первое на второе, чтобы вычислить размеры каждой стороны (a) фигуры: a = P/n.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность единственно возможного радиуса (R) – это свойство тоже можно использовать для вычисления длины стороны (a) любого многоугольника, если число его вершин (n) тоже известно из условий. Для этого рассмотрите треугольник, образованный двумя радиусами и искомой стороной. Это равнобедренный треугольник, в котором основание можно найти, умножив удвоенную длину боковой стороны – радиуса – на половину величины угла между ними – центрального угла. Рассчитать угол легко – поделите 360° на число сторон многоугольника. Окончательная формула должна выглядеть так: a = 2*R*sin(180°/n).
Аналогичное свойство есть и для вписанной в правильный выпуклый многоугольник окружности – она обязательно существует, а радиус может иметь единственное значение для каждой конкретной фигуры. Поэтому и здесь при вычислении длины стороны (a) можно использовать знание радиуса (r) и числа сторон многоугольника (n). Радиус, проведенный из точки касания окружности и любой из сторон, перпендикулярен этой стороне и делит ее пополам. Поэтому рассмотрите прямоугольный треугольник, в котором радиус и половина искомой стороны являются катетами. Согласно определению, их отношение равно тангенсу половины центрального угла, который вы можете рассчитать так же, как и в предыдущем шаге: (360°/n)/2 = 180°/n. Определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике в этом случае можно записать так: tg(180°/n) = (a/2)/r. Выразите из этого равенства длину стороны. У вас должна получиться такая формула: a = 2*r*tg(180°/n).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
A polygon by definition is any geometric shape that is enclosed by a number of straight sides, and a polygon is considered regular if each side is equal in length. Polygons are classified by their number of sides. For example, a six-sided polygon is a hexagon, and a three-sided one is a triangle.
Regular Polygons
The number of sides of a regular polygon can be calculated by using the interior and exterior angles, which are, respectively, the inside and outside angles created by the connecting sides of the polygon. For a regular polygon the measure of each interior angle and each exterior angle is congruent. For example, a regular octagon has interior angles each equal to 125 degrees.
These relationships only hold true for convex polygons where the measure of each interior angle does not exceed 180 degrees.
Using Interior Angles
Subtract the interior angle from 180; then divide 360 by the difference of the angle and 180 degrees. For example, if the interior angle was 165, subtracting it from 180 would yield 15, and 360 divided by 15 equals 24, which is the number of sides of the polygon. Here is the general formula (it is important to note that this only works for the interior angles of a regular polygon):
text{# of sides}=frac{360^circ}{180^circ-text{interior angle}}
Using Exterior Angles
Divide 360 by the amount of the exterior angle to also find the number of sides of the polygon. For example, if the measurement of the exterior angle is 60 degrees, then dividing 360 by 60 yields 6. Six is the number of sides that the polygon has. This is a hexagon, so we can check this reasoning by finding the interior angle to be 120 degrees, which is the measure of the interior angle of a hexagon.
The general formula using the exterior angles of a regular polygon follows:
text{# of sides}=frac{360}{text{exterior angle}}
Tips
-
Subtracting the interior angle from 180 gives the exterior angle, and subtracting the exterior angle from 180 gives the interior angle because these angles are adjacent.
Irregular Polygons
Not all polygons have congruent angles and sides. The measure of the internal angles can vary depending on the measures of each side. Regardless of the polygon shape, the sum of exterior angles will always be 360 degrees. We can use this relationship to reason out a formula for an n-sided polygon with any side lengths.
The sum of the interior angles of a polygon can be related to the the number of sides through the polygon formula:
text{# of sides} = frac{text{sum of interior angles}}{180} + 2
We can try this formula with any quadrilateral. We know that the sum of the interior angles of any four sided polygon (like a square, rhombus, parallelogram, or trapezoid) is 360 degrees. Plugging this into the formula we can prove this known relationship:
text{# of sides} = frac{text{360}}{180} + 2 = 4 text{ sides}
Tips
-
This formula for any polygon works for either a convex or concave polygon.
Terminology of Polygons
As a helpful guide for reporting calculations, these are the general conventions for discussing polygons in geometry and trigonometry.
- Line segments make up each side of a polygon. They are straight lines of determined length.
- An apothem is a straight line from the center of a regular polygon to any side that forms a right angle with that side.
Naming polygons (3 – 10 sides):
- 3 sides – triangle
- 4 sides – square
- 5 sides – pentagon
- 6 sides – hexagon
- 7 sides – heptagon
- 8 sides – octagon
- 9 sides – nonagon
- 10 sides – decagon
Содержание материала
- Виды многоугольников
- Видео
- Многоугольник подробнее
- Диагональ многоугольника. Количество диагоналей
- Виды ломаной
- Определение
- Замечание
- Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника
- Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника
- Сумма углов многоугольника. Доказательство
- Сумма внешних углов выпуклого многоугольника
Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с ( small n ) вершинами называется ( small n- )угольником.
На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.
Видео
Многоугольник подробнее
Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять ( displaystyle n) каких-либо точек ( displaystyle {{A}_{1}},text{ }{{A}_{2}},text{ }…,~{{A}_{n}}) и соединить их последовательно отрезками.
- Точки ( displaystyle {{A}_{1}},~{{A}_{2}},text{ }…,~{{A}_{n}}) — вершины многоугольника.
- Отрезки ( displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},~ {{A}_{2}}{{A}_{3}},text{ }…,text{ }{{A}_{n}}{{A}_{1}}) – стороны многоугольника.
При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).
Многоугольник с ( displaystyle n) сторонами называют ( displaystyle n)-угольником.
Диагональ многоугольника. Количество диагоналей
Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.
Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан ( small n )-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим ( small n-1 ) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из ( small n-1 ) вычтем 2. Получим ( small n-3 ). Всего ( small n ) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет ( small n(n-3). ) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей ( small n- )мерного многоугольника:
.
Виды ломаной
-
Ломаная называется замкнутой, если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
-
Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой.
Определение
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым.
Замечание
Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.
Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника
| Величина | Рисунок | Формула | Описание |
| Периметр |  |
P = 6a | Выражение периметра через сторону |
| Площадь |  |
Выражение площади через сторону | |
| Площадь | S = 3ar | Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности | |
| Сторона |  |
Выражение стороны через радиус вписанной окружности | |
| Периметр |  |
Выражение периметра через радиус вписанной окружности | |
| Площадь |  |
Выражение площади через радиус вписанной окружности | |
| Сторона |  |
a = R | Выражение стороны через радиус описанной окружности |
| Периметр | P = 6R | Выражение периметра через радиус описанной окружности | |
| Площадь |  |
Выражение площади через радиус описанной окружности |
| Формулы для периметра правильного шестиугольника |
|
Выражение периметра через сторону
P = 6a Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Выражение периметра через радиус описанной окружности
P = 6R |
| Формулы для площади правильного шестиугольника |
|
Выражение площади через сторон
Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
S = 3ar Выражение площади через радиус вписанной окружности
Выражение площади через радиус описанной окружности
|
| Формулы для стороны правильного шестиугольника |
|
Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Выражение стороны через радиус описанной окружности
a = R |
Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника
Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.
Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А1, А2, А3…Аn. Далее проведем биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА3, ОА4 и т. д.
∠А1 и ∠А2 одинаковы по определению правильного многоуг-ка:
Из этого факта вытекает два равенства:
Получается, что ОА3 – это также биссектриса ∠А3. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):
Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:
Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, ч. т. д.
Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН1, ОН2, ОН3… на стороны многоуг-ка.
Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:
Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН1. Он должен будет пройти и через точки Н2, Н3, … Нn. Причем отрезки ОН1, ОН2, ОН3 окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:
Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А1, ∠А2, ∠А3, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А1А2 – это отрезок ОН1, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.
Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.
Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН1, ОН2, ОН3,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н1, Н2, Н3,… – это середины сторон многоуг-ка.
Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?
Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.
Ответ: не могут.
Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.
Сумма углов многоугольника. Доказательство
А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула суммы углом многоугольника ( displaystyle 180^circ(n-2)).
Зачем?
Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач.
Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников.
Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.
Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:
Всего вершин: ( displaystyle n)
Из вершины ( displaystyle B) можем провести диагонали во все вершины, кроме:
- Самой вершины B
- Вершины A
- Вершины C
Значит всего диагоналей ( displaystyle (n-3)). А на сколько треугольников распался наш многоугольник?
Представь себе: на ( displaystyle n-2). Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.
Итак, у нас ровно ( displaystyle n-2) треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник.
Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно ( displaystyle 180{}^circ ).
Ну вот, ( displaystyle n-2) треугольника, в каждом по ( displaystyle 180{}^circ ), значит:
Сумма углов многоугольника равна ( displaystyle 180{}^circ )( displaystyle (n-2))
Вот и доказали.
Что же из этого может оказаться полезным? Два момента:
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника
(angle OAD) — внешний угол многоугольника ABCDE при вершине А. (смежный с (angle BAE))
Возьмем по одному внешнему углу при каждой вершине многоугольника (A_1A_2A_3…A_n). Тогда их сумма будет равна:
(180^circ-A_1+180^circ-A_2+…+180^circ-A_n=ncdot180^circ-(A_1+A_2+…+A_n)=ncdot180^circ-(n-2)cdot180^circ=ncdot180^circ-ncdot180^circ+2cdot180^circ=360^circ)
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна (360^circ).
