Формула как найти значение выражения 7 класс

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами. 

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки “+”, “·”, “-“, “÷”, то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

В нахождении значений выражений со скобками главное – соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения  с использованием свойств степени.

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения. 

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7. Имеем:

log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Разберем пример.

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс – использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями – сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе. 

Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. 

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений. 

Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов. 

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

• Числа (целые, дробные и т.д.);
• Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

• 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
• 6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

• 1 • 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

• 4 • 5 = 20
• 3 + 1 = 4
• 4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

• Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
• Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение  [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

• Синус;
• Косинус;
• Котангенс;
• Тангенс;
• Секанс;
• Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

• Степени;
• Скобки;
• Корни;
• Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

• Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
• Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
• Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
• Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 13

Числовые выражения

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Числовые выражения;
• Значение числового выражения;
• Текстовые задачи на составление числового выражения.

Тезаурус:

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

«Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир» – однажды сказал немецкий писатель Иоганн Гёте. Сегодня пойдёт речь именно о числах и арифметических операциях с ними.

Мы уже неоднократно решали задачи, в которых над заданными числовыми значениями приходится выполнять арифметические действия, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Иногда в том или ином задании все перечисленные действия встречаются одновременно, поэтому чтобы верно вычислить значение того или иного выражения или решить задачу, нужно сначала задать правильный порядок действий.

Порядок арифметических действий.

Арифметические действия выполняются слева направо:

1) действие в скобках;

2) операции умножения или деления;

3) сложения или вычитания.

Таким образом, мы подошли к определению понятия числового выражения.

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Например, числовые выражения могут выглядеть так:

25 – 67 : 2 + 17 = 8,5

245 – (25 : 0,5) = 195

Если в данных выражениях выполнить все действия, т.е. получить ответ в виде действительного числа, то говорят, что получено значение числового выражения. Например, в этих числовых выражениях значения соответственно равны 8,5 и 195.

Но всегда ли можно получить значение числового выражения?

Рассмотрим следующее выражение:

245 : (25 – 12,5 : 0,5).

В данном случае выражение не имеет смысла, т.к. на некотором этапе вычисления требуется делить на ноль, но на ноль делить нельзя. Таким образом, числовое выражение имеет смысл при условии что делитель (если таковой есть) не равен нулю.

Стоит отметить, что числовое выражение может состоять только из числа.

Например, 45 и 1/2 – тоже числовые выражения.

Как уже отмечалось ранее, числовые выражения иногда используют и для решения задач.

Решим такую задачу:

Автомобиль двигался по трассе 20 км со скоростью 100 км/ч, а затем ещё 30 км со скоростью 90 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля на всём участке?

Для решения задачи нужно вспомнить, что средняя скорость – это отношение всего пути, пройденного телом ко времени прохождения всего пути.

Решение:

V ср =

Исходя из этого, составим числовые выражения, необходимые для решения задачи.

Сначала найдём путь, который преодолел автомобиль.

20 +30 = 50 (км) – весь путь автомобиля.

Далее найдём все потраченное автомобилем время на прохождение трассы.

+ = (ч) – время движения автомобиля по всей трассе.

Остаётся определить среднюю скорость автомобиля при движении по трассе:

50: = 93,75 (км/ч) – средняя скорость движения автомобиля по трассе.

Ответ: 93,75 км/ч

Это и есть искомый ответ к данной задаче.

Эту же задачу можно решить, используя следующую таблицу.

участки	путь	скорость	время
1	20 км	100км/ч	? 20 : 100 ч
2	30 км	90км/ч	? 30 : 90 ч
весь	? 20 + 30 = 50 км	Средняя скорость ? 50 : (20 : 100 + 30 : 90) км/ч = 93,75 км/ч	? 20 : 100 + 30 : 90 = ч

Запишем все числовые данные, известные нам по условию задачи. Отметим вопросительным знаком, что неизвестно. Далее, используя формулу скорости, составляем числовые выражения и находим недостающие элементы:

– сначала время на первом, втором участках и всё время движения

– затем составляем числовое выражение для всего пути

– наконец, составляем числовое выражение для вычисления значения средней скорости.

Итак, сегодня мы получили представление о числовом выражении и его применении при решении задач.

Переходим к выполнению заданий.

Решим задачу.

В лаборатории было два куска сплава 500г и 700г, которые содержали 20% и 50% меди соответственно. Каково процентное содержание меди в сплаве, полученном из этих кусков?

Для решения данной задачи составим следующую таблицу.

сплавы	Масса сплава	% меди в сплаве	Масса меди в сплаве
1	500 г	20% : 100% = 0,2	? 500 г · 0,2 = 100г
2	700 г	50% : 100% = 0,5	? 700 г · 0,5 = 350г
3	? 500 г + 700 г = 1200г	? (450 г : 1200 г) · 100% = 37,5 %	? 100 г + 350 г = 450 г

Будем заполнять её, исходя из условия задачи. Нам известна масса 1 и 2 сплавов и процентное содержание меди в них, подставим их в таблицу. Остальные клеточки нам неизвестны. Будем находить неизвестные табличные данные, составляя числовые выражения.

Для начала переведём проценты в число, для этого составим числовые выражения:

1) 20% : 100% = 0,2 – первый сплав,

2) 50% : 100% = 0,5 – второй сплав.

Далее определим массу меди в 1и 2 сплаве:

3) 500 г · 0,2 = 100 г – масса меди в 1 сплаве,

4)700 г · 0,5 = 350 г – масса меди во 2 сплаве.

Теперь найдём массы меди в 3 сплаве:

5)100 г + 350 г = 450 г.

Найдём массу всего сплава:

6)500 г + 700 г = 1200 г.

Остаётся найти процентное содержание меди в 3 сплаве, для этого составим числовое выражение:

7)(450 г : 1200 г) · 100% = 37,5 %.

Ответ: 37,5%ю

Тренировочные задания.

1) Какое из числовых выражений соответствует следующей записи – утроенное число 9?

Варианты ответа:

9³

9 · 3

3⁹

Решение:

Для решения задачи, нужно вспомнить, что утроенное число – это значит число, умноженное на 3. Следовательно, правильный ответ – 9·3.

2) Продавец в магазине получает зарплату 30000 руб. Через некоторое время происходит повышение зарплаты на 10%, а ещё через некоторое время её увеличивают на 5%. Какова новая зарплата продавца?

Решение: Для решения задачи сначала нужно составить числовое выражение для вычисления зарплаты после повышения ее на 10%. Для этого переведём 10% в число.

1) 10% : 100% = 0,1

Далее найдём 10 % от 30000 руб.

2) 30000 · 0,1 = 3000 (руб.) – 1 повышение.

Далее найдём зарплату после первого повышения:

3) 30000 + 3000 = 33000 (руб.)

Далее переведём 5% в число:

4) 5% : 100% = 0,05

Далее найдём 5 % от 33000 руб:

5) 33000 · 0,05 = 1650 (руб.) – 2 повышение.

Остаётся найти новую зарплату продавца:

6)33000 + 1650 = 34650 (руб.).

Ответ: 34650 руб. новая зарплата.

     Алгебраические
выражения.         7кл.А.01          

Числовое
выражение – запись, состоящая из чисел, соединённых,
знаками действий.

1,2 · ( – 3) – 9 ÷
0,5   – числовое выражение.

Алгебраическое
выражение – выражение, состоящее из чисел и букв,
соединённых знаками действий.

 2 ( m
+ n
) ; 3a
+ 2ab
– 1 –  aлгебраическое
выражение.

Числовое значение
алгебраического выражения – число, полученное в результате вычислений после
замены в этом выражении букв числами.

·        
Найти значение выражения

3a +
2ab -1 

Если a=2 ,
b= 3,      тогда          3 · 2 + 2 · 2 · 3 –
1 =17

Если a=-1
, b=
5,     тогда          3 ·(-1) + 2· (-1)· 5 – 1 = -14.

Алгебраическая
сумма – запись, состоящая из нескольких
алгебраических выражений, соединённых знаками « + » и « – ».

Правила
раскрытия скобок

Ø  Если к
алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключённая в
скобки, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой
алгебраической суммы.

14 + ( 7 – 23 + 21 ) =
14 + 7 – 23 + 21

a +( b – c – d ) = a + b – c –
d

Ø  Если
из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключённая в
скобки, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой
алгебраической суммы на противоположный.

14 – (7 – 23 + 21 ) =
14 – 7 + 23 – 21

a – ( b
– c
– d
) = a
–  b
+ c
+d

  
Уравнение с одним неизвестным              7 кл.А.02

Равенство, содержащее
неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

Выражение, стоящее
слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а
выражение, стоящее справа  от знака равенства, называется правой  частью уравнения.

Каждое слагаемое левой
или правой части уравнения называется членом уравнения.

Корнем
уравнения называется то значение неизвестного, при
котором это уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение может иметь
бесконечно много корней.

Уравнение может и  не
иметь корней.

9 х
-23 = 5х- 11

9х-5х=23-11

   4х=12│÷4

              
             х=3             Ответ.х=3

ü  Любой
член уравнения можно перенести из одно части в другую, изменив его знак на
противоположный.

ü  Обе
части уравнения можно умножить или разделить на одно ито же число, не равное
нулю.

Алгоритм решения
уравнения:

Ø  Переносят
члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие
неизвестного, в правую часть.

Ø  Приводят
подобные слагаемые.

Ø  Делят
обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

Алгоритм решения задач
с помощью  уравнения:

Ø  Составить
уравнение по условию задачи.

Ø  Решить
полученное уравнение.

                            
Свойства степеней                     7 кл. А.03

Степенью числа  а с
натуральным показателем n , большим 1, называется
произведение  n  множителей, каждый из которых равен а :

=а·а·а·а·…·а                  

  n   раз

        а
– основание степени, n-показатель степени

1.    При
умножении  степеней с одинаковыми  основаниями  основание остаётся прежним, а
показатели складываются.

2.    При
делении степеней с одинаковыми  основаниями  основание остаётся прежним, а
показатели вычитаются.

3.    При
возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней
перемножаются.

)^m=

4.    При
возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель.

5.    При
возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель и знаменатель.

,   где b

               
Одночлены и многочлены              7 кл. А.04

Произведение числовых и
буквенных множителей называют одночленом.

abc, (-4)a3ab,
2,5xу
– одночлены.

Одночлены, которые
содержат только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с
различными буквенными основаниями, называют одночленами стандартного вида.

3,5 abc, 
-5ху³ – одночленами стандартного вида.

Многочленом
называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Приведением
подобных слагаемых называют упрощение многочлена, при
котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом.

Результаты
действий с одночленами и многочленами

	Действие		Результат
Одночлен		Одночлен	Многочлен
Одночлен	·	Одночлен	Одночлен
Одночлен		Многочлен	Многочлен
Одночлен	·	Многочлен	Многочлен
Многочлен		Многочлен	Многочлен
Многочлен	·	Многочлен	Многочлен

       
Разложение многочленов на множители     7 кл. А.05

Если все члены
многочлена содержат  общий множитель, то этот множитель можно вынести за
скобки.

Чтобы разложить
многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно:

ü  Найти
общий множитель.

ü  Вынести
его за скобки.

Чтобы разложить
многочлен на множители способом группировки, нужно:

ü  Объединить
члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде
многочлена.

ü  Вынести
этот общий множитель за скобки

Формулы
сокращённого умножения

·        
Формула разность квадратов

( a –
b )(a + b ) = a² – b²

·        
Формула квадрата суммы

(a + b
)² = a²
+ 2ab + b²

·        
Формула квадрата разности

(a
–
b )² = a²
–
2ab
+ b²

·        
Формула куба суммы

( a +
b)³=a³
+ 3 a² b + 3 a b² + b³

·        
Формула куба разности

( a – b)³=a³
–  3 a² b + 3 a b² –  b³

·        
Формула суммы кубов

a³
+ b³ = ( a + b )(a² – ab + b² )

·        
Формула разности кубов

a³
– b³ = ( a – b )(a² + ab + b² )

                            
Алгебраические дроби                 7 кл.А.06  

Выражение         называют
алгебраической дробью.       

Чтобы сократить алгебраическую
дробь, нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель.

Для приведения
алгебраических  дробей к общему знаменателю нужно:

ü  Найти
общий знаменатель данных дробей.

ü  Для
каждой дроби найти дополнительный множитель .

ü  Умножить
числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.

ü  Записать
каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

ü   

Для сложения и вычитания алгебраических
дробей с разными знаменателями нужно:

ü  Найти
общий знаменатель дробей.

ü  Привести
дроби к общему знаменателю.

ü  Сложить
или вычесть полученные дроби.

ü  Упростить
результат, если возможно.

ü   

Умножение и деление алгебраических дробей
выполняется по тем же правилам, что и умножение, и деление обыкновенных дробей:

                 

       Линейная функция и её график            
7 кл.А.07

                 у

                                                                     ось 
ОХ – ось  абсцисс                 Прямоуголь-

          
0                                      х            ось
ОУ – ось ординат                   ная система

1                                               
О – начало координат             координат

                              
О1 –единичный отрезок

Линейной функцией  называется
функция вида у = kx + b,
где  k
и b
– заданные числа.

Графиком
линейной функции  у = kx + b
является прямая.

Для построения графика функции  у = kx
+ b
достаточно построить две точки этого графика.

у = 2 х +
3                                                 у = 2 х

                                  у                         

                                                  
у = 2 х + 3                                                

                                         
у
= 2 х

0                                                       
х

График функции  у = kx
+ b получается сдвигом графика
функции у = kx на b единиц
вдоль оси ординат.

Графиками функций у = kx и
у = kx + b
являются параллельные прямые.

                              
Системы двух уравнений           7кл.А.08

с двумя неизвестными

х  +  у  = 10      

х – у = 4     – система
двух уравнений с двумя неизвестными

Решением
системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару
чисел х и у , которые при подстановке в эту систему
обращают каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему
уравнений 
– это значит найти все её решения или установить , что их нет.

Чтобы решить систему 
двух уравнений с двумя неизвестными способом  подстановки, нужно:

ü  из одного
уравнения системы ( всё равно из какой)  выразить одно неизвестное через
другое, например у через х.

ü  полученное
выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с
одним неизвестным  х.

ü  решить это
уравнение, найти значение х.

ü  подставив
найденное значение  х  в выражение для  у, найти значение  у.

Чтобы решить систему 
двух уравнений с двумя неизвестными способом  алгебраического сложения, нужно:

ü  уравнять модули коэффициентов
при одном из неизвестных.

ü  Складывая и вычитая
полученные уравнения, найти одно неизвестное.

ü  Подставляя найденное
значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Чтобы решить систему 
двух уравнений с двумя неизвестными  графическим способом, нужно:

ü  Построить
графики каждого из уравнений системы.

ü  Найти
координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)

На плоскости возможны
три случая взаимного расположения двух прямых- графиков уравнений системы.

ü  Прямые
пересекаются ,т .е. имеют одну общую точку. Система  уравнений имеет
единственное решение.

ü  Прямые
параллельны, т.е.не имеют общих точек. Система  уравнений не имеет решений.

ü  Прямые
совпадают. Система  уравнений имеет бесконечно много  решений.

Алгебра

         7 класс

1.    Алгебраические 
выражения.

2.    Уравнения
с одним неизвестным.

3.    Свойства
степеней.

4.    Одночлены
и многочлены.

5.    Разложение
многочленов на   множители.

6.    Алгебраические
дроби.

7.    Линейная
функция и её график.

8.         Системы
двух уравнений с  двумя неизвестными.