Формулы как найти асимптоты графика функции

Формулы как найти асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции. Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой. Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.

как найти асимптоты функции

Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.

асимптоты функции

Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.

Вертикальные асимптоты

Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.

Горизонтальные асимптоты

Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы

Наклонные асимптоты

Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ – это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ k = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.

Примеры решений

Пример 1
Найти все асимптоты графика функции $$ f(x) = frac{5x}{3x+2} $$
Решение

Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 neq 0; 3x neq -2; x neq -frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -frac{2}{3} $.

$$ limlimits_{{x rightarrow -frac{2}{3}}} frac{5x}{3x+2} = (-frac{10}{infty}) = -infty $$.

Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{5}{3x+2}=frac{5}{infty}=0 $$

Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $.

$$ b = limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] = limlimits_{x rightarrow infty} frac{5x}{3x+2} = frac{infty}{infty} =frac{5}{3} $$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = frac{5}{3} $ – горизонтальная асимптота.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y = frac{5}{3} $$
Пример 2
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{1}{1-x} $
Решение

Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x neq 0; x neq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ limlimits_{x rightarrow 1} frac{1}{1-x} = frac{1}{0} = infty $$

Приступим к поиску наклонных асимптот.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty}frac{f(x)}{x}=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{x(1-x)} = frac{1}{infty}=0 $$

$$ b =limlimits_{x rightarrow infty}[f(x)-kx]=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{1-x} = frac{1}{infty}=0 $$

Итого, $ y=0 $ – горизонтальная асимптота.
Ответ
$$ y=0 $$
Пример 3
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{x^3}{3x^2+5} $
Решение

Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty}frac{x^2}{3x^2+5} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{2x}{6x} = frac{1}{3} $$

Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $.

$$ b =limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] =limlimits_{x rightarrow infty} [frac{x^3}{3x^2+5}-frac{x}{3}] =limlimits_{x rightarrow infty} -frac{5x}{3(3x^2+5)}= $$ $$ = -frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{3x^2+5} =-frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{6x} =-frac{5}{3}frac{1}{infty} = 0 $$

$ y =frac{1}{3}x $ – наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья.
Ответ
$$ y =frac{1}{3}x $$
Пример 4
Найти асимптоты $ f(x) = xe^{-x} $
Решение

Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот.

$$ k=limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$

$$ b=limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{e^x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$

$ y = 0 $ – горизонтальная асимптота
Ответ
$$ y = 0 $$

Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.

Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.

Источник

Содержание:

Понятие асимптоты:

Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальные асимптоты Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота, если при Асимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальная асимптота Асимптоты графика функции с примерами решения может быть в точке Асимптоты графика функции с примерами решения если точка Асимптоты графика функции с примерами решения ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки Асимптоты графика функции с примерами решения значения функции стремятся к бесконечности.

Примеры вертикальных асимптот графиков функций

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота (Асимптоты графика функции с примерами решения — также асимптота, но горизонтальная)

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения— вертикальная асимптота

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Наклонные и горизонтальные асимптоты Асимптоты графика функции с примерами решения

I. Если Асимптоты графика функции с примерами решения — дробно рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты.

Примеры:

Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения тогда Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, Асимптоты графика функции с примерами решения— наклонная асимптота (также Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота)

Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения тогда Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, Асимптоты графика функции с примерами решения — горизонтальная асимптота (также Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота)

II. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптотАсимптоты графика функции с примерами решенияможно получить с использованием формул

Асимптоты графика функции с примерами решения Асимптоты графика функции с примерами решения

Понятие асимптоты

Если кривая Асимптоты графика функции с примерами решения имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.

Например, для графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения график функции приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения ось Асимптоты графика функции с примерами решения — горизонтальная асимптота. Когда функция стремится к Асимптоты графика функции с примерами решения (или Асимптоты графика функции с примерами решения), то кривая приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения ось Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота.

Если рассмотреть функциюАсимптоты графика функции с примерами решения то при Асимптоты графика функции с примерами решения выражение Асимптоты графика функции с примерами решенияВследствие этого график функции Асимптоты графика функции с примерами решения приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функцииАсимптоты графика функции с примерами решения(рис. 7.2) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения).

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика.

Асимптоты графика функции с примерами решенияАсимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальные асимптоты

Если прямая Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота, то по определению около точки Асимптоты графика функции с примерами решения кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при Асимптоты графика функции с примерами решения (слева или справа) должен равняться бесконечности (Асимптоты графика функции с примерами решения). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.

Например, у функции Асимптоты графика функции с примерами решения область определения Асимптоты графика функции с примерами решения имеет разрыв в точке Асимптоты графика функции с примерами решения (область определения: Асимптоты графика функции с примерами решения и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Можно предположить, что прямая Асимптоты графика функции с примерами решения будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим

Асимптоты графика функции с примерами решения

Аналогично Асимптоты графика функции с примерами решения

Таким образом, прямая Асимптоты графика функции с примерами решения является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.3).

Асимптоты графика функции с примерами решенияАсимптоты графика функции с примерами решения

Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция Асимптоты графика функции с примерами решения имеет область определения Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому прямая Асимптоты графика функции с примерами решения «подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но Асимптоты графика функции с примерами решения АналогичноАсимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, около прямой Асимптоты графика функции с примерами решенияфункция Асимптоты графика функции с примерами решения не стремится к бесконечности, и поэтому прямая Асимптоты графика функции с примерами решения не является асимптотой графика данной функции (рис. 7.4).

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.

Например, еще раз рассмотрим функцию Асимптоты графика функции с примерами решения Выделим целую часть: Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения выражение Асимптоты графика функции с примерами решения то есть график нашей функции будет х -1 неограниченно приближаться к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.3).

Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.

Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции Асимптоты графика функции с примерами решенияявляется прямая Асимптоты графика функции с примерами решения По определению асимптоты при Асимптоты графика функции с примерами решения график функции Асимптоты графика функции с примерами решения неограниченно приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения Другими словами, при Асимптоты графика функции с примерами решения с любой точностью будет выполняться равенство

Асимптоты графика функции с примерами решения (1)

Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Асимптоты графика функции с примерами решения Получим: Асимптоты графика функции с примерами решения При Асимптоты графика функции с примерами решения отношение Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому отношение Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения, то есть

Асимптоты графика функции с примерами решения(2)

Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при Асимптоты графика функции с примерами решения то есть

Асимптоты графика функции с примерами решения(3)

Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции Асимптоты графика функции с примерами решения (при условии, что они существуют).

Отметим, что если у графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет Асимптоты графика функции с примерами решения (в этом случае Асимптоты графика функции с примерами решения). Но при Асимптоты графика функции с примерами решения из формулы (3) получаем Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, если существует число Асимптоты графика функции с примерами решения то график функции Асимптоты графика функции с примерами решения имеет горизонтальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функцииАсимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Будем искать наклонную асимптоту в виде Асимптоты графика функции с примерами решения где Асимптоты графика функции с примерами решения и Асимптоты графика функции с примерами решения находятся по формулам (2) и (3):

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптотой графика данной функции будет прямая Асимптоты графика функции с примерами решения то есть прямая Асимптоты графика функции с примерами решения

Пример:

Найдите асимптоты графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Область определения функции: Асимптоты графика функции с примерами решения — любое действительное число, то естьАсимптоты графика функции с примерами решения На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде Асимптоты графика функции с примерами решения Тогда

Асимптоты графика функции с примерами решения

Таким образом, заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.5).

Иногда график функции Асимптоты графика функции с примерами решения может иметь разные асимптоты при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения в этом случае при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения Асимптоты графика функции с примерами решения и Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Как найти асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая Асимптоты графика функции с примерами решения называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке Асимптоты графика функции с примерами решенияравен бесконечности: Асимптоты графика функции с примерами решения Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.

Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.

Для того чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Асимптоты графика функции с примерами решения

Частным случаем наклонной асимптоты (k=0) является горизонтальная асимптота.

Пример:

Найти асимптоты графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Функция Асимптоты графика функции с примерами решения непрерывна в области определения Асимптоты графика функции с примерами решения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты y=kx+b:

Асимптоты графика функции с примерами решения

Получаем горизонтальную асимптоту y=0.

Общее исследование функции и построение графика

С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.

  1. Найти область определения функции D(f).
  2. Исследовать функцию на четность Асимптоты графика функции с примерами решения нечетность Асимптоты графика функции с примерами решения периодичность Асимптоты графика функции с примерами решения
  3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
  4. Найти асимптоты графика функции.
  5. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
  6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
  7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).

Пример:

Провести полное исследование функции Асимптоты графика функции с примерами решения и построить ее график.

Решение:

Область определения функции – вся числовая прямая: Асимптоты графика функции с примерами решения

Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для Асимптоты графика функции с примерами решения

Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку Асимптоты графика функции с примерами решения точек разрыва нет.

Строим график функции, используя результаты исследования.

Асимптоты графика функции с примерами решения

  • Касательная к графику функции и производная
  • Предел и непрерывность функции
  • Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
  • Предел функции на бесконечности
  • Иррациональные уравнения
  • Иррациональные неравенства
  • Производная в математике
  • Как найти производную функции
Источник

Содержание:

  • Виды асимптот
  • Нахождение наклонной асимптоты

Виды асимптот

Определение

Прямая $x=x_{0}$ называется вертикальной асимптотой
графика функции $y=f(x)$, если хотя бы одно из предельных
значений $lim _{x rightarrow x_{0}-0} f(x)$ или
$lim _{x rightarrow x_{0}+0} f(x)$ равно
$+infty$ или
$-infty$ .

Замечание. Прямая $x=x_{0}$ не может
быть вертикальной асимптотой, если функция
непрерывна в точке $x=x_{0}$ .
Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая $y=y_{0}$ называется
горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если
хотя бы одно из предельных значений $lim _{x rightarrow+infty} f(x)$ или
$lim _{x rightarrow-infty} f(x)$ равно
$y_{0}$ .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая $y=k x+b$ называется наклонной асимптотой
графика функции $y=f(x)$, если
$lim _{x rightarrow infty}[f(x)-k x-b]=0$

Нахождение наклонной асимптоты

Теорема

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции $y=f(x)$
существуют пределы $lim _{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x}=k$ и
$lim _{x rightarrow infty}[f(x)-k x]=b$, то функция имеет наклонную асимптоту
$y=k x+b$ при
$x rightarrow infty$ .

Замечание

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при
$k=0$ .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что
$lim _{x rightarrow infty} f(x)=infty$, то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая $y=f(x)$ может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Пример

Задание. Найти асимптоты графика функции $y(x)=frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}$

Решение. Область определения функции:

$D[f] : x in(-infty ;-1) cup(-1 ;+infty)$

а) вертикальные асимптоты: прямая $x=-1$ – вертикальная асимптота, так как

$lim _{x rightarrow-1} y(x)=lim _{x rightarrow-1} frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}left[frac{6}{0}right]=infty$

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

$lim _{x rightarrow infty} frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}=infty$

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты $y=k x+b$:

$k=lim _{x rightarrow infty} frac{y(x)}{x}=lim _{x rightarrow infty} frac{x^{2}-3 x+2}{x(x+1)}=1$

$b=lim _{x rightarrow infty}[y(x)-k x]=lim _{x rightarrow infty}left[frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}-xright]=$

$=lim _{x rightarrow infty} frac{x^{2}-3 x+2-x^{2}-x}{x+1}=lim _{x rightarrow infty} frac{-4 x+2}{x+1}=-4$

Таким образом, наклонная асимптота: $y=x-4$ .

Ответ. Вертикальная асимптота – прямая $x=-1$ .

Наклонная асимптота – прямая $y=x-4$ .

Читать дальше: исследование функции и построение ее графика.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Для гиперболы {displaystyle y={frac {1}{x}}} асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё

Асимпто́та, или аси́мптота[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].

Затухающие колебания. {displaystyle y=e^{-0.1x}sin(x)}. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту

Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Виды асимптот графиков[править | править код]

Вертикальная[править | править код]

Прямая вида x=a является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

  1. {displaystyle lim _{xto a^{-}}f(x)=pm infty }
  2. {displaystyle lim _{xto a^{+}}f(x)=pm infty }.

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке a. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Горизонтальная и наклонная[править | править код]

На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.

Наклонная асимптота — прямая вида y=kx+b, если выполняется хотя бы одно из равенств:

  1. {displaystyle lim _{xto +infty }(f(x)-kx)=b}
  2. {displaystyle lim _{xto -infty }(f(x)-kx)=b}.

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при x to + infty, а если второе, то асимптотой при x to - infty[4].

Если k=0, то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при x to + infty и одна при x to - infty, но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности[5].

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности[5].

Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот[править | править код]

Порядок нахождения асимптот[править | править код]

  1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
  2. Проверка, не являются ли конечными пределы {displaystyle lim _{xto +infty }f(x)=b} и{displaystyle lim _{xto -infty }f(x)=b}. Если да, то существует горизонтальная асимптота {displaystyle y=b} при {displaystyle +infty } и {displaystyle -infty } соответственно.
  3. Нахождение двух пределов lim_{x to pm infty}frac{f(x)}{x}=k
  4. Нахождение двух пределов lim_{x to pm infty}(f(x)-kx)=b, если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен pminfty), то наклонной асимптоты при x to + infty (или x to - infty) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части[править | править код]

Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция {displaystyle f(x)={frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}}.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: {displaystyle f(x)=2x+5+{frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)cdot {frac {x+2}{x^{2}+1}}}.

При {displaystyle xto pm infty }, frac{x+2}{x^2+1} to 0,

и {displaystyle y=2x+5} является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

Свойства[править | править код]

  • Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[6]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также[править | править код]

  • Асимптотическая кривая

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Словарь иностранных слов / Под ред. И. В. Лёхина и проф. Ф. Н. Петрова. — М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1955. — С. 77. — 856 с.) указывался единственный вариант ударения «асимпто́та».
  2. ↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1. Архивная копия от 13 ноября 2013 на Wayback Machine
  3. ↑ Математический энциклопедический словарь Архивная копия от 1 августа 2013 на Wayback Machine — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
  4. ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 374-375. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  5. ↑ 1 2 «Asymptotes» by Louis A. Talman
  6. ↑ Taylor C. Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples. — Cambridge: Macmillan, 1863. — С. 170.

Литература[править | править код]

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
  • Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки[править | править код]

  • Асимптота // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Асимптота / Э. Г. Позняк // Ангола — Барзас. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 2).
Источник
  1. Понятие асимптоты
  2. Вертикальная асимптота
  3. Горизонтальная асимптота
  4. Наклонная асимптота
  5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции
  6. Примеры

п.1. Понятие асимптоты

Асимптота прямая, расстояние от которой до точки кривой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви кривой на бесконечность.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

п.2. Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (x=a)
где (a) – точка разрыва 2-го рода функции (f(x)), для которой хотя бы один односторонний предел существует и равен бесконечности.

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)})
ОДЗ: (xne left{-3;1right})
(left{x_0=-3, x_1=1right}notin D) – точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем (x_0=-3). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -3 -0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-3-0-1)(-3-0+3)}=frac{1}{-4cdot(-0)}=+infty\ lim_{xrightarrow -3 +0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-3+0-1)(-3+0+3)}=frac{1}{-4cdot(+0)}=-infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=-3) – точка разрыва 2-го рода.
Исследуем (x_1=1). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 1 -0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(1-0-1)(1-0+3)}=frac{1}{-0cdot 4}=-infty\ lim_{xrightarrow 1 +0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(1+0-1)(1+0+3)}=frac{1}{+0cdot 4}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=1) – точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}) две точки разрыва 2-го рода (left{x_0=-3, x_1=1right}), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями (x=-3) и (x=1).

п.3. Горизонтальная асимптота

Горизонтальная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (y=b)
где (b) – конечный предел функции (f(x)) на бесконечности: (b=lim{xrightarrow pminfty}f(x), bneinfty)

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)})
Ищем предел функции на минус бесконечности: begin{gather*} lim_{xrightarrow -infty}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-infty)(-infty)}=+0 end{gather*} На минус бесконечности функция имеет конечный предел (b=0) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: begin{gather*} lim_{xrightarrow +infty}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(+infty)(+infty)}=+0 end{gather*} На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел (b=0) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}) одна горизонтальная асимптота (y=0). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}): Горизонтальная асимптота

п.4. Наклонная асимптота

Наклонная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (y=kx+b) begin{gather*} k=lim_{xrightarrow pminfty}frac{f(x)}{x}, kne 0, kneinfty\ b=lim_{xrightarrow pminfty}(f(x)=kx) end{gather*}

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие наклонных асимптот у функции (y=frac{x^2+3}{x-1})
Найдем угловой коэффициент: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{y}{x}=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+3}{x(x-1)}= lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+3}{x^2-x}=left[frac{infty}{infty}right]= lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{3}{x^2}right)}{x^2left(1-frac 1xright)}=\ =lim_{xrightarrow -infty}frac{1+frac{3}{x^2}}{1-frac1x}=frac{1+0}{1-0}=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{y}{x}=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+3}{x(x-1)}=k_1=1 end{gather*} На плюс и минус бесконечности отношение функции к аргументу имеет один и тот же конечный предел (k=1).
Найдем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow pminfty}(y-kx)=lim_{xrightarrow pminfty}left(frac{x^2+3}{x-1}-1cdot xright)= lim_{xrightarrow pminfty}left(frac{x^2+3-x(x-1)}{x-1}right)=\ =lim_{xrightarrow pminfty}frac{x+3}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow pminfty}frac{xleft(1+frac3xright)}{xleft(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1 end{gather*} Вывод: у функции (y=frac{x^2+3}{x-1}) одна наклонная асимптота (y=x+1). Функция стремится к асимптоте на плюс и минус бесконечности.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции (y=frac{x^2+3}{x-1}), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+3}{x-1}=-infty, lim_{xrightarrow -1+0}frac{x^2+3}{x-1}=+infty end{gather*}

График асимптотического поведения функции (y=frac{x^2+3}{x-1}): Наклонная асимптота

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) ( y=frac{4x}{x^2-1} )
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(-1-0)}{(-1-0+1)(-1-0-1)}=frac{-4}{-0cdot(-2)}=-infty\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(-1+0)}{(-1+0+1)(-1+0-1)}=frac{-4}{+0cdot(-2)}=+infty end{gather*} Точка (x=-1) – точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке (x=1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(1-0)}{(1-0+1)(1-0-1)}=frac{4}{2cdot(-0)}=-infty\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(1+0)}{(1+0+1)(1+0-1)}=frac{4}{2cdot(+0)}=+infty end{gather*} Точка (x=1) – точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты (x=pm 1)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{4x}{x^2-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2cdot frac4x}{x^2(1-frac{1}{x^2})}=lim_{xrightarrow -infty}frac{frac4x}{1-frac{1}{x^2}}=frac{-0}{1}=-0\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{4x}{x^2-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{frac4x}{1-frac{1}{x^2}}=frac{+0}{1}=+0 end{gather*} Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=0). На минус бесконечности функция стремится к асимптоте снизу, не плюс бесконечности – сверху.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k=lim_{xrightarrow pminfty}frac{4x}{x(x^2-1)}=lim_{xrightarrow pminfty}frac{4}{x^2-1}=frac{4}{infty}=0 end{gather*} Наклонных асимптот нет.

График асимптотического поведения функции (y=frac{4x}{x^2-1})
Пример 1а

б) ( y=e^{frac{1}{x+3}} )
1) Вертикальные асимптоты
Точка, подозрительная на разрыв: (x=-3)
Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -3-0}e^{frac{1}{x+3}}=e^{frac{1}{-3-0)+3}}=e^{frac{1}{-0}}=e^infty=0\ lim_{xrightarrow -3+0}e^{frac{1}{x+3}}=e^{frac{1}{-3+0)+3}}=e^{frac{1}{+0}}=e^{+infty}=+infty end{gather*} Точка (x=-3) – точка разрыва 2-го рода
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=2)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}e^{frac{1}{x+3}}=e^0=1\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}e^{frac{1}{x+3}}=e^0=1\ b=b_1=b_2=1 end{gather*} Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=1). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{e^{frac{1}{x+3}}}{x}=frac{e^0}{-infty}=0\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{e^{frac{1}{x+3}}}{x}=frac{e^0}{+infty}=0 end{gather*} Наклонных асимптот нет.

График асимптотического поведения функции (y=e^{frac{1}{x+3}})
Пример 1б

в) ( y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1} )
Заметим, что ( frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=frac{x^2(x+1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=frac{(x^2)(x+1)}{(x+1)(x-1)}=frac{x^2+1}{x-1} ) $$ y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}Leftrightarrow begin{cases} y=frac{x^2+1}{x-1}\ xne -1 end{cases} $$ График исходной функции совпадает с графиком функции (y=frac{x^2+1}{x-1}), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой (x=-1).

1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{-2}=-1\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{-2}=-1 end{gather*} Точка (x=-1) – точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв («выколотая» точка).
Односторонние пределы в точке (x=1) begin{gather*} lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{1-0-1}=frac{2}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{1+0-1}=frac{2}{+0}=+infty end{gather*} Точка (x=1) – точка разрыва 2-го рода
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=1)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(frac1x-frac{1}{x^2}right)}=frac{1+0}{-0-0}=-infty\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(frac1x-frac{1}{x^2}right)}=frac{1+0}{0-0}=+infty end{gather*} Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+1}{x(x-1)}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+1}{x(x-1)}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1\ k=k_1=k_2=1 end{gather*} У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow infty}(y-kx)= lim_{xrightarrow infty}left(frac{x^2+1}{x-1}-2right)= lim_{xrightarrow infty}frac{x^2+1-x^2+x}{x-1}= lim_{xrightarrow infty}frac{x+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=\ =lim_{xrightarrow infty}frac{xleft(1+frac1xright)}{xleft(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1 end{gather*} Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x+1).
График асимптотического поведения функции (y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1})
Пример 1в

г*) ( y=xe^{frac{1}{2-x}} )
1) Вертикальные асимптоты
Точка, подозрительная на разрыв: (x=2)
Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}xe^{frac{1}{2-x}}=(2-0)e^{frac{1}{2-(2-0)}}=2e^{frac{1}{+0}}=2e^{+infty}=+infty\ lim_{xrightarrow 2+0}xe^{frac{1}{2-x}}=(2+0)e^{frac{1}{2-(2+0)}}=2e^{frac{1}{-0}}=2e^{-infty}=-infty end{gather*} Точка (x=2) – точка разрыва 2-го рода.
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=2)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}xe^{frac{1}{2-x}}=-inftycdot e^0=-infty\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}xe^{frac{1}{2-x}}=+inftycdot e^0=+infty end{gather*} Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{xe^{frac{1}{2-x}}}{x}=lim_{xrightarrow -infty}e^{frac{1}{2-x}}=e^0=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{xe^{frac{1}{2-x}}}{x}=lim_{xrightarrow +infty}e^{frac{1}{2-x}}=e^0=1\ k=k_1=k_2=1 end{gather*} У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow infty}(y-kx)= lim_{xrightarrow infty}left(xe^{frac{1}{2-x}}-xright)=lim_{xrightarrow infty}xleft(e^{frac{1}{2-x}}-1right)=left[inftycdot 0right] end{gather*} Используем одно из следствий второго замечательного предела (см. §39 данного справочника): begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{e^x-1}{x}=1\ b=lim_{xrightarrow infty}xleft(e^{frac{1}{2-x}}-1right)= left[ begin{array}{l} t=frac{1}{2-x}\ trightarrow 0\ x=2-frac1t=frac{2t-1}{t} end{array} right]=\ =lim_{trightarrow 0}left(left(frac{2t-1}{t}right)(e^t-1)right)=lim_{trightarrow 0}(2t-1)cdot lim_{trightarrow 0}frac{e^t-1}{t}=-1cdot 1=-1 end{gather*} Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x-1).

График асимптотического поведения функции (y=xe^{frac{1}{2-x}})
Пример 1г

Источник

Добавить комментарий