Фсу как найти а

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто формулы фсу позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы кратко перечислим основные формулы сокращенного умножения по алгебре, сгруппируем их в правильную таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса “Алгебра” за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул, которые придется изучать и запоминать.

Английскими буквами a, b, c во всех формулах сокращенного умножения (в выражениях) могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул или уравнений наизусть. Чтобы вам было проще учить, сведем их в таблицу сокращенного умножения и приведем ниже, обведя рамкой. Это будет ваш своеобразный онлайн гайд, важный и нужный.

Первые четыре формулы сокращенного умножения на математическом языке позволяют правильно вычислять соответственно квадрат суммы или кубическую сумму, или разности двух выражений.

Пятая формула скор умножения вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы сокращенного умн. – соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формулу сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Чтобы решить практические примеры, часто в качестве помощи используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Также есть формулы сокращенного умножения под корнем.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса уроков по алгебре и математике и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул. 

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn

Здесь Cnk – биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля.  Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Другими словами, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы – это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как читается эта формула? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодиться – формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы – соответственно для четных и нечетных степеней. 

Для четных показателей 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для нечетных показателей 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере формулы сокращенного умножения. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a+b2=a2+2ab+b2.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2  запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений,  утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом их разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитывать нужно так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a-b2=a2-2ab+b2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень, нужно это выражение умножить само на себя.

a-b2=a-ba-b.

Раскроем скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Где можно применять ФСУ на примерах

Цель использования формул сокращенного умнож-я – быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, когда нужно раскладывать многочлены на множители. Приведем примеры.

Также ФСУ помогают быстрым способом вычислять значения выражений. Главное – уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений, запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием метода математических формул умножения, приведенных сокращенно, и таблицы умножения.

Еще один важный момент – выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов[править | править код]

• – квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
• (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Разность квадратов[править | править код]

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле^[1]:

Доказательство[править | править код]

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

и остаётся

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

.

Чтобы это было равно , мы должны иметь

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов[править | править код]

• – куб суммы (разности) двух чисел
• – сумма (разность) кубов
• – куб суммы

Формулы для четвёртой степени[править | править код]

• 
• (выводится из )
• 

Формулы для n-й степени[править | править код]

• 
• , где
• 
• , где

В комплексных числах[править | править код]

• 
• 
• 
• 

Для произвольной чётной степени:

• , где пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• , где пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул[править | править код]

• , где
• , где

См. также[править | править код]

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями), решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: ((a+b)^2). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, ((a+b)^2=(a+b)(a+b)). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: ((x+5)^2)
Решение:

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве (a) и (b) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение ((1+5x)^2-12x-1 ) в многочлен стандартного вида.

Решение:

((1+5x)^2-12x-1= )		Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы…
(=1+10x+25x^2-12x-1=)		…и приведем подобные слагаемые.
(=25x^2-2x)		Готово.

Ответ: (25x^2-2x).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения ((368)^2+2·368·132+(132)^2) без калькулятора.

Решение:

((368)^2+2·368·132+(132)^2=)		Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: (a^2+2ab+b^2=(a+b)^2)
(=(368+132)^2=)		Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
(=(500)^2=250 000.)		Готово.

Ответ: (250 000).

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для ((a-b)^2):

В более краткой записи имеем:

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение ((2a-3)^2-4(a^2-a)) и найдите его значение при (a=frac{17}{8}).

Решение:

((2a-3)^2-4(a^2-a)=)		Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки.
(=4a^2-12a+9-4a^2+4a=)		Теперь приведем подобные слагаемые.
(=-8a+9=)		Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
(=-8·frac{17}{8}+9=-17+9=8)		Пишем ответ.

Ответ: (8).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 

Пример. Сократите дробь (frac{x^2-9}{x-3}).

Решение:

(frac{x^2-9}{x-3})(=)		Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! Попробуем воспользоваться формулой.
(=) (frac{x^2-3^2}{x-3})(=)(frac{(x+3)(x-3)}{x-3})(=)		Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
(=x+3)		Готов ответ.

Ответ: (x+3).

Пример.Разложите на множители (25x^4-m^{10} t^6).
Решение:

(25x^4-m^{10} t^6)		Воспользуемся формулами степеней: ((a^n )^m=a^{nm}) и (a^n b^n=(ab)^n).
(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=)		Ну, а теперь пользуемся формулой (a^2-b^2=(a+b)(a-b)), где (a=5x^2) и (b=m^5 t^3).
(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 ))		Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь (frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}) .
Решение:

(frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3})(=)		На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем). Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
(frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3})(=)		Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке: (4xy) запишем как (2·x·2y), а (4y^2) как ((2y)^2).
(frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3})(=)		Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой (a=x), (b=2y). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как (3) в квадрате.
(frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3})(=)		Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой (a=(x-2y)), (b=3). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
(frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3})(=)		И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
(x-2y-3)		Готов ответ.

В математике есть формулы, которые просто необходимо держать всегда в памяти, так как большинство заданий ЕГЭ не могут обойтись без их применения. Это формулы сокращенного умножения. Изучать ФСУ начинают в 7-м классе. Тема считается непростой, но знание их поможет избежать утомительных вычислений и снизить вероятность ошибки.

Что такое формула сокращенного умножения

Из названия следует, что эти формулы позволяют проводить умножение, возведение в степень чисел и многочленов сокращенно, то есть быстрее при более компактной записи решения. Эти тождества служат для разложения многочленов на множители, упрощения выражений и приведения многочленов к стандартному виду.

Таблица формул сокращенного умножения

Для удобства мы собрали все формулы сокращенного умножения в одну таблицу. Ее можно использовать при выполнении домашних заданий по алгебре. При решении задач вы можете заменить буквы a и b числами, переменными или даже целыми выражениями.

Квадрат суммы	(a + b)²= a² + 2ab + b²
Квадрат разности	(a – b)²= a² – 2ab + b²
Разность квадратов	a² – b²=(a – b)·(a + b)
Сумма кубов	a³ + b³=(a + b)·(a² – ab + b²)
Разность кубов	a³ – b³=(a – b)·(a² + ab + b²)
Куб суммы	(a + b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб разности	(a – b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Формулы сокращенного умножения следует выучить. Без первой тройки формул о «тройке» и мечтать нельзя, без остальных — о «четверке» и «пятерке».

Как запомнить все эти, на первый взгляд, сложные формулы? Можно использовать метод аналогии. Присмотритесь к ФСУ внимательнее и вы увидите, что формула квадрата суммы очень похожа на формулу квадрата разности: здесь нужно запомнить только одно отличие — «плюс» меняется на «минус».

Также легко запомнить куб суммы и куб разности: их формулы практически одинаковы, снова поменялись только знаки. Сумма кубов и разность кубов тоже похожи, к тому же они напоминают первые две формулы.

И еще: научитесь правильно проговаривать формулы сокращенного умножения. Очень частая ошибка учеников — говорить «формула суммы квадратов». Такой формулы не существует!

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7-го класса по алгебре и добавим еще несколько формул.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых:

(a₁+a₂+…+a_n)²=a₁²+a₂²+…+a_n−1²+a_n²+2·a₁·a₂+2·a₁·a₃+2·a₁·a₄+…+2·a₁·a_n−1+2·a₁·a_n+ +2·a₂·a₃+2·a₂·a₄+…+2·a₂·a_n−1+2·a₂·a_n+…+2·a_n−1·a_n.

Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых x, y и z. Имеем: (x+y+z)²=x²+y²+z²+2·x·y+2·x·z+2·y·z. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых:

aⁿ−bⁿ=(a−b)·(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²·b+aⁿ⁻³·b²+…+a²·bⁿ⁻³+a·bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)

Частными случаями этой формулы являются: разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).

Примеры использования формул сокращенного умножения

Лучше всего формулы запоминаются на практике. Решайте как можно больше примеров, и все формулы запомнятся сами собой, а вы избавитесь от скучной и малоэффективной зубрежки. Итак, рассмотрим примеры и их решения с помощью формул сокращенного умножения.

Пример №1

Упростим выражение:

Применим формулу разности квадратов и получим:

Пример №2

Найдем значение выражения:

Применим формулы квадрата разности и квадрата суммы, раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, сократим дробь и получим:

Популярные вопросы и ответы

Формулы Сокращенного Умножения

Тема, которая может встретиться во многих темах, вынесенных на экзамен – ФСУ. Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. Разложим на множители выражение (2x^{2}y + text{xy}^{2}):

1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это (text{xy}).

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

(2x^{2}y + xy^{2} = xyleft( frac{2x^{2}y}{text{xy}} + frac{xy^{2}}{text{xy}} right) = xyleft( 2x + y right) )

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

(- 2t^{2} – t = – tleft( 2t + 1 right))

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

Группировка

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать, на примере выражения (35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3}).

1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

(35a^{2} + 7a^{2}b^{2} + 5b + b^{3} = left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} right) + left( 5b + b^{3} right))

1. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

(left( 35a^{2} + 7a^{2}b^{2} right) + left( 5b + b^{3} right) = 7a^{2}left( 5 + b^{2} right) + b(5 + b^{2}))

1. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

(7a^{2}left( 5 + b^{2} right) + bleft( 5 + b^{2} right) = (7a^{2} + b)(5 + b^{2}))

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых. Разложим на множители следующее выражение:

(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z).

1. Группируем отдельные слагаемые.

(2x^{5}y^{5}z + 13xy + x^{3}y^{3} + 26xyz + x^{5}y^{5} + 2x^{3}y^{3}z = left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} right) + (26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z))

1. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только

(left( 13xy + x^{3}y^{3} + 2x^{5}y^{5} right) + left( 26xyz + 2x^{3}y^{3}z + 2x^{5}y^{5}z right) = left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} right) + 2z(13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5}))

1. Выносим повторяющиеся скобки.

(left( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} right) + 2zleft( 13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5} right) = (13xy + x^{3}y^{3} + x^{5}y^{5})(1 + 2z))

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Выражения вида (ax^{2} + bx + c), где (a neq 0, b, c) – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

(ax^{2} + bx + c = a(x – x_{1})(x – x_{2}))

В котором (x_{1}, x_{2}) – корни уравнения (ax^{2} + bx + c = 0).

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение (x^{2} + 3x – 4)

1. Определим корни уравнения (x^{2} + 3x – 4 = 0) с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

(leftlbrack begin{matrix} \ x_{1} = 1 \ text{ } \ text{ x}_{2} = – 4 \ end{matrix} right. )

1. Подставим найденные корни в формулу (text{ a}x^{2} + bx + c = a(x – x_{1})(x – x_{2})). В данном случае (a = 1).

(x^{2} + 3x – 4 = (x – 1)(x – 4))

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы, по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Название	Формула
Разность квадратов	(a^{2} – b^{2} = (a – b)(a + b))
Квадрат разности	(left( a – b right)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2})
Квадрат суммы	(left( a + b right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2})
Разность кубов	(a^{3} – b^{3} = (a – b)(a^{2} + ab + b^{2}))
Сумма кубов	(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} – ab + b^{2}))
Куб разности	(left( a – b right)^{3} = a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3})
Куб суммы	(left( a + b right)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3})

Замечательным свойством этих правил является то, что, если вместо (a,b) стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.

Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ

1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.

2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.

3. Используем соответствующую формулу.

Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

Пример 1

(4m^{2} + 4mn + n^{2})

1. Выражение похоже на квадрат суммы.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

(4m^{2} + 4mn + n^{2} = left( 2m right)^{2} + 2 cdot 2m cdot n + n^{2})

1. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

(left( 2m right)^{2} + 2 cdot 2m cdot n + n^{2} = left( 2m + n right)^{2})

Пример 2

(27x^{3} – 8y^{3})

1. Выражение похоже на разность кубов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

(27x^{3} – 8y^{3} = left( 3x right)^{3} – left( 2y right)^{3})

1. Воспользуемся формулой разности кубов:

(left( 3x right)^{3} – left( 2y right)^{3} = left( 3x – 2y right)(9x^{2} + 6xy + 4y^{2}))

Пример 3

(25x^{2}y^{2} – p^{6}z^{4})

1. Выражение похоже на разность квадратов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

(25x^{2}y^{2} – p^{6}z^{4} = left( 5xy right)^{2} – left( p^{3}z^{2} right)^{2})

1. Воспользуемся формулой разности квадратов:

(left( 5xy right)^{2} – left( p^{3}z^{2} right)^{2} = (5xy – p^{3}z^{2})(5xy + p^{3}z^{2}))

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.

Упростим выражение (frac{x^{2} – xy}{x^{2} – 2xy + y^{2}}) :

1. В числителе вынесем повторяющийся элемент за скобки, а знаменатель свернем по формуле квадрата разности.

(frac{x^{2} – xy}{x^{2} – 2xy + y^{2}} = frac{xleft( x – y right)}{left( x – y right)^{2}})

1. Сократим повторяющиеся элементы.

(frac{xleft( x – y right)}{left( x – y right)^{2}} = frac{x}{x – y})