Гипербола как найти точки фокуса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Гипербола и её форма.

Начать изучение
Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Начать изучение
Точки гиперболы и их свойства.

Начать изучение
Уравнение касательной к гиперболе.

Начать изучение

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1.label{ref9}
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Утверждение.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1.
$$
Поэтому, если (b^{2}-a^{2}k^{2} > 0), то
$$
x=pm frac{ab}{sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}}.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2}). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^{2}) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Определение.

Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Запишем уравнения асимптот в виде (bx-ay=0) и (bx+ay=0). Расстояния от точки (M(x, y)) до асимптот равны соответственно
$$
h_{1}=frac{|bx-ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}, h_{2}=frac{|bx+ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.nonumber
$$
Если точка (M) находится на гиперболе, то (b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), и
$$
h_{1}h_{2}=frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.nonumber
$$

Утверждение.

Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно (a^{2}b^{2}/(a^{2}+b^{2})).

Отсюда следует важное свойство асимптот.

Свойство.

Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

Доказательство.

Действительно, хотя бы одно из расстояний (h_{1}) или (h_{2}) при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно.

Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Определение.

Введем число (c), положив
$$
c^{2}=a^{2}+b^{2}label{ref10}
$$
и (c > 0). Фокусами гиперболы называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат.

Рис. 8.8. Фокусы гиперболы.

Отношение (varepsilon=c/a), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы (varepsilon > 1).

Утверждение 9.

Расстояния от произвольной точки (M(x, y)) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы (x):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=|a-varepsilon x|, r_{2}=|F_{2}M|=|a+varepsilon x|.label{ref11}
$$

Рис. 8.9. Расстояние от точки на гиперболе до ее фокусов.

Доказательство.

Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством аналогичного утверждения для эллипса.

Заметим, что равенства eqref{ref11} можно подробнее записать так:

для правой ветви гиперболы ((x geq a))
$$
r_{1}=varepsilon x-a, r_{2}=varepsilon x+a;nonumber
$$
для левой ветви гиперболы ((x leq -a))
$$
r_{1}= a-varepsilon x, r_{2}=-varepsilon x-a;nonumber
$$

Итак, для правой ветви (r_{2}-r_{1}=2a), а для левой ветви (r_{1}-r_{2}=2a). В обоих случаях
$$
|r_{2}-r_{1}|=2a.label{ref12}
$$

Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями
$$
x=frac{a}{varepsilon}, x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref13}
$$

Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.

Точки гиперболы и их свойства.

Утверждение 10.

Для того чтобы точка (M) лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы (2a).

Доказательство.

Необходимость условия уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде
$$
sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=pm 2a+sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}nonumber
$$
Дальнейшее отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством (c^{2}=a^{2}+b^{2}), а не (c^{2}=a^{2}-b^{2}).

Утверждение 11.

Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету (varepsilon) (рис. 8.10).

Рис. 8.10.

Доказательство.

Доказательство повторяет доказательство предложения 4. Докажем, например, необходимость условия для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M'(x, y)) — точка гиперболы. Расстояние от (M’) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) § 3 гл. II равно
$$
d’=left|x+frac{a}{varepsilon}right|=frac{1}{varepsilon}|varepsilon x+a|.nonumber
$$

Из формулы eqref{ref11} мы видим теперь, что (r’/d’=varepsilon).

Уравнение касательной к гиперболе.

Уравнение касательной к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение касательной для эллипса. Оно имеет вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}-frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref14}
$$

Утверждение 12.

Касательная к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Доказательство.

Доказательство почти не отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса.

Источник

Гипербола: определение, свойства, построение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка F_1F_2 — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение $e=frac{c}{a}$ , где $c=sqrt{a^2+b^2}$ , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1.$

(3.50)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Гипербола и фокальное свойство гипербол

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:

$left||overrightarrow{F_1M}|-|overrightarrow{F_2M}|right|=2a.$

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

$sqrt{(x+c)^2+y^2}-sqrt{(x-c)^2+y^2}=pm2a.$

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,,$

где $b=sqrt{c^2-a^2}$ , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии $a^2!!not{phantom{|}},c$ от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство гиперболы). Здесь и — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

Директрисы гиперболы и директориальное свойство

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие $frac{r_2}{rho_2}=e$ можно записать в координатной форме:

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=eleft(x-frac{a^2}{c}right)$

Избавляясь от иррациональности и заменяя $e=frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2$ , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :

$frac{r_1}{rho_1}=e quad Leftrightarrow quad sqrt{(x+c)^2+y^2}= eleft(x+frac{a^2}{c} right).$

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2rvarphi (рис.3.41,б) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi}$ , где $p=frac{p^2}{a}$ — фокальный параметр гиперболы.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,varphi) и F_1(2c,pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$F_1M=sqrt{(2c)^2+r^2-2cdot(2c)^2cdot rcdotcos(varphi-pi)}=sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}.$

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

$sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}-r=2a.$

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

$r^2+4crcdotcosvarphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 quad Leftrightarrow quad aleft(1-frac{c}{a}cosvarphiright)r=c^2-a^2.$

Выражаем полярный радиус и делаем замены $e=frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=frac{b^2}{a}$ :

$r=frac{c^2-a^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{b^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-ecosvarphi},$

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( e>1 для гиперболы, 0leqslant e<1 для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число — действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),,(0,b) , равна . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые x=pm a,~y=pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые $y=pmfrac{b}{a},x$ , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox'y' (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид $y'=frac{a^2}{2x'}$ (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

Асимптоты гиперболы и равносторонняя гипербола

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол $varphi=-frac{pi}{4}$ (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

$left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y',\ y&=-frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y'end{aligned}right. quad Leftrightarrow quad left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(x'+y'),\ y&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(y'-x')end{aligned}right.$

Подставляя эти выражения в уравнение $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

$frac{frac{1}{2}(x'+y')^2}{a^2}-frac{frac{1}{2}(y'-x')^2}{a^2}=1 quad Leftrightarrow quad 2cdot x'cdot y'=a^2 quad Leftrightarrow quad y'=frac{a^2}{2cdot x'}.$

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ . то и точки M'(x,y) и M''(-x,y) , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах $r=frac{p}{1-ecosvarphi}$ (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при $varphi=frac{pi}{2}$ ).

5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: $operatorname{tg}frac{gamma}{2}=frac{b}{2}$ . Учитывая, что $e=frac{c}{a}$ и c^2=a^2+b^2 , получаем

$e^2=frac{c^2}{a^2}=frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{left(frac{b}{a}right)!}^2=1+operatorname{tg}^2frac{gamma}{2}.$

Чем больше , тем больше угол gamma . Для равносторонней гиперболы (a=b) имеем e=sqrt{2} и $gamma=frac{pi}{2}$ . Для e>sqrt{2} угол gamma тупой, а для 1<e<sqrt{2} угол gamma острый (рис.3.43,а).

Эксцентриситет гиперболы и сопряжённая гипербола

6. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ и $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ называются сопряженными друг с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение $frac{(x-x_0)^2}{a^2}-frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение $-frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

$begin{cases}x=acdotoperatorname{ch}t,\y=bcdotoperatorname{sh}t,end{cases}tinmathbb{R},$

где $operatorname{ch}t=frac{e^t+e^{-t}}{2}$ — гиперболический косинус, a $operatorname{sh}t=frac{e^t-e^{-t}}{2}$ гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству $operatorname{ch}^2t-operatorname{sh}^2t=1$ .

Построение гиперболы в канонической системе координат

Пример 3.21. Изобразить гиперболу $frac{x^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1$ в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 — действительная полуось, b=3 — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6 с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4 в уравнение гиперболы, получаем

$frac{4^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1 quad Leftrightarrow quad y^2=27 quad Leftrightarrow quad y=pm3sqrt{3}.$

Следовательно, точки с координатами (4;3sqrt{3}) и (4;-3sqrt{3}) принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

$2cdot c=2cdotsqrt{a^2+b^2}=2cdotsqrt{2^2+3^2}=2sqrt{13}$

эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{13}}{2}$ ; фокальныи параметр $p=frac{b^2}{a}=frac{3^2}{2}=4,!5$ . Составляем уравнения асимптот $y=pmfrac{b}{a},x$ , то есть $y=pmfrac{3}{2},x$ , и уравнения директрис: $x=pmfrac{a^2}{c}=frac{4}{sqrt{13}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Гипербола.

Сечения конусов плоскостью (с эксцентриситетом, большим единицы)

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от ὑπερ — «верх» + βαλειν — «бросать») — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

${bigl |}|F_{1}M|-|F_{2}M|{bigr |}=2a,$

причём $|F_{1}F_{2}|>2a>0.$

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, бо́льшим единицы.

История[править | править код]

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определения[править | править код]

Гипербола может быть определена несколькими путями.

Коническое сечение[править | править код]

Три основных конических сечения

Гипербола может быть определена как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающиеся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Как геометрическое место точек[править | править код]

Через фокусы[править | править код]

Гипербола может быть определена как геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Для сравнения: кривая постоянной суммы расстояний от любой её точки до фокусов — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.

Через директрису и фокус[править | править код]

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения[править | править код]

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F₁ и F₂. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D₁ и D₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зелёным). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра к оси абсцисс, восставленного из каждой из вершин до пересечения с асимптотой
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F₁ и F₂,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами

Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
Середина большой оси называется центром гиперболы.
Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы.
- Обычно обозначается a.
Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.
- Обычно обозначается c.
Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной, или поперечной, осью гиперболы.
Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр, называется мнимой, или сопряжённой, осью гиперболы.
Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром.
Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром.
- Обычно обозначается b.
В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям, расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием
- Обычно обозначается $r_{p}$ .

Соотношения[править | править код]

Для характеристик гиперболы, определённых выше, существуют следующие соотношения

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ .
.
${displaystyle b^{2}=a^{2}left(varepsilon ^{2}-1right)}$ .
${displaystyle r_{p}=aleft(varepsilon -1right)}$ .
${displaystyle a={frac {p}{varepsilon ^{2}-1}}}$ .
${displaystyle b={frac {p}{sqrt {varepsilon ^{2}-1}}}}$ .
${displaystyle c={frac {pvarepsilon }{varepsilon ^{2}-1}}}$ .
$p={frac {b^{2}}{a}}$ .

Равнобочная гипербола[править | править код]

Гиперболу, у которой a=b , называют равнобочной, или равносторонней.
Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

$xy=a^{2}/2,$

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a, −a).
Равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности, задаваемой формулой

${displaystyle y={frac {k}{x}},quad kneq 0.}$

Эксцентриситет такой гиперболы равен .

Гипербола Киперта[править | править код]

Точка на гиперболе Киперта

Равнобочная гипербола как гипербола Киперта может быть определена через треугольники в трилинейных координатах^[1] в виде геометрического места точек (см. рис.):

Если три треугольника , и построены на сторонах треугольника , являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые , и пересекаются в одной точке .

Если общий угол при основании равен theta , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:

{displaystyle X{big (}-sin theta :sin(C+theta ):sin(B+theta ){big )},}

{displaystyle Y{big (}sin(C+theta ):-sin theta :sin(A+theta ){big )},}

{displaystyle Z{big (}sin(B+theta ):sin(A+theta ):-sin theta {big )}.}

Уравнения[править | править код]

Декартовы координаты[править | править код]

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

$A_{{xx}}x^{{2}}+2A_{{xy}}xy+A_{{yy}}y^{{2}}+2B_{{x}}x+2B_{{y}}y+C,=,0$

где коэффициенты A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, и C удовлетворяют следующему соотношению

${displaystyle D={begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\A_{xy}&A_{yy}end{vmatrix}}<0}$

$Delta :={begin{vmatrix}A_{{xx}}&A_{{xy}}&B_{{x}}\A_{{xy}}&A_{{yy}}&B_{{y}}\B_{{x}}&B_{{y}}&Cend{vmatrix}}not =0.$

Канонический вид[править | править код]

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду:

${frac {{x}^{{2}}}{a^{{2}}}}-{frac {{y}^{{2}}}{b^{{2}}}}=1$

где — действительная полуось гиперболы; — мнимая полуось гиперболы^[2]. В этом случае эксцентриситет равен

${displaystyle varepsilon ={frac {c}{a}}={sqrt {1+{frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Полярные координаты[править | править код]

Гипербола в полярных координатах

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

$r={frac {p}{1-varepsilon cos varphi }}$

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

${frac {1}{r}}={frac {a}{b^{2}}}left(1-cos theta right)+{frac {1}{b}}sin theta$

Уравнения в параметрической форме[править | править код]

Подобно тому, как эллипс может быть представлен уравнениями в параметрической форме, в которые входят тригонометрические функции, гипербола в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с её центром, а ось абсцисс проходит через фокусы, может быть представлена уравнениями в параметрической форме, в которые входят гиперболические функции^[3].

${displaystyle {begin{cases}x=pm aoperatorname {ch} t,\y=boperatorname {sh} t,end{cases}}quad -infty <t<+infty .}$

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «−» — её левой ветви.

Свойства[править | править код]

Оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.
Каждая гипербола имеет сопряжённую гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Сопряжённая гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; гиперболы различаются формой при .
Отрезок касательной в каждой точке гиперболы, заключенный между двумя асимптотами гиперболы, делится точкой касания пополам и отсекает от двух асимптот треугольник постоянной площади.

Асимптоты[править | править код]

Две сопряжённые гиперболы (голубая и зелёная) обладают совпадающими асимптотами (красные). Эти гиперболы единичные и равнобочные, так как a = b = 1

Уравнения асимптот для гиперболы, заданной в каноническом виде

${frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

выводятся следующим образом. Пусть . Предположим, что асимптота существует и имеет вид . Тогда

${displaystyle k=lim _{xto +infty }{frac {f(x)}{x}}=lim _{xto +infty }{frac {{frac {b}{a}}{sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}}=lim _{xto +infty }{frac {b}{a}}left({frac {sqrt {x^{2}-a^{2}}}{x}}right)=lim _{xto +infty }{frac {b}{a}}left({sqrt {1-{frac {a^{2}}{x^{2}}}}}right)={frac {b}{a}},}$

${displaystyle l=lim _{xto +infty }left(f(x)-kxright)=lim _{xto +infty }{frac {b}{a}}left({sqrt {x^{2}-a^{2}}}-xright)=lim _{xto +infty }{frac {b}{a}}cdot {frac {a^{2}}{{sqrt {x^{2}-a^{2}}}+x}}=0.}$

Таким образом, уравнения двух асимптот имеют вид:

${displaystyle y=pm {frac {b}{a}}x}$

или

${displaystyle {frac {x}{a}}pm {frac {y}{b}}=0.}$

Диаметры и хорды[править | править код]

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряжённый диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент параллельных хорд и угловой коэффициент $k_{1}$ соответствующего диаметра связан соотношением

${displaystyle kcdot k_{1}=varepsilon ^{2}-1={frac {b^{2}}{a^{2}}}.}$

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряжёнными. Главными диаметрами называются взаимно сопряжённые и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Определение центра гиперболы

Касательная и нормаль[править | править код]

Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x₀, y₀) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:

${frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1$

или, что то же самое,

$y=y_{0}+{frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}left(x-x_{0}right)$

Вывод уравнения касательной
Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид $y-y_{0}=y'left(x_{0},y_{0}right)cdot left(x-x_{0}right)$ Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций $y=pm {sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Тогда производная этих функций имеет вид $y'=pm {frac {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x}{y}}$ . Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим $y-y_{0}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x_{0}}{y_{0}}}left(x-x_{0}right)$ ${frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{frac {yy_{0}}{b^{2}}}={frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$

Вывод уравнения касательной

Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид

$y-y_{0}=y'left(x_{0},y_{0}right)cdot left(x-x_{0}right)$

Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций

$y=pm {sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$

Тогда производная этих функций имеет вид

$y'=pm {frac {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x}{y}}$

Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим

$y-y_{0}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x_{0}}{y_{0}}}left(x-x_{0}right)$

${frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{frac {yy_{0}}{b^{2}}}={frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:

$y=y_{0}-{frac {a^{2}}{b^{2}}}{frac {y_{0}}{x_{0}}}left(x-x_{0}right)$

Вывод уравнения нормали
Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид $y-y_{0}={frac {1}{y'left(x_{0},y_{0}right)}}left(x_{0}-xright)$ . Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций $y=pm {sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Тогда производная этих функций имеет вид $y'=pm {frac {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x}{y}}$ . Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим $y-y_{0}=-{frac {a^{2}}{b^{2}}}{frac {y_{0}}{x_{0}}}left(x-x_{0}right)$ .

Вывод уравнения нормали

Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид

$y-y_{0}={frac {1}{y'left(x_{0},y_{0}right)}}left(x_{0}-xright)$

Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций

$y=pm {sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$

Тогда производная этих функций имеет вид

$y'=pm {frac {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x}{y}}$

Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим

$y-y_{0}=-{frac {a^{2}}{b^{2}}}{frac {y_{0}}{x_{0}}}left(x-x_{0}right)$

Кривизна и эволюта[править | править код]

Синим цветом показана гипербола. Зелёным цветом — эволюта правой ветви этой гиперболы (эволюта левой ветви вне рисунка. Красным цветом показан круг, соответствующий кривизне гиперболы в её вершине)

Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:

$K={frac {ab}{left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}}$

Соответственно, радиус кривизны имеет вид:

$R={frac 1K}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ab}}$

В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен

$Rleft(a,0right)={frac {b^{2}}{a}}=p$

Вывод формулы для радиуса кривизны
Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид: $R_{c}={frac {left(x'^{2} +y'^{2}right)^{{3/2}}}{left\|x'y''-x''y'right\|}}$ . Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: ${begin{cases}x=acdot {mathrm {ch}},(t)\y=bcdot {mathrm {sh}},(t)end{cases}}$ Тогда, первая производная x и y по t имеет вид ${begin{cases}x'=acdot {mathrm {sh}},(t)={frac {a}{b}}y\y'=bcdot {mathrm {ch}},(t)={frac {b}{a}}xend{cases}}$ , а вторая производная – ${begin{cases}x''=acdot {mathrm {ch}},(t)=x\y''=bcdot {mathrm {sh}},(t)=yend{cases}}$ Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем: $R_{c}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{left\|a{frac {y^{2}}{b}}-b{frac {x^{2}}{a}}right\|}}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ableft\|{frac {y^{2}}{b}}-{frac {x^{2}}{a}}right\|}}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ab}}$ .

Вывод формулы для радиуса кривизны

Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид:

$R_{c}={frac {left(x'^{2} +y'^{2}right)^{{3/2}}}{left|x'y''-x''y'right|}}$

Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы:

${begin{cases}x=acdot {mathrm {ch}},(t)\y=bcdot {mathrm {sh}},(t)end{cases}}$

Тогда, первая производная x и y по t имеет вид

${begin{cases}x'=acdot {mathrm {sh}},(t)={frac {a}{b}}y\y'=bcdot {mathrm {ch}},(t)={frac {b}{a}}xend{cases}}$

а вторая производная –

${begin{cases}x''=acdot {mathrm {ch}},(t)=x\y''=bcdot {mathrm {sh}},(t)=yend{cases}}$

Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем:

$R_{c}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{left|a{frac {y^{2}}{b}}-b{frac {x^{2}}{a}}right|}}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ableft|{frac {y^{2}}{b}}-{frac {x^{2}}{a}}right|}}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ab}}$

Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:

${begin{cases}x_{c}={frac {x^{3}}{a^{2}}}left(1+{frac {b^{2}}{a^{2}}}right)\y_{c}=-{frac {y^{3}}{b^{2}}}left(1+{frac {a^{2}}{b^{2}}}right)end{cases}}$

Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.

${begin{cases}x=pm a,{mathrm {ch}}^{3},tleft(1+{frac {b^{2}}{a^{2}}}right)\y=b,{mathrm {sh}}^{3},tleft(1+{frac {a^{2}}{b^{2}}}right)end{cases}}$

Эллиптическая система координат

Обобщение[править | править код]

Гипербола есть синусоидальная спираль при .

Применение[править | править код]

Семейство конфокальных (софокусных) гипербол вместе с семейством софокусных эллипсов образуют двумерную эллиптическую систему координат.

Другие ортогональные двумерные координатные системы, построенные с помощью гипербол, могут быть получены с помощью других конформных преобразований. Например, преобразование w = z² отображает декартовы координаты в два семейства ортогональных гипербол.

Инверсией гиперболы с центром, лежащим в её собственном центре, в фокусе или на вершине можно получить соответственно лемнискату Бернулли, улитку Паскаля или строфоиду.

Гиперболы можно видеть на многих солнечных часах. В течение любого дня года Солнце описывает окружность на небесной сфере, и его лучи, падающие на верхушку гномона солнечных часов, описывают конус света. Линия пересечения этого конуса с плоскостью горизонтальных или вертикальных солнечных часов является коническим сечением. На наиболее населённых широтах и в большую часть года это коническое сечение является гиперболой. На солнечных часах часто показаны линии, описываемые тенью от верхушки гномона в течение дня для нескольких дней года (например, дней летнего и зимнего солнцестояний), таким образом, на них часто можно видеть определённые гиперболы, вид которых различен для различных дней года и различных широт.

Гиперболы, соответствующие на плоскости траекториям первых межзвёздных объектов — 1I/Оумуамуа (зелёная линия) и 2I/Borisov (синия линия)

АМС, преодолевая притяжение основного влияющего на неё тела и далеко улетая от него, при отсутствии возмущений, должна двигаться по гиперболической траектории или параболической траектории, поскольку в таком случае теоретически возможно удаление до бесконечности от данного тела^[4]. В частности, гиперболическими относительно Солнца являются траектории АМС «Вояджер-1» и АМС «Вояджер-2», с эксцентриситетом 3,7 и 6,3 и большой полуосью 480,9 млн км и 601,1 млн км соответственно^[5]^[6]. Гиперболическая траектория небесного тела в Солнечной системе может указывать на его межзвёздное происхождение. В конце 2010-х годов были открыты первый межзвёздный астероид и первая межзвёздная комета^[7], их траектории — гиперболические. Однако известные ранее кометы с гиперболической траекторией небольшого эксцентриситета только собираются стать межзвёздными: испытав во время своей «жизни» в Солнечной системе возмущение от такой планеты, как Юпитер, они ложатся на межзвёздный курс^[8].

См. также[править | править код]

Гиперболоид
Гиперболы, описанные около треугольника
Каустика
Конические сечения
Кривая второго порядка
Окружность
Парабола
Эллипс
Кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс,
Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола,
Кривая постоянного отношения — окружность Аполлония,
Кривая постоянного произведения — овал Кассини.
Сглаженный восьмиугольник § Построение

Примечания[править | править код]

↑ Eddy, R. H. and Fritsch, R. The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Math. Mag. 67, pp. 188—205, 1994.
↑ Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. — Рипол Классик. — ISBN 9785458255349.
↑ Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 15—16. — 288 с.
↑ Сихарулидзе Ю. Г. Баллистика летательных аппаратов. — М.: Наука, 1982. — С. 162—163. — 5750 экз.
↑ Voyager – Hyperbolic Orbital Elements. НАСА. Дата обращения: 29 октября 2019. Архивировано 6 мая 2021 года.
↑ Ulivi P., Harland D. M. Robotic Exploration of the Solar System. Part I: The Golden Age 1957-1982. — Springer, Praxis, 2007. — P. 441. — ISBN 978-0-387-49326-8. Содержит эксцентриситет орбиты АМС «Вояджер-2» относительно Солнца после пролёта Нептуна.
↑ Naming of New Interstellar Visitor: 2I/Borisov. МАС (24 сентября 2019). Дата обращения: 24 сентября 2019. Архивировано 23 апреля 2020 года.
↑ Carl Sagan, Ann Druyan. Comet. — New York: Ballantine Books, 1997. — P. 104. — ISBN 0-345-41222-2.

Литература[править | править код]

Бронштейн И. Гипербола // Квант. — 1975. — № 3.
Граве Д. А. Гиперболы // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Математическая энциклопедия (в 5 томах). М.: Советская энциклопедия, 1982.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые // Популярные лекции по математике. — Гостехиздат, 1952. — Вып. 4. Архивировано 14 сентября 2008 года.

Источник

3.4.3. Фокусы и эксцентриситет гиперболы

Ввиду неравенства , фокусы гиперболы лежат «внутри» её ветвей и только

там. Координаты фокусов определяются следующим образом:

Если гипербола задана каноническим уравнением , то РАССТОЯНИЕ от центра

симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле:
, и, соответственно, фокусы имеют координаты .

Для нашей гиперболы , таким образом: (см. рис. выше).

Если гиперболу переместить / повернуть, то фокусы, естественно, мигрируют вместе с ней и их координаты изменятся.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение .

Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: .

Для нашего примера: .

По аналогии с эллипсом, зафиксируйте значение и проведите самостоятельный анализ и проверку следующих фактов:

При увеличении эксцентриситета ветви гиперболы «распрямляются» к оси . В предельном случае они стремятся занять положение двух прямых, проходящих через точки параллельно оси ординат.

Если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы «сплющиваются» к оси .

3.4.4. Равносторонняя гипербола

3.4.2. Определение гиперболы

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Способы построения гиперболы самостоятельно

Содержание:

Гипербола в математике — что это такое
Как построить гиперболу самостоятельно
Построение гиперболы по фокусам
Как построить гиперболу по точкам
Как построить график гиперболы по уравнению

Гипербола в математике — что это такое

определение 1

Гипербола представляет собой линию, определяемую в некой декартовой прямоугольной системе координат каноническим уравнением:

(frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1.label{ref9})

Согласно записанному правилу, все точки гиперболы (|x| geq a). Таким образом, данные точки расположены за пределами вертикальной полосы ширины (2a), как показано на рисунке. Ось абсцисс канонической системы координат имеет точки пересечения с гиперболой. Координаты этих точек соответствуют: ((a, 0)) и ((-a, 0)). Такие точки называют вершинами гиперболы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Ось ординат не имеет общих точек с гиперболой. В состав гиперболы входят две части, которые не связаны между собой. Они носят название ветвей гиперболы. Числа «a» и «b» являются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Ось ординат не имеет общих точек с гиперболой

Источник: univerlib.com

Определение 2

Ветви гиперболы — это две отдельные кривые, из которых состоит гипербола.

Определение 3

Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы являются вершинами гиперболы.

Определение 4

Большая ось гиперболы — наименьшее расстояние между двумя ее ветвями.

Определение 5

Центр гиперболы — это середина ее большой оси.

Определение 6

Большая полуось гиперболы — расстояние, на которое удалены центр и одна из вершин, обозначается «а».

Определение 7

Фокальное расстояние гиперболы — расстояние, на которое удалены друг от друга центр и один из фокусов, обозначается «с».

Оба фокуса гиперболы расположены на продолжении большой оси и равноудалены от центра гиперболы.

Определение 8

Прямая, включающая в себя большую ось гиперболы, носит название действительной, или поперечной, оси гиперболы.

Определение 9

Прямая в виде перпендикуляра к действительной оси, которая пересекает центр гиперболы — мнимая, или сопряженная ось гиперболы.

Определение 10

Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, который перпендикулярен к действительной оси, — это фокальный параметр.

Определение 11

Прицельный параметр — расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы, обозначается «b».

Определение 12

Перицентрическое расстояние — расстояние, на которое фокус удален от ближайшей вершины гиперболы, обозначается ({displaystyle r_{p}}r_{p}).

Перечисленные характеристики гиперболы взаимосвязаны. Справедливы следующие соотношения:

({displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}})
({displaystyle varepsilon =c/a}{displaystyle varepsilon =c/a})
({displaystyle b^{2}=a^{2}left(varepsilon ^{2}-1right)}{displaystyle b^{2}=a^{2}left(varepsilon ^{2}-1right)})
({displaystyle r_{p}=aleft(varepsilon -1right)}{displaystyle r_{p}=aleft(varepsilon -1right)})
({displaystyle a={frac {p}{varepsilon ^{2}-1}}}{displaystyle a={frac {p}{varepsilon ^{2}-1}}})
({displaystyle b={frac {p}{sqrt {varepsilon ^{2}-1}}}}{displaystyle b={frac {p}{sqrt {varepsilon ^{2}-1}}}})
({displaystyle c={frac {pvarepsilon }{varepsilon ^{2}-1}}}{displaystyle c={frac {pvarepsilon }{varepsilon ^{2}-1}}})
({displaystyle p={frac {b^{2}}{a}}}p={frac {b^{2}}{a}})

Определение 13

Оси симметрии гиперболы представляют собой оси канонической системы координат, а начало канонической системы является центром симметрии.

Когда требуется исследовать форму гиперболы, следует начать с поиска ее пересечения с произвольной прямой, пересекающей начало координат. Уравнение прямой можно задать в виде:

(y=kx)

Такой выбор связан с тем, что прямая (x=0 ) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек пересечения можно вычислить с помощью уравнения:

(frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1)

Таким образом, при (b^{2}-a^{2}k^{2} > 0) получим:

(x=pm frac{ab}{sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}})

Полученное равенство позволит рассчитать координаты точек пересечения:

((ab/v, abk/v))

((-ab/v, -abk/v))

В данном случае:

(v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2})

Руководствуясь свойством симметрии, можно проанализировать смещение первой из точек при изменении k, как показано на рисунке.

смещение первой из точек при изменении k

Источник: univerlib.com

Числитель дроби (ab/v) является постоянной величиной, а знаменатель характеризуется максимальным значением, если (k=0). Таким образом, самую маленькую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). При увеличении (k ) знаменатель убывает, и x растет, стремясь к бесконечности, когда k приближается к числу (b/a).

Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не имеет точек пересечения с гиперболой, как и прямые с большими угловыми коэффициентами. Какая-либо прямая, обладающая меньшим положительным угловым коэффициентом, пересекает гиперболу.

При сдвиге прямой от горизонтального положения по часовой стрелке, k будет уменьшаться, (k^{2}) — увеличиваться, и прямая будет иметь удаляющиеся точки пересечения с гиперболой до тех пор, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из вышесказанного следует вывод, что гипербола имеет вид, изображенный на рисунке.

гипербола имеет вид

Источник: univerlib.com

Определение 14

Асимптоты гиперболы являются прямыми, описываемыми уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a ) в канонической системе координат.

Предположим, что уравнения асимптот имеют вид:

(bx-ay=0)

(bx+ay=0)

Расстояния от точки (M(x, y)) до асимптот составят

(h_{1}=frac{|bx-ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}},)( h_{2}=frac{|bx+ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}})

В том случае, когда точка M расположена на гиперболе:

(b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2})

(h_{1}h_{2}=frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}})

Определение 15

Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот является постоянным и соответствует (a^{2}b^{2}/(a^{2}+b^{2})).

Из данного определения можно вывести ключевое свойство, которым обладают асимптоты гиперболы.

Определение 16

В том случае, когда точка совершает движение по гиперболе таким образом, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

В действительности получим, что хотя бы одно из расстояний (h_{1}) или (h_{2}) при этих условиях должно неограниченно увеличиваться. Если предположить, что утверждение не справедливо, то произведение не было бы постоянной величиной.

Введем такое число с, что:

(c^{2}=a^{2}+b^{2})

и (c > 0)

Определение 17

Фокусы гиперболы — точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат.

Фокусы гиперболы

Источник: univerlib.com

Отношение (varepsilon=c/a), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы (varepsilon > 1).

Расстояния от произвольной точки (M(x, y)) на гиперболе до каждого из фокусов определяются абсциссой (x):

(r_{1}=|F_{1}M|=|a-varepsilon x|, r_{2}=|F_{2}M|=|a+varepsilon x|)

Расстояния от произвольной точки

Источник: univerlib.com

Следует отметить, что равенства eqref{ref11} можно представить в более подробной форме:

для правой ветви гиперболы ((x geq a): r_{1}=varepsilon x-a), ( r_{2}=varepsilon x+a);
для левой ветви гиперболы ((x leq -a): r_{1}= a-varepsilon x), ( r_{2}=-varepsilon x-a).

Таким образом, для правой ветви (r_{2}-r_{1}=2a), а для левой ветви (r_{1}-r_{2}=2a). В обоих случаях:

(|r_{2}-r_{1}|=2a)

Определение 18

Директрисы гиперболы — прямые, заданные в канонической системе координат уравнениями: (x=frac{a}{varepsilon}), ( x=-frac{a}{varepsilon}).

Директрисы расположены поблизости от центра в отличие от вершин. Из этого можно сделать вывод, что директрисы не имеют точек пересечения с гиперболой. Директриса и фокус, которые расположены по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.

Определение 19

Для того чтобы точка (M) была расположена на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы 2a.

С целью доказательства достаточности данного условия его следует записать в виде:

(sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=pm 2a+sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})

Следующие действия отличаются от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством:

(c^{2}=a^{2}+b^{2}), а не (c^{2}=a^{2}-b^{2})

Определение 20

Для того чтобы точка была расположена на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету (varepsilon).

равнялось эксцентриситету

Источник: univerlib.com

Можно доказать, к примеру, необходимость условия для фокуса (F_{2}(-c, 0).) Предположим, что (M'(x, y)) является точкой гиперболы. Расстояние от (M’) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) равно:

(d’=left|x+frac{a}{varepsilon}right|=frac{1}{varepsilon}|varepsilon x+a|)

Таким образом:

(r’/d’=varepsilon).

Уравнение касательной к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), которая принадлежит данной гиперболе, можно записать так же, как подобное уравнение в случае эллипса. Уравнение касательной к гиперболе:

(frac{xx_{0}}{a^{2}}-frac{yy_{0}}{b^{2}}=1)

Определение 21

Касательная к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) представляет собой биссектрису угла между отрезками, которые соединяют рассматриваемую точку с фокусами.

Как построить гиперболу самостоятельно

Построение графика гиперболы следует начать с изображения прямоугольной системы координат Декарта. Алгоритм действий:

На листе бумаги нарисовать горизонтальную прямую. Выполнить действие следует таким образом, чтобы конец прямой с правой стороны был обозначен с помощью стрелки. Данная прямая является осью (X) и носит название абсциссы.
На середине оси ( Х) необходимо опустить перпендикуляр. Конец полученной прямой в верхней части нужно обозначить стрелкой. В результате получена ось (Y), которую называют ординатой.
На следующем шаге необходимо пронумеровать шкалу. С правой стороны на оси (Х) расположены положительные значения (Х) в порядке возрастания — от 1 и выше. С левой стороны — отрицательные. В верхней части на оси (Y) расположены положительные значения (Y) в порядке возрастания. В нижней части — отрицательные.

Примечание

Точка, в которой пересекаются абсцисса и ордината является началом координат, то есть числом 0. От данной точки следует откладывать все значения (Х) и (Y).

С помощью прямоугольной системы координат плоскость поделена на четыре части, которые называют четвертями и нумеруют против часовой стрелки. Для того чтобы построить график, требуется определить точки. Каждая точка координатной плоскости определяется парой чисел ((x;y)). Данные числа представляют собой координаты точки, где:

(х) — абсцисса точки;
(y) — ордината.

Гипербола представляет собой график функции, которая задана формулой:

(y=k/x)

где (k) — является каким-то коэффициентом, не равным нулю;

(x) — представляет собой независимую переменную.

Гипербола включает в себя две части, расположенные симметрично в разных четвертях. Данные части носят название ветвей гиперболы. При (k>0), ветви расположены в 1 и 3 четвертях. При (k<0), ветви гиперболы размещены во 2 и 4 четвертях.

Принцип построения гиперболы можно рассмотреть на примере, когда функция задана следующей формулой:

(y=3/х)

Так как коэффициент 3 обладает положительным значением, гипербола, соответственно, будет находиться в 1 и 3 четвертях. Можно взять произвольно значения (Х) и найти значения (Y). Таким образом, получатся координаты точек, с помощью которых можно изобразить гиперболу. Важно отметить, что (Х) не должно иметь нулевое значение, так как на 0 делить нельзя.

Поскольку мы знаем, что гипербола располагается в двух четвертях, то берем как положительные значения, так и отрицательные. Предположим, что (Х) равен: -6, -3, -1, 1, 3, 6. Далее можно рассчитать ординаты путем подстановки каждого значение (Х) в начальную формулу:

(y=3/-6)

(у=3/-3)

(у=3/-1)

(у=3/1)

(у=3/3)

(у=3/6)

В результате, значения ( Y) равны: -0.5, -1, -3, 3, 1, 0.5.

Полученные 6 точек с координатами необходимо отложить на системе координат. Далее точки соединяют с помощью кривых линий, как изображено на рисунке. В итоге получилась гипербола.

получилась гипербола

Источник: sovetclub.ru

Построение гиперболы по фокусам

Гиперболу можно построить, зная заданные вершины (А) и (В) и фокусное расстояние (FF1). Алгоритм построения следующий:

В первую очередь фокусное расстояние следует разделить пополам, чтобы получить точку 0.
Далее с левой стороны от фокуса (F) можно отметить ряд произвольных точек 1, 2, 3, 4 и так далее, расстояние между которыми постепенно увеличивается.
Затем нужно начертить вспомогательные окружности с центром в фокусе (F), имеющие радиусы (R1=1B), (R2=2B), (R3=3B), (R4=4B) и так далее.
На следующем этапе можно изобразить вспомогательные окружности с центром в фокусе (F1) и радиусами (r1=1A), (r2=2A), (r3=3A), (r4=4A) и так далее.
При пересечении вспомогательных окружностей определяется положение точек гиперболы. (С), (С1 )представляют собой точки, которые образованы в результате пересечения окружностей радиусов (R1) и (r1). Точки (D,D1) являются точками, в которых пересекаются окружности (R2) и (r2).
Полученные точки остается соединить с помощью плавной кривой линии, чтобы получить правую ветвь гиперболы.
Аналогичным способом следует выполнить построение левой ветви гиперболы.

FA1

FA2

FA3

FA4

FA5

FA6

FA7

FA8

FA9

FA10

Источник: graph.power.nstu.ru

Как построить гиперболу по точкам

Исходя из определения гиперболы, разница между расстояниями (r1) и (r2) для всех ее точек является постоянной величиной. Таким образом, переход от одной точки гиперболы к другой осуществляется путем увеличения или уменьшения данных характеристик. Алгоритм действий:

В первую очередь следует отложить точки (А1) и (А2). Точка ( А2) является точкой касания двух окружностей, центр одной из которых расположен в фокусе ( F1), а радиус составляет F1A2. Другая окружность обладает центром в фокусе (F2) и радиусом (F2A2).
Следующие точки гиперболы можно определить при пересечении пар окружностей с радиусами, которые равны:

пересечении пар окружностей

Источник: natalibrilenova.ru.

Пересечении пар окружностей с

Источник: natalibrilenova.ru.

Таким образом, новые значения радиусов превышают предыдущие на одинаковую величину. Чем ближе расположены точки, тем точнее будет построен график гиперболы.

Как построить график гиперболы по уравнению

Каноническое уравнение гиперболы записывают таким образом:

Каноническое уравнение гиперболы

Источник: mathter.pro

где («a») и («b») являются положительными действительными числами, причем, («а») может быть больше или меньше, чем («b»).

Важно отметить, что гипербола обладает двумя симметричными ветвями и двумя асимптотами.

Построение гиперболы можно рассмотреть на примере. Предположим, что она задана следующим уравнением:

построение гиперболы

Источник: mathter.pro

Рассматриваемое уравнение необходимо привести к каноническому виду:

Рассматриваемое уравнение

Источник: mathter.pro

Так как в правой части требуется получить единицу, необходимо обе части начального уравнения поделить на 20:

правой части требуется получить единицу

Источник: mathter.pro

Правая

Источник: mathter.pro

Далее следует сократить обе дроби:

Далее следует сократить обе дроби

Источник: mathter.pro

следует сократить обе дроби

Источник: mathter.pro

Затем нужно выделить квадраты в знаменателях:

Затем нужно выделить квадраты в знаменателях

Источник: mathter.pro

В результате получено каноническое уравнение:

В результате получено каноническое уравнение

Источник: mathter.pro

Существует два подхода к построению гиперболы:

геометрический;
алгебраический.

С практической точки зрения, эффективнее воспользоваться расчетами. В первую очередь следует определить асимптоты:

Источник: mathter.pro

Асимптоты равны:

Источник: mathter.pro

На втором этапе можно определить вершины гиперболы, которые соответствуют точкам на оси абсцисс с координатами:

Источник: mathter.pro

При у=0, каноническое уравнение гиперболы примет вид:

Источник: mathter.pro

Таким образом:

Источник: mathter.pro

Вершины гиперболы:

Источник: mathter.pro

Затем необходимо определить дополнительные точки. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти. Согласно каноническому уравнению, можно выразить:

Источник: mathter.pro

В результате получим две функции. Первая функция определяет верхние дуги гиперболы:

Источник: mathter.pro

Вторая функция выражает нижние дуги гиперболы:

Источник: mathter.pro

Напрашивается нахождение точек с абсциссами:

Источник: mathter.pro

На последнем этапе следует изобразить асимптоты, вершины, дополнительные точки, симметричные точки в других координатных четвертях:

Источник: mathter.pro

После того, как все точки соединены, будет изображена гипербола.

После того, как все точки соединены, будет изображена гипербола

Источник: mathter.pro

Источник

Гипербола и её форма.

Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Точки гиперболы и их свойства.

Уравнение касательной к гиперболе.

Гипербола: определение, свойства, построение

Фокальное свойство гиперболы

Директориальное свойство гиперболы

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы

История[править | править код]

Определения[править | править код]

Коническое сечение[править | править код]

Как геометрическое место точек[править | править код]

Через фокусы[править | править код]

Через директрису и фокус[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Соотношения[править | править код]

Равнобочная гипербола[править | править код]

Гипербола Киперта[править | править код]

Уравнения[править | править код]

Декартовы координаты[править | править код]

Канонический вид[править | править код]

Полярные координаты[править | править код]

Уравнения в параметрической форме[править | править код]

Свойства[править | править код]

Асимптоты[править | править код]

Диаметры и хорды[править | править код]

Касательная и нормаль[править | править код]

Кривизна и эволюта[править | править код]

Обобщение[править | править код]

Применение[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

3.4.3. Фокусы и эксцентриситет гиперболы

Способы построения гиперболы самостоятельно

Гипербола в математике — что это такое

Как построить гиперболу самостоятельно

Построение гиперболы по фокусам

Как построить гиперболу по точкам

Как построить график гиперболы по уравнению

Вам также может понравиться

Как найти зайца дома

Как составить план двора в масштабе

Как найти расстояние между вершинами куба

Добавить комментарий Отменить ответ