Grad div a как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

djdtyjstyjkss

Ученик

(150),
закрыт

2 года назад

Лучший ответ

Alexander Alenitsyn

Высший разум

(754577)

9 лет назад

div a=2xz+2yx+2zy, grad div a=(2z+2y)i+(2x+2z)j+(2x+2y)k, подставьте туда координаты точки.

Остальные ответы

Похожие вопросы

Источник

Опера́тор на́бла — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом ∇ (набла).

Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат^[1] оператор набла определяется следующим образом:

nabla ={partial over partial x}{vec {i}}+{partial over partial y}{vec {j}}+{partial over partial z}{vec {k}}

где — единичные векторы по осям x,y,z соответственно.

Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:

nabla =left{{partial over partial x},{partial over partial y},{partial over partial z}right}

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ nabla используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далёких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор в n-мерном пространстве^[2] следующего вида:

$nabla ={partial over partial x_{1}}{vec {e}}_{1}+{partial over partial x_{2}}{vec {e}}_{2}+...+{partial over partial x_{n}}{vec {e}}_{n}$

где ${vec {e}}_{1},{vec {e}}_{2},...,{vec {e}}_{n}$ — единичные векторы по осям $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ соответственно.

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного nabla .

Иногда (особенно когда речь идёт только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.

Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

Свойства оператора набла[править | править код]

Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если скалярно умножить вектор nabla на функцию phi , то получится вектор

nabla phi ={partial phi over partial x}{vec {i}}+{partial phi over partial y}{vec {j}}+{partial phi over partial z}{vec {k}}={mathbf {operatorname {grad}}},phi

который представляет собой градиент функции phi .

Если вектор nabla скалярно умножить на вектор , получится скаляр

$nabla cdot {vec {a}}=nabla _{x}a_{x}+nabla _{y}a_{y}+nabla _{z}a_{z}={partial a_{x} over partial x}+{partial a_{y} over partial y}+{partial a_{z} over partial z}={mathbf {operatorname {div}}},{vec a}$

то есть дивергенция вектора .

Если nabla умножить на векторно, то получится ротор вектора :

$nabla times {vec a}={begin{vmatrix}{vec {i}}&{vec {j}}&{vec {k}}\{partial over partial x}&{partial over partial y}&{partial over partial z}\a_{x}&a_{y}&a_{z}end{vmatrix}}=left({partial {a_{z}} over partial y}-{partial {a_{y}} over partial z}right){vec {i}} + left({partial {a_{x}} over partial z}-{partial {a_{z}} over partial x}right){vec {j}} + left({partial {a_{y}} over partial x}-{partial {a_{x}} over partial y}right){vec {k}}={mathbf {operatorname {rot}}},{vec a}$

Соответственно, скалярное произведение $nabla cdot nabla =nabla ^{2}$ есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также Delta . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

$Delta ={partial ^{2} over partial x^{2}}+{partial ^{2} over partial y^{2}}+{partial ^{2} over partial z^{2}}$

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

{mathbf {operatorname {grad}}}(phi psi )={mathbf {nabla }}(phi psi )=psi {mathbf {nabla }}phi +phi {mathbf {nabla }}psi =psi ,{mathbf {operatorname {grad}}},phi +phi ,{mathbf {operatorname {grad}}},psi

$operatorname {div}({mathbf {operatorname {grad}}},phi )=nabla cdot (nabla phi )=(nabla cdot nabla )phi =nabla ^{2}phi =Delta phi$

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

nabla cdot {vec v}={stackrel {downarrow }{{vec v}}}cdot nabla

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка[править | править код]

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

{mathbf {operatorname {div}}},({mathbf {operatorname {grad}}},f)=nabla cdot (nabla f)

{mathbf {operatorname {rot}}},({mathbf {operatorname {grad}}},f)=nabla times (nabla f)

$Delta f=nabla ^{2}f$

{mathbf {operatorname {grad}}},({mathbf {operatorname {div}}},{vec v})=nabla (nabla cdot {vec v})

{mathbf {operatorname {div}}},({mathbf {operatorname {rot}}},{vec v})=nabla cdot (nabla times {vec v})

{mathbf {operatorname {rot}}},({mathbf {operatorname {rot}}},{vec v})=nabla times (nabla times {vec v})

$Delta {vec v}=nabla ^{2}{vec v}$

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы.
Два из них всегда равны нулю:

{mathbf {operatorname {rot}}},({mathbf {operatorname {grad}}},f)=nabla times (nabla f)=(nabla times nabla )f=0

{mathbf {operatorname {div}}},({mathbf {operatorname {rot}}},{vec v})=nabla cdot (nabla times {vec {v}})=(nabla times nabla )cdot {vec {v}}=0

Два всегда совпадают:

${mathbf {operatorname {div}}},({mathbf {operatorname {grad}}},f)=nabla cdot (nabla f)=(nabla cdot nabla )f=nabla ^{2}f=Delta f$

Три оставшихся связаны соотношением:

${displaystyle nabla times (nabla times {vec {v}})=nabla (nabla cdot {vec {v}})-nabla ^{2}{vec {v}}}$

Ещё одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

nabla (nabla cdot {vec {v}})=nabla cdot (nabla otimes {vec {v}})

Отличия оператора набла от обычного вектора[править | править код]

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием nabla не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,

он не коммутирует с векторами:

ведь — это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля .

Можно дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, применив оба выражения к скалярной функции f:

(nabla cdot {vec v})fneq ({vec v}cdot nabla )f

так как

$(nabla cdot {vec v})f=left({frac {partial v_{x}}{partial x}}+{frac {partial v_{y}}{partial y}}+{frac {partial v_{z}}{partial z}}right)f={frac {partial v_{x}}{partial x}}f+{frac {partial v_{y}}{partial y}}f+{frac {partial v_{z}}{partial z}}f$

$({vec v}cdot nabla )f=left(v_{x}{frac {partial }{partial x}}+v_{y}{frac {partial }{partial y}}+v_{z}{frac {partial }{partial z}}right)f=v_{x}{frac {partial f}{partial x}}+v_{y}{frac {partial f}{partial y}}+v_{z}{frac {partial f}{partial z}}$

Если бы набла был вектором, то смешанное произведение было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:

$(nabla x)times (nabla y)=left({vec i},{frac {partial x}{partial x}}+{vec j},{frac {partial x}{partial y}}+{vec k},{frac {partial x}{partial z}}right)times left({vec i},{frac {partial y}{partial x}}+{vec j},{frac {partial y}{partial y}}+{vec k},{frac {partial y}{partial z}}right)=$

=({vec i}cdot 1+{vec j}cdot 0+{vec k}cdot 0)times ({vec i}cdot 0+{vec j}cdot 1+{vec k}cdot 0)={vec i}times {vec j}={vec {k}}

(здесь первый оператор набла действует только на поле , а второй — только на поле , что как бы жёстко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:

({vec u}x)times ({vec u}y)=xy({vec u}times {vec u})=xy{vec 0}={vec {0}}

поскольку здесь и легко выносятся.

Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

{displaystyle (nabla ,[{vec {u}},{vec {v}}])=(nabla ,[{stackrel {downarrow }{vec {u}}},{vec {v}}])+(nabla ,[{vec {u}},{stackrel {downarrow }{vec {v}}}])=({vec {v}},[nabla ,{stackrel {downarrow }{vec {u}}}])-({vec {u}},[nabla ,{stackrel {downarrow }{vec {v}}}])={vec {v}}cdot {mbox{rot}},{vec {u}}-{vec {u}}cdot {mbox{rot}},{vec {v}}}

Если оператор не действует на некоторое поле, то вектор поля и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют). Векторы в смешанных произведениях примера вынесены влево от оператора и конечное выражение записано без стрелочек.

История[править | править код]

В 1853 году В. Р. Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ nabla в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах П. Г. Тэта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла^[3].

Согласно некоторым источникам^[4], nabla — буква финикийского алфавита, происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы, так как «ναβλα» (набла) на древнегреческом означает «арфа». Наблий — разновидность арфы^[5].

Примеры[править | править код]

${displaystyle f=30yx^{3},,,nabla f={partial f over partial x}{vec {i}}+{partial f over partial y}{vec {j}}=90yx^{2}{vec {i}}+30x^{3}{vec {j}}}$

См. также[править | править код]

Оператор Д’Аламбера
Дифференциальные операторы в различных системах координат

Примечания[править | править код]

↑ В других система координат — см. по ссылке ниже.
↑ Эта размерность n, то есть размерность пространства, на поля в котором действует оператор, указывается явно или подразумевается из формулировки соответствующей теории или задачи.
↑ «Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля», В. Р. Гаврилом, Е. Е. Иванова, В. Д. Морозова. Математика в техническом университете VII, издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана.
↑ Мантуров О. В. и др. Математика в понятиях, определениях и терминах / Под ред. Л. В. Сабинина. — Т. 2. — М.: Просвещение, 1982.
↑ Столяров А. Примечания // Сенкевич Г. Камо грядеши. — Л.: Лениздат, 1990. — С. 692.

Источник

Добавил:

Вуз:

Предмет:

Файл:

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

512.25 Кб

Скачать

Решение. а) Используя оператор

градиент grad f

f , будем иметь

grad

, a , a

б) Действительно, используя , 2

, получим

div gradU div

div r ( , r )

rot a , a ,

в)

Используя

выражение

получим

div rot a

, rot a , , a

Данная операция приводит к нулю, поскольку мы имеем смешанное произведение компланарных векторов.

г) Действительно

rot

U , U

rot grad U rot

y z

z x

x z

x y

z y

y x

Данная операция приводит к нулю, поскольку мы имеем векторное произведение двух коллинеарных векторов.

д) Поскольку rot a , a , то rot rot a , , a .

е) Действительно

div a

Используя оператор Лапласа ,

приведем это выражение к

виду

div

div a.

grad div a

4.2. Найти: a)

div grad U , если U x3 y3 z ; б)

i y

yi z

если a

k ; в) rot rot a , если a

zj z xk .

Решение. а) Найдем сначала градиент функции U x3 y2 z

grad U 3x2 y2 zi 2x3 yzj

x3 y3k .

Отсюда div grad U 6xy2 z 2x3 z 2xz 3y2

x2 .

б) Найдем сначала дивергенцию вектора a

div a 4x3 4 y3

4z3 .

Отсюда градиент

12x

12 y

12z

grad div a

12 x i

в) Полагая a x2 y,a y2z,a z2x найдем ротор вектора a

i z

k .

rot a y

Отсюда rot rot a 0 ,

т. е. векторное поле вектора rot a потен-

циально.

div grad uv ;

4.3.

Найти:

б)

если

–

rot rot cu ,

постоянный вектор Решение. а) Найдем сначала градиент произведения двух

скалярных функций

grad uv u

k .

Дивергенция этого вектора равна

div grad uv u

u v

v 2u

u v

2v u v

x x

y y

u v

z z

u v

x x

y y

z z

u div grad v 2 grad u,gradv v div gradu.

б) Найдем сначала rot (cu) , учитывая, что c – постоянный

вектор c c i

j k

rot (cu)

ck .

Отсюда

rot rot cu

x y

x z

y z

x y

x z

y z

x y

x z

x y

y z

x z

y z

grad u uc.

5. ИНТЕГРАЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ И ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

1°. Поток вектора. Потоком векторного поля a(M ) через

поверхность S называется поверхностный интеграл 2-го рода, который может быть сведен к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода

Q a, n dS andS axdydz ay dxdz az dxdy

S				S		S		(1)
	a	x	cos a	y	cos a	z	cos
			dS,

где n cos , cos , cos – единичный вектор нормали к повер-

хности S.

Вычисление интеграла (1) может быть представлено в виде

суммы трех двойных интегралов

a, n dS ax x y, z , y, z dydz

(2)

x, y

x, z

, z

dxdz

x, y, z

x, y

dxdy.

где S1, S2 , S3

– проекция поверхности S на плоскости

Oyz,Oxz,Oxy ;

переменные

x x y, z , y y x, z , z z x, y

находятся из уравнения поверхности S0 разрешая его относительно соответствующих координат.

Если вектор a определяет поле скоростей текущей жидкости или газа, то поверхностный интеграл определяет количество жидкости или газа, протекающей за единицу времени через поверхность S в заданном направлении. Переход к другой стороне поверхности S меняет направление нормали на противоположное, а следовательно, и знак поверхностного интеграла.

При явном задании поверхности z f x, y элемент площади имеет вид

1 zx 2 zy 2 dxdy ,

(3)

а направляющие косинусы нормали к поверхности находятся по формулам

cos		zx			, cos	zy		,
	1 zx 2	zy 2		1 zx 2	zy 2
cos			1x		.		(4)
	1 zx 2	zy 2

Подставляя в формулу (1) выражения (3), (4), находим еще одну формулу для вычисления потока вектора a через поверхность

Q ax zx ay zy az dxdy	(5)

Здесь предполагается, что нормаль образует острый угол с осью Oz , следовательно, cos 0 и в формулах (4) берется

знак «+». В случае cos 0 в формулах (4) следует брать знак

«-».

2°. Формула Остроградского-Гаусса. Если V – некоторая замкнутая область пространства, ограниченная гладкой поверхностью S , и функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны со своими частными производными первого порядка в области V, включая границу S , то справедлива формула Остроградского – Гаусса

		P	Q	R
Pdydz Qdzdx Rdxdy		dxdydz . (6)
S	V	x	y	z

Если поверхностный интеграл второго типа заменить поверхностным интегралом первого типа, то формула (2) примет вид

	P		Q	R
Q cos R cos dS		dxdydz . (7)
V	x		y	z
23

где , , – углы между внешней нормалью к поверхности S и

координатными осями.

В векторной форме формула Остроградского – Гаусса име-

ет вид
a, n dS div a dxdydz ,		(8)
s	V	j R x, y,z k .
где a axi ay j az k	или a P x, y,z i Q x, y,z
Формула (8) определяет поток векторного поля	a через

замкнутую поверхность S в направлении ее внешней нормали

п.

3°. Формула Грина. Пусть L – граница некоторой области S в плоскости Оху и функции P x, y и Q x, y непрерывны,

вместе со своими частными производными Qx и Py в

области S, включая границу L. В этом случае справедлива формула Грина.

		Q	P	(9)
Pdx Qdy		dxdy ,
L	S	x	y

которая преобразует криволинейный интеграл, взятый по замкнутому контуру, в двойной интеграл по области S, ограниченный этим контуром. Обход контура L выбирается так, чтобы область S оставалась слева, т. е. против часовой стрелки.

4°. Формула Стокса. Если L — некоторый замкнутый контур поверхности S и функции P(x, y, z) , Q(x, y, z) и R(x, y, z)

прерывны вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, включая границу L, то справедлива формула Стокса

Pdx Qdy Rdz

(10)

dxdy

dydz

dxdz.

Следует заметить, что сторона поверхности и направление обхода контура определяются так же, как и в случае формулы Грина. Если в качестве поверхности S взять плоскую область на плоскости Оху, так что z = 0, то формула (10) преобразуется в формулу Грина.

Если поверхностный интеграл второго типа заменить поверхностным интегралом первого типа, то формула Стокса примет вид

Pdx Qdy Rdz

(11)

cos

cos ds,

где cos cos xn

cos cos yn ,

cos cos zn —

направляющие косинусы внешней нормали n к поверхности S.

5°. Работа поля. Циркуляция вектора. Работа поля a вдоль

кривой L определяется интегралом.
a, dr ax dx ay dy az dz .	(12)
L	L

Если кривая L – замкнутая, то интеграл (12) называется

циркуляцией векторного поля a вдоль кривой L, обозначается

C a, dr

и характеризует вращательную способность поля на контуре L. Если замкнутая кривая L ограничивает поверхность S, то имеет место формула Стокса, которая в векторной форме при-

мет вид
C a, dr rot a, n dS	(13)

и означает, что циркуляция векторного поля a по замкнутому контуру L равна потоку вектора rot а через поверхность S, ограниченную этим контуром L.

6°. Потенциал. Скалярная величина U называется потенциалом векторного поля a , если grad U a . Само же

векторное поле a в этом случае называется потенциальным. Необходимым и достаточным условием потенциальности поля a является равенство нулю вихря этого поля rot a 0 .

Поскольку	U dx	U dy	U dz ax dx ay dy az dz,
dU
	x	y	z

то потенциальная функция U с точностью до произвольного постоянного слагаемого определяется линейным интегралом

U	a, dr	ax dx ay dy az dz B dU U (B) U ( A) .	(14)
AB	AB	A	AB и
Линейный интеграл не зависит от формы кривой

определяется разностью значений потенциального поля в конце и начале пути интегрирования. Поэтому за путь проще всего взять ломаную со звеньями, параллельными координатным

осям, а за начальную точку A – начало координат.
		2	i y	2	2	k	через часть
5.1. Найти поток вектора a	x	j	z
сферы x2 y2 z2 R2 ,	x 0, y 0, z 0 ,	в		направлении
внешней нормали.
Решение. Используя формулу (1), имеем
a, n dS x2dydz y2dxdz z2dxdy .
S	S

Таким образом, задача сводится к вычислению трех интегралов. Преобразуя эти поверхностные интегралы в двойные по формуле (2), будем иметь

a, n dS x2dydz y2dxdz z2dxdy

R2 y2 z2 dydz R2 x2 z2 dxdz

R2 x2 y2 dxdy.

Переходя к полярным координатам, получим

a, n dS 2 d R R2 2 d 2 d R R2 2 d

S	0 0	0 0

2 d R R2 2 d	R4 .
0	0	8
5.2. Найти поток векторного поля a xyi zj 2 y3k через
часть поверхности 4x2 y2	4 z , лежащую в первом октанте

x 0, y 0, z 0 , в направлении нормали, образующей острый

угол с осью Oz .

Решение. Для нахождения потока воспользуемся формулой

(1). Разрешим уравнение поверхности относительно z и найдем производные

z 4 4x2 y2 , zx 8x , zy 2 y .

Элемент площади поверхности и направляющие косинусы нормали к поверхности S находятся по формулам (3), (4). Поверхность S представляет эллиптический параболоид (рис. 5).

Рис. 5 Спроектируем его на плоскость Оху и рассмотрим четвер-

тую часть D. По условию нормаль образует острый угол с осью Oz , следовательно, cos 0 и в формулах (4) перед

корнями следует брать знак (+). Расчетная формула примет

вид (5). Координаты вектора a	по условию равны	ax xy ,
ay 4 4x2 y2 , az	2 y3 , отсюда
Q 8x2 y 4 4x2 y2 2 y 2 y3 dxdy
D
1	2 1 x2	1				1	32 .
8 dx		ydy 4 y2		02	1 x2 dx 16 1 x2 dx

0	0	0				0	3
5.3. Найти поток вектора		1	2
a	zi	6 xj	9 yk через часть

поверхности x 2 y 3z 1,	лежащую в первом октанте x 0 ,
y 0 , z 0 , в направлении	нормали, образующей острый угол

с осью Oz .
Решение. Воспользуемся формулой (5). Для этого найдем
проекции вектора на оси координат:	ax z	1	1 x 2 y	,
3

ay 16 x , az 92 y и производные zx 13 , zy 23 :

Q		1	1	x	2 y	1		1	x	2			2
	3	3	6	3		9
											y dxdy .
	Sxy
Проекция поверхности на плоскость Ox y представляет об-
ласть Sx y , ограниченную	прямыми		x 0, y 0 и	x 2 y 1
(рис. 6). Отсюда															1
						y 1 1 x									1 x

										1				2
	Q		1	1 dx	2	dy	1	y						dx
					9	0	0				9	0
					1											0		1

			1		1 x dx	1				x	2			1

			0	x							.

			18				18						2			0	36

Рис. 6

					3	i y	3	3	k через полную
5.4. Найти поток вектора a	x		j	z
поверхность конуса	x2	y2		z2	, 0 a H .
	R2	H 2

Решение. Воспользуемся формулой Остроградского – Гаусса (8), тогда

a, n dS 3x2 3y2 3z2 dxdydz

R2 x2

dy.

Переходя к полярным координатам, получим

a, n

R4 H

H R5

H3 R2

1 H3 R5

R 5

3 R

5.5. С помощью формулы Остроградского – Гаусса вычис-

лить

x3dydz y3dxdz z3dxdy ,

взятый

по

наружной

поверхности

тетраэдра,

образованной

плоскостями

x y z a , x 0 , y 0 , z 0 .

Решение. Сопоставляя данный интеграл с левой частью

формулы

(6), находим,

что

P x3 ,Q y3 , R z3 .

Найдем

первые производные

3x2 ,

3y2

3z2 .

На основании формулы (6) задача сводится к вычислению интеграла

															a			a x		a x y
3	x2 y2	z	2	dxdydz 3			dx		dy				x2	y2 z2
										dz
		V														0			0		0
		a	a x	2	a	x	x	2	y y	2	a x	y	3		1	a x y	3
3 dx x						3		dy
		0		0
	2 a		2	a x	2		1	a x	4						5	.
3 0	x			3		dx	0, 2a

5.6. Вычислить x cos y cos z cos dS по внешней

поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостью x y z 1,

расположенной в первом октанте.

Решение. По формуле Остроградского – Гаусса (7), где

P x, Q y, R z , имеем

x cos y cos z cos dS

dxdydz

1 x

1 x y

1 .

3 dxdydz 3 dx dy

cos n,k dS

5.7. Вычислить I x cos n,i y

cos n, j z

по внешней поверхности параболоида

x2 y2 2az a2 ,

z 0 ,

расположенной во втором октанте.

Решение. Согласно формуле (7) обозначим P x2 ,Q y2 ,

R z2 . Найдем производные	P	2x,	Q	2 y,	R	2z . По
	x		y		z

формуле Остроградского-Гаусса имеем

I 2 x y z dxdydz 2 dxdy

x y z dz

x y a

a S

dxdy.

Переходя к полярным координатам, получим

cos sin d

2 2d

d a2 2

a2 2 3

16a2

5.8. Вычислить с помощью теоремы Остроградского – Га-

z i

yk в сторону внеш-

усса поток вектора a

j 6x

ней нормали через полную поверхность тела, лежащего в первом октанте x 0, y 0, z 0 и ограниченного

поверхностью S : x 2y 2z 2 .

Решение. Поверхность ограничена координатными плоскостями x 0, y 0, z 0 и плоскостью x 2 y 2z 2 (рис. 7).

Рис. 7

Воспользуемся формулой (8). Находим дивергенцию

вектора

													2																		2				2
				div a				y			z					3y								6x			y 6 y .
				x					y		z
Поверхность S проектируется на плоскость Oxy в область,
ограниченную осями Ox , Oy и прямой x 2 y 2 . Отсюда
																						x					x										x	1	x	y
																																				2
														2					1						1			y				2		1
																		2			2						2
Q 6 ydxdydz 6 dx dy					ydz 6 dx yz							dy
		V												0					0						0					0			0
			1	x																																					0	x

		2				x																2					x y2				y3		1
			2							2																2
6 dx			1			y	y			dy	6	1																	dx
								2
		0		0				2												0					2				3		0
														2
																				x 4
	2			x	3	2	1								1

			dx								2
1																									.
2							4								2
	0
																									0
5.9. Проверить формулу	Грина	для	интеграла:

а)			dy		взятого			по			контуру		ABC		с			вершинами
dx	,
L		y				x																					xy x y dx xy x y dy ,
A 1,1 , B 2,1 ,C 2, 2 ;							б)
																												L
взятого по окружности x2 y2	x .
Решение. а) В данном интеграле P x, y		1		,Q x, y 1 .
	y
																																											x
Частные производные		P	1				, Q		1	. Следовательно, по
			y2
																y												x		x2
формуле Грина будем иметь
																							1			1
										dx	dy				dxdy .
									2	2
									L	y			x				S	x					y

Область интегрирования показана на рис. 8 и ограничена прямыми: y x, x 2, y 1. Найдем двойной интеграл по

площади треугольника	2	x							2
	1		1		1		1			1		1
					dxdy	dx					dy		1 dx	.
	2	y	2	2	y	2	x	2	2
x				1	1	x				1

Найдем теперь значение криволинейного интеграла непосредственно по контуру треугольника. Уравнение AB : y 1,

dy 0;

уравнение BC : x 2, dx 0;

уравнение

CA : y x ,

dy dx . Отсюда

2 dx

AB BC CA 1

1 x

Рис. 8

б) В данном интеграле P xy x y , Q xy x y . Част-

ные производные Py x 1, Qx y 1 . По формуле Грина

xy x y dx xy x y dy y x dxdy.

L S

Область интегрирования показана на рис. 9. Переходя к полярным координатам, двойной интеграл по области S равен

											sin
y x dxdy 2
cos sin d	2d
S												0
						2

	1	2	sin	3			4	d	1	2		4
	3			cos	sin		3	sin		d	8 .
			2									2

Рис. 9

Найдем теперь значение криволинейного интеграла непосредственно. Для этого представим нашу окружность

			1 2			2			1 2										x	1	1	cos t ,
x				y				в		параметрическом	виде	2		2
2
										2
y	1 sin t . Криволинейный интеграл в этом случае будет
		2
2	1	cos t sin t sin t	1	cos t	1		1				1
						sin t		sin tdt
0	3													2			2	2	2
	2		1	cos t sin t sin t		1	cos t	1		1		1	cos tdt
0		4	2	2	2	sin t	2

	1 2	3	sin	2	t cos	2	t					.
							dt
		4 0	2												8
																35

5.10. Показать	с	помощью	формулы	Стокса,	что
yzdx xzdy xydz	по	любому	замкнутому	контуру	равен
L
нулю. Проверить	это вычислением интеграла	по контуру
OAB с вершинами O 0, 0, 0 , A 1,1, 0 и B 1,1,1 .
Решение.	Согласно	формуле	Стокса	(10)	обозначим
P yz,Q xz, R xy . Тогда
P	z, P	y, Q z,	Q	x, R y,	R	x .
y		z		x	z	x	y

Подставляя эти производные в формулу Стокса, получим

yzdx xzdy xydz

z z dxdy x x dydz y y dxdz 0.

S S S

Треугольник OAB показан на рис. 10. Запишем уравнения его сторон. Уравнение OA : x y, z 0; Уравнение AB :

x 1, y 1; уравнение OB : x y z . Представим криволинейный интеграл в виде суммы интегралов

1 x 0dx x 0dx x2d 0 1 zd 0 zd 0 dz

1 x2dx y2dy z2dz 1 1 0.

Рис. 10 36

5.11. Применяя формулу Стокса, найти интеграл

I xdx x y dy x y z dz ,

L
где L кривая x2 y2	a2 , z x y и проверить результаты

непосредственным вычислением.

Решение. Согласно формуле Стокса (10) обозначим P x ,

Q x y , R x y z . Найдем производные
P	0,	P	0,	Q	1,	Q	0,	R	1,	R	1 .
y		z		x		z		x		y

Тогда по формуле (10) будем иметь

xdx x y dy x y z dz dxdy dydz dxdz .

L	S	S	S
Найдем первый интеграл в правой части последнего выра-
жения. В сечении цилиндра	x2 y2	a2 плоскостью	z x y

имеет эллипс, проекция которого на плоскость Оху есть круг. Тогда в полярной системе координат получим

2 a

dxdy d d a2 .

Проекции сечения цилиндра плоскостью на координатные плоскости Oyz и Oxz , в силу симметрии, будут одинаковые по

площади эллипсы. Следовательно, два последних интеграла в

сумме равны нулю. Таким образом, I a2 .

При непосредственном вычислении криволинейного интеграла, целесообразно кривую L представить в параметрическом виде

x a cos t, y a sin t, z a cos t sin t , 0 t 2 .

Значение криволинейного интеграла будет

	2	2	cos t sin t cos tdt
I a2 cos t sin tdt a2
	0	0
2	cos t sin t cos t sin t dt a2	2
2a2	cos2 tdt a2 .
0				0
5.12.	Найти	работу	сил поля	a xyi yzj xzk при

перемещении точки массы т по замкнутой линии, состоящей

из: отрезка прямой	x z 1, y 0	;	отрезка прямой
y z 1, x 0 и четверти окружности x2	y2	1, z 0 (рис. 11)
по направлению стрелки.

Рис. 11

Решение. Воспользуемся формулой (12). Учитывая, что ax xy, ay yz, az xz , используя уравнения заданных линий,

будем иметь
a, dr xzdz	yzdy xydx
L	AB	BC	CA
1	1 z zdz 1	y 1 y dy 1	x 1 x2 dx 1	1	1	2 .
0	0		0		6	6	3	3	j
5.13 Найти циркуляцию вектора: а) a x2	y i y2 x
вдоль окружности радиуса R с центром в начале координат;
б) r вдоль одного витка винтовой линии	x a cos t,	y a sin t,

z bt 0 t 2 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Свойства оператора набла[править | править код]

Операторы второго порядка[править | править код]

Отличия оператора набла от обычного вектора[править | править код]

История[править | править код]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Вам также может понравиться

Ошибка 109 что это за ошибка как исправить

Как можно найти людей великой отечественной войны

Мтс как найти ребенка по телефону

Добавить комментарий Отменить ответ