График функции как найти значение коэффициента

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

1. Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

   – Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

   

   – Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

   

   – Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

   

   – Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

   

   – Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

   

2. Парабола пересекает ось y в точке (c).

   

3. (b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) – абсциссы (икса) вершины параболы:

   (x_в=-frac{b}{2a})
   (b=-x_вcdot 2a)
   

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1);    (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:

   

2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

   Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

   (begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})

3. Решаем систему.
   Пример:

   (begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

   Вычтем из второго уравнения первое:

   (0=9a-b)
   (b=9a)

   Подставим (9a) вместо (b):

   (begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
   (begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

   Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

   (2=-2a)
   (a=-1)

   Найдем (b):

   (b=-9)

   Подставим в первое уравнение (a):

   (5=20+c)
   (c=-15).

   Получается квадратичная функция:   (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи). 

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ:   (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

   

2. – Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
   – Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

   

3. – График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
   – График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. 

   

4. График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
   График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

   

У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

1. Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

   

2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

4. Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).

5. (f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Нахождение коэффициентов квадратичной функции y=ax² + bx +c

I Нахождение коэффициента а :

1. по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2. по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=а(х-m)²+n

1. решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b: b= – (х₁ + х₂) это для приведённого уравнения

1. Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

1. Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с: с = х₁ ∙ х₂ это для приведённого уравнения

1. Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II {находим коэффициенты а,Ь)

3. Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах² +bх+с и находим с.

I Нахождение коэффициента а :

1. по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2. по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=а(х-m)²+n

1. решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b:

1. Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

1. Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с:

1. Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II {находим коэффициенты а,b)

3. Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах² +bх+с и находим с.

Рассмотрим задачу: где невозможно по графику найти точно m и n необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:

Найти все коэффициенты по графику функции

Подставляем в уравнение: координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:

Последние два уравнения вычтем:

Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:

Вычтем два получившихся уравнения:

Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:

Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:

Найти все коэффициенты по графику функции

Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):

Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:

Найти все коэффициенты по графику функции

Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:

Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.

Точки будут: (-2; -3),(-5; -3) и  (-3; -5) . Тогда уравнения:

Из первого уравнения вычитаем второе:

Полученное подставим в первое и третье:

Полученные уравнения вычтем вновь, и найдем искомое:

Алгоритм

нахождения 
значений коэффициентов a,
b,
c

 по
графику квадратичной функции

у=ax²
+bx+c.

Автор: Храмова Ирина Михайловна

МБОУ Луговская ООШ

Источники : алгебра 9 класс, Ю.Н.
Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под редакцией А.С.Теляковского,

 Москва «Просвещение», 2013г.

I.
Нахождение коэффициента a
:

1) по графику
параболы  определяем координаты вершины (m,
n)

2) по графику
параболы  определяем координаты любой точки  А(х₁;у₁)

3) подставляем эти
значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом  виде:

y=a(х-m)²+n

4) решаем
полученное уравнение.

II.
Нахождение коэффициента b:

1) Сначала
находим значение коэффициента a(шаг
I,
смотри выше)

2) В
формулу для абсциссы параболы m=
–b/2a
подставляем значения m и
a

3) Находим
значение коэффициента b.

       III.
Нахождение коэффициента с:

1)    Находим
ординату у точки пересечения параболы с осью Оу, это значение равно
коэффициенту с, т.е. точка (0;с) – точка пересечения параболы с
осью Оу.

2)    Если
по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I,
II (находим
коэффициенты a,
b)

3)    Подставляем
найденные значения a,
b
, А(х_{1 ;}у₁) в  уравнение у=ax²
+bx+c            и находим с.

На прошлых уроках мы рассмотрели линейную функцию и научились строить ее график на координатной плоскости. На этом уроке мы углубимся в теорию и разберем, почему график выглядит именно так.

Вспомним, что линейная функция имеет вид $y = kx+b$, где $x$ – переменная, а $k$ и $b$ – некоторые числа, называемые коэффициентами.

Например,

• $y = textcolor{blue}{5}x + color{green}{10}$ – линейная функция
• $color{blue} k = 5$
• $color{green} b = 10$.

График линейной функции – прямая линия, а ее положение на плоскости зависит от того, какие у функции $k$ и $b$.

Коэффициент $k$ называют угловым, так как он показывает угол наклона линейной функции на графике относительно оси $Ox$

Коэффициент b

Коэффициент $b$ называют свободным. На графике он показывает длину отрезка, который отсекает линия функции по оси ординат относительно начала координат. 

Другими словами, коэффициент $b$ показывает, насколько график выше или ниже оси $Oy$.

• Если $b > 0$, график сдвинут вверх,
• если $b < 0$, то график сдвинут вниз.

На нашем графике функции из примера про копилку видно, что прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат на $500$ единиц (этому числу и равен коэффициент $b$).

Частные случаи. b = 0

Если коэффициент $b = 0$, функция приобретает вид $y = kx + 0$, что можно сократить до $y = kx$.

Подставим в формулу $x = 0$, получим: $$y = k times 0$$

Значит, график будет проходить через начало координат $O(0;0)$.

Для построения графика функции вида $y = kx$ достаточно найти одну точку, вторая – начало координат.

k = 0

Если коэффициент $k = 0$, угол наклона также будет равен $0$.

Функция при этом принимает вид $y = 0 times x + b$, то есть $y = b$.

Куда делась переменная $x$? Она нам больше не нужна, так как какой бы $x$ мы не подставили, значение $y$ не изменится.

Таблица

Здравствуйте, уважаемый посетитель! В этой статье будут разобраны задания В3 из ГИА, те, что связаны с графиками функций. Мы научимся определять все коэффициенты параболы по графику, находить точки пересечения прямой с осями координат и ее коэффициент наклона, а также ближе познакомимся с гиперболой.

Давайте начнем разбор этих заданий со знакомства с прямой и ее уравнением.

Прямая задается уравнением: . В этом уравнении коэффициент k отвечает за наклон прямой, а коэффициент b – за смещение по оси y вверх или вниз.

И тот, и другой коэффициенты могут быть как положительными, так и отрицательными. В случае с коэффициентом b все понятно: [stextbox id=”alert” bwidth=”1″ bcolor=”5e56a9″ bgcolor=”0cb2f2″]если он положительный, то прямая пересекает ось y выше оси х, а если отрицательный – то ниже[/stextbox]. На рисунке этот коэффициент равен 2 для красной прямой (), для зеленой – , для розовой – 

А как быть с k? Давайте разберемся. Как узнать по графику, положительный ли коэффициент k или он меньше 0? Посмотрим на графики на рисунке выше: они наклонены в разные стороны. Вот за наклон-то как раз и отвечает коэффициент k, и по наклону прямой мы “вычислим” его знак.

Признак такой: если прямая образует острый угол с положительным направлением оси х, то коэффициент k – положительный. Если прямая образует тупой угол с положительным направлением оси х, то коэффициент k – отрицательный

Посмотрим на наш рисунок:

У красной и розовой прямых – положительный коэффициент наклона, у зеленой – отрицательный.

Чтобы определить оба коэффициента (а не только их знаки), нужно взять 2 точки на прямой (любые) и подставить их координаты в уравнение прямой. Тогда мы получим систему уравнений, которая позволит определить оба коэффициента. В отдельных случаях можно обойтись и одним уравнением: если прямая проходит через начало координат, или если можно определить коэффициент b по рисунку. Примеры:

Определим коэффициент k для прямой, изображенной на рисунке:

Так как прямая проходит через начало координат, то . Тогда, чтобы определить k, потребуется всего одно уравнение. Возьмем любую точку, принадлежащую прямой, например, точку (1;3) – точки удобно брать с целыми координатами. Подставляем координаты точки в уравнение прямой вместо x и y:

Еще пример:

Определим уравнение прямой, для этого найдем коэффициенты b и k ее уравнения. Возьмем две точки на прямой, хорошо, если координаты точек целые. У нас это точки (5;0) и (-3;-2). В общее уравнение прямой подставим координаты этих точек:

Вычтем второе уравнение из первого, это позволит определить коэффициент k:

Чтобы найти b, подставим найденный коэффициент наклона в любое из двух уравнений:

Тогда уравнение этой прямой будет таким:

Иногда коэффициент наклона помогает определить знание следующего факта: если прямая лежит под углом 45 или 135 градусов к оси х (то есть проходит по диагоналям клеточек – как красные прямые на рисунке) – то модуль ее коэффициента наклона равен 1. Если прямая “прижимается” к оси y – желтая область на рисунке – то модуль ее коэффициента наклона больше 1. Если же она “жмется” к оси х (зеленая область) – модуль ее коэффициента k меньше 1. Данный факт помогает при решении таких задач, где необходимо сопоставить графики нескольких прямых и данные уравнения. Тем не менее, чтобы не ошибиться, лучше все же определить коэффициент аналитически: подставив координаты выбранной точки в уравнение.

Пример такого задания:

Один из графиков на рисунке – график функции y=3x. Каким цветом он изображен?

Рассуждаем так: коэффициент наклона положительный – угол наклона прямой к оси х будет острым – ни зеленый, ни желтый графики не подходят. Модуль коэффициента наклона больше 1 (равен 3) – прямая будет располагаться ближе к оси у, чем к оси х: значит, это график голубого цвета. После этих рассуждений надо обязательно (!) проверить их правильность: просто теперь нам придется проверять не все графики, а только один: голубому графику принадлежит точка (1;3). Подставим ее в уравнение:

Получилось тождество, значит, мы правы. Посмотрите видео-исследование прямой:

Переходим теперь к параболе. Парабола задается квадратичной функцией:. Коэффициент а определяет форму параболы, а также направление ее ветвей: если он положителен – то ветви параболы смотрят вверх, если отрицателен – вниз. От коэффициента b зависит расположение вершины параболы, то есть, в конечном счете, сдвиг по оси х вправо-влево. Наконец, коэффициент с показывает, какова ордината точки, в которой парабола пересечет ось y.

Рассмотрим несколько графиков, чтобы отработать определение последнего коэффициента – с, как наиболее простого.

Итак, с – точка пересечения параболой оси y. Для первой параболы на рисунке это 8, для второй – 3, для третьей – 6, для четвертой – (-5). А вот точка пересечения  пятого графика с осью y только угадывается. Можно сказать с определенностью, что коэффициент с для нее меньше ноля. Однако его точное значение зависит также и от формы параболы, которая определяется величиной коэффициента a. Если этот коэффициент задан и  равен (-1), то можно догадаться, что с для нее равен (-19). Однако. чтобы точно определить все коэффициенты, необходимо взять несколько точек, принадлежащих этому графику функции, и, подставив их координаты в уравнение квадратичной функции, решить систему уравнений, которая и позволит точно найти a,b и с.

Разберем такое задание: график какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

Посмотрим на график. Ветви параболы направлены вверх, значит, коэффициент a – положительный. Тогда нам не подойдут ни первая, ни последняя функция. Две оставшиеся отличаются одним лишь знаком коэффициента b, поэтому найдем абсциссу вершины параболы. Для второй:

Для третьей:

Тогда, значит, подходит вторая функция, так как видно, что вершина лежит в области отрицательных значений х.

Следующая задача такая: найдите значение а по графику функции , изображенному на рисунке.

Есть два пути для решения данной задачи. Первый – рациональный. Находим точки, принадлежащие графику, подставляем их координаты в уравнение, получаем систему (как минимум, понадобится три точки, чтобы определить три коэффициента, и система будет из трех уравнений), решаем систему.

Есть и второй путь – эмпирический. Этот метод “тыка” иногда упрощает задачу очень существенно, тем более что “тык” будет у нас вполне обоснованным, а не случайным.

Давайте рассуждать:ветви направлены вверх? – коэффициент а – положительный. Где находится вершина параболы? Правильно, в точке (2;0). Значит, ее ось симметрии –

 прямая х=2. Тогда все ее точки должны располагаться  симметрично по обе стороны от этой прямой.

Возьмем две точки на оси х, отстоящие на единицу от оси симметрии параболы – точки х=1, х=3. Какие им соответствуют ординаты? y=1 в обоих случаях. Теперь возьмем точки, отстоящие на 2 единицы от оси симметрии – х=0 и х=4. Какие ординаты будут им соответствовать? y=4!  Иными словами, ординаты точек этого графика получаются, если просто возводить в квадрат разность абсцисс точки и  вершины параболы:  и т.д. Тогда коэффициент a этой параболы равен 1!

Наши рассуждения можно пояснить рисунком:

Теперь рассмотрим задачи более сложные, связанные как раз с необходимостью составлять систему уравнений.

Иногда вершина предлагаемого графика располагается не в пересечении клеточек, то есть координаты вершины – дробные числа. Кроме того, форма параболы отличается от “классической”, которую мы получаем, если а=1. Тогда “метод научного тыка” не годится, “на глазок” коэффициенты уже не определить. Вот здесь необходимо найти принадлежащие графику точки, лучше, если они будут находиться на пересечении клеток, то есть их координаты будут целыми. Сколько же потребуется таких точек? Если возможно определить коэффициент с по графику, то две, а если нельзя – три.

Рассмотрим задачу: необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:

Подставляем в уравнение:координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:

Последние два уравнения вычтем:

Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:

Вычтем два получившихся уравнения:

Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:

Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:

Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):

Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:

Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:

Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.

Точки будут: (-2; -3),(-5; -3) и  (-3; -5) . Тогда уравнения:

Из первого уравнения вычитаем второе:

Полученное подставим в первое и третье:

Полученные уравнения вычтем вновь, и найдем искомое:

Посмотрите видео-исследование параболы:

Наконец, нужно познакомиться с гиперболой. График ее задается функцией: . Он интересен тем, что располагается всегда в двух квадрантах: в первом и третьем, либо во втором и четвертом. От знака коэффициента k зависит вид функции: если знак положителен, то ветви гиперболы расположатся в первом и третьем квадрантах, если отрицателен – во втором и четвертом. Кроме того, от этого коэффициента зависит и форма гиперболы. Если , то гипербола непременно пройдет через точки (1;1), (-1;-1). Если , то гипербола будет “прижиматься” к осям координат, а если , то наоборот, точки графика будут лежать дальше от начала координат. Это иллюстрирует рисунок (одна клеточка – единичный отрезок):

Здесь зеленая область – область, где лежат точки гипербол с положительным коэффициентом k, меньшим 1. Желтая область – область точек гипербол с положительным коэффициентом k, большим 1. Черным цветом изображена “классическая” гипербола, k=1.

Для отрицательных k (одна клеточка – единичный отрезок):

Разберем задачу: нужно определить, график какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке.

Рассмотрим график. Все его точки лежат во второй и четвертой четвертях, это означает, что положительным х соответствуют отрицательные y, а отрицательным – положительные, то есть коэффициент у функции, задающей этот график, должен быть отрицательным. Тогда ни первая, ни третья функции не подходят. Значит, надо выбирать из второй и четвертой, причем у второй , а у четвертой . Значит, график второй функции должен быть расположен ближе к осям координат, чем точка (1;-1) – голубая область на предыдущем рисунке. У нас график расположен не так, если бы мы перенесли его на предыдущий рисунок, он бы попал в серую область, значит, предположительно, изображен график четвертой функции, однако, в этом надо быть уверенным наверняка. Поэтому возьмем точку на графике и подставим ее координаты в уравнение, например, точку (3;-1):

Получилось тождество, значит, уравнение выбрано верно.

Еще задача:

На одном из графиков изображен график функции . Какой это рисунок?

Во-первых, не все изображенные графики – гиперболы. Сразу отбросим “лишние” – это розовый график функции   – номер 2, и фиолетовый – номер 1, который расположен “не в тех” квадрантах. Остаются два графика – 3 и 4 – которые очень похожи друг на друга. Поскольку коэффициент перед х в заданной функции отрицательный, нам нужен 4 график – тот, что изображен черным цветом.

Последняя задача: найдите коэффициент k по графику функции  , изображенному на рисунке:

Здесь достаточно взять только одну точку, принадлежащую графику, и подставить ее координаты в уравнение:

Посмотрите  короткое видео с исследованием гиперболы:

Надеюсь, эта статья поможет вам в подготовке к экзамену! Всего вам хорошего, вопросы можно задать в комментариях, я постараюсь ответить.